參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A

2022級高三校際聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)

2025.4

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合/=-14x41},5={x|x2-4xrf0},則4nB=()

A.[0,1]B.[-1,4]C.[-1,0]D.[1,4]

2.已知復(fù)數(shù)z=」在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(1,-2),則實數(shù)0=()

1

A.1B.-1C.2D.-2

3.“l(fā)ogjQloga”是“a>b>0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知一組樣本數(shù)據(jù)為，％,x3,匕，毛恰好構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，則這組數(shù)據(jù)的方

差為()

A.30B.40C.50D.60

5.如圖，已知同一平而上的三條直線a,b,c相交于同一點。，兩兩夾角均為60。，點，，

3分別在直線。，6上，>|ft4|=|OS|^0,設(shè)礪=2刀+〃礪，若點P落在陰影部分(不含

邊界)，則下列結(jié)論正確的是()

試卷第1頁，共4頁

A.A>//>0B.A<//<0C.A>-//>0D.一">A>0

6.將5名志愿者隨機分配到3個項目（衛(wèi)生、宣傳、審計）服務(wù)，衛(wèi)生項目與宣傳項目各分

配2名志愿者，審計項目只需1名志愿者，則不同的分配方案共有（）

A.30種B.60種C.90種D.180種

(1一3〃)％+5%X<1

7.已知函數(shù)/（%）=2的值域為R，則實數(shù)。的取值范圍是（）

log5X,

j_￡

A.B.一oo,§C.-,+00D.

3253

8.已知數(shù)列{%}的通項公式1,在每相鄰兩項以,以+i之間插入2%個2（左cN*）,

使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列也〃},記數(shù)列{?}的前〃項和為則2150成立

的n的最小值為（）

A.20B.21C.22D.23

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知樣本空間。={5,6,7,8},其中每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，事件4={5,6},5={5,7},

C={5,8},則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件4與事件5互斥B.事件5與事件。相互獨立

C.P(ABC)=尸⑷尸(5)尸(C)D.P(A\C)=P(C\A)

10.已知函數(shù)/(x)=|sinx|-6cosx,則()

A./（x）是偶函數(shù)B./（x）的最小正周期是兀

7T

C./（%）的值域為[-6,2]D./（X）在兀上單調(diào)遞增

11.在三棱錐。-45。中，V45C是邊長為正的正三角形，AD=BD=CD=1,P為其表

面上一點，記點尸與四個頂點45的距離分別為4,B,W,Z，則下列結(jié)論正確的是（）

試卷第2頁，共4頁

A.該三棱錐的外接球的表面積為3兀

B.若&=〃，%=4,則點尸存在且唯一

C.若&+刈=2,則%+4的最小值為近

7

D.d；+慮的最小值為]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知tana=',貝|sin2a=.

2--------

13.已知OO:X2+J?=16與x軸相交于C,。兩點，點/(_26,0),以48為直徑的圓與0。

內(nèi)切，則△BCD面積的最大值為.

14.定義在區(qū)間。上的函數(shù)y=/(x),若存在正數(shù)K,對任意的A&e。，不等式

1/(三)-/(工2)區(qū)K|X]I恒成立，則稱函數(shù)V=/(x)在區(qū)間。上滿足K-條件.若函數(shù)

/(x)=(x+l)lnx-2x+2在區(qū)間-,1上滿足K-條件，則K的最小值為________.

e_

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

15.記VN8C的內(nèi)角Z,5,C的對邊分別為a,6,c,已知gasinC+acosC-6=c

⑴求A；

(2)設(shè)的中點為。，若CD=a=布,求V48c的面積.

16.如圖，在三棱柱48c中，ZACB=90°,AXC1AB,AC=\,AA{=2,ZA,AC=6QP.

(1)求證：平面/cc/~L平面/BC；

(2)若直線34與平面BCCS所成角的正弦值為無，求平面片與平面8CC百所成角的

4

余弦值.

試卷第3頁，共4頁

2

17.已知函數(shù)/(x)=alnx+——-(aeR).

(1)當(dāng)。=1時，求曲線了=/(%)在點(1,7(1))處的切線方程；

(2)若方程〃x)-1=0有3個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.

18.在平面直角坐標系xOy中，過點河(2,0)的直線/與拋物線C:j?=2?;(0>0)交于N,B

兩點，當(dāng)直線/平行于y軸時，|/31=4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/的斜率存在，直線N。與直線》=-2相交于點。，過點8且與拋物線。相切的直

線交x軸于點E.

