大題仿真卷02（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）

艙--------------A組.鞏固提升-----------*

一、解答題

1.設(shè)0A3c的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知/一=gsinC.

⑴求角B；

⑵若13ABe的面積為3vL求a.

2.如圖，在三棱錐P—ABC中ACJLBC,平面R4C_L平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分別

是PC,PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線/.

（1）求證：直線EF_L平面PAC；

⑵若直線/上存在一點(diǎn)。（與B都在AC的同側(cè)），且直線尸。與直線跖所成的角為1,求平面依。與平面

AE尸所成的銳二面角的余弦值.

3.某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，

記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

⑴估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

（2）一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

（i）記X為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望同X］；

（ii）如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)

的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與（i）中研X］估計(jì)值的大小.

4.已知橢圓「；+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為耳鳥,A,2分別為r的上，下頂點(diǎn)，網(wǎng)為X）,0（々/2）是「上

不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn).

⑴求I耳劇的值;

⑵記△尸片八心尸爪?的面積分別為邑，若5<邑，求4的取值范圍；

⑶若直線AP與AQ的斜率之和為2,作AHLPQ,垂足為H,試問：點(diǎn)H是否在一個(gè)定圓上？若是，求出

該圓的方程；若不是，說明理由.

5.對(duì)于一個(gè)函數(shù)“元)和一個(gè)點(diǎn)加(。力)，令s(x)=(x—a)2+(〃x)—6)2,若可毛,〃/))是s(x)取到最小

值的點(diǎn)，則稱尸是“在f(x)的"最近點(diǎn)”.

(1)對(duì)于/(%)=5(x>0)，求證：對(duì)于點(diǎn)〃(0,0),存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)P是M在〃尤)的"最近點(diǎn)”；

⑵對(duì)于〃力=1,"(1,。)，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)P,它是M在〃尤)的“最近點(diǎn)”，且直線MP與>=/(尤)在

點(diǎn)尸處的切線垂直；

⑶已知y=/(x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)r(x),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正,設(shè)點(diǎn)M(Tf⑺-g(t)),

+若對(duì)任意的fcR,存在點(diǎn)P同時(shí)是在的“最近點(diǎn)"，試判斷f(x)的單調(diào)

性.

?>-------------B組?能力強(qiáng)化----------<>

一、解答題

1.如圖所示四棱錐尸一ABCD,其中AB=AD=AP="CB=CD=CP=2yf5,AC交BD于點(diǎn)、0.

⑴求證：AC±^PBD；

⑵若AC=5,PB=2及,點(diǎn)Q是線段尸C的中點(diǎn)，求直線8。與平面己4￡>所成角的正弦值.

2.已知函數(shù)/(?=佇為奇函數(shù).

1+e

(1)求。的值并直接寫出/(x)的單調(diào)性(無需說明理由)；

(2)若存在實(shí)數(shù)"使得了(/一2。+/(2/-左)>0成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

3.中國首個(gè)海外高鐵項(xiàng)目一一雅萬高鐵全線長(zhǎng)142.3千米，共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德

卡伯爾站4個(gè)車站.在運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名乘客的乘車記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表(單位：

人)：

下車站上車站卡拉旺站帕達(dá)拉朗站德卡魯爾站總計(jì)

哈利姆站5201540

卡拉旺站102030

帕達(dá)拉朗站3030

總計(jì)53065100

用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問題：

⑴在運(yùn)營(yíng)期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X

的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

(2)已知A地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，A地居民到哈利姆站乘車的概率為0.4,到卡拉旺站乘車的概率

為0.6(A地居民不可能在卡拉旺站下車).在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車的乘客來自A地的概

率與從卡拉旺站上車的乘客來自A地的概率的比值.

4.如圖，已知口是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，匕是以口的焦點(diǎn)不B為頂點(diǎn)的等軸雙曲線，

點(diǎn)是一與一的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在一的右支上且異于頂點(diǎn).

⑴求「與「2的方程；

⑵若直線PF2的傾斜角是直線尸耳的傾斜角的2倍，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶設(shè)直線PF\,P6的斜率分別為尤/，直線PK與口相交于點(diǎn),直線PF?與r,相交于點(diǎn)C,D,\AFX\-\BFX\

=機(jī)，\CF2\-\DF2\=n,求證：1M：2=1且存在常數(shù)s使得m+〃=s加".

5.若函數(shù)〃x)在區(qū)間/上有定義，且Vxe/,則稱/是〃x)的一個(gè)“封閉區(qū)間

(1)已知函數(shù)/(x)=x+sinx,區(qū)間/=[0,r](r>0)且/(x)的一個(gè)“封閉區(qū)間",求r的取值集合；

(2)已知函數(shù)g(x)=ln(x+l)+w尤)設(shè)集合P={x|g(x)=x}.

