2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：全等三角形解答題提分刷題練習(xí)題

1.在VABC中，NB=NC,在邊BC上順次取點E、F,使BE=CF.作VELBC,NF〃BC,分

別與G4、&L的延長線交于點M、N,試說明BN=CM.

2.如圖，C是,核W的角平分線上一點，CE±AN,CFYAM,垂足分別為E,F.過點C作

CD//AN,交4W于點。，在射線EN上取一點8,使—CBE=2/DC4.

(2)求證：DF=BE.

3.已知VABC和ACDE均是等邊三角形.

圖1圖2圖3

(1)A。與BE之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)如圖2,當(dāng)ACDE繞點C旋轉(zhuǎn)至點D,且在A3的延長線上時，CB,BD,仍存在什么數(shù)量

關(guān)系？并說明理由；

(3)如圖3,當(dāng)ACDE繞點C旋轉(zhuǎn)至DE經(jīng)過點3時，過點A作于點R,請直接寫出線段

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DF,OB與CD之間的數(shù)量關(guān)系.

4.如圖，在VABC中，AB=CB,ZABC=90。,尸為A3延長線上一點，點E在BC上，且=

⑴求證：AABE"Z\CBF；

⑵若/胡￡=25。，求ZACV的度數(shù).

5.已知，VABC中，ZB=a,點。為邊BC上一點，BD=AB=AC,連接AD.

(1)如圖1,點E為邊上一點，作點E關(guān)于AD的對稱點尸，直線加交AD于點G,交A3于

點且/FGD=c.求/AHG的度數(shù)；(用含a的式子表示)

⑵在(1)問的條件下，求證：DF+DC=BH.

(3)如圖2,以AD,為邊構(gòu)造平行四邊形ADMB,點N為邊上一點，點尸為AD中點，連

接PN,過點N作NQLA8交八拉于點。，連接8Q.當(dāng)S△皿=；=8時，請直接寫出此時

(PN+QB)2的最小值.

6.如圖1,在VABC中，AB=AC=5,BC=6,動點尸從點C出發(fā)，按C—A—3—C的路徑運

動(回到C點停止)，且速度為每秒2個單位，設(shè)運動時間為f秒.

備用圖

(1)在VABC中3C邊上的高長為；AC邊上的高長為

(2)當(dāng)CPLAfi時，求f的值;

(3)如圖2,若△ACP是等腰三角形，直接寫出所有滿足條件的f的值.

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7.如圖，AABC當(dāng)AEFD且AB=EF,CE=2.5,CD=2,ZA=45°.

⑴求AC的長度.

(2)求/E的度數(shù).

8.如圖，點E是菱形ABC。對角線G4的延長線上任意一點，以線段AE為邊作一個菱形短網(wǎng)?,

且mW=N￡AG,連接EC,G￡).

(3)連接DE、BG,若NG4B=90。，BG2=10,DE2=10+4A/3,求AA￡B的面積.

9.如圖，VA8C中，ZACB=100。，點。在邊3C延長線上，/ABC的平分線交于點E,過點

E作EHLBD,垂足為H,且NC￡H=50。.

⑴求NACE的度數(shù)；

(2)求證：AE平分NC4尸；

⑶若4C+CD=16,AB=10,且5AAe=24,求AABE的面積.

10.公路上A、8兩車站相距5千米，C、。為公路同側(cè)的兩所學(xué)校，DA1AB,CB±AB,垂

足分別為點A、B(如圖所示)，ZM=3千米.現(xiàn)要在公路上建一報亭“(AH<9),使得C、

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。兩所學(xué)校到H的距離相等，且/D?C=90。，問：報亭//應(yīng)建在距離8站多遠(yuǎn)處？學(xué)校C到公

路的距離是多少千米？

11.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在VABC與VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,求證:

△AEgAADB；

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在V4BC與VADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=NDAE=90°,B、

D、E三點在一條直線上，AC與班交于點憶若點R為AC中點，

①求/BEC的大??；

②CE=2,求八4”的面積；

【拓展提高】（3）如圖3,VA3C與VADE中，AB=AC,DA=DE,ZBAC=ZADE=90°,BE與CA

交于點RDC=DF,CDLDF,VBC尸的面積為18,求"的長.