(i)證明：ZDEO+ZBMO=n-,

(ii)是否存在直線/使得四邊形/皿E的面積為￡?若存在，說明直線/有幾條；若不存

2

在，請說明理由.

19.設(shè)〃eN,數(shù)對(X,,%)按照如下方式生成：①規(guī)定(兄”)=(1,1)；②拋擲一枚質(zhì)地均勻的

硬幣，當(dāng)硬幣正面朝上時，X"M=X“+1,當(dāng)硬幣反面朝上時，射=匕+1,

=JX"+1/>X"

X向

(1)寫出數(shù)對(工必)的所有可能結(jié)果;

(2)當(dāng)〃21時，記匕=匕的概率為月.

(i)求￡及勺的最大值;

(ii)設(shè)X”的數(shù)學(xué)期望為E,,求E“.

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】解一元二次不等式求出集合8,再求交集即可.

【詳解】易知f-4x=尤(尤-4)40,解之得xe[o,4],即/=[-1,1],8=[0,4],

所以/c8=[0』.

故選：A

2.D

【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.

【詳解】因為2=匕@=魚少=士?=l+ai,

ii2-1

所以復(fù)數(shù)2=三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(1,a),

所以a=—2.

故選：D.

3.A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和條件的判斷方法進行判斷.

【詳解】因為函數(shù)>=10g3%在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以log3a>log3b等價于a>b>0f

所以“l(fā)og3a>log3b”是“Q>b>0”的充要條件.

故選：A

4.C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及平均值求法得均值為％3,再應(yīng)用方差公式求方差即可.

,，口G門一X,++X,++Xrx,-10+x,-5+x,+%o+5+x,+10

【詳解】由題設(shè)％二」一-一j~~-~~-=--------------j-----------二/，

所以O(shè)(X)二區(qū)一二尸+小一七>+小一小尸+5一%3)2+(￡-MA

100+25+0+25+1009

=-------------------=50.

5

故選：C

5.C

【分析】由題意，結(jié)合圖形，易得4〉0,〃<0,且0°<〈歷,方〉<60°,設(shè)|厲|=|歷=加>0,

答案第1頁，共16頁

求出|麗|=加"2+2〃+〃2，由瓦?方的兩種表示式整理得到cos〈麗，次〉=2

,1

從而建立不等式12尸一<],解之即得.

2J.2+

【詳解】設(shè)|方|=|麗上冽>0依題意，（9^<95=m2cos60°=^m2,

因點P落在陰影部分（不含邊界），且麗=4厲+4無，易得丸〉0,4<0,且

0。<〈配的<60。,

由尸『nUON+4OHynaZ^^^+zZ^x/冽Z+H^^umZiaNM"十",可得

|OP|=加J分++〃2,

由赤.方二|麗|?|a|coK而R=加2，%+dc詆?麗，

又麗.刀=(2刀+"函.刀=幾|OAf+JLLOAOB=0+〃)病，

故可得：加2d"+4〃+〃2COS(OP,04)=0+—jLl)后,

。1

A+—//------?——?

即cos〈歷，次〉=2,因0。<〈。尸,。4〉<60。，

次+切+/

01

]---??1AHU.

則一<cos<OP,OA)<1,即<2___<1,

22J.2+加+〃2

,1

由2戶>1,可得4(2+—4)2>分+沏+〃2,整理得：2(2+A)>0,

"力+.+Y22

因丸〉0,故得4+〃>0,即4>一〃>0；

2+1

由2“_V],可得(4~1---")2<丸2+4/+//2,整理得：〃2〉0顯然成立.

6+M+〃22

綜上分析，可得力>-4>0.

故選：c.

6.A

【分析】利用分步計數(shù)原理和組合數(shù)計算.

【詳解】先從5名志愿者選2名參加衛(wèi)生項目，有仁=5號x4=10種,

答案第2頁，共16頁

再在剩下的3人中選2人參加宣傳項目，有C；=號=3種，

剩下的1名志愿者參加審計項目，

所以共有10x3x1=30種分配方案.

故選：A

7.D

【分析】當(dāng)XN1時，〃x)=logE單調(diào)遞增，所以值域為：［0,+8),由分段函數(shù)的值域為R,

所以當(dāng)x<l時，〃x)=(l-3a)x+5a的取值包含(-*0)的每一個取值，求解參數(shù)。的取值范

圍即可.