(i)求集合尸中元素的個(gè)數(shù)；

(ii)用匕-。表示區(qū)間口,可(。<6)的長(zhǎng)度，設(shè)加為集合尸中的最大元素.證明：存在唯一長(zhǎng)度為小的閉區(qū)

間D,使得。是g(x)的一個(gè)“封閉區(qū)間”.

c組?高分突破o

一、解答題

1.已知數(shù)列｛%｝滿足Iog2%+1=l+log2。"，且4=2.

（1）求旬）的值;

⑵若數(shù)歹u｛%+一｝為嚴(yán)格增數(shù)列，其中力是常數(shù)，求2的取值范圍.

an

2.如圖，A5為圓O的直徑，點(diǎn)斯在圓。上，AB//EF,矩形A3CD所在平面和圓。所在的平面互相垂直,

已知AS=2,EF=1.

⑴求證：平面ZMF_L平面CB尸；

⑵當(dāng)4）的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角C-EF-3的大小為60。？

3.某校準(zhǔn)備在體育鍛煉時(shí)間提供三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.為了解該校學(xué)生對(duì)“三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球"

這種觀點(diǎn)的態(tài)度（態(tài)度分為同意和不同意），隨機(jī)調(diào)查了200名學(xué)生，得到的反饋數(shù)據(jù)如下：（單位：人）

男生女生合計(jì)

同意7050120

不同意305080

合計(jì)100100200

（1）能否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生對(duì)"三項(xiàng)體育活動(dòng)中要有籃球”這種觀點(diǎn)的態(tài)度與性別有關(guān)？

（2）假設(shè)現(xiàn)有足球、籃球、跳繩這三項(xiàng)體育活動(dòng)供學(xué)生選擇.

①若甲、乙兩名學(xué)生從這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中隨機(jī)選一種假設(shè)他們選擇各項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的概率相同并且相互獨(dú)立互不影

響.記事件A為"學(xué)生甲選擇足球"，事件B為"甲、乙兩名學(xué)生都沒有選擇籃球”，求尸（B|A）,并判斷事件A,

3是否獨(dú)立，請(qǐng)說明理由.

②若該校所有學(xué)生每分鐘跳繩個(gè)數(shù)X?N085,169）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練后，跳繩個(gè)數(shù)都有

明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過訓(xùn)練后每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比開始時(shí)個(gè)數(shù)均增加10個(gè)，若該校有1000名學(xué)生，請(qǐng)預(yù)

估經(jīng)過訓(xùn)練后該校每分鐘跳169個(gè)以上的學(xué)生人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù)).

22

參考公式和數(shù)據(jù)：力=7~其中〃=a+b+c+d,P(Z>3.841)?0.05.若

(〃+b)(c+d)(Q+c)(/?+d)'7

X?NJ,"),P(|X-//|<o-)?0.6827,P(|X-//|<2cr)?0.9545,P(|X—“v3bb0,9973.

2222

4.如圖1,已知橢圓「的方程為n=l(a>b>0)和橢圓r：d=l,其中48分別是橢圓「的左右

頂點(diǎn).

⑴若A5恰好為橢圓r的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓「和橢圓?有相同的離心率，求橢圓「的方程；

22

⑵如圖2,若橢圓「的方程為工+^=1.尸是橢圓7上一點(diǎn)，射線AP,3尸分別交橢圓「于M,N,連接

84

AN,BM(尸,“仆均在工軸上方).求證：斜率之積%，?%4為定值，求出這個(gè)定值；

⑶在(2)的條件下，若ANHBM,且兩條平行線的斜率為左化>0),求正數(shù)％的值.

5.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椤?，若存在?shí)數(shù)左，使得對(duì)于任意xeD,都有〃x)〈鼠則稱函數(shù)y=/(x)

有上界，實(shí)數(shù)上的最小值為函數(shù)y=〃x)的上確界；記集合〃“={/(尤”=/，在區(qū)間(0,+8)上是嚴(yán)格增

函數(shù)};

2

(1)求函數(shù)>=——-(2<x<6)的上確界；

x-l

32

(2)^/(^)=%-to+2xlnxeMx,求”的最大值；

⑶設(shè)函數(shù)y=一定義域?yàn)?。,+“)；若〃耳€河2,且y=〃力有上界，求證：〃“<。，且存在函數(shù)

y=〃"，它的上確界為o；

大題仿真卷02（A組+B組+C組）

（模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘）

?>------------A組.鞏固提升----------?>

一、解答題

1.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為mb,c,已知6+〃-^uG^cosBuGsinC.

