2025年遼寧省丹東市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（一）

一、單選題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合a={劍/—2c—3=0},B—{x\\x\3},則4nB=（）

A.{-1,-3}B.{1,-3}C.{1,3}D.{-1,3}

2.已知向量才=（通,3）,了=（1,—通），則才與了的夾角為（）

7T汗27r57r

A.—

6B-3CTDT

3.圓C：/+92+2/一45=0關(guān)于;（：軸對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為（）

A.(-1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(1,-2)

4.已知隨機(jī)變量X?3(4,p),且P(X21)=m，則P(X=3)=()

B.iC.iD.。

A;484

5.已知函數(shù)/（工）=|（2，T<1

I',在R上單調(diào)遞增，且/（2Q—1）</（Q+3）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍

log3I+Q,I21

為()

A.(-oo,4)B.[1,4)C.[2,4)D.(1,4)

6.已知尸1，員是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且/FiP%=90°,|「分|=通用三|，則C的離

心率為（）

A.^/3+1B.2^3-2C.273D.2

7.已知sin（a+0）=A，tana=2tan。，則sin（a—0）=（）

9

1111

A-27B--27C-9D-§

8.已知圓臺(tái)的上，下底面的直徑分別為2和6,母線與下底面所成角為60°，則圓臺(tái)的外接球表面積為（）

2087r1127T567r287r

A.------B.------C.——D.—

3333

二、多選題：本題共3小題，共9分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得3分,

部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知復(fù)數(shù)z,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若⑶=1,則2=±1B.若z2〉0,則zeR

C.若z—icR,則z的虛部為iD.若|z|=L則l4|z+2*43

第1頁(yè)，共17頁(yè)

10.已知函數(shù)/3)=2由11("2+8)(3〉0,阿<9,其中相鄰的兩條對(duì)稱軸間的距離為%且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(0,-\/3),則()

7F7F

A.(^=--B./⑶在區(qū)間(0,司)上單調(diào)遞增

0J

C./(一①)=f(^~+x)D.f(c)=sini在［0,2?r］上有4個(gè)解

11.設(shè)正實(shí)數(shù)X,y滿足力+g=2,則()

A.xy有最大值為1B.?+娟有最小值為4

C.?+:有最小值為5D.g+3++4有最大值為3^2

三、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分。

12.已知實(shí)數(shù)0,6滿足4。=3，36=2>貝I2就=.

13.將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的排法有種.(用數(shù)字作答)

22

14.已知用，同為橢圓。：1=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)，直線/：/+沙=加與。相切于點(diǎn)？(點(diǎn)尸

在第一象限)，過(guò)后，凡作月馬山，F(xiàn)2P2豆，垂足分別為Pl，P2,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|。馬|=舊刊=2,

貝!1|耳凡|=,C的方程為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

為調(diào)查居民購(gòu)車(chē)傾向與性別的關(guān)系，對(duì)某地區(qū)隨機(jī)抽查了200名居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下表格：

購(gòu)買(mǎi)傾向

合計(jì)

新能源車(chē)燃油車(chē)

男6436100

女性4654t

合計(jì)S90200

⑴求s,/；

(2)根據(jù)小概率值a=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為居民的購(gòu)車(chē)傾向與性別有關(guān)？

(3)從傾向燃油車(chē)的90人中按性別分層抽樣抽取5人，再?gòu)倪@5人中任選2人，求選中男性的人數(shù)的分布列

和期望.

附.丫2=..一兒)2

'"一(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

第2頁(yè)，共17頁(yè)

P（、2》砧0.050.0100.001

ko3.8416.63510.828

16.(本小題12分)

已知函數(shù)/⑵=(In立+2y_ln(c+1).