12.如圖1,在RtAABC中.ZBAC=90°,AB=AC,。為VABC內(nèi)一點.Z￡AD=90°,且=

連接CE,3。的延長線與CE交于點H

圖1圖2

⑴求證：BD=CE,BDLCE；

（2）如圖2,連接AF,DC,已知N5DC=135。.

①判斷AF與。C的位置關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)口是線段CE中點時，直接寫出線段AD與線段3。的關(guān)系:

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13.綜合與探索

如圖，在VABC中，AB^AC,5c=6,點P從點3出發(fā)沿射線助移動，同時，點。從點C出

發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P,。移動的速度相同，尸。與直線BC相交于點D

⑴如圖1,當(dāng)點P為A3的中點時，求證：PD=DQ.

(2)如圖2,過點P作直線BC的垂線，垂足為E,當(dāng)點P,。在移動的過程中，線段即的長度

是否保持不變？請說明理由.

14.如圖，在VA3C中，。為邊上一點，E為邊出上一點，且AE=CD,連接AD,F為AD

的中點.連接成并延長，交AC于點G,在FG上截取點使切=用，連接GD,若HG=CG.

(1)求證：AAEF^ADHF;

(2)求證：ZB=2ZGDC.

15.【問題情境】在VABC和ADEC中，AC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=90°.

(1)【初步探究】如圖1,當(dāng)點A,C,。在同一條直線上時，連接8。、AE,延長AE交于

點、F,試說明延=也；

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點A、C、。不在同一條直線上時，連接AE交。C于點H,連接

交AE于點心試說明小，的；

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(3)如圖3,A、C、。三點共線，且NC4E=15。，將線段3D繞點B以每秒10。的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，

同時線段繞點。以每秒20。的速度順時針旋轉(zhuǎn)180。后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為/

秒，當(dāng)AQ回到出發(fā)時的位置時同時停止旋轉(zhuǎn)，則在轉(zhuǎn)動過程中.當(dāng)8。和AD互相平行時，請

直接寫出此時/的值.

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參考答案

1.見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先證明班'=CE,再利用ASA證明

△BFN/MEM即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：,??3E=CF,

/.BE+EF=CF+EF,BPBF=CE,

VMEIBC,NF八BC,

ZBFN=NCEM=90?,

又：NB=NC,

：.△班7伯△CEM(ASA),

BN=CM.

2.(1)見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了角平分線定義，全等三角形性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟

練掌握全等三角形性質(zhì)和判定.

(1)結(jié)合角平分線定義，證明ZVib2結(jié)合全等三角形性質(zhì)即可證明CV=CE；

(2)結(jié)合平行線性質(zhì)，證明絲△<?￡?,結(jié)合全等三角形性質(zhì)即可證明DF=BE.

【詳解】(1)證明：是NM4N的角平分線上一點，

■.?CELAN,CFVAM,

.?.N3=N4=N5=9O。，

在△Ab和AACE中,

"Z3=Z4

<Z1=Z2,

AC=AC

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.-.△ACF^AACE(AAS),

:.CF=CE-

(2)證明：?.?CD〃4V,

..26=/l+/2,-7=12,

又?.?4=N2,

.?26=2/7,

又/CBE=2^DCA,即NCBE=2/7,

:.N6=NCBE,

在△口!)和ACEB中，

26=NCBE

<Z3=Z5,

CF=CE

:.ACFD^ACEB(AAS),

:.DF=BE.

3.⑴相等

Q)BE=BC+BD,理由見解析

⑶CD=BD+2DF

【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判斷，等邊三角形的性質(zhì)，含30。角直角三角形的性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點.

(1)由等邊三角形得到AC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=60°,然后證明出AACD^ABCE(SAS),

即可得至=

(2)同(1)可得AABE絲AACD(SAS),結(jié)合4)=鉆+網(wǎng)＞,AB=3C可得結(jié)論；

(3)如圖所示，連接AD,同(1)可得，AACD^AJBCE(SAS),得到AD=5E,ZADF=ZE=60°,

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然后求出ZZMF=30。，得至l」AD=2。尸，進(jìn)而求解即可.

