大題仿真卷06（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時：70分鐘）

?>-------A組.鞏固提升----------O

一、解答題

1.已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,C,且耳=2csinA.

⑴求sinC的值；

⑵若c=3,求AABC面積S的最大值.

2.在如圖所示的圓錐中底面半徑為2,尸是頂點，。是底面的圓心，4、8是圓周上兩點，且OALOB.

⑴若圓錐的側面積為6兀，求圓錐的體積；

⑵設圓錐的高為2,M是線段AB上一點，且滿足PMLAB,求直線PM與平面POB所成角的大小.

3.某區(qū)體育老師為了了解初中學生的性別和喜歡籃球是否有關，隨機調查了該區(qū)1000名初中學生，得到

成對樣本數據的分類統(tǒng)計結果，如下表所示：

是否喜歡籃球

性別合計

喜歡不喜歡

男生350250600

女生250150400

合計6004001000

⑴依據a=0.05的獨立性檢驗，能否認為該區(qū)初中學生的性別與喜歡籃球有關聯(lián)；

⑵用按性別比例分配的分層隨機抽樣的方法從參與調查的，喜歡籃球的600名初中學生中抽取12名學生做

進一步調查，將這12名學生作為一個樣本，從中隨機抽取3人，用X表示隨機抽取的3人中女生的人數,

求X的分布列和數學期望.

附：參考數據

2n(ad-bc^

Z/+加+4…地+而其中n-a+b+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

4.已知圓。:一+/=1,雙曲線r：尤2一與=1,直線/：y=H+〃,其中1eR,b>0.

b

(1)當6=2時，求雙曲線r的離心率；

(2)若/與圓o相切，證明：/與雙曲線r的左右兩支各有一個公共點；

⑶設/與y軸交于點p,與圓。交于點A、B,與雙曲線r的左右兩支分別交于點c、D,四個點從左至右

依次為C、A、B、D.當％=變時，是否存在實數6,使得西.定=麗.麗成立？若存在，求出6的值；

2

若不存在，說明理由.

5.九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，斑斕奪目的數學知識中函數尤為耀眼，加上數列知識的

加持，猶如錦上添花.下面讓我們通過下面這題來體會函數與數列之間的聯(lián)系.已知〃x)=lnx+J,

g(x)=/(x)-x.

⑴求函數“X)的單調區(qū)間

(2)若數列”“=e”(e為自然底數)，bn=f(an),Sn=b｝+b3+b5+--+b2n_l,北=￡⑥，5eN*,求使得不

Z=1

等式：e〃2+S,>e7；成立的正整數〃的取值范圍

⑶數列｛1｝滿足。<4<1，，向=/(%)，〃?^^證明：對任意的〃?^^8卜［丁］<0.

O---------------B組?能力強化----------?>

一、解答題

1.在直四棱柱A5CD—ABIG，中，AB//CD,ABA.AD,AB=2,AZ>=3,DC=4

⑴求證：48〃平面。CGQ；

⑵若四棱柱ABCD-A4GQ體積為36,求二面角\-BD-A大小.

2.已知函數/（r）=-2sin（x+2（p）,網<々.

（1）若函數f（x）的圖象關于y軸對稱，求。的值，并求函數/■（%）的單調減區(qū)間;

7Tjr

（2）當。=-工時，若存在xeo.-,使等式r（x）-〃x）+機=0成立，求實數優(yōu)的取值范圍.

O

3.某校準備在體育鍛煉時間提供三項體育活動供學生選擇.為了解該校學生對"三項體育活動中要有籃球”

這種觀點的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，得到的反饋數據如下：（單位：人）

男生女生合計

同意7050120

不同意305080

合計100100200

⑴能否有95%的把握認為學生對"三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關？

⑵假設現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項體育活動供學生選擇.

①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種假設他們選擇各項運動的概率相同并且相互獨立互不影

響.記事件A為“學生甲選擇足球"，事件B為"甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球"，求并判斷事件A,

B是否獨立，請說明理由.

