2025年春九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《三角形綜合解答題》考前沖刺專題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖，乙MON=90°,正方形ABCD的頂點4、B分別在。M、ON上，AB=10,OB=6,

E為ZC上一點，且BC平分NEBN,直線DE與。N交于點F.

(1)求證：BE=DE；

(2)判斷DF與ON的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)ABEF的周長為.

2.如圖，已知正方形4BCD的邊長為2,點P、。分別在邊力。、CD上，PB^^APQ.

⑴求證;乙PBQ=45°；

(2)當(dāng)4P=PD,X是PQ的中點時，求的長；

⑶點尸、。分別在邊力D、CD上運(yùn)動時，直接寫出ABPQ面積的取值范圍.

3.如圖，在AABC和AaDE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE,連接BD,CE.

(1)如圖1,當(dāng)點E恰好在BC邊延長線上時，若BC=4,BD=2,求BE的長；

(2)如圖2,當(dāng)點C恰在邊DE上，若DBJ.AB,BD=2,求DE的長；

(3)如圖3,若DB14B,DE交直線BC于點F,試判斷OF與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4.如圖1直線y=kx+k交x軸于A,交y軸于8,若SA^OB=1.

(1)求A點的坐標(biāo);

(2)如圖2,若C為直線A8上一點，BC=AB,以8C為腰作等腰Rt△BCD,連接求直線

BD的解析式;

(3)如圖3,直線y=久-5交x軸于E,點M(2,m)是直線y=x-5上一點，若尸是線段力E上

的動點，過E作EH1PM于H,且點尸在MP的延長線上，F(xiàn)H=EH,連接4F,當(dāng)P在4E上

運(yùn)動時，求乙4FP的度數(shù).

5.如圖，在RtAABC中，AACB=90°,BD平分N28C,AD=AB,延長BC使得CE=2D,

連接?！?/p>

⑴判斷四邊形力CED的形狀，并說明理由；

⑵如圖，過2作力F1BD交BD于點F,點G在BD上，AG平分NC4B,過G作力G1GH交DE的

延長線于點H.

①求證：FA=FC；

②試探究：GD,GF,GH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.如圖1,在回A8CD中，點。是邊4。的中點，連接B0并延長，交CD的延長線于點E,連接

BD、AE.

mimz

⑴求證：四邊形4EDB是平行四邊形；

(2)如圖2,若BE=BC,判斷四邊形2EDB的形狀，并說明理由；

⑶在(2)的條件下，若BD=3,BC=5,動點P從點E出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿EC向

終點C運(yùn)動，設(shè)點P運(yùn)動的時間為t(t>0)秒.若點Q為直線48上的一點，當(dāng)P運(yùn)動時間t為何

值時，以8、C、P、Q構(gòu)成的四邊形是菱形？

7.綜合與實踐：在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種方法叫倍長中線法.

(1)如圖1,4D是AABC的中線，AB=8,AC=5,求4D的取值范圍；

(2)如圖2,AB=AE,AC=AF,4BAE=/.CAF=90°,。為BC的中點，求證，EF=2XD；

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，對角線AC,BD相交于點E,尸是BC的中點，乙CEF=UDB,

/.BAC+Z.BAD=180°,試探究BD與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

8.已知一次函數(shù)%=1+2與反比例函數(shù)丫2=珍40)的圖象交于4(2,爪)、B兩點，交y軸

于點C.

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點B的坐標(biāo)；

⑵若點4關(guān)于原點的對稱點為4,求444'B的面積；

⑶探究：在y軸上是否存在一點P,使得△力8P為等腰直角三角形，且直角頂點為點P,若存

在，請直接寫出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.在RtAABC中，/.ABC=90°,AB=BC,過點A作AEIBA,連接BE,CE,M為平面

內(nèi)一動點.

⑴如圖1,點M在BE上，連接CM,CM1BE,過點A作AF1BE于點尸，。為4c中點，連

接FD并延長，交CM于點H.求證：MF=MH.

（2）如圖2,連接BM,EM,過點2作BM，1BM于點B,且滿足BAT=BM,連接AM'MM',

過點B作BG1CE于點G,若SMBC=36,EM=6,BG=8,請求出線段AM'的取值范圍.

10.綜合與實踐.

【基本模型】學(xué)習(xí)正方形時，老師和同學(xué)們一起探究了課本中以下這道題的證明方法：

如圖1,四邊形4BCD是正方形，G為8c上的任意一點，。石146于點￡,BF14G于點?