【詳解】(1)相等，理由如下：

丁VABC和石均是等邊三角形

AAC=BC,DC=CE,ZACB=ZDCE=60°

：.ZACD=ZBCE

：.△ACD^ABCE(SAS)

/.AD=BE；

(2)BE=BC+BD,理由如下：

同(1)可得，△ACD之△BCE(SAS)

/.AD=BE,

?：AD=AB+BD,AB=BC

：.BE=BC+BD；

(3)CD=BD+2DF,理由如下：

如圖所示，連接AD

D

同(1)可得，△ACDZ/CE(SAS)

/.AD=BE,ZADF=ZE=60°

AFLCD

：.ZAFD=90°

：.ZDAF=30°

/.AD=2DF

：.CD=DE=BD+BE=BD+AD=BD+2DF.

4.(1)證明見解析

(2)70°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點

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是解答本題的關(guān)鍵.

(1)運用“HL”定理直接證明△極四△以尸，即可得解；

(2)求出NBC4=/BAC=45。，證出N3CF=/54E=25。，即可得解.

【詳解】(1)證明：vZABC=90°,

“ABE與VCBF為直角三角形，

在RtAABE與RtACBF中，

jAB^BC

[AE=CF'

RtAABE^RtACBF(HL)；

(2)解：AB=BC,ZABC=90°,

ZBCA=ABAC=45°,

ZBAE=25°,AABE學(xué)ACBF,

ABCF=ABAE=25°,

ZACF=ZACB+ZBCF=45°+25°=70°.

5.⑴90.

⑵證明見解析

(3)32+8g

1QQO_?

【分析】(1)利用BD=AB,，得出ZBAD=ZBDA=---,利用ZFGD=a,得出ZAGH=a,

最后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決；

(2)過點。作交A3于點T,先通過導(dǎo)角推出/雙兇=440,證明AB〃DW,得出四邊

形尸是平行四邊形，再證明△BDT/△C4D,得出BT=CD,即可證明；

(3)過點。作于點S,先求解出SD=2及，再得出NQ=SD=2應(yīng)，將BQ沿著QV方向

平移NQ=20個單位長度，得到線段BW,使點。與點N重合，即四邊形BQN?是平行四邊形，

則8Q=EN,BB'=NQ=2y[2,則PN+Q3=PN+BW,由兩點之間線段最短，得PN+B，N2B，P,

當(dāng)？，N,P依次共線時，PN+BW取得最小值次P,即(PN+QB)2最小，連接85,B'P,BP,

過點S作SUL3。延長線于點U,過點P作尸于點W,延長WP交方S延長線于點R,得出

四邊形班5D是平行四邊形，四邊形SLW?是矩形，分別計算8供和解即可.