②若該校所有學生每分鐘跳繩個數X?N085,169）.根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有

明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數均增加10個，若該校有1000名學生，請預

估經過訓練后該校每分鐘跳169個以上的學生人數（結果四舍五入到整數）.

參考公式和數據：/2=7―"匕尻）其中〃=a+b+c+d,P（z2>3,841）^0.05.若

X?N（MQ2）,p（|x-4<o'卜0.6827,尸（國-“<2o■卜0.9545,P（|X-“<3」卜0,9973.

22

4.已知橢圓C:土+2=1（0＜8＜2）,設過點AQ,。）的直線/交橢圓C于跖N兩點，交直線x=4于點P,點

4b

E為直線尤=1上不同于點A的任意一點.

⑴橢圓C的離心率為求6的值；

（2）若IAMIZ1,求6的取值范圍；

⑶若6=1,記直線EM,EN,砂的斜率分別為尤，K，耳，問是否存在尢，k2,%的某種排列牖，%,

期（其中用中間={L2,3},使得的，ki2,如成等差數列或等比數列？若存在,寫出結論，并加以證明;

若不存在，說明理由.

5.設函數y=〃x）的定義域為。，若存在實數左，使得對于任意xe。，都有左，則稱函數y=

有上界，實數％的最小值為函數y=/（x）的上確界；記集合叫={/（引丫=與在區(qū)間（。,+8）上是嚴格增

函數};

2

（1）求函數＞=—；（2〈尤＜6）的上確界；

⑵若/（X）=d-欣+2xlnxeM,求〃的最大值；

⑶設函數y=一定義域為（。,+“）；若〃耳€河2,且'=〃”有上界，求證：〃“＜。，且存在函數

y=f（x）,它的上確界為o；

0----------------C組?高分突破-----------?＞

一、解答題

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面是正三角形，側面底面是

尸8的中點.

⑴求證：平面P2C；

（2）求側面PCD與底面ABCD所成二面角的正切值.

hA-9hx

2.已知函數/（%）=空&-—4（。＞0/wl）是定義在R上的奇函數.

b+2b

⑴求〃x）的解析式；

⑵存在尤e[2,3],使得“（X）22'-2成立，求實數t的取值范圍.

3.網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對本小區(qū)三月份參與網購生鮮蔬菜的家庭的

網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和2組，

這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下圖:

4組8組

9805

87531124

9621478

03359

假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響.

⑴從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大

于20的戶數為X,估計X的數學期望同X］：

⑵從A組和2組中分別隨機抽取2戶家庭，記《為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20

的戶數，2為B組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20戶數，比較方差。［均與。底］的大

小.

2

4.已知拋物線n：y2=4x,r2:y=2x,直線/交拋物線「I于點A、D,交拋物線一于點3、C,其中點A、

B位于第一象限.

⑴若點A到拋物線口焦點的距離為2,求點A的坐標；

(2)若點A的坐標為(4,4),且線段AC的中點在x軸上，求原點。到直線/的距離；

(3)若羽=2麗，求△AOD與ABOC的面積之比.

5.設f>l,n>l,?eN,若正項數列｛〃“｝滿足;a.<%+i<。"，則稱數列｛外｝具有性質"?⑺".

⑴設根21,〃zeN,若數列10,7,m,4,3具有性質"⑵"，求滿足條件的機的值；

⑵設數列｛〃”｝的通項公式為4問是否存在?使得數列｛〃”｝具有性質"尸⑺"？若存在，求出滿

足條件的/的取值范圍，若不存在，請說明理由；

⑶設函數y=〃尤)的表達式為=ln(e*-l)-lnx,數列｛%｝的前〃項和為S”,且滿足生=|,

?,1+1=/(??)，證明：數列｛叫具有性質"尸⑶"，并比較S“與1-5的大小.

大題仿真卷06（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時：70分鐘）

就----------A組.鞏固提升------------?>

一、解答題

1.已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且&a=2csinA.

⑴求sinC的值;

⑵若c=3,求面積S的最大值.