求證：AF-BF=EF.

【問題解決】（I）同學(xué)們分組討論后，通過證明AAED三ABFA解決了問題.請你寫出證明

過程.

【問題研究】（2）如圖2,正方形ABCD中，點G為BC延長線上的任意一點，AE1DG^GD

延長線于點E.CF1DG于點孔試探索4E,CF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

【問題拓展】（3）如圖3,四邊形4BCD是正方形，點G為BC上的一點，BF14G于點孔

連接DF,若NB4G=30。，BF=2,請求出ATlDF的面積.

11.綜合與實踐

如圖1,在EL4BCD中，點E,F分另U在直線AB和4D上，直線C&BF相交于點G,NFGC=^DAB,

某數(shù)學(xué)興趣小組在探究CE,BF,AB,4D四條線段的比例關(guān)系時，經(jīng)歷了如下過程：

【特例感知】

(1)①如圖2,當(dāng)N4=90。,48=4。時,若EC=V5,求BF；

②如圖3當(dāng)乙4=90。時，若黑=|，求祟

【猜想證明】

（2）猜想BF,CE,4B,4D四條線段的比例關(guān)系，并結(jié)合圖1進(jìn)行證明.（備注：從圖1中的

①或②選擇一個證明即可）

12.在正方形4BCD中，點E在對角線4c上，AEBF=90°,BE=BF.

⑴如圖1,求證:AE=CF,CF1AC；

（2）作NE8F的平分線交4C于點G.

①如圖2,當(dāng)4E=1,CG=2時，求線段EG的長；

②如圖3,延長8G交CD于點X,連接EH,判斷線段BE與線段EH的關(guān)系，并說明理由.

13.已知ATIBC為等邊三角形，D,E分別為線段2C,48上一點，AE=CD,CE與BD交于

點、F.

圖1圖2

(1)如圖1,求證△AEC=ACDB-,

(2)如圖1,若NABD=3NACE,BF=1+V3,求EF的長；

⑶如圖2,H為射線BC上一點，連接HF,將線段繞點f逆時針旋轉(zhuǎn)120。得GF,連接BG,

若乙GBD=60°,求證：BG=BF+2CF.

14.【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,在AZBC與ATlDE中，AB=AC,AD=2E,^BAC=ADAE,

求證：^AEC^AADB；

【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2,在△ABC與△力DE中，力B=2C,AD=4E,Z.BAC=^DAE=90°,

B、D、E三點在一條直線上，2C與BE交于點R若點尸為4C中點,

①求NBEC的大小;

②CE=2,求AACE的面積;

【拓展提高】（3）如圖3,△AB-DE中，AB=AC,DA=DE,ABAC=^ADE=90°,

BE與CA交于點F,DC=DF,CD1DF,ABCF的面積為18,求4F的長.

15.如圖，在RtA4BC中，/.BAC=90°,AB=AC,點E為AC上一點，連接BE,過點C作

CD1BE,交BE延長線于點D,連接4D,過點力作4G14。交BE于點G.

⑴求證：AG=AD-.

⑵如圖2,連接CG,取CG中點H,連接4"并延長4H至點K,使得HK=AH,連接CK,求證：

BD=2AH；

⑶如圖3,將AABE沿BE折疊至A&BE,連接CA,將C4繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45。至CM,連接

力M交48所在直線于點F,當(dāng)力M取得最小值時，直接寫出乙4'FM的度數(shù).

16.【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

（1）如圖1,△ABC中，AC=BC,乙ACB=90。.點。既是斜邊4B上的中點，又是Rt△OEF

的直角頂點，RtAOEF繞點。轉(zhuǎn)動的過程中，0E交"于點。廣交BC于點N,連接MN,

CO.以下結(jié)論正確的有.（多選）

①NMOC=NNOB；②4Moe三4NOB；（3）MN2AM2+BN2.

【類比遷移】

（2）如圖2,邊長為8的正方形2C8D的對角線AB,CD交于點O,點。又是正方形2/iG。

的一個頂點，正方形&B1Q。繞點。轉(zhuǎn)動的過程中，。41交4C于點M,0cl交BC于點N,連

接MN.在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形MCN。的面積是否發(fā)生改變？若不發(fā)生改變，請求出四邊

形MCN。的面積；若發(fā)生改變，請說明理由.