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【詳解】(1)解：?.?5D=AB,/B=a,

180。一。

/BAD=ZBDA=

2

ZFGD=a,

：.ZAGH=ZFGD=a,

：.ZAHG=180°-ZBAD-ZAGH=180°--6z=90°-—

22

(2)解：過點。作。T〃9交A3于點T,

/./B=NC=CL,

???點E關(guān)于AD的對稱點是F,

/.ZFDA=ZBAD,

/.AB//DF,

???四邊形DTHF是平行四邊形，

/.DF=TH,

DT//FH,

ry

：./BTD=ZBHF=180°-NAHG=90°+—,

2

ty

ZADC=180°-ABDA=90°+-,

2

ZBTD=ZADC9

XVZB=ZC,BD=AC,

：.ABDT^ACAD,

/.BT=CD,

：.BH=BT+HT=CD+DF,

^DF+DC=BH-

(3)解：如圖，過點。作DSLAB于點S,

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???SaL；AC2=8,

AC=4A/2,

BD=AB=AC=4-Ji，

,?七加=8=*.肛

SD=2A/2,

,/四邊形ADMB是平行四邊形,

AB//DM,

,：DSLAB,NQLAB,

：.NQ=SD=2夜，

如圖，將2。沿著QV方向平移NQ=2五個單位長度，得到線段BW,使點。與點N重合，即四

邊形3QA的是平行四邊形，

則BQ=B'N,BB'=NQ=2y[2,

：.PN+QB=PN+B'N,

由兩點之間線段最短，得PNMNNBT,

當(dāng)？，N,P依次共線時，PN+BW取得最小值次P,即(PN+QB)2最小，

此時，如圖，連接85,B'P,BP,過點S作SU_L即延長線于點U,過點尸作PW_L8。于點W,

延長府交B5延長線于點R,

?.?四邊形BQNB'是平行四邊形，

/.BB'=NQ=2V2=SD,BB'//NQ,

,?DSLAB,NQLAB,

：.SD//NQ,

BB'//SD,

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四邊形班SD是平行四邊形，

SB'//BD,B'S=BD=4后，

,:SULBD,PW±BD,

：.SU±B'R,

四邊形smw?是矩形，

ASR=UW,SU=RW,

,?*BS=JBD2-SD2=2A/6，

AS=AB-BS=g-2n，

?*-AD=yjAS2+SD2=4“-24，

???點尸為AD中點，

/.尸等=2〃-2』,

?；ZASoo.LzRsn2=-BSSD2=-BDSU，,

.BSSD2A/6X2A/2r-

BD40

/.SU=RW=y/6,

BU=4BS--SU2=3V2（UD7sbi-SU?=0，

,點P為AD中點，

???5皿=33=4=*,卬，

PW=72,

/.PR=RW-PW=SU-PW=&-&,WD=4尸￡）2_尸印2=J16_86『一2=J14—8g=20—"，

:.UW=UD-WD=~Ji-（2尬-屈）=&-四,

：.B'R=B'S+SR=BD+UW=4y/2+y/6-y/2=s/6+3yf2,

：.B'P-=B'R2+PR2=（30+盾+1質(zhì)-司=32+86,

.（PN+gB）2的最小值為32+8省.

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【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，

等腰三角形的性質(zhì)，二次根式的運算，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

6.(1)4,y;

(2)y;

(3)為蚤秒或5秒或,秒或￡■秒.

【分析】⑴根據(jù)等腰三角形的三線合一定理可知3E=3C=3,ZAEB=ZAEC=900,利用勾股定

理可求AE=4,再利用三角形的面積公式可得;x6x4=；x5xB￡>,從而可求3D的長；

⑵過點C作CPJL他，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知加=尸。=?,利用勾股定理定理求出4尸=卜

可得：CA+AP=^-,再根據(jù)點尸運動的速度求出運動的時間/；

(3)當(dāng)AACP是等腰三角形時分：當(dāng)AC=PC=5時、當(dāng)釬=AC=5時、當(dāng)"=PC時，共四個滿足

條件的點，根據(jù)情況求解.

【詳解】(1)解：???在VABC中，AB=AC=5,BC=6,AE±BC,

:.BE=BC=-BC=3,ZAEB=ZAEC=90°,

2

AE=NAC?-EC。=后目=4，

,；S4ABe=gBCAE=：AC.BD,

—x6x4=—x5xBD,

22

24

5

故答案為：4,F；

(2)解：如下圖所示，過點。作C尸，AB,

SARC=LACBD=-ABPC,

AADC-22，

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732

:.CA+AP=5+-=—

559

32-16

:.t=—4-2=—；

55

當(dāng)AC=PC=5時，AAPC是等腰三角形,

過點C作CFLAB,

7

由⑵可知以二丁

7

/.FP=AF=-,

5

14

AP=2AF=—,

5

/.AC+AP=5+—=—

55

39-39G

:.t=——+2=—秒；

510

當(dāng)點尸運動到點6時，AP=AC=5,

:.AC+AP=10,

.?1=10+2=5秒;

如下圖所示，當(dāng)AC=PC=5時,

■.■BC=6,

:.BP^BC-PC=6-5=1,

:.AC+AB+PB=5+5+\=U,

?./=11+2=—?

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A

如下圖所示，當(dāng)AP=PC時，

過點尸作尸尸LAC,貝ljA尸=CF=：AC=g,

由⑴可知3E=CE=3,AE=4,

設(shè)PE=x,則PC=3+x,

在RSAPE中，AP=力PE2+AE2=y142+x2=&+16，

.1J尤2+16=x+3，

7

解得：x=Z；

o

711

:.BP=BE-PE=3——=—,

66

1171

AC+AB+PB=5+5+—=—,

66

綜上所述，若是等腰三角形，，的值為3嗡9秒或5秒或1?1秒或微71秒.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，是三角形綜合

題，解決本題的關(guān)鍵是運用分類討論的思想，分情況解答.