【答案】（1）乎

⑵唯

4

【分析】（1）由正弦定理即可得sinC=E；

2

（2）由余弦定理結合重要不等式可得仍取值范圍，再由三角形的面積公式S/c=；MsinC可求出面積的

最大值.

【解析】（1）由題意可知，y/3a=2csinA,

由正弦定理得百sinA=2sinCsinA,

因為ACG（0,TC）,所以sinAwO,

BPsinC=.

2

（2）由（1）可知sinC=走，

2

所以c=m或c=g.

在VABC中，由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2ACxBCcosC,

TT

當C=§時，c=3,

9=b2+a2-lab--=b2+a2-ab>2ab-ab=ab,

2

當且僅當〃=b=3時取等號，即而49,

故VASC的面積SAABC=；〃bsinC=^-ab<^^--

當。=?時，c=3,

9=/+/+lab--=b2+a2+ab>lab+ab=3ab,

2

當且僅當4=。=有時取等號，即而43,

故VASC的面積S=—absinC=^-ab<^^--

△ABC244

綜上所述，VA5C的面積最大值為冬叵.

4

2.在如圖所示的圓錐中底面半徑為2,尸是頂點，。是底面的圓心，A、B是圓周上兩點，且OALOB.

⑴若圓錐的側面積為6兀，求圓錐的體積；

⑵設圓錐的高為2,M是線段AB上一點，且滿足PMLAB,求直線PM與平面尸08所成角的大小.

【答案】⑴手兀

(2)arctan

【分析】(1)由圓錐側面積公式求得母線長，可得圓錐的高，進而由圓錐的體積公式計算即可；

(2)由條件得點”是線段43中點，取。8中點N,則又PO1MN,所以平面尸03,

從而/MPN是直線與平面尸03所成的角，計算即可.

【解析】(1)設圓錐底面半徑為「，母線長為/,r=2,

則側面積3=?！?2兀/=6兀，解得/=3,

于是圓錐的高po=《s=芯,

圓錐的體積V」兀X2?x^=述兀.

33

(2)中，PA=PB,PMLAB,則點Af是線段A3中點,

取08中點N,連接MN,PN,則MN〃Q4,

又Q4_LO3,則M7V_LO3,

由直線尸O_L平面AOB,肱Vu平面A0B,得尸O_LACV,

結合M2V_LO3,且POnO8=O,P0,0Bu平面POB,

所以的V_L平面POB,

因此直線PN是PM在平面POB內的射影，

從而NMPN是直線PM與平面POB所成的角，

■：ON=^OB=1,PO=2,:.PN7Po'ON?=亞，

又MN=goA=l,^tanZMPN=—=J^,

2PN5

所以Z.MPN=arctan-

5

即直線PM與平面尸08所成的角為arctan

5

3.某區(qū)體育老師為了了解初中學生的性別和喜歡籃球是否有關，隨機調查了該區(qū)1000名初中學生，得到

成對樣本數據的分類統(tǒng)計結果，如下表所示:

是否喜歡籃球

性別合計

喜歡不喜歡

男生350250600

女生250150400

合計6004001000

(1)依據夕=0.05的獨立性檢驗，能否認為該區(qū)初中學生的性別與喜歡籃球有關聯(lián)；

(2)用按性別比例分配的分層隨機抽樣的方法從參與調查的，喜歡籃球的600名初中學生中抽取12名學生做

進一步調查，將這12名學生作為一個樣本，從中隨機抽取3人，用X表示隨機抽取的3人中女生的人數,

求X的分布列和數學期望.

附：參考數據

2n(ad-bc^

Z/+加+4…地+而其中n-a+b+c+d-

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴不能

(2)分布列見解析，：

【分析】(1)計算/,與。=0.05比較，根據獨立性檢驗的原理即可得結論；

(2)求出男生人數，根據超幾何分布的概率計算可得分布列，進而求得數學期望.