⑴求角B；

⑵若“BC的面積為36，求a.

【答案】（1）8=9

O

（2）6.

【分析】（1）由已知結(jié)合余弦定理即可求解；

（2）由（1）得b=c,由三角形面積求得Z?c=12,再由余弦定理即可求得

【解析】（1）因?yàn)閍?一。？=6〃人，

所以由余弦定理得cosC=—1=雪=孝'故smC〈，

所以85區(qū)=6$m。=^^,又BE（。,兀），

2

所以5=g

o

（2）由（1）知cosC=且，又。仁（0,兀），所以C=g

2o

TT,2兀

所以C=5=z，所以〃=c,A=—

63

因?yàn)槭?BC=；°csinA=3/，所以兒=12，所以b=c=2g,

所以由余弦定理得/=廿+，-26。854=12+12-2*120）$——=36,所以。=6.

3

2.如圖，在三棱錐尸-ABC中AC_L3C,平面P4C_L平面A5C,PA=PC=AC=2,BC=4,E,尸分別

是PC,PB的中點(diǎn)，記平面AEF與平面ABC的交線為直線/.

p

(1)求證：直線EF_L平面PAC；

TT

(2)若直線/上存在一點(diǎn)Q(與B都在AC的同側(cè))，且直線PQ與直線E尸所成的角為求平面尸8。與平面

4

AE尸所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵與

【分析】(1)根據(jù)面面垂直可證線面垂直，再結(jié)合中位線可得證；

(2)根據(jù)線線平行可證線面平行，進(jìn)而可證直線〃/BC,建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)。，結(jié)合異面直線夾

角可解得點(diǎn)Q，再根據(jù)向量法可得平面的法向量，進(jìn)而可得二面角余弦值.

【解析】(1)vBCLAC,平面PAC_L平面ABC,平面PACA平面ABC=AC，，BC_L平面PAC,

又/分別是PC,PB的中點(diǎn)，

EFHBC,

.?.EF_L平面尸AC；

vBCLAC,平面PACJL平面ABC

.??以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，C4所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，過C垂直于平面A3C的直線為Z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系,

則點(diǎn)P在平面xOz內(nèi),

即4(2,0,0),3(0,4,0),P(1,O,73),E1,0,心2,

_(3出、

則麗=(0,4,0),麗=(0,2,0),AE=--,0,^-

122)

而EF//BC,平面AEF,EFu平面AEF,

BC〃平面AEF,

又平面AEF與平面ABC的交線為直線I,

設(shè)而=2萬=(0,4九0)(220),

則點(diǎn)坐標(biāo)為（）用（一石），（）（2|2|=72

Q2,40,=14B2=2,-2,0:.\cosPQ,EF^=解得2=2,

2"+外2

則Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2,2,0）,Pg=（l,2,-73）,BQ={2-2,0）

設(shè)平面尸8。的法向量訪=(%0，%,20),

即卜￡=°，即卜。+2%一心。=。

取毛=1,可得為=(1,1,6卜

n-BQ=02x0—2yo=0

設(shè)平面AEF法向量為需=a，X，zJ,

--X+^-z=0/\

m-AE=0r

則一，即<212?,取玉=1,可得沆=0,0,6）；

m-EF=0

2%=0

.寺。sW，砌，焉卜當(dāng)，

即平面PBQ與平面的所成的銳二面角的余弦值為撞.

5

3.某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份,

記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表:

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為04萬元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

(i)記X為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E［X］；

(ii)如果無索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與(i)中司X］估計(jì)值的大小.

【答案】(1)《

(2)(i)0.122；(ii)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；

(2)(i)設(shè)？為賠付金額，則，可取0,0.8,1.624,3,用頻率估計(jì)概率后可求?的分布列及數(shù)學(xué)期望，從而

可求E[X]；

＜ii)先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合(1)的結(jié)果可求E[y],從而即可比較大小得解.

【解析】(1)設(shè)A為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：

八60+30+101

P(A)=----------------------=——.

')800+100+60+30+1010

(2)(i)設(shè)？為賠付金額，則可取0,0.8,1.624,3,由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得：*?=())=黑=[,

100_160_3

“7=0.8)=?(7=1.6)=

1000-101000-50

3010_1

尸(7=2.4)=—,尸(7=3)=-

1000100,)wooToo

4133]

故石(？)=0x—+0.8x——+1.6x——+2.4x——+3x——=0.278,

v751050100100

故￡[X]=0.4-0.278=0.122(萬元).