（1）求/（乃在x=l處的切線方程；

力

⑵證明：當(dāng)出〉1時(shí)，21nx--^y+4>0;

⑶若/（乃在［士+oo）上單調(diào)遞增，求整數(shù)n的最大值.

ea

17.（本小題12分）

記S八為數(shù)列｛??｝的前〃項(xiàng)和,an=^,a2=5

nz6

（1）求的；

（2）求證:數(shù)列｛n（n+l）廝｝是常數(shù)列;

2九

（3）設(shè)機(jī)=——，求數(shù)列｛5｝的前"項(xiàng)和

ncLn

18.（本小題12分）

如圖，在三棱錐P—48。，點(diǎn)G是邊長(zhǎng)為2通的等邊△48。的重心，PA=PC=3,=g，點(diǎn)。

在棱尸C上，且。O=2P。，￡是2C的中點(diǎn).

（1）求證：DG〃平面P4B；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)G,D,E的平面為a,a與此三棱錐的面相交，交線圍成一個(gè)多邊形.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出這個(gè)多邊形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由），并求出。將三棱錐分成兩部分的幾何體體積之比；

（行）求a與平面PAC所成角的正弦值.

19.（本小題12分）

記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)/在拋物線r=2℃防>0）上，/在第一象限，B,C兩點(diǎn)位于y軸上，已知圓M：

第3頁(yè)，共17頁(yè)

(/—p)2+/=4經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，且圓M內(nèi)切于△ABC.

(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；

(2)若/ABC=120°,求點(diǎn)/的坐標(biāo)及/C的長(zhǎng)；

(3)求△48。面積的最小值.

第4頁(yè)，共17頁(yè)

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由題意，集合A={3,—1},B={x\-3^x^3],

則ACB={T3}.

故選：D.

由一元二次方程和不等式解出集合，再求交集即可.

本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可知，向量/=(\&,3),方=(L—通)，

一下、言?號(hào)\/3x1-3x一2通1

cos(d.b/=-------——,------/一—-=——,

1^1.161\/3T￥x71T34遮2

又〈死了)e[0,%],貝！J(死了)=

O

故選：C.

由向量夾角坐標(biāo)公式可得答案.

本題考查了向量夾角坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：圓C：x2+y2+2x—4：y=0,

則(x+I)2+僅一2)2=5,圓心坐標(biāo)為(-1,2),

若題干所求圓與圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，則所求圓的圓心也與圓C的圓心關(guān)于x軸對(duì)稱，

故所求圓心坐標(biāo)為(一1,—2).

故選：A.

首先將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓C圓心坐標(biāo)，由題意可知所求圓的圓心與圓C圓心關(guān)于X軸對(duì)稱，由此

得到所求圓的圓心坐標(biāo).

本題主要考查圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

15

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?8(4,p),且P(X21)=”，

16

151

所以p(x=0)=1—P(X》1)=1—%=主，

1616

第5頁(yè)，共17頁(yè)

所以(1—p)4=2，

lo

解得p=;,

所以P(X=3)=四$4=；.

故選：B.

由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算即可.

本題主要考查了二項(xiàng)分布的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

2XT<1

I:、［在R上單調(diào)遞增，

logI+Q,6》1

{3

則有2i4log31+a，解可得a22,

又/(2a-l)</(a+3),則有2a—l<a+3,解可得a<4,

則有2Wa<4,即。的取值范圍為［2,4).

故選：C.

由分段函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出。，再由單調(diào)性解不等式，即可得答案.

本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和應(yīng)用，涉及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)雙曲線C的實(shí)半軸、虛半軸、半焦距分別為a,b,c,

由雙曲線的定義可知|PFi|一盧已|=2a,又|P/|=V^\PF2\,

解得|PFi|=(x/3+3)a,\PF2\=(通+l)a,

在焦點(diǎn)三角形PF1F2中，己知N6P%=90°,|乃衛(wèi)|=2的

22

由勾股定理可得［(A/3+3)司2+［.+i)a］=(2c),

解得e=g+1.

故選：A.

由雙曲線的定義結(jié)合題干條件可解得|PFi|,|PE|的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可算出離心率.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

第6頁(yè)，共17頁(yè)

【解析】解：由于tana=2tan0,

又sin(a+0)=；,

sin(a+0)—3sin(a—0)=(sinacos戶+sin0cosa)—3(sinacos0—sin0cosa)

=4sin°cosa—2sinacos0=2cosacos0(2tan(3—tanQ)=0,

故sin(a+0)=3sin(a—0).