7.(1)4.5

(2)45°

【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等

三角形的對應(yīng)角相等.

(1)根據(jù)題意求出DE的長，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到答案；

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(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)解：???CE=2.5,CD=2,

DE=4.5,

...AABC沿4EFD,

:.AC=DE=4.5；

(2)解：AABC^AEFD

：.ZE=ZA=45°.

8.(1)證明見解析

⑵而

(3)1

【分析】(1)證明/AAGD(SAS)即可；

(2)連接BD交AC于點P,得到NPAB=30。，則BP=：A8=1,由勾股定理得4尸=石，再由勾

股定理求得EB=jE產(chǎn)+BP2=岳，BPDG=V13;

(3)設(shè)A￡=AG=MA￡)=AB=y,由勾股定理得f+y?=io,由/應(yīng)13+/615+/6^=180。，結(jié)

11/7

合菱形，性質(zhì)得至U2NZMP+90O+/ZMP=180°,那么ZZMP=3O。，則。P=]AO=5>,則AP=^y,

而^爐二口爐+石產(chǎn)，貝|]10+4括=1+咚y+gy]，化簡得到/+9+退盯=10+4",而Y+y2=io,

則孫=4,即可求解面積.

【詳解】(1)證明：?.?NEAG=NBAD,

ZEAG+NGAB=ABAD+ZGAB,

NEAB=NGAD,

,.,AE尸G是菱形，ABC。是菱形，

，AE=AG,AB=AD,

：.AA￡B^AAGD(SAS),

EB=GD-

(2)解：在菱形ABC。中，連接BD交AC于點P,則吩_LAC,

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D

C

??'在菱形ABC。中，/DAB=60。,

/.NR4B=30。，

/.BP=-AB=1,

2

?*-AP=4AB1-BP2=A/3，

114^^形尸G中，AE=AG=^3>

EP=2代，

?*-EB=1E產(chǎn)+B產(chǎn)=V12+1=屈

GD=V13;

(3)解：如圖：

D

"：ZGAB=90°,

AG2+AB2=BG2,

：.x2+y2=10

?菱形ABC。，

/.ZDAP=NCAB=-NDAB=-ZEAG,AC1,DB,DPBP,

22

'：ZEAG+ZGAB+ZCAB=180°,

：.2NDAP+90°+ZDAP=180°,

：.ZDAP=30°,

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/.DP=-AD=-y,

22

.,.在RSAPD中，由勾股定理得，AP瀉y,

DE2=DP2+EP2

2

：A+6丫

.10+4/3=.x-\---2--Vy)+

22

X+y+石孫=10+4A/?,而+y2=]0

xy-4,

?,^AAEB=-AExBP=-x'x-y=—xy=1.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，30。角直角三角形的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理利用菱形的性質(zhì).

9.(1)40°

⑵見解析

(3)△女的面積為15

【分析】本題考查了角的平分線判定定理和性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理，一元一次方程的應(yīng)

用，熟練掌握角的平分線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平角的定義和三角形內(nèi)角和定理分別求出入48,/DCE的度數(shù)即可得到答案；

(2)過點后作￡3力防于點作ENLAC于點N,利用角平分線的性質(zhì)定理，推出EM=EN,

再利用角的平分線的判定證明即可.

(3)設(shè)EM=EH=EN=x,利用SjCD=S^ACE+SqE，求出％=3,從而求出△鉆石的面積即可.

【詳解】(1)解：???ZACB=100。，

，ZACD=180?！猌ACB=80°,

VEHLBD,ZCEW=50°,

ZDCE=90°-ACEH=40°,

ZACE=ZACD-ZDCE=40°.

(2)證明：如圖，過點E作石產(chǎn)于點“，作ENLAC于點N,

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：8E平分/ABC,EMLBF,EHLBD,

:.EM=EH,

由（1）可知，ZACE=ZDCE=40°,即CE平分ZACD,

■.■ENIAC,EH±CD,

:.EN=EH,

:.EM=EN,

又,?,點E在NC4尸的內(nèi)部，

平分/C4F；

(3)解：如上圖，過點￡作“加，斯于點作ENLAC于點N,

由(2)已得：EM=EH=EN,

設(shè)EM=EH=EN=x,

V5ACD=24,

??SMCE+SADCE=24,

/.^ACEN+^CD-EH=24,gp|x(AC+CD)=24,

48

，AC+CD=—,

X

又■:AC+CD=16,

x=3,

:.EM=3,

"：AB=10,

：.AABE的面積為;AREM=^X10X3=15.