(ii)由題設(shè)保費(fèi)的變化為石[y]=0.4x：x0.96+0.4xgxl.2=0.4032,故E[X]<E[y].

4.已知橢圓一5+丁=1的左、右焦點(diǎn)分別為小工,分別為「的上，下頂點(diǎn)，？(%,%)?(%,%)是「上

不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn).

⑴求出閶的值;

(2)記△尸月工,△PA8的面積分別為見邑，若岳＜邑，求』的取值范圍;

⑶若直線AP與AQ的斜率之和為2,作人8，尸。，垂足為H,試問：點(diǎn)H是否在一個(gè)定圓上？若是，求出

該圓的方程；若不是，說明理由.

【答案】(1)2

(2)一"-qu

\7\7

(3)點(diǎn)H在圓卜+g]+y2=|

【分析】(1)根據(jù)橢圓方程求b,c,即可得閨&I；

(2)根據(jù)(1)可得/=|城$2=|訃由題意可得褚＜心結(jié)合橢圓方程列式求解；

(3)設(shè)直線尸。:、=履+mW1),聯(lián)立方程，根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可知直線P0過定點(diǎn)結(jié)合

垂直關(guān)系分析圓的方程，注意分類討論直線尸。的斜率是否存在.

【解析】(1)由題意可知：a=41,b=1,c=a2-b1=1，且焦點(diǎn)在x軸上,

可知耳(-1,0)E(1,0),A(0,l),B(0,-l),

所以國司=2c=2.

（2）由（1）可知：品=：忻用.血=血，邑斗H=M，

若岳＜52，即聞＜|對(duì),可得y；＜x；,

又因?yàn)镻Oi，yD在橢圓「工+y2=i上，則手+才=1,即4=1』,

222

可得解得%＞，或&＜一半，

且無］€卜血,血），可得-豆＜玉＜一2^或2^＜玉＜④，

所以七的取值范圍為

（3）若直線尸。的斜率存在，設(shè)直線尸Q:y=H+m（相wl）,

+1卜2+4kmx+2m2—2—0

2m2-2

2k2+1

因?yàn)橹本€AP與AQ的斜率之和為2,

則?,,小七,廣y七,-1+七y0-1=k七x.+「m-l+」kx^^+m-1=-2,

整理可得（2左一2）平,+（加—。（西+X,）=0,則一人2）（2"2）_4歷〃（〃-1）=0,

2k1+12^2+1

且"2H1,即〃7-1/0,可得（左+—切7=0,整理可得〃2=4-1,

此時(shí)直線2。:丁=依+左一1=%（》+1）-1過定點(diǎn)加（-1,-1）;

若直線PQ的斜率不存在，則尸（生另）,。（公-乂），

因?yàn)橹本€針與4。的斜率之和為2,

則^AP+。=—+—="-=2,即玉=-1,

王玉為

此時(shí)直線PQ-x=-l也過定點(diǎn)M(-1,-1)；

綜上所述：直線尸。過定點(diǎn)”(-1,-1),

又因?yàn)锳HLPQ,則點(diǎn)H在以4〃為直徑的圓上，

且AM的中點(diǎn)為且=日，

可知以4〃為直徑的圓的方程為(x+g：+y2=%

所以點(diǎn)H在圓+上.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：存在性問題求解的思路及策略

(1)思路：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在；若結(jié)論不正確則不存在.

(2)策略：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；

②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；

③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)法解題很難時(shí)，可先由特殊情況探究，再推廣到一般情況.

5.對(duì)于一個(gè)函數(shù)了⑺和一個(gè)點(diǎn),令s(x)=(x-a)2+(〃x)-b)2,若尸是s(x)取到最小

值的點(diǎn)，則稱P是“在〃x)的“最近點(diǎn)

⑴對(duì)于/(尤)=$尤>0),求證：對(duì)于點(diǎn)河(0,0),存在點(diǎn)尸，使得點(diǎn)尸是M在〃x)的“最近點(diǎn)”；

⑵對(duì)于，(x)=e',"(L0),請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)尸，它是M在〃%)的“最近點(diǎn)”，且直線與y=/(x)在

點(diǎn)尸處的切線垂直；

⑶已知y=/(x)在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)((x),且函數(shù)g(x)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)

陷。一1J⑴-g⑺)，“2卜+1J⑺+g⑺).若對(duì)任意的feR,存在點(diǎn)尸同時(shí)是陷,AG在〃尤)的“最近點(diǎn)”,

試判斷的單調(diào)性.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在，尸(0,1)

(3)嚴(yán)格單調(diào)遞減

【分析】(1)代入M(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由題得s(x)=(x-l)2+e2)利用導(dǎo)函數(shù)得到其最小值，則得到P,再證明直線MP與切線垂直即可；

(3)根據(jù)題意得到s；(%)=s；(尤。)=0,對(duì)兩等式化簡(jiǎn)得/伉)=-七，再利用“最近點(diǎn)”的定義得到不等

式組，即可證明無。=乙最后得到函數(shù)單調(diào)性.