從而sin(a-/?)=：sin(CE+/?)=白.

o//

故選：A.

由兩角正弦的和差公式可得答案.

本題主要考查了和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

設(shè)圓臺(tái)的上下底面的圓心分別為O1，。，半徑分別為。Mi=ri，O2A2=r2,

則T1=1,-2=3,由乙4p46=60°,母線為=高為=

因?yàn)閳A臺(tái)的上，下底面的直徑分別為2和6,母線與下底面所成角為60°，

所以「1=1,「2=3,Z-A1AB=60°,

因?yàn)?B=72—71=3—1=2,

所以母線長(zhǎng)為'=*=4,高JABtan60。=2血,

設(shè)圓臺(tái)外接球的半徑為七球心到下底面的距離為出,

則有《f岳=6+憂=32+憂

「辛舍去）

若球心位于下底面的下面，解得力

[R2=r1+(h+hi)2=I2+(2\/3+hi)2

解得?

則有《\=w+憂=32+憂

若球心位于上下底面之間，1Y

[屈=好+d_/『=12+已通,e2'

28112TT

所以所求為4元屈=4TTx-=----

故選：B.

第7頁(yè)，共17頁(yè)

首先根據(jù)題干條件求出圓臺(tái)的母線和高，再分類討論外接球的球心位于下底面之下還是上下底面之間，算

出外接球的半徑即可得圓臺(tái)外接球的表面積.

本題考查圓臺(tái)的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：取2滿足⑶=1,故/錯(cuò)誤；

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+瓦，其中a,beA，z?為虛數(shù)單位，

則z2—(a+bi)2—a2—b2+2abi,若z?〉0，

則]解得(優(yōu),

[2ab=01b=0

此時(shí)z=a+bi=aER^故5正確；

z—i=a+(b—若z—iGR,則QeR,b—1=0,

解得QGR,b=1，止匕時(shí)n=a+板=Q+3虛部為1,故。錯(cuò)誤;

由⑶=1,可知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的單位圓，

而|z+2外表示該單位圓的點(diǎn)到點(diǎn)(0,2)的距離，

可知單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)(0,2)的距離最小為1,最大為3,得lW|z+2"W3,故。正確.

故選：BD.

舉例說(shuō)明/錯(cuò)誤；設(shè)復(fù)數(shù)z=a+〃，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，實(shí)部虛部，幾何意義等知識(shí)逐個(gè)對(duì)從C、D

分析即可得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意可知，函數(shù)/Q)=2sin(3z+8)(3>0,IW<J)，

T-7F27r

則T=7T=—,即G=2,

22CJ

此時(shí)f⑸=2sin(2/+⑼,

又f(0)=2sin。=一\/3,則sin(p~'

7T7T

因?yàn)殛?yáng)<5，所以8=—可，故N錯(cuò)誤；

則/(2)=2sin(2a;—勺，

O

小不、.八7T/7T7T\

當(dāng)力e(0,可)時(shí)，2x--e-),

oooo

,7F7T、

因?yàn)楹瘮?shù)沙=sine在(―短可)上單調(diào)遞增，

OO

第8頁(yè)，共17頁(yè)

7T

所以函數(shù)/（2）在區(qū)間（0,可）上單調(diào)遞增，故8正確;

O

由f(x)=2sin(2c-芻，得/(-X)=2sin(-2a:一勺=—2sin(2z+芻,

OOO

而/(粵+2)=2sin[2(^+為一口=2sin(2a;+：+7)=-2sin(2z+1)，

bb333

所以/（—工）=/（k+乃，故C正確;

0

畫(huà)出函數(shù)/（立）和4=sina;在［0,2對(duì)上的圖象,

由圖可知，函數(shù)/（2）和"=sine在［0,2萬(wàn)］上有4個(gè)交點(diǎn),

所以/3）=51110；在［0,2司上有4個(gè)解，故。正確.

故選：BCD.