(1-3Q)X+5Q,x<l

【詳解】因為函數(shù)/□)=

x>l

log5x,

當(dāng)xNl時，/(x)=log5%單調(diào)遞增，所以值域為：［0,+°°),

要使得分段函數(shù)的值域為R,

貝!J當(dāng)x<1時，/?=(1-30x+5a的取值包含(-叫0)的每一個取值,

_1—3a〉0,解得十V，

所以j(l-3a)xl+5a20

故選：D

8.B

【分析】根據(jù)已知列舉出收｝的項，再根據(jù)數(shù)列構(gòu)成求SQ$=S20+2,即可得.

【詳解】由題設(shè)，數(shù)列｛?｝各項依次為2,岳，8,七弓,26,七80,上工，242，上三

2481632

當(dāng)〃二20時，S2Q-2+2x2+8+2x4+26+2x8+80+2x2=148,

當(dāng)〃=21時，S2l=520+2=150,

所以S,?150成立的”的最小值為21.

故選：B

9.BD

【分析】根據(jù)已知及互斥事件定義判斷A；由已知得尸(BC)=尸(/C)=P(/3C)=J、

~/)=尸(0=尸(C)=g,根據(jù)獨立事件的判定、條件概率公式判斷B、C、D.

答案第3頁，共16頁

【詳解】由《口2={5},即48不是互斥事件，A錯;

由8nc={5},貝IJP(8C)=1且P(8)=P(C)=L,故PCBC)=P(2)P(C),B對；

42

由/n8nc={5},則尸(N3C)=1，且P(4)=L顯然玖/3C)wP(/)P(3)P(C),C錯；

42

由/口。={5},則R/C)=：,故//|。)=琮*=；=禁1=P(C|/),D對.

故選：BD

10.AC

【分析】利用奇偶性定義判斷A；由奇偶對稱性，只需寫出x?0上〃x)解析式，畫出部分

圖象分析判斷B、C、D即可.

【詳解】函數(shù)的定義域為R,且/(-；1)=511(-；1)[-7§'4：05(-》)=511刈-64：05彳=/"(工)，

所以“X)是偶函數(shù)，A對；

.71

2sin(x----),2kK<x<n+2kn

在X20上/(X)=<，左EN,

/(%)在[2E,—+2kn],kGN上單調(diào)遞增，在[—+2hr,兀+2kli\,kGN上單調(diào)遞減，

66

兀兀

/(X)在[(1+2左)國7口+2E],左eN上單調(diào)遞增，在[7二+2標,(2+2左)兀,]/eN上單調(diào)遞減,

66

函數(shù)部分圖象如下(注意偶函數(shù)的對稱性)，

2..

577\戲77\.47r胃

。/兀7/3兀「

-73

由圖知，所以“X)的最小正周期為如，值域為2],B錯、C對；

由/(")=2sin(當(dāng)-；)=2且^＜絲＜兀，結(jié)合圖知〃x)在[，/上不單調(diào)，D錯.

66336_

故選：AC

11.ACD

【分析】A：通過正方體外接球即可判斷；B：找出線段的中垂面與線段3C的中垂面的

交線與表面的交點即可；C：確定滿足4+〃=2的點尸的軌跡是以4。為焦點的橢球面與

三棱錐的表面的截線，然后判定線段5c與橢球面必有交點，即可得到刈+外最小值為亞，

答案第4頁，共16頁

從而判斷C正確；D：建立空間坐標系，設(shè)尸(尤)/),確定x，y，z滿足的條件，用x,y,z可

以表示四個距離的平方和，由對稱性只需討論點?在面/CD內(nèi)和尸在面內(nèi)兩種情況，

利用配方法和不等式方法可求最小值，然后比較得到總得最小值，從而判定D正確.

【詳解】

由/D=3D=CD=1,△/8C是邊長為近的正三角形，

結(jié)合勾股定理易知50,CD兩兩垂直，

所以該三棱錐的外接球即為棱長為1的正方體的外接球，易知球的直徑為打，

(6丫

所以外接球的表面積為47rx2=3兀，A正確；

I2J

因4=慮,由="3，則P為線段40的中垂面與線段8C的中垂面的交線與表面的交點，如圖,

有兩個點用心，故B錯誤；

對于C：取8c的中點￡,易得DE=亙,AE=四,

22

設(shè)點片在面/CD上，|為4|+憶必=2>|40|=1,

故點片在以4。為焦點，2為長軸長的橢圓上，.