【解析】(1)當(dāng)"(0,0)時(shí)，5(x)=(x-0)2+Q-oj=%2+^>X2—=2,

當(dāng)且僅當(dāng)無2=4即X=1時(shí)取等號(hào)，

故對(duì)于點(diǎn)M(0,0),存在點(diǎn)尸(1,1),使得該點(diǎn)是“(0,0)在“X)的“最近點(diǎn)”.

(2)由題設(shè)可得s(x)=(x-1)?+⑹一07=(x-1)?+e2*,

則s'(x)=2(x-l)+2e2x,因?yàn)椤?2(彳—1)?=262，均為口上單調(diào)遞增函數(shù)，

則s'(無)=2(無-1)+26在R上為嚴(yán)格增函數(shù)，

而s'(0)=0,故當(dāng)無<0時(shí)，s'(x)<0,當(dāng)尤>0時(shí)，s'(x)>0,

故S(x)min=s(0)=2，此時(shí)P(?！?，

而/'(x)=ef=/<o)=l,故/(無)在點(diǎn)尸處的切線方程為y=x+l.

而改心=汜=一1，故kMP.k=-l,故直線與y=f(尤)在點(diǎn)尸處的切線垂直.

(3)設(shè)1(x)=(x-f+if+(/⑺-/⑺+g⑺尸，

$2(x)=(XT-1)2+(“X)-/⑺-g⑺)2,

而s；(x)=2(xT+1)+2(/(X)-/⑺+g⑺)1(x),

Sj(x)=2(x-Z-1)+2(/(%)-/(/)-g(Z))/f(x),

若對(duì)任意的feR,存在點(diǎn)P同時(shí)是陽,在〃x)的“最近點(diǎn)”，

設(shè)尸(%,%),則/既是S](x)的最小值點(diǎn)，也是$2(尤)的最小值點(diǎn)，

因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域均為R，則%也是兩函數(shù)的極小值點(diǎn)，

則存在尤0，使得S；(%)=S2'(%)=。,

即S：(%)=2(尤0-f+1)+2-(％)[/(x0)-/(0+g(r)]=0①

s；(飛)=2(/T-1)+2尸(%)[〃飛)-/?)-g?)]=0②

由①②相等得4+4g(t).尸?)=0,即1+L?)=0,

即((%)=一工，又因?yàn)楹瘮?shù)g。)在定義域R上恒正，

g(f)

則f'(xo)=---1<。恒成立，

接下來證明》=「，

因?yàn)椋ゼ仁荢1(X)的最小值點(diǎn)，也是S2(X)的最小值點(diǎn)，

則S](%)<s(t),s2(x0)<s(t),

(x0-?-l)+(/(x0)-/(Z)-g(f)jWl+(g(O),④

③+④得2(『)2+2+2[〃/)-/⑺]2+2g2⑺42+2g2?)

即(%t)2+(/(%)—/⑻2WO,因?yàn)閲?2NO,⑺丫NO

叫[⑷xQT-t=⑺O3解得『，

則/(。=一吃<0恒成立，因?yàn)椤返娜我庑裕瑒t/■(》)嚴(yán)格單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是結(jié)合最值點(diǎn)和極小值的定義得到:(%)=-一置，再利用最值點(diǎn)

定義得到x0=f即可.

O----------------B組?能力強(qiáng)化----------?>

一、解答題

1.如圖所示四棱錐P-ABCD,其中=AD=A尸=石，CB=CD=CP=245,AC交BD于點(diǎn)。.

⑴求證：47_1平面「8。；

(2)若AC=5,尸2=2&,點(diǎn)。是線段尸C的中點(diǎn)，求直線BQ與平面PLD所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)|.

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理來證得AC，平面P5O.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得直線8。與平面上4。所成角的正弦值.

【解析】(1)因?yàn)?CB=CD,

所以4。均在8。的垂直平分線上，所以AC，3DBO=OD,

圖為AB=",BC=PC,AC=AC,

所以AABC三APC,

圖為BO_LAC,所以PO_LAC,

又囹?yàn)锳C，BD,POcBD=O,POu平面PBD,BDu平面PBD,

所以AC_L平面P5D,

(2)因?yàn)锳Cu平面尸AC,所以平面PAC_L平面PfiD.