【解析】(1)零假設：該區(qū)初中學生的性別與喜歡籃球無關，

1000(350xl50-250x250)2(35x15-25x25)2

則/?1.736<3.84b

600x400x600x40060x4x6x4

依據a=0.05的獨立性檢驗，沒有理由認為假設不成立,

即不能認為該區(qū)初中學生的性別與喜歡籃球有關聯(lián)；

(2)由題意按性別比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取的12名學生中男生有7名，女生有5名,

則X的取值可能為：0,1,2,3,

則尸(x=o)=/=￡,P(X=1)=/21

^12^^1244,

C2cl7cjc°_1

尸(x=°)=^=至，P(X=1)

C^2-22

故X的分布列為

X0123

72171

P

44石2222

791715

數學期望雙對小石+卜石+2x至+3x"i

2

4.已知圓。:/+丫2=1,雙曲線「：尤2直線/：丫=6+6,其中％eR,6>0.

(1)當6=2時，求雙曲線「的離心率；

(2)若/與圓。相切，證明：/與雙曲線「的左右兩支各有一個公共點；

(3)設/與>軸交于點P,與圓。交于點A、B,與雙曲線「的左右兩支分別交于點C、D,四個點從左至右

依次為C、A、8、D.當％=交時，是否存在實數6,使得西?定=麗.而成立？若存在，求出6的值；

2

若不存在，說明理由.

【答案】（1）百

（2）證明見解析

2

【分析】（1）根據離心率公式即可；

（2）聯(lián)立雙曲線和直線方程，根據韋達定理即可證明；

（3）聯(lián)立圓和直線方程，得到韋達定理式和判別式，再聯(lián)立雙曲線方程和直線方程，得到韋達定理和判別

式，再將向量點乘式化成橫坐標關系，再代入化簡即可.

【解析】（1）由題意，a2=l,b2=4,所以，°2=/+〃=5,

因此，雙曲線「的離心率e=$=6

a

⑵由直線,與圓。相切‘得焉=［，即6=由＞。,

聯(lián)立

即d—2附x-26'O,

該一元二次方程的判別式△=4k乎+8b2=4b2卜2+2）＞0,

因此有兩個不相等的實數根,

且兩根之積為-2。2＜0,因此兩根一正一負,

即/與雙曲線r的左右兩支各有一個公共點.

（3）設A（玉,%）,3（%2，%）,0（電，為＞。（尤4，%），

-2kb

X+X=---y

x+y=l,得（1+左2）*2+2左6無+匕2_1=0,勺2?1+k2

聯(lián)立得

y=kx+b、'b2-l

由4＞?？傻茫?.

2kb

_/_

X2一爐j得僅2_左2卜2_2如_2〃=0,

聯(lián)立得

-2b2

y=kx+b

lb--k2>0,

4＞0且分別交于左右兩支可得

b2-k2>0.

又麗?京=麗?麗，又c、A、B、。四個點在同一直線上,

困困=1網附=募=胃

二五=&,還可得三=巴

x2x3玉x4

-2kb\2kb丫

"人b~~k2)…臨…EHTB俎._2b~_b--1

b2-l-2b2F+lk2-b2

]+k2b2-k2

%=正代入后化簡可得：4/+62一3=0,解得6=±3，由匕>0,得b=?

222

經檢驗，止匕時/與r兩支分別有交點,

b=立為唯一滿足條件的實數6.

2

【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是多次聯(lián)立，得到韋達定理，再將向量式化簡得五=①，即

x2x3

U+尤2)=(W+Z),再代入韋達定理式計算即可.

xxx2x3x4

5.九章算術是我國古代內容極為豐富的數學名著，斑斕奪目的數學知識中函數尤為耀眼，加上數列知識的

加持，猶如錦上添花.下面讓我們通過下面這題來體會函數與數列之間的聯(lián)系.已知/(x)=lnx+',

g(x)=/(x)-x.

⑴求函數〃x)的單調區(qū)間

(2)若數歹S"=e"(e為自然底數)，2=/(%)，Sn=bl+b3+b5+-+b2n_l,T“=￡b?,i,n?N*,求使得不

i=l

等式：e〃2+s“>e7；成立的正整數鼠的取值范圍

(3)數歹￡%}滿足O<G<1,c?+1=/(c?),“eN*.證明：對任意的〃eN*,g2ko.