而|8|+3|=1+收>2,故點C在橢圓外，

在空間中將該橢圓繞AD旋轉(zhuǎn)一周得到橢球面，則橢球面上任一點尸都『訓(xùn)+|尸=2,

由于點P必須是三棱錐的表面上的一點，所以點P的軌跡是上述橢球面與該三棱錐的表面的

答案第5頁，共16頁

截線.

而|胡|+|叫=也土區(qū)<2,故點E在橢球面內(nèi),

因為怛/|+忸。|=1+C>2,所以8也在橢球面外，

因此線段8C與橢球面必有2個不同交點用2，

耳￡兩點中的任意一點到3,C的距離之和4+W都等于忸。|=加，

根據(jù)兩點之間線段距離最短，其余的點P到B,C的距離之和d2+d3都大于忸C|=V2,

故"2+4的最小值為近，故C正確；

如圖建立空間直角坐標系，則4(0,0,1),8(1,0,0),C(0,1,0),。(0,0,0),

設(shè)尸(x,y,z),貝!|d；+因=4x2-2x+l+4y2-2y+l+4z2-2z+l.

①若點P在坐標平面上，由對稱性，不妨設(shè)Pe平面/CD,則x=0,04”l,0WzWl,

0<y+z<l,止匕時力+/+/+4=4y2_2y+4z2_2z+3=4(y_；j+4^z-^+|>|,

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；

②若點尸e平面ABC,平面ABC的法向量為n=(1,1,1),

由五.崩=0得x+v+z=l,<0<x<l,0<^<l,0<z<l,消去X整理得

d；+d；+d；+d：—8(,2+z2+yz-y-z)+5—8[(>+z)2-(y+z)-yz]+5

因

貝!Jdy+d\6(y+z)2—8(y+z)+5=6

答案第6頁，共16頁

當(dāng)且僅當(dāng)尸5時取等號.

7

綜上，t/f+d1+,故D正確.

故選：ACD

12.d

.A/5,V5

ysma=——sintz=------

1.2255

【詳解】試題分析:?「tana=—,sina+cosa=1,/.{廠或{r-

22V52V5

cosa=-----cosa=--------

55

sin2a=3

5

考點：（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2）二倍角公式

13.8

【分析】由兩圓內(nèi)切可以判定得到5的軌跡方程為橢圓，根據(jù)橢圓的性質(zhì)即可確定ZB。最

大值.

【詳解】

如圖，設(shè)以為直徑的圓的圓心為E,尸（2內(nèi),0卜

因為兩圓內(nèi)切，所以|。回=4-:忸4，

又OE為△/昉的中位線，所以|。同=；忸同，

所以:忸尸|=4一;阿卜|S/|+忸［=8>4括"，

所以B的軌跡為以A,尸為焦點的橢圓，

2a=8na=4,c=2班=b=?-6=展-12=2，

顯然當(dāng)3為橢圓短軸頂點即（0,±2）時，5迎的面積最大,

答案第7頁，共16頁

最大值為g忸O|x|cr>|=；X2X8=8.

故答案為：8

14.e-2

【分析】先求出y=f(尤)在區(qū)間的單調(diào)性，再結(jié)合K-條件的定義進行分析，從而求K

e_

的取值范圍，即可求出K的最小值.

【詳解】因為/'(x)=lnx+(x+l)---2=lnx+--1,

XX

令g(x)=lnx+l_1,=

XXXX

當(dāng)xe1,1時，g,(x)<0,所以g(x)在1,1上單調(diào)遞減，

又因為g(l)=O,所以g(x"O在1,1上恒成立，

所以廣(x"0,則/"(x)在1,1上單調(diào)遞增，

-<X]<x2<1,所以/'(不)</(%2),

e

若函數(shù)〃x)=(x+l)lnx-2x+2在區(qū)間-,1上滿足K-條件

e

因此|/(%)-/6)怪|對任意再戶2e-,1恒成立，

e

所以/'02)-/(再)4人(七-西)對任意X],%e恒成立，

則/(x)-Xx,<”否)-g對任意國,9e-J恒成立，

2e

令%(x)=/(x)-Kx,所以在1,1上單調(diào)遞減，

〃(x)=-(x)-K40在±1恒成立，所以K21nx+,_l=g(x),

_c_X

又因為g(x)在上單調(diào)遞減，g(x)max=g]]=ln：+e-l=e-2.