由(1)可知OBLOC,

以。為原點(diǎn)，OB,OC所在直線分別為龍，》軸，

過點(diǎn)。垂直于底面08C的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳8=2,3C=4,AC=2^,

所以+=AC2,所以NA3C=90。，

從而由等面積法，可知2。=義=生5,由勾股定理，可知AO=」4一3=空,

2>/55V55

由(1)可知30=0￡>=0尸，所以。。=。尸=述，

5

由(1)可知尸OLAC,BOLAC,

而平面ABCfl平面APC=AC,03u平面ABC,OPu平面APC,

冗

且二面角P-AC-B為T27r，所以NP0B=72，

所以尸。與z軸所在直線的夾角為m，所以P-T-,0,-2，

6I55)

因?yàn)?殍，°，°，A°，一雪，°一竽,0,0,

設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),

2下2指2^/15

PA-n=-----x--------y-------z=0

555

則

五*"z=0

55

令z=—1,解得x=6，y=26,

所以平面上4。的法向量為力=("2指,-11

設(shè)直線網(wǎng)與平面Bm所成角為

?一?8岳

則sin6=|cos（n,=「?]=---,——=—,

1'Z,同?同4義手2，

所以直線依與平面BID所成角的正弦值為g.

2.已知函數(shù)/。）=佇三為奇函數(shù).

1+e

（1）求。的值并直接寫出/（x）的單調(diào)性（無需說明理由）；

（2）若存在實(shí)數(shù)上使得/d-24+/（2?一人）>0成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

【答案】（1）。=1，單調(diào)遞減

（2）[-8]

【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的含義可求得。的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法可求得單調(diào)性；

（2）根據(jù)單調(diào)性以及奇函數(shù)性質(zhì)可得了（/-24>/9-2/），從而得到不等式，求解即可.

【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=E為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽,則/（。）=0,

1+e

所以〃0）=^^=0,即0=1,

此時(shí)〃x）=R,滿足〃T）=￡：=￡=T（X）,即/（X）為奇函數(shù),

x

1—P7

f（x}=----=-1+-----,定義域?yàn)镽,對(duì)VX，/￡R，且石<%2,

l+exl+ex

2?2於—8）

貝/（%2）=------------=7一-~\7---\，

'"I2/i+9i+e熱（1+爐）（1+廿）

因?yàn)樵?lt;龍2，所以e也-e*>0,l+e%,>0,l+e'2>0,

所以/（%）-/（々）>0,即函數(shù)/（%）在R上單調(diào)遞減；

（2）由/（"2f）+/（2產(chǎn)―左）>0,貝廳（產(chǎn)一2。>一/（2戶一人），

又因?yàn)椤癤）為奇函數(shù)，所以/（產(chǎn)12fAi/（2產(chǎn)_左戶/「-2產(chǎn)）,

又因?yàn)楹瘮?shù)/'（X）在R上單調(diào)遞減，

所以產(chǎn)-2/</一2產(chǎn),因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)"使得3/-20％<0,

所以八=4+12左>0,解得%

所以女的取值范圍為[-；，+8）.

3.中國首個(gè)海外高鐵項(xiàng)目——雅萬高鐵全線長(zhǎng)142.3千米，共設(shè)有哈利姆站、卡拉旺站、帕達(dá)拉朗站、德

卡伯爾站4個(gè)車站.在運(yùn)營(yíng)期間，鐵路公司隨機(jī)選取了100名乘客的乘車記錄，統(tǒng)計(jì)分析，得到下表（單位:

人）：

下車站上車站卡拉旺站帕達(dá)拉朗站德卡魯爾站總計(jì)

哈利姆站5201540

卡拉旺站102030

帕達(dá)拉朗站3030

總計(jì)53065100

用頻率代替概率，根據(jù)上表解決下列問題：

（1）在運(yùn)營(yíng)期間，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，設(shè)這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X

的分布列及其數(shù)學(xué)期望；

（2）已知A地處在哈利姆站與卡拉旺站之間，A地居民到哈利姆站乘車的概率為0.4,到卡拉旺站乘車的概率

為。6（A地居民不可能在卡拉旺站下車）.在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，求從哈利姆站上車的乘客來自A地的概

率與從卡拉旺站上車的乘客來自A地的概率的比值.

【答案】（1）分布列見解析，E（X）=2.

嗎

【分析】（1）首先求出樣本中從卡拉旺站上車的乘客到德卡魯爾站下車的概率，即可得到*~8（3?）,根

據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列，再計(jì)算其期望即可;

（2）記事件A：該乘客來自A地；記事件與：該乘客在哈利姆站上車；記事件紇：該乘客在卡拉旺站上

車，依題意得到P（4）,P（Bj,P（4|A）,P（BJA）,再由概率乘法公式得到，從而得到.