ICn+2—Cn+3)

【答案】(1)答案見解析

(2){weN"|>e}

(3)證明見解析

【分析】(1)求導，利用導數求原函數的單調區(qū)間；

(2)利用分組求和法求S“Z，代入不等式運算求解即可;

(3)利用導數可求得當x>l時，g(x)<g⑴=0,結合根據函數/(x),g(x)的單調性分析證明.

【解析】(1)因為"r)=lnx+L定義域為(0,+s),且r(x)=L-』=4，

XXXX

令r(x)<0,解得0<x<l；令/'(x)>0,解得x><

所以函數/Xx)的單調遞減區(qū)間為(0,1),單調遞增區(qū)間為(1,+9).

(2)因為%=e",貝=/(a“)=lne“+4r="+ef,

e

可得=4+&+々---Hi=(l+e)+(3+e------1-[2〃—1+e仁〃。]

=(l+3+---+2n-l)+[e-1+e-3+---+e_(2M_1)J

〃(1+2”叫叫1-")[

2l-e-2

T*=￡*=%+4+%+…+甌=(2+e-2)+(4+L)+…+(2〃+e-2”)

i=l

=(2+4+---+2n)+(e-2+e-4???+e-2n)

n(2+2n)?叫“)[

21-e-2

即e/+/+二1一小

〃〃

對于不等式:加+Sn>eT“,>e(+l)+

整理得〃〉e,

所以使得不等式：en2+S?>e7；成立的正整數n的取值范圍卜￡N*|〃〉e}.

(3)因為g(x)=F(x)-％=lnx+L-%,的定義域為(0,+8),

x

且，，、11,-x2+x-lx2-x+lj+4c恒成立,

g(x)=------2-1=-----2—=-------2—=------f——<0

XXXXX

且g⑴=0,所以當X>1時，g(尤)<g⑴=0,

由(1)可知數"X)在(0,1)單調遞減，在(1,+8)單調遞增，

因為C]C（O,1）,所以°?=/（。）>1,c3=f（c2）>l,:"+i=/（g）＞l，

又因為g(x)<g(l)=O,則%+2-C"+1=/(C.+1)-C"+1<O,所以呢+2<c.+i，

又因為g(x)在(1,+C0)單調遞減，所以g(c“+2)>g(c?+l),

1,1,

cln

即+Inc?+2-?+2>+c”+i-c“+i,即0>cn+3-cn+2>cn+2-cn+l,

Cn+2Cn+\

所以CM-g+2>C.+2-C“+3>0,則g戶>1,所以j—「+2]<0.

Cn+2Cn+3\Cn+2~Cn+3J

【點睛】方法點睛：利用導數證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構造函數法：證明不等式〃x)>g(x)(或)(x)<g(x))轉化為證明/(x)-g(x)>0(或

“X)-g(X)<0),進而構造輔助函數Mx)=/'(X)-g⑺；

(2)適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；

(3)構造“形似”函數，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

g----------------B組?能力強化------------O

一、解答題

1.在直四棱柱ABCD-ABCQi中，ABHCD,ABLAD,AB=2,AD=3,OC=4

⑴求證：4瓦/平面。CCQ；

⑵若四棱柱ABCD-A瓦G2體積為36,求二面角A-BD-A大小.

【答案】⑴證明見解析

6,2而

(2)arctan-----

3

【分析】(1)利用直四棱柱的性質及線面平行的判定定理，可證平面A3片A〃平面DCG2,再由面面平

行的性質定理，即可得證；

(2)先根據棱柱的體積公式求得AA，再利用二面角的定義，求解即可.

【解析】(1)由題意知，AAJIDD,,

因為AA之平面DCCQ,平面。CCQ,

所以A41//平面。CCQ,

因為AB//OC,且ABC平面DCCQ,DCu平面。CCQ,

所以AB〃平面DCCQ,

又A41nAs=A,AA、ABu平面A陽A，

所以平面ABBiA//平面。CCQ,

因為ABu平面AB與4，

所以AB〃平面。CCQ.