10.報亭H應(yīng)建在距離B站3千米處，學(xué)校C到公路的距離是2千米

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由垂線的定義可得34H=ZHBC=90。，再證

明AAD"/AHCB(AAS),得出3H=AD=3千米，BC=AH,即可得解.

【詳解】解：CBLAB,

第14頁共31頁

/.ZDAH=ZHBC=90°,

：.ZD+ZAHD=90°,

/DHC=90。,

：.NCHB+ZAHD=90°,

：.NCHB=ZD,

,?DH=CH,

：.AAT歸四AHCB（AAS）,

...3”=Ar>=3千米，BC=AH,

：.=3H=2千米，

BC=AH=2千米，

???報亭H應(yīng)建在距離8站3千米處，學(xué)校C到公路的距離是2千米.

11.（1）見解析；（2）①90。；②2；（3）6

【分析】（1）由SAS證△AECNA4DB即可；

（2）①同（1）得AAEC/AAD3（S4S）,得ZAEC=ZADB=135。,即可得出結(jié)論；

②過點A作AGLDE于點G,證AAGR%CEF（ASA）,得AG=CE=2,GF=EF,再由等腰直角三

角形的性質(zhì)得*=EG=AG=2,則GF=跖=1,然后由三角形面積關(guān)系即可得出結(jié)論；

（3）連接CE,同（2）得ACDE冬AFDA（SAS）,則CE=AF,ZDCE=ZDFA=135°,得ZACE=90。，

再證△ACE③&lWSAS）,^CE=AF,S*S.BAF,然后證CE〃AB,得L6E=Lsc=gAC2,進(jìn)

而由1ABC+S^ACE-S△ABE-SWEF=S#CF，得AC.AF-".CF=36,則A>=36,即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）-.-ZBAC=ZDAE,

:.ABAC-Z.BAE=ZDAE-ABAE,

即ZCAE^ZBAD,

在△AEC和AAC?中，

AC^AB

<ZCAE=ABAD,

AE=AD

.-.AAEC^A^DB（SAS）；

第15頁共31頁

(2)@-,-AD=AE,ZDAE=90°,

:.ZADE=ZAED=45°,

ZADB=1800-ZADE=180°-45°=135°,

同(1)得：AAECRADB(SAS),

ZAEC=ZADB=135°,

ZBEC=ZAEC-ZAED=135°-45°=90°；

②如圖2,過點A作AGLDE于點G,

圖2

則/bG4=90。，

由①可知，ZFEC=90°,

:.ZFGA=ZFEC,

???點R為AC中點，

:.AF=CF,

又一；ZAFG=ZCFE,

.-.△AGF^ACEF(AAS),

:.AG=CE=2,GF=EF,

■.■AD=AE,ZDAE=90°,

:.DG=EG=AG=2,

,-.GF=EF=-EG=\,

2

SACF=2SrFF=2x—CE-EF=2x1=2；

(3)解：如圖3,連接CE,

圖3

第16頁共31頁

同（2）得：△CDE%FDA（SAS）,

：.CE=AF,ZDCE=ZDFA=135°,

ZACE=ZDCE-ZACB=135°-45°=90°,

在“。石和ABA廠中，

AC=AB

</ACE=NBA尸=90。，

CE=AF

/.△ACE^AR4F（SAS）,

-SgjE=S2AF，

（^ZACE=ZBAC,

CE//AB,

2

?0-S4ABE==—AC-AB=—AC,

,*S^ABC+S^ACE-S&ABE-^CEF=S*CF，

-AC1+-AC-CE--AC2--CE-CF^,

2222

ACAF-AFCF=36,

AF（AC-CF）=36,

AF2=36,

；.4尸=序=6負(fù)值舍去，

即AF的長為6.