所以K2e-2,所以K的最小值為e-2.

故答案為：e-2.

15.⑴/后

⑵半

2

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換求解即可；

(2)利用無=0+25和Q=0+在和向量數(shù)量積的運算律聯(lián)立解出國和|回，再

答案第8頁，共16頁

根據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【詳解】（1）因為v48。的內(nèi)角4民。的對邊分別為。也c,GasinC+acosC-b=c，

所以由正弦定理邊化角可得J^sinZsinC+sin/cosC-sin3=sinC?，

又因為VZBC中3=兀一（力+C）,所以

sin8=sin［兀一（4+C）］=sin（/+C）=sinAcosC+sinCcosA（2）,

將②式代入①式可得百sin/sinC-sinCcos/=sinC,

因為4?！辏?,兀），sinCwO,

所以6sin4—cos/=2^^sin4-；cos/=2sin^J-=1,即sin（4一：

因為所以/一￡=￡，/

6166J663

（2）因為。為中點，CD=a=不,

C

--------2/---------------

所以CD=\CA+AD

CB=CA+AB-4|^C||2D|COS|-+4|JD[=7④,

③④聯(lián)立解得以。=1，AC\=3,

所以|4B|=2,V4BC的面積S=網(wǎng)sin

16.(1)證明見解析;

【分析】(1)由已知得NCL4C,應(yīng)用線面垂直的判定證明4CL面/3C,再由面面垂直

的判定證明結(jié)論；

(2)根據(jù)已知構(gòu)建合適的空間直角坐標系，根據(jù)線面角的正弦值及向量法求得8C=百，

進而確定相關(guān)向量的具體坐標，最后應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.

答案第9頁，共16頁

【詳解】(1)在△44C中24/C=60。，AC=1,44]=2,則

22

4c=yjAC+A{A-2AC-AtAcosZA.AC=6,

所以NC2+4C2=/42,則/c_L4C,

由4CJ_/3,/3c/C=/都在面NBC內(nèi)，則4c，面48(7,

又4Cu面ACQ4，所以面ACC,AX±面ABC；

(2)由(1)及NACB=90°,即4C/C,8c兩兩垂直，

以C為原點，4C/C,8C為x/,z軸建立空間直角坐標系，如下圖示,

設(shè)8C=無>0,由(1)4c=6,則4(0,0,百),3(0,左,0),。(0,0,0)6(-1,0,百),

所以罰=(0,-4,6),e=(O,k,O),cq=(-i,o,A/3),

_inCB=@=0「，

若加=(x,y,z)是面BCC4的一個法向量，則{一——?廠，取％=百，則

mCCX=-x+v3z=0

m=(^3,0,1)，

設(shè)直線M與面8CC4所成角為e,則sine=|，"二|=/@=乎,

\BAX||m|J/+3x24

所以左=6，貝U瓦/=(0,—百,百)，

在ABC-431cl中BBJ/CQ,則函=出=(-1,0,G),

若〃=(a,b,c)是面4/網(wǎng)的一個法向量,則〈r，取c=1,貝!I〃=(百,1,1),

iiBBl=-a+j3c=0

設(shè)面AtABBt與面5CG4所成角為a,則cosa=|MJ|=北罕=至.

\m\\n\2xV55

答案第10頁，共16頁

17.(l)x-2j+l=0

⑵陷

【分析】(1)當(dāng)。=1時，求出1(1)、/。)的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出所求切線的方

程；

(2)令g(x)=〃x)-l,對實數(shù)。的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(無)在定義域

上的單調(diào)性，確定每種情況下函數(shù)g(x)的零點個數(shù)，并結(jié)合零點存在定理可得出實數(shù)。的

取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(》)=111》+2^的定義域為(0,+8),

所以八x)4-島，

2

又因為/⑴=1口1+二二=1,所以切點為(LD,

所以曲線了=/")在點(1J⑴)處的切線方程為：J-1=1(X-1),

化簡可得：x-2y+l=0.