(2)由題意知，底面A2CD為直角梯形，

所以梯形ABCD的面積S=(2+；＞3=9,

因為四棱柱ABC。-A瓦的體積為36,

所以招=m=4,

過A作AE上或)于E,連接4足，

因為例_L平面ABC。，且B￡?u平面45cD,

所以

又A41nM=A,、AEu平面也再，

所以平面相E,

因為AEu平面AA]E,所以

所以Z^EA即為二面角A.-BD-A的平面角，

在RtZkABD中，AEBD=ABAD,

e、…ABAD2x36713

所以鉆=口八=r~7=不"，

BDV22+3213

F-C|..tanZAiEA=^-=^==^^-日口,“〉.2屈

所以AE6^/1^3,即Z^EA=arctan-------，

133

故二面角A.-BD-A的大小為arctan冬叵.

3

2.已知函數/(x)=-2sin(x+2(p),|^|<^.

⑴若函數〃尤)的圖象關于y軸對稱，求。的值，并求函數〃尤)的單調減區(qū)間;

兀TT7T

(2)當。=一自時，若存在xe0,-,使等式r(x)-/(x)+加=0成立，求實數機的取值范圍.

6o2

【答案】(1)答案見解析

C1

⑵一t

【分析】(1)根據函數的對稱性求出9,再根據余弦函數的性質求出其單調遞減區(qū)間.

(2)先求出抬］,再換元,令尤)，而,等價為〃2=_/+/在我上成立，求出

二次函數的最值即得解.

【解析】(1)因為函數〃x)=-2sin(x+2叫的圖象關于y軸對稱,

所以功J+EhZ'解得

又|夕|<］，所以展:或9=_

當。弋時，/(x)=-2sinfx+j=-2cosx,

所以"%)的單調減區(qū)間為［-兀+2E,2E］,林Z；

當夕=_:時,/(x)=-2sin2cosx,

所以/(X)的單調減區(qū)間為［2E,71+2E］,keZ；

綜上可得：當。弋時“對的單調減區(qū)間為［-兀+2E,2E］,左eZ；

當9=一：時〃x)的單調減區(qū)間為［2杭兀+2E］,keZ.

71

(2)當/=-/時/(x)=-2sinX~~

6

因為無e，所以-gwx-gvg,

_2J336

/.~~~-sin［--1--2sin^x-y^<A/3

所以〃x)e［T,括］,令/=〃x),

則等式fW-/(x)+m=0成立等價為機=_/+/在，已［-1,道］上成立,

2/1丫1

m=—t+t=—\t—H—，

I2j4

當，=一1時，機取得最小值-2；當/時，加取得最大值;,

24

故機的取值范圍是-4

3.某校準備在體育鍛煉時間提供三項體育活動供學生選擇.為了解該校學生對“三項體育活動中要有籃球”

這種觀點的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機調查了200名學生，得到的反饋數據如下：（單位：人）

男生女生合計

同意7050120

不同意305080

合計100100200

（1）能否有95%的把握認為學生對“三項體育活動中要有籃球”這種觀點的態(tài)度與性別有關？

（2）假設現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項體育活動供學生選擇.

①若甲、乙兩名學生從這三項運動中隨機選一種假設他們選擇各項運動的概率相同并且相互獨立互不影

響.記事件A為“學生甲選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球”，求P（3|A）,并判斷事件

A,8是否獨立，請說明理由.

②若該校所有學生每分鐘跳繩個數X?N（185,169）.根據往年經驗，該校學生經過訓練后，跳繩個數都有

明顯進步.假設經過訓練后每人每分鐘跳繩個數比開始時個數均增加10個，若該校有1000名學生，請預

估經過訓練后該校每分鐘跳169個以上的學生人數（結果四舍五入到整數）.