【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

平行線的判定與性質(zhì)，三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì),

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

12.⑴見解析

（2）①AF〃CD,見解析；②互相垂直

【分析】（1）通過SAS證明△板）2可得Q=CE,ZABD=ZACE,再利用三角形內(nèi)角

和定理可證CE;

（2）①作AGLBT"AH±CE,由全等知AG=AH,從而得到AF平分ZBFE,證出

7AFD?FDC45?,從而證出平行；

第17頁共31頁

②連接OE.由ZE4D=90。，且=推出ZA￡D=ZADE=45。，由（1）BD±CE,R是線段

CE中點，推出ZEDF=NCDF=45。，從而得出ZAD3=90。，即可證明AD_L3D.

【詳解】（1）證明：如圖1,設(shè)AC與跖交于。點，

圖1

,?ABAC=90°,ZDAE=90°

/.NBAC=NDAE,

：.ZBAD^ZCAE,

在和"小中，

AB=AC

<ZBAD=NCAE,

AE=AD

：.AABD^AACE(SAS),

BD=CE,ZABD=ZACE,

又：ZAOB=ZCOF,

：.ZBFC=ZBAC=90°,

：.BDA.CE；

(2)解：AF\\CD,

理由如下：

如圖2,作AGrBF于G,AH±CE于H,

圖2

由（1）知△ABD四△ACE,

第18頁共31頁

=

??BD=CE,SSABDS&ACE)

：.AG=AH,

XAGLBF,AH±CE,

：.AF平分ZBFE,

又?:NBFE=90。,

ZAFD=45°,

'：ZBDC=135°,

：.ZFDC=45°,

：.ZAFD=NFDC,

：.AF//CD.

②連接DE.

VZEAD=90°,且=

ZAED=ZADE=45°,

'：ZBDC=135°,

/.ZCDF=45°,

由⑴BDLCE,

是線段CE中點，

/.CD=DE,

：.NEDF=NCDF=45。，

：.ZADB=9Q°,

：.AD±BD.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知

識，作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析

(2)線段即的長度保持不變，見解析

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本

題的關(guān)鍵.

(1)過P點作P尸〃AQ交BC于由題意可證根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得

證；

第19頁共31頁

（2）分點P在線段AB上，點尸在線段用的延長線上兩種情況討論，利用全等三角形的性質(zhì)

和判定可得DE的長度不變.

【詳解】（1）證明：如圖1,過點尸作尸尸〃4。交3C于點尸.

ZPFB=ZACB,ZDPF=ZQ.

??,點P和點。同時出發(fā)，且移動的速度相同，

：.BP=CQ.

AB=AC,

:.ZB=ZACB,

:.ZB=ZPFB,

BP=PF=CQ.

ZPDF=ZQDC,

:.叢DPF”叢DQC.

：.PD=DQ.

（2）解：線段即的長度保持不變，理由如下:

分兩種情況，①若點？在線段A3上，

如圖2,過點P作用'〃AC交BC于點A

與（1）同理可知，PB=PF,ADPF%DQC,

DF=DC.

PEIBC,

:.BE=EF.

:.ED=EF+FD=BE+DC=、BC=3.

第20頁共31頁

②若點P在線段BA的延長線上，

如圖3,過點尸作加〃AC交5c的延長線于點M.

又?"=AC,

:.ZB=ZACB.

:.PM=PB.

?.?PELBM,

:.BE=EM.

?.，PM//AC,

:.ZMPD=ZCQD,

又???/PDM=/CDQ,

.?.△PMD咨AQCD.

\CD=DM.

?：BE=EM,CD=DM,

:.ED=EM-DM=—+—~DM=3+DM-DM=3.

222

綜上所述，線段即的長度保持不變.

14.⑴見解析

⑵見解析

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決

問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)為的中點得=進(jìn)而可依據(jù)SAS判定△AEF和全等；

(2)根據(jù)44￡尸和△D/m全等得/E4尸=AE=DH=CD,則Z汨〃AB,再根據(jù)平行線的

性質(zhì)得/HDC=NB,然后依據(jù)SSS判定和ADCG全等，則NGDC=NGDH,進(jìn)而得

/HDC=2/GDC,由此即可得出結(jié)論，

【詳解】(1)證明：丫點尸是AD的中點，