【拓展探究】

（3）如圖3,矩形4CBD的對角線AB,CD交于點。，點。又是矩形2/1的。的一個頂點，

矩形4/iG。繞點。轉(zhuǎn)動過程中,。4交4c于點M,0氫交BC于點N,連接MN.MN?=AM2+

BN?是否成立？若成立，請證明結(jié)論；若不成立，請說明理由.

17.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究，在Rt△4BC中,

AACB=90°,N4BC=45。，AB=V10,。為線段4B上一點.

圖1圖2圖3

【初步感知】

（1）如圖1,連接CD,將CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。至CE.連接求NB4E的度數(shù)；

【深入探究】

（2）如圖2,將4力CD沿CD折疊至△ECD.射線CD與射線BE交于點F.若FE=3EB,求^CEF

的面積；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖3,BD=BC,連接CD.G為線段AC上一點，作點G關(guān)于直線CD的對稱點X,

點G繞8順時針旋轉(zhuǎn)45。至點K,連接HK,HB,請問CD和HK存在何種關(guān)系？并說明理

由.

18.【問題情境】數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在正方形ABCD中，E是8C的

中點，AELEP,EP與正方形的外角NDCG的平分線交于點P.試猜想2E與EP的數(shù)量關(guān)系，

并加以證明；

【思考嘗試】（1）同學(xué)們發(fā)現(xiàn)，取4B的中點R連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補(bǔ)

全圖形，解答老師提出的問題；

【實踐探究】（2）希望小組受此問題啟發(fā)，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,

在正方形4BCD中，E為8C邊上一動點（點不重合），AZEP是等腰直角三角形，乙4EP=

90°,連接CP,可以求出NDCP的大小，請你思考并解答這個問題；

【拓展遷移】（3）突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點；

如圖3,在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（點￡、8不重合），AdEP是等腰直角三角

形，乙4EP=90。，連接DP.知道正方形的邊長時，可以求出△力DP周長c的取值范圍.當(dāng)

AB=4時，請你求出△ADP周長c的取值范圍.

19.如圖1,以AABC的邊4B、4C為邊向外作正方形ABDE和正方形4CFG,連接EG.

⑴如圖2,若NB4C=90°,則SMBC______S&AEG（填"<"或

(2)如圖1,若NB2C<90°,則(1)中AABC與ATIEG的面積關(guān)系是否還成立？請說明理由.

(3)如圖3,若N4CB=90。，AB=10,AC=8,AH_LEG于點H,則AH的長為.

⑷如圖4,若NB4C<90。，AB=10,AC=8,CE=16,求△AEG的面積.

20.在綜合實踐活動中，"類比探究"是一種常用方法，我們可以先嘗試研究某個位置情況下

的結(jié)論，然后再類比到其他情況去探究結(jié)論.

已知，正方形4BCD和它的外接圓。。.

【問題初探】如圖1,若點E在弧2B上，尸是DE上的一點，且DF=BE,過點A作AM1DE.試

【類比探究】如圖2,若點E在弧AD上，過點A作4M1BE,試探究此時線段BE、DE、AM

之間的關(guān)系.請寫出你的結(jié)論并證明;

【拓展應(yīng)用】如圖3,在正方形A8CD中，CD=2A/2,若點P滿足PD=2,且/BPD=90。,

請直接寫出點A至！LBP的距離為

參考答案

1.(1)證明：回四邊形4BCD是正方形，

SBC=DC,4BCE=乙DCE=45°,

在ABCE和ADCE中，

-BC=DC

乙BCE=/.DCE

.CE=CE

0ABCFSADCE(SAS),

OBE=DE；

(2)解：。尸與。N的位置關(guān)系是：DF1ON,理由如下:

如圖1所示：

卜B0

圖1

由（1）可知：&BCEm4DCE,

團(tuán)43=Z4,

田BC平分乙EBN,

回乙4=乙CBF,

團(tuán)乙3=乙CBF,

回四邊形ZBCD是正方形，

^Z.BCD=90°,

回41+乙3=90°,

團(tuán)乙3=42,

團(tuán)乙2+乙CBF=90°,

團(tuán)乙DFB=90°,

^DF1ON；

(3)解：過點C作CG1ON于點G,過點。作?！?CG,交GC的延長線于點”，如圖2所示,

圖2

由(2)可知：DF1ON,

回N”=4HGF=4DFG=90°,

回四邊形DHGF是矩形，

0DF=HG,GF=HD,

回NMON=90°,

0A40B是直角三角形，

在RtAAOB中，AB=10,OB=6,

由勾股定理得：AO=7AB2-OB2=8,

回四邊形4BCD是正方形，

^ABC=乙MON=90°,AB=BC,

^OBA+乙CBG=90°,Z.OBA+ABAO=90°

^/.BAO=/-CBG,

在MOB和△BGC中，

AAOB=乙BGC=90°

Z-BAO=乙CBG,

、AB=BC

回△ZOB三△BGC(AAS),

團(tuán)4。=BG=8,OB=GC=6,

同理可證明：△DC"wzXCBG(AAS),

團(tuán)C”=BG=8,HD=GC=6,

WG=C”+GC=8+6=14,GF=HD=6,

甌F=BG-GF=8-6=2,DF=HG=14,

由(1)可知：BE=DE,

團(tuán)BE+EF=DE+EF=DF=14,

BEF的周長為：BE+EF+BF=14+2=16.

2.(1)證明：如圖，在PQ上取點E,使得P4=PE,

???四邊形Z8C0是正方形,

??.AB=BC,乙4=/.ABC=4。=90°,

???PB平分乙4PQ,

???乙APB=乙EPB,

在△ZBP和AEB「中，

(PA=PE

\^APB=乙EPB,

(BP=BP

/.△ABP=AEBP(SAS),

???乙ABP=乙EBP,NA=乙BEP=90°,AB=EB,

??.BE=BC,ZC=乙BEQ=90°,

又???BQ=BQ,

/.△BEQ三△BCQ(HL),

???Z-EBQ=乙CBQ,

???乙PBQ=乙EBP+乙EBQ="ABC=45°；

(2)解：如圖，連接BH,

I

.?.AP=PD=-AD=1,

2

設(shè)。Q=x,貝UCQ=CD-DQ=2-x,

由(1)可知，AABP三AEBP,ABEQ=ABCQ,

AP=PE=1,CQ=EQ,BE=AB=2,乙BEP==90°,

??.PQ=PE+EQ=AP+CQ=l+2—x=3—%,

在Rt^PDQ中，DP?+DQ2=PQ2,

???l2+x2=(3—x)2,

解得：％=%

...PQ=3-x=I，

????是PQ的中點，

PH=-PQ=-,

2y6

■.EH=PE-PH=16--=6-,

在RtABEH中，22；

???BH=y/BE+EH=6—

(3)解：由(1)可知，4ABpm4EBP,

BE=AB=2,乙BEP=zX=90°,

■■■S^BPQ=IPQ-BE=PQ,

:點p、。分別在邊a。、CD上運(yùn)動,

???當(dāng)點P與點D重合，點Q與點c重合時，PQ有最大值為2,

如圖，當(dāng)PQ1B。時，PQ有最小值,

???四邊形ABCD是正方形,

???/.ADB=乙CDB=/.ABD=乙CBD=45°,

：?△。用「和4DMQ是等腰直角三角形，

PM=DM=MQ,DP=DQ=V2PM,

BD垂直平分PQ,

???BP=BQ,

1

???4PBD=乙QBD=:乙PBQ=22.5°,

???/.ABP=22.5°=乙PBD,

■：PA1AB,PM1BD,

PA=PM,

：.AD=PA+DP=PM+y[2PM=(&+1)PM=2,

PM=2V2-2,

???PQ=2PM=4V2-4,

綜上可知，△BPQ面積的取值范圍為4或-4<SABPQ<2.

3.(1)解：；4BAC=Z.DAE,

Z-BAC—乙CAD=Z-DAE-Z-CAD,

???乙BAD=Z-CAE,

XvAB=AC,AD=AE,

/.△ABD三△ACE(SAS),

BD=CE,

???BC=4,BD=2,

??.BE=BC+CE=BC+BD=6；

(2)解：同(1)理可證，△ABD2Zk/CE(SAS),

DB1AB,BD=2,

???/-ACE=Z-ABD=90°,CE=BD=2,

AD=AE,AC1DE,

CD=CE=2,

??.DE=4；

(3)解：DF=EF,理由如下：

如圖，過點。作。于點M,過點E作EN1BF延長線于點N,

???乙ABD=90°,

???乙ABC+乙CBD=90°,

同(1)理可證，△ABDNZkACE(SAS),

???/,ACE=乙ABD=90°,BD=CE,

???乙ACB+乙ECN=90°,

???AB=AC9

???乙ABC=Z-ACB,

???乙CBD=乙ECN,

在△BMD和△(?可￡中，

乙DBM=Z.ECN

Z-BMD=乙ENC=90°,

BD=CE

/.△BMD三△CNE(AAS),

??.DM=EN,

又???"MF=乙ENF=90°,乙DFM=乙EFN,

DMF=△ENF(AAS),

??.DF=EF.