參考公式和數據：犬~"叱尸）其中〃=4+b+c+d,P（2>3.841）^0.05.若

［a+b）［c+d）［a+c）［b+d）'Z'

X?N（",吟,P（|X-//|<cr）~0.6827,尸2cr）。0.9545,尸<3cr）=0,9973.

【答案】（1）有關

2

⑵①尸（例㈤=§,不獨立，理由見解析；②977

【分析】（1）計算出卡方，即可判斷；

（2）①求出尸（A）,尸⑻，P（BA）,再由條件概率公式求出尸（8|A）,由相互獨立事件的定義即可判斷；

②由已知，經過訓練后每人每分鐘跳繩個數XLN（195,169）,根據正態(tài)分布的性質求出尸（%>182）,從而

估計出人數.

【解析】（1）提出假設凡,：學生對該問題的態(tài)度與性別無關.

根據列聯(lián)表中的數據可求得，K2=200x（70*50-50x30）2=25?8.333>3.841.

120x80x100x1003

因為當”0成立時，K2之3.841的概率約為0.05,

所以有95%的把握認為，學生對該觀點的態(tài)度與性別有關.

（2）①因為事件A為“學生甲選擇足球”，事件B為“甲、乙兩名學生都沒有選擇籃球”,

所以事件為“學生甲選擇足球，學生乙不選擇籃球”，

17?419?

所以尸（A）="P（B）=-x-=-,P（AB）=-x-=-,

2

P（AB）9..2

所以尸（叫A）=

P（A）=J=3

3

因為尸（AB）WP（A）P（B）,所以事件A、B不獨立.

②記經過訓練后每人每分鐘跳繩個數為X-

由已知，經過訓練后每人每分鐘跳繩個數及?N（195,169）.

因為169=195-26,所以尸（%>169）=P（X|>〃一2b）=；+；xO.9545=0.97725.

所以0.97725x1000=977.257977（人）.

所以經過訓練后該校每分鐘跳169個以上人數約為977.

22

4.已知橢圓C:土+2=1（0<6<2）,設過點A（l,0）的直線/交橢圓C于M,N兩點，交直線尤=4于點P,點

4b1

E為直線％=1上不同于點A的任意一點.

（1）橢圓C的離心率為《，求6的值；

⑵若求6的取值范圍；

（3）若6=1,記直線EM,EN,EP的斜率分別為匕,網,問是否存在k2,網的某種排列的,ki2,

如（其中&%%}={1，2,3},使得如，ki2,&3成等差數列或等比數列？若存在，寫出結論，并加以證明；

若不存在，說明理由.

【答案】⑴/

⑵詆2）

（3）左，%，心或勺，《成等差數列

c1

【分析】（1）根據題意可得。=2,結合e=￡=求得c,進而求得8；

a2

（2）設點加（%,%）,表示出|AM|,結合可得玉4^^,結合-W2可得不等式，即可求得答

4—Z?

案；

（3）設點EQJ）,辦0,①若直線/斜率為0,直接驗證；②直線/斜率不為0,設直線/：尤=盛+1（切片。），

3

/\/\7Vi—,%一/——t

N（w，%）,貝岫=trr，^=TT7,k3-mt,與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理求

%]1%21鼠3m__

33m

解.

【解析】(1)由題意知，/=4,故。=2,

「1_____

又離心率e="=5，故c=l,于是bNa2-c2=行

22

(2)設點加國M),其中血+與=1,一2V為V2且無產1,

4b

2bZ2b2

，只需24

4-b24-b2

又0<6<2,故應。<2,

所以6的取值范圍是[五,2).

(3)人,月，心或履，匕，K成等差數列,證明如下:

若6=1,則C：H+y2=i,設點口1/）,”0.

4

①若直線/斜率為0,則點尸(4,0),不妨令點M(2,0),N(-2,0),

則％1=—，，k[=q,k3=——,止匕時后1,k2,%的任意排列勺1，勺2,%13均不成等比數列，k[,/，&或左2,

%，K成等差數列.