正弦函數(shù)的性質(zhì)先求出/（乃=2sin（24—勺，即可判斷，;

O

結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B,

結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷C;

結(jié)合圖象可判斷O.

本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于/,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,?滿足c+g=2,由基本不等式可得2=4+〃》2V/方，可得或/41,

當(dāng)且僅當(dāng)力=沙=1時(shí)取等號(hào)，故N正確；

對(duì)于瓦因?yàn)闃I(yè)!_3±<="二更》0，

244

可得/+才）依土更=當(dāng)=2,即最小值為2,當(dāng)且僅當(dāng)/=。=1時(shí)取等號(hào)，故8錯(cuò)誤；

22

對(duì)于C,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)%,?滿足6+g=2

可得，%+2=電+/=%+三+1）2、葉+1=5,當(dāng)且僅當(dāng)電=匕

xy工y工y\xyxV

42

則7=2y，即/=：沙=：時(shí)取等號(hào)，故C正確；

OO

對(duì)于D,（y/x+3+S/+4/二/+沙+7+2,（力+3）?+4）=9+2,（優(yōu)+3）（。+4），

第9頁(yè)，共17頁(yè)

又(z+3)H+4)W("+；+7)=?，則、當(dāng)且僅當(dāng)3+3)=僅+4),即工=*沙=3時(shí)取等號(hào)，則

(遙+3++4yW18，即入+3++4有最大值為3\/2.

故選：ACD.

由基本不等式結(jié)合題意可判斷選項(xiàng)正誤.

本題考查基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】1

【解析】解：因?yàn)?。=3，3°=2，

由4a=3,得(40)6=3。=2,

化簡(jiǎn)得22ab=2，可知2ab=1.

故答案為：1.

對(duì)一個(gè)等式兩邊取b次塞，由指數(shù)的運(yùn)算法則和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

本題主要考查了指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】15

【解析】解：采用插空法，5個(gè)1有六個(gè)空，將兩個(gè)0插入其中可得第=15,

即2個(gè)0不相鄰的排法有15種.

故答案為：15.

采用插空法計(jì)算即可.

本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

22

14.【答案】2V2亍+與=1

【解析】解：如圖，

因?yàn)镽IRL,F2P2n,

因?yàn)橹本€/：x+y=m,所以可設(shè)/Pi方程為沙=c+c,

所以由｛(;;士〉,可得打(號(hào)，”薩)，

第10頁(yè)，共17頁(yè)

-削+cm—c.

同理可得馬(>—，F(xiàn)-)，

因?yàn)橛民R=2,即j(詼——詼ry+(丫—詼”=2,

得。2=2今c=5,所以IF1F2I=2c=2A/2；

又|。馬|=2,即口=即62+°2=8,①

(x2y2_

聯(lián)立曲線和直線/:4+。=m方程可得(添+京=1,

x+y=m

消去x可得(a2+廬)去-2771b2+b2m2-a2b2=0,

因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△=4m2b4-4儲(chǔ)+b2)(b2m2-a2b2)=0,

化簡(jiǎn)可得a2+b2=m2由①得Q2+肥=6，

又由橢圓的性質(zhì)可得Q2—廬=2,所以〃2=4，/=2，

22

所以橢圓方程為Z+外=1.

42

22

故答案為：2\/2;亍+與=1，

由兩直線垂直斜率關(guān)系設(shè)為丹方程，聯(lián)立直線/方程，解出Pi，馬坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示|馬丹|=2

可得焦距；再聯(lián)立直線/和曲線方程由判別式等于零可得02+昭=m2,然后結(jié)合橢圓的°,b,。關(guān)系可得

橢圓方程.

本題主要考查求橢圓的方程，直線與橢圓的綜合，屬于中檔題.

15.【答案】s=110,t=100；

認(rèn)為居民的購(gòu)車(chē)傾向與性別有關(guān)；

4

分布列見(jiàn)解析，

5

【解析】解：(1)由表格數(shù)據(jù)可算得s=64+46=HO,i=46+54=100；

(2)零假設(shè)HQ：居民的購(gòu)車(chē)傾向與性別無(wú)關(guān)聯(lián),

200x(64x54-36x46)2?