4.(1)解：回直線y=k%+k交x軸于A,

團(tuán)令y=0，即：0=kx+kf解得：x=—1,

(2)解：團(tuán)S”0B=1，

^AO-BO=1,即：OB=2,

0B(O,2),

作CE1y軸于E,作DF1CE于F,

EIBC=AB,以8c為腰作等腰RtABCD,

0ZFCD=90°,

回NBCE+乙DCF=90°,

^ECB+乙EBC=乙FCD+乙FDC=90°,

團(tuán)乙EBC=Z-FCD,

團(tuán)在△^。后和^CD/7中，

乙BEC=Z.F

乙EBC=乙FCD,

、BC=DC

BCE=△CDF(AAS),

團(tuán)EC=FD,

^\BC—AB,

在△45。和4CBE中，

NAOB=乙CEB

乙ABO=Z.EBC,

.AB=BC

回△ZB。=△CBE(AAS),

團(tuán)EC=AO=1,EB=BO=2,

團(tuán)D(3,3),

團(tuán)設(shè)直線80的解析式為：y=k%+b(kH0),

將8(0,2)和。(3,3)代入得：

「上72,解得：卜=《，

13k+b=3kb=2

回直線BD的解析式為：y=|x+2；

(3)解：連接AM,作ANIMP于N,

回點M(2,m)是直線y=%-5上一點,

0m=—3,

團(tuán)M(2,-3),

團(tuán)直線y=x—5交x軸于E,

團(tuán)令y=0,即：x=5,

呵5,0),

071(-1,0),

團(tuán)AM=ME=3VL

團(tuán)4E=6,

^AM2+ME2=6=AE,

團(tuán)4M1ME,

團(tuán)EH1PM,

團(tuán)/AMN=乙MEH=90°-乙HME,

在△AMN和△ME”中，

NANM=乙NHE

乙AMN=乙MEH,

AM=ME

AMN三△MEH(AAS),

團(tuán)MN=EH,AN=MH,

MH=EH,

團(tuán)F”=MN,

MN=MH=AN,

^AFP=45°.

5.(1)解：四邊形/CEO是矩形，理由如下:

8。平分/ABC,

???乙ABD=Z-DBE,

AD=AB,

???Z-ADB=乙ABD,

Z-DBE=Z-ADB,

???AD||EB,

???CE=AD,

二四邊形4CE0是平行四邊形，

乙ACB=90°=/-ACE,

四邊形4CED是矩形；

(2)解：①證明：連接EF,

1

.?.DF=FB=-BD,

2

乙DEB=90°,

???EF=-BD

2f

??.DF=EF,

???z.1=z2,

???z.3=z_4,

由。F=Z3=Z4,DA=EC,得△AD尸三△CEF(SAS),

FA=FC,

②GH=&(DG-FG),

理由：過G作GQIIAC,交FA延長線于Q,連接DQ,

11

???z3=z2=zl=-/.CBA,

22

1i

z4=zl+z3=-zCXB=45°,

22

又乙4FG=90°,

??.△F/G是等腰直角三角形，

???FA=FG,

設(shè)42=43=a,則41=45°-a,

???GQ||AC,

Z.7=z2=a,

z5=90°-zl-z2-z3=45°-a,

???z6=z.5=45°—a,

???zl=z.6,

由zl=z6,Z-AFG=Z.AFG,FA=FG,

得AFAB三△FGQ(AAS),

.??FQ=FB=FD,

???△FDQ為等腰直角三角形，

???Z8=45°,

Z8+Z6+Z7+Z.AGH=45。+45。-a+a+90°=180°,

???DQ||GH,

???四邊形。QGH是平行四邊形，

???GH=DQ=y[2DF=a(DG-FG)；

6.(1)證明：回四邊形/BCD是平行四邊形，

團(tuán)48||CD,

團(tuán)乙48。=Z-DEO,

團(tuán)點。是邊的中點，

固4。=DO,

在44。3和4DOE中，

Z.AOB=(DOE

Z.ABO=乙DEO,

AO=DO

團(tuán)△408三△DOE(AAS),

WO=EO,

團(tuán)四邊形AEDB是平行四邊形.