【解析】（1）從卡拉旺站上車的乘客到德卡魯爾站下車的概率尸=令20=]2,

???根據(jù)頻率估計(jì)概率，從卡拉旺站上車的乘客中任選3人，

則這3人到德卡魯爾站下車的人數(shù)即X的可能取值為0,1,2,3,

所以，（x=°）=c01*2

4,

P(X=3)=C；

所以X的分布列如下:

X0123

(2)由表中數(shù)據(jù)可知，在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，在哈利姆站上車的有35人，在卡拉旺站上車的有30人.

記事件A：該乘客來自A地；記事件瓦：該乘客在哈利姆站上車；記事件2：該乘客在卡拉旺站上車；

.?)(團(tuán)=?尸⑻=||，(即

=［，A)=04P(B2\A)=0.6,

從哈利姆站上車的乘客中是來自A地的概率為尸(Al耳)，從卡拉旺站上車的乘客中是來自A地的概率為

尸⑷與),

???尸(4閨尸(A)=尸(刊4)尸(4),P(B2\A)P(A)=P(^2)P(B2),

4X

P（A|B,）P（B1|A）P（B2）013；；4

尸⑷鳥廠尸（BM）P（BJ-06xZ一亍

-13

4

二在高鐵離開卡拉旺站時(shí)，所求概率的比值為亍

4.如圖，已知口是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，一是以口的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的等軸雙曲線,

點(diǎn)是口與口的一個(gè)交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在口的右支上且異于頂點(diǎn).

⑴求心與匕的方程;

(2)若直線P8的傾斜角是直線P片的傾斜角的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)設(shè)直線PF\,PF?的斜率分別為此,直線PFX與ri相交于點(diǎn)A,凡直線PF2與一相交于點(diǎn)C,D,\AF{\-\BFX\

=m,\CF2\-\DF2\=n,求證：上的=1且存在常數(shù)$使得根+”=s加".

22

【答案】⑴土+乙=1與f-產(chǎn)=1

54

（2）（2,我

⑶證明見解析

22

【分析】(1)設(shè)「、12的方程分別為3+2=1(〃>匕>0)與--丁=c2(c>0),將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入「2的方

ab

程可求出C,利用橢圓的定義可求出a的值，從而可得6,進(jìn)而可得「、12的方程；

(2)分點(diǎn)P在第四象限和第一象限時(shí)兩種情況討論求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

,1

(3)利用兩點(diǎn)的斜率公式及點(diǎn)p在「2上即可證明與=7，設(shè)P耳的方程為y=A(x+D,與橢圓方程聯(lián)立，

可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示人〃，化簡(jiǎn)工+工為常數(shù)，即可得出答案.

mn

22

【解析】⑴設(shè)「1、12的方程分別為多=l(a>>>0)與?一/=於9>0),

ab

由m：一,得c=i,故小乃的坐標(biāo)分別為(T。)。,。)，

22

所以2Q=|*|+|M聞=:有+-|75=2A/5故a=?b=da-c=2,

22

故和與「2的方程分別為土+L=1與爐->2=1.

54

(2)當(dāng)點(diǎn)尸在第四象限時(shí)，直線尸片,尸工的傾斜角都為鈍角，不適合題意；

當(dāng)P在第一象限時(shí)，由直線PF2的傾斜角是直線PK的傾斜角的2倍,

可知/工4尸=/工尸耳，故|丑劇=|耳引=2,

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(羽y),可知。一I)?+V=4且/一y=>0,y>0),

解得尤=2,y=6,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,6),

⑶設(shè)直線尸￡,尸尸2的斜率分別為匕，&，點(diǎn)、P,A,B的坐標(biāo)分別為小,%),(西,乂),仁,%)，

姬_婕-1

則k-%2=l，桃2="7%

%+1%-1?V-1-1

尸6的方程為y=Mx+i),

代入反=1可得（4+542）y2—8外一16左2=0,

54

-16〃

故X%

4+5F

16（片+1）

所以機(jī)=|A/訃忸凰=1+5苗為仁

4+5k；

,116（1+"）

同理可得〃,又“2=不，故〃

%4婷+5

y1IL4+5婷?4奸+5=9（片+1）=9

以mn~16（k；+l）16（將+1）=16（。+1）=4'

9

即加+〃=一mn,所以存在%使得加+〃=wm.

16

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān).