計(jì)算可得2

x110x90x100x100-x6.545>3.841，

根據(jù)小概率值a=0.050的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可知零假設(shè)不成立,

即可以認(rèn)為居民的購(gòu)車(chē)傾向與性別有關(guān)；

(3)從傾向燃油車(chē)的90人中按性別分層抽樣抽取5人，則男性有5x群=2人,

第11頁(yè)，共17頁(yè)

女性有5x3=3人，設(shè)選中男性的人數(shù)為X,則X的所有可能取值為0,1,2,

所以P(X=0)=4

P(X=2)

io'Rx—1)—可一十Cl_10

則隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

3314

所以8(*)=0*訶+1*工+2乂布=9

1UO1U0

(1)直接由表格數(shù)據(jù)可計(jì)算得S,

⑵根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)算出、2,若X?〉3.841,說(shuō)明沒(méi)有充分證據(jù)推斷假設(shè)不成立，即可以認(rèn)為居

民的購(gòu)車(chē)傾向與性別有關(guān)，否則與性別無(wú)關(guān);

(3)根據(jù)分層隨機(jī)抽樣算出抽到的男性和女性人數(shù)，則男性人數(shù)的分布符合超幾何分布,

利用組合數(shù)即可算得男性的人數(shù)的分布列，從而算得數(shù)學(xué)期望.

本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】7x—2y+1—2In2=0；

證明見(jiàn)解析；

1.

【解析】解：(1)因?yàn)閒⑺=(Inre+2)2—In(力+1),

則/(工)=2(足/+2)——匚,

X/+1

7

所以/(乃在/=1處的切線的斜率為/'⑴=；,且/⑴=4—ln2,

7

則/(2)在2=1處的切線方程為沙一4+In2=一1),即72—2沙+1—2In2=0；

力1

(2)證明：因?yàn)?1nl------+4=21nlH-----+3(力〉1),

力+1力+1

令g(x)=2Inx-\--gy+3(1>1),

Q'ix\—2—]_2/+3a:+2_2(-+/+g0在0,+oo)上恒成立，

以)一工(/+1)2—小+產(chǎn)—g+l)2>U

7

即。(乃在(l,+oo)上單調(diào)遞增，所以以乃>g⑴=]>0,

力

即出〉1時(shí)，21nl-----+4>0成立；

x+1

第12頁(yè)，共17頁(yè)

1T11

(3)由f(x)=一[2(ln7+2)---------]=-(21nrcH--------+3),

XX+1Xx+1

由(2)可知,當(dāng)“e(0,+oo)時(shí)，g\x)>0,則g(c)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,

由零點(diǎn)存在定理可知e(白,白，使得1(，0)=0,

則/(2)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+00)上單調(diào)遞增，

因?yàn)榫舉z,滿足!》匕即功<1,所以整數(shù)”的最大值為1.

ene

(1)直接求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)數(shù)，算出/(I),f⑴,利用點(diǎn)斜式即可求得切線方程；

力

(2)根據(jù)題干條件構(gòu)造函數(shù)g(z)=21nx+4,利用導(dǎo)數(shù)求得g(z)的單調(diào)性和最值，從而證得所求不

等式;

⑶由⑵可知?jiǎng)tg⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增,注意到,)>0,心)<0,

由零點(diǎn)存在定理可知mge([,：),使得/(處)=0,所以從而得出整數(shù)〃的最大值為1.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切線方程求解中的應(yīng)用，不等式恒成立證明，零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于

中檔題.

17.【答案】ai=1；

證明見(jiàn)解析；

n+1

Tn=nx2.