3

②直線/斜率不為0,設直線/：x=7"y+l(〃zw0),N(X2M,則點尸|4,

m

x=my+1

由2得（機之+4）/+2沖_3=0,A=16（m2+3）＞0,

14'

-2m

故M+%=

%%=版+4'

3

,y,—t,%—t——t

因為網=一，3-mt

%k=31_3f

3m

,,y.-ty-ty,-ty-t

所以…=岸+Q什R版9

二%(%-，)+。(%-。=2%%一心+必)

町為my^2

-62mt

=療+4+/+4=6-2制=2k,

-3m3m3,

m2+4

所以K，3h或與,所凡成等差數列.

綜合上述,%,%，92或右,月，匕成等差數列.

【點睛】關鍵點睛：本題第三問與數列進行了綜合，關鍵在于判斷出結論，進而證明.先由直線/斜率為o

時，直接驗證尢，%,右或右,k3,左成等差數列；直線/斜率不為。時，結合直線方程聯(lián)立橢圓方程，利

用根與系數的關系結合進行化簡驗證.

5.設函數y=f(x)的定義域為。，若存在實數3使得對于任意xeD,都有則稱函數y=/(x)

有上界，實數上的最小值為函數y=〃x)的上確界；記集合以={〃x)>=與在區(qū)間(0,+8)上是嚴格增

函數};

2

(1)求函數y=——-(2<%<6)的上確界；

無一1

(2)若/(x)=x3一版2+2xlnxeM],求〃的最大值；

⑶設函數y=一定義域為(。,+巧；若〃x)e“2,且y=f("有上界，求證：/(%)<0,且存在函數

y=〃"，它的上確界為o；

【答案】(1)2

(2)4

(3)證明見解析

【分析】(1)由函數的單調性求出值域再根據題意可得；

(2)求出的表達式，求導，再利用y=?在(0,+“)上嚴格遞增得到導函數大于等于零恒成立，

XX

然后利用基本不等式求出最小值即可；

(3)假設存在，由單調性可得J〉](I〉0，再取兀2>玉，且%2〉\可得I。)>"2J’推出

①②互相矛盾，然后令/(%)=-工,%>0,根據題意求出值域最后確定上確界即可.

X

o

【解析】(1)因為函數>=「在區(qū)間(2,6)上嚴格遞減，

所以函數>=27(2<%<6)的值域為仔,21，

X-115)

2

所以函數y=--(2<x<6)的上確界為2.

x-1

(2)y==x2-to+21nx,y'=2無一/z+2,x>0,

xx

因為記集合Mn={f(x)y=坐在區(qū)間(0,+8)上是嚴格增函數},

所以yN0恒成立，

因為2x-〃+2w2j2xx2-/z=4-/z,當且僅當x=l時取等號，所以Y4,

xVx

所以分的最大值為4.

(3)證明：因為函數y=〃x)有上界，設〃力《人,

假設存在不?。,+°°),使得/(尤o)上。，

設%＞為,

因為y=/(x)eM2,所以y=駕在(0,+8)上嚴格遞增，進而工里＞上出＞0,

X玉豌)

得/(現(xiàn))>0水>0,

取…，且。扁，

由于工2＞玉，得至!J/y＞/(J，①

x2%

1

由。忌，得與＞9號'②

顯然①②兩式矛盾，所以假設不成立,

即對任意x?0,+oo),均有〃x)＜0,

令"一%＞。，則—T

3

因為當%＞o時，y=—＞o,

%

所以y=4在(0,+8)上嚴格遞增，y=/(x)eM2,

x

因為/(%)=-L%＞。的值域為(-°°,o)，

x

所以函數〃尤)=-工的上確界為零.

X

【點睛】關鍵點點睛:

(1)第二問的關鍵是導函數大于等于零恒成立，用基本不等式求解;

Ikx；再得到與與當馬>%,得

(2)第三問關鍵是根據不等式的結構能夠想到取馬>

yfM玉x2x2

到等〉等矛盾.

o-----------c組?高分突破-----------<>

一、解答題

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為正方形，側面