2

(2)令g(x)=/(x)-l=alnx+^^-l,

函數(shù)g(x)的定義域為(0,+8),

，/、a2?(x+l)2-2xax2+(2a-2+tz

gx(x+1)2x(x+1)2x(￥+1J

①當(dāng)QWO時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+")上單調(diào)遞減，

函數(shù)g(x)至多一個零點，不合題意；

②當(dāng)〃>0時，設(shè)函數(shù)力(1)=辦2+(2Q—2)X+Q,A=(2a—2)2-4a2=-Sa+4,

當(dāng)心；時，A<0,即〃(x)“對任意的x>0恒成立，即g'(x)“，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+s)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)至多一個零點，不合題意；

當(dāng)0<a<g時，因為A=-8a+4>0,所以方程辦2+(2a-2)x+a=0有兩個實數(shù)根反、%，

2

且滿足再+工2=——2>0,x1x2=1,

答案第11頁，共16頁

不妨設(shè)尤1<X2，則/'(X)、/(X)的情況如下:

（O,xJ（西⑷x2（孫+°°）

/'(X)+0-0+

/(X)增極大值減極小值增

所以函數(shù)〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,再)、(%,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(國,/).

因為g(l)=O,所以1為g(x)的一個零點.

又g(xj>g⑴=0,0<e1<i,且/e"=NJ<0,

IJe。+1

所以存在唯一實數(shù)內(nèi)(0,1),使得g(fj=o.

(2

又g(x2)<g(l)=0，1〉1，且/=

I)ea+1

所以存在唯一實數(shù)為?1，+8)，使得g&)=0.

所以函數(shù)g(x)有3個不同的零點，方程〃x)-1=0有3個不同的實數(shù)解，

綜上，0的取值范圍為(o,￡|.

18.(1)/=2x；

⑵⑴證明見解析；(ii)存在，4條.

【分析】(1)根據(jù)已知有點(2,2)在拋物線上，代入拋物線求參數(shù)，即可得方程；

(2)(i)設(shè)/：工=叩+2〃"片0),/(網(wǎng),％),8&2/2)，乂>。>%，聯(lián)立直線與拋物線并應(yīng)用

韋達定理得M+%=2〃7,%%=-4,導(dǎo)數(shù)的幾何意義求B點處切線方程，且。=

x\

進而得到￡(-苧,0)、。(-2,-()，易得///DE,即可證；

(ii)連接由(i)得。(-2,%),則有四邊形。卸座為平行四邊形，再由

v34V3415

^ABDE-^DBME+AEM~~~^2---且%<。，結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)研究-管一”2=彳根

2%2%2

答案第12頁，共16頁

的個數(shù)，即可得.

【詳解】(1)當(dāng)直線〃。軸時M8|=4,則點(2,2)在拋物線上，故4=4pnp=l,

所以拋物線方程為V=2x；

(2)(i)由題設(shè)，直線/的斜率存在且不為0,設(shè)/:x=〃沙+2(機力0),則斜率七B='，

m

/、\x=my+2

右4(項,%),夙工2,%)，y>0>%，聯(lián)乂{c，得y-2叼—4=0,

——-卜2=2x

所以％+%=2機，=-4,

lJ?V2V2V21

由丫=-，^,則了=---廣,故B點處切線斜率為一7~尸=--^-x-rT=一，

,2G2"22J貨%

所以對應(yīng)切線方程為y=L(x-元,)+乃=—(X-

外為

令y=0=X=-￡,故頤音，0),

由吟件令則k一.=?=44

故。(一2,----),

必

_￡

所以自￡=一^882」

4%一為達4%+4%必+%m'

-2+及

2

4

(ii)連接4瓦勖,由⑴得。(一2,——),乂%=—4,則〉(—2,%),

必

又BQ2,%)，所以助〃無軸，即四邊形。的座為平行四邊形,

)

所以SABDE=SDBME^4EM=(2-4(|%|+g/)=(2+})

答案第13頁，共16頁

若四邊形/以用的面積為導(dǎo)則-3%-3=?，整理得H+6貨+15%+8=0,

22%2

令/(x)=x”+6*+15x+8且x<0,貝U/V)=4x3+12x+15,

令g(x)=/'(x),則8@)=12/+12>0,故g(x)=f'(x)在(Y?,0)上單調(diào)遞增,

1171

又/X-1)=-1<0<f\--)=y,所以丸e(-1,一萬)使/U)=0，

在(-CO,%)上/'(x)<0,/(X)在(-00,%)上單調(diào)遞減，

在直,0)上f'(x)>0,f(x)在(x0,0)上單調(diào)遞增，

1331

而八-1)=。>/&),/(--)=77>存在叫€(尤”一彳)使/⑷=0,

2162

所以“X)在(3,0)上