Q1

【解析】解：⑴因?yàn)镾n為數(shù)列｛廝｝的前〃項(xiàng)和，an=^,a2=~,

所以當(dāng)幾=2時(shí)，$2=4。2=Q1+1，所以Ql=1；

62

⑵證明：因?yàn)镾"為數(shù)列｛Qj的前〃項(xiàng)和,Qn="、Q2=；,

nz6

2

所以當(dāng)口22時(shí),an=Sn—Sn-i=n2a九—(n—l)an-p

22

所以(n—1)Q九=(n—l)an-p

所以(幾+l)an=(n—l)an-lf

所以n(n+l)an=n(n-l)an-i，

所以n(n+l)an=n(n—l)an_i=—?=2X1XQI=1,

所以數(shù)列仞S+1)。"是常數(shù)列；

第13頁(yè)，共17頁(yè)

(3)由⑵知n(n+l)an=1,

所以斯=(］所以機(jī)=(九+1)2%

IL\fL|_L)

所以4=2x2i+3x22+4x23+?..+S+l)x2n①，

所以27；=2x22+3x23+...+nx2n+(n+l)x2"+i②，

①-②可得—7；=2x21+22+23+.-+2"-(九+1)x2"+1=2+2乂［2)_⑺+助工2n+1,

1—2

所以4=nx2n+i.

(1)由&=旬，結(jié)合題意可得答案；

⑵由Sn-Sn_i=恤，冗22結(jié)合題意可得(冗+1)%=(冗一1)冊(cè)_1，然后可完成證明；

(3)由(2)結(jié)合錯(cuò)位相減法可得答案.

本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，屬中檔題.

18.【答案】證明見(jiàn)解析；(i)作圖見(jiàn)解析，1：2；(ii)g.

【解析】解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)G是等邊△ABC的重心，連接CG并延長(zhǎng)交于點(diǎn)凡

所以廠是48的中點(diǎn)，連接PR

在中，濟(jì)嚅=2,

所以DGUPF,

DGC平面P/B,PFU平面P4B,

所以。G〃平面P4B.

(2)(i是等邊三角形，G為重心，E是8C的中點(diǎn),

所以/,G,E三點(diǎn)共線，連接AD,

所以△4DE的三邊是a與三棱錐的面的交線，

則兩部分的幾何體分別為三棱錐A-CDE和四棱錐4—BPDE,

設(shè)％=L.CDE，V=VA-pBc，三棱錐4—P8C的高為肌

第14頁(yè)，共17頁(yè)

則％=：XSACDEx%：X：x-CPx\cBxsinZPCBxh=—CPxCBxsinZPCBxh,

3323218

V=-xS"BCxh=-x-xCPxCBxh=-CPxCBxh,

3326

所以三棱錐4—CDE的體積與四棱錐4—BPDE的體積之比為1：2.

（"）取/。的中點(diǎn)〃，連接38,PH,AC1BH，AC1PH，BHCPH=H，BH,PHU平面PBH,

所以47,平面尸8”,ACU平面N3C,則平面平面尸5",

以77為坐標(biāo)原點(diǎn)，百刃的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系8-2上，

可知z軸在平面■內(nèi).

A(O,-A0),C(0,V3,0),B(3,0,0),G(l,0,0)，設(shè)P(x,0,z),

［叱=(-3)2+/=3J/=2

P由=/+Z2=6'解得3s

所以「（2,0,逝），

由標(biāo)=港,得嗚？￥）,

因?yàn)榍?&W，竿），前=（1，餌°），就=（°，2通，0）R=⑵通，叵），

OOO

設(shè)平面4DG的法向量南=（xi,yi,zi）,

(44732A/20

則*，由m二;可得(社1+可見(jiàn)+丁?1=°,

［叼+V3yi=0

可取南=(-73,1,0),

第15頁(yè)，共17頁(yè)

設(shè)平面尸/C的法向量討=(此，%？2)，

則1%子,由(力=0,可得(2何2二0

、n.LAP、7??AP=0I212+v3?/2+v2^2=0

可取方=(1,0,-72),

所以c°s<禮方〉=晶=十二一；,

設(shè)平面a與平面PAC所成角為e，

則sin0=\/1—cos2<nt,7?>=

所以a與平面尸NC所成角的正弦值為迎.

2

(1)由線段成立比得到。G〃PR,再由線面平行的判定定理證明即