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

5.若函數(shù)在區(qū)間/上有定義，且Vxe/,/（x）e/,則稱/是的一個(gè)“封閉區(qū)間

⑴已知函數(shù)〃x）=x+sinx,區(qū)間/=[0/]（r＞0）且的一個(gè)，封閉區(qū)間”，求廠的取值集合；

3

⑵已知函數(shù)8（%）=111（苫+1）+13,設(shè)集合尸川了忖⑺二耳.

（i）求集合尸中元素的個(gè)數(shù)；

（ii）用》-。表示區(qū)間[。力]（。＜6）的長(zhǎng)度，設(shè)機(jī)為集合戶中的最大元素.證明：存在唯一長(zhǎng)度為優(yōu)的閉區(qū)

間D,使得。是g（x）的一個(gè)“封閉區(qū)間”.

【答案】⑴[（2＞1）兀,2如信eN*）

⑵（i）2；（ii）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)“封閉區(qū)間”的定義，對(duì)函數(shù)/（x）=x+sinx求導(dǎo)并求出其值域解不等式可得「的取值集合；

（2）（i）對(duì)力（切=111。+1）+:丁-苫。＞-1）求導(dǎo)得出函數(shù)八⑺的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理即可求得集合

P中元素的個(gè)數(shù)為2個(gè)；

（ii）根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的定義，對(duì)參數(shù)。進(jìn)行分類討論得出g（x）的所有可能的“封閉區(qū)間”即可得出證明.

【解析】（1）由題意，Vxe[0,r],/（x）e[0,r],

；r（X）=1+cosx之0恒成立，所以/（x）在[0,“上單調(diào)遞增,

可得/(x)的值域?yàn)椋?,r+sinr］,

因此只需［0,r+sinr|=［0,F|,

即可得r+sinr4r,BPsinr<0(r>0),

則r的取值集合為［(2左—1)兀,2E］依€e).

3

(2)(i)t己函數(shù)/z(x)=g(x)-尤=111(尤+1)+^/一龍(》>-1),

1o4+9x2(x+l)-4(x+l)9x2(x+1)—4xx（3x+4）（3x-l）

貝——+-x2-i=4（x+l）（）

v7x+l44(x+l)4(元+1)

11

由〃（％）＞0得一1＜九＜0或%＞§；由〃（元）＜0得0＜工＜3；

所以函數(shù)用力在(-1,0)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

其中可0)=0,因此當(dāng)xe(-l,0)u]。,j時(shí)，h(x)<0,不存在零點(diǎn)；

由網(wǎng)力在/j單調(diào)遞減，易知<〃⑼=0,而Ml)=ln2-;>0,

由零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的尤o使得/1(%)=0；

當(dāng)尤€。,+°°)時(shí)，/z(x)>0,不存在零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)/z(x)有0和與兩個(gè)零點(diǎn)，即集合尸中元素的個(gè)數(shù)為2.

(ii)由⑴得力=%,假設(shè)長(zhǎng)度為旭的閉區(qū)間是g(x)的一個(gè)“封閉區(qū)間”,

則對(duì)Vxe[a,a+i],g(x)e[a,a+x0],

當(dāng)-1<。<0時(shí)，由⑴得力(x)在(-1,。)單調(diào)遞增，

/z(a)=g(a)-a</i(0)=0,即g(a)<a,不滿足要求；

當(dāng)a>0時(shí)，由⑴得在(如+00)單調(diào)遞增，

/z(a+Xo)=g(a+5)-(a+M)>〃(Xo)=O,

即g(a+飛)>a+飛,也不滿足要求；

當(dāng)a=0時(shí)，閉區(qū)間￡>=[0,5],而g(x)顯然在(-1,e)單調(diào)遞增，

，g(O)Wg(x)Wg(M)，

由(i)可得g(0)=/i(0)+0=0,g(%)=+,

.,.g(x)e[0,%]=。，滿足要求.

綜上，存在唯一的長(zhǎng)度為旭的閉區(qū)間。=[0,機(jī)],使得。是g(x)的一個(gè)“封閉區(qū)間

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解“封閉區(qū)間''的定義，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)判斷出各函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)應(yīng)的單

調(diào)區(qū)間，再結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度的定義分類討論即可得出結(jié)論.

g----------------C組?高分突破-----------?>

一、解答題

1.已知數(shù)列｛%｝滿足Iog2%+1=l+log2。.，且％=2.

(1)求％0的值；

A,

⑵若數(shù)歹網(wǎng)r4+一｝為嚴(yán)格增數(shù)列，其中九是常數(shù)，求力的取值范圍.

【答案】⑴/。=1024

(2)/1<8

【分析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得%+1=2%,即可判斷｛4