（2）解：回四邊形4EDB是平行四邊形

團(tuán)48=CD

回△AOB=LDOE

團(tuán)48=DE

WE=CD

回BE=BC

團(tuán)1CE

^BDE=90°

團(tuán)四邊形ZEDB是矩形

(3)解：^BDC=90°,BD=3,BC=5,

團(tuán)CD=y/BC2-DC2=V52-32=4,

團(tuán)四邊形AEDB和四邊形ABC。都是平行四邊形，

WE=AB=DC=4,

0CE=2DE—8,

0FP=t,

團(tuán)PC=8-3

如圖2,以8、C、P、Q構(gòu)成的四邊形是菱形，且點P與點Q在直線BC同側(cè)，則PC=BC,

08—t=5,

解得t=3；

如圖3,以8、。、。、＜2構(gòu)成的四邊形是菱形,且點「與點(2在直線8(7異側(cè)，則/58=PC=8-t,

圖3

SBD2+PD2=PB2,5.PD=t-4,

032+(t-4)2=(8-t)2,

解得”?，

o

綜上所述，當(dāng)運(yùn)動時間t為3秒或個秒時，以B、C、P、Q構(gòu)成的四邊形是菱形.

O

7.(1)解：延長力D到點E.使=連接BE,

'、；

爐

回AD是△48C的中線，

ECD=BD,又乙ADC=LEDB,

S^ADC=AEDB(SAS),

ELBE=AC=5,

回在△力BE中，AB-BE<AE<AB+BE,

03<XE<13,

0DF=AD,

SAE=2AD,

03<2AD<13,解得1.5<AD<6.5,

故答案為：1.5<AD<6.5；

(2)證明：延長AD至G,使DG=4D,連接BG,貝!]AG=240

回點。為8c的中點,

團(tuán)CD=BD,

在△4。。和4GDB中

AD=DG

Z-ADC=Z-GDB,

CD=BD

回△ZDC=△GDB(SAS),

乙

團(tuán)AC=BG9Z-C—GBD,

團(tuán)4c=AF,

團(tuán)BG=AF,

^BAE=^CAF=90°,

^EAF+ABAC=180°,

^ABG=乙ABC+ZC=180°-^BAC=^EAF,

在△瓦4F和"BG中

AE=AB

LEAF=乙ABG，

.AF=BG

回△ZBG=AEi4F(SAS),

團(tuán)EF=AG=2AD.

(3)證明：如圖，延長EF至！JG,使得EF=FG,連接CG,延長CA到“，使得/

連接B”，

團(tuán)點方是邊的中點，

團(tuán)=CF,

^EFB=乙CFG,

0ABEF=△CGF(SAS),

團(tuán)BE=CG,Z.G=乙BEF,

回CG||BE,

^\Z-BEH=Z-GCE,

^BAC+乙BAD=180°,ABAC+乙BAH=180°

^BAH=乙BAD,

的4=BA,

團(tuán)△BA”=△84。(SAS).

國BD=BH,乙H=(ADB,

^ADB=乙CEF,

團(tuán)乙H=Z.ADB=乙CEF,

fUAHBE=△EGC(AAS),

回=EG=BD=2EF.

8.(1)解：???一次函數(shù)為=^x+2圖象過點4

m=-x2+2=3,

2

??.A(2,3),

???反比例函數(shù)%=:的圖象過點4(2,3),'

???k=2x3=6,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為%=*

(11c

y=-x+2

由26,

V=-

B點的坐標(biāo)為(-6,-1)；

???點力關(guān)于原點的對稱點為力'的坐標(biāo)為(-2,-3),

把％=-2代入yi=|x+2,

可得Yi=1，

???叭一2,1),

???MA'=4,

?'^LAA'B=^LA'BM+^LAA'M=]X4X(2+6)=16；

(3)解：如圖，過點/作/Ely軸于E,8。1丫軸于。,

???△ABP為等腰直角三角形，

??.BP=AP,乙APB=90°=Z,AEP=乙BDP,

??.Z,APE+2BPD=90°=Z.APE+^PAE,

???(BPD=乙PAE,

/.△BPD=AP^E(AAS),

.?.BD=PE=6,

???E(0,3),

???點P(0,-3).

9.(1)解：CM1BE,AF1BE,

^AFB=乙BMC=Z.FMC=90°,

^ABF+ABAF=90°,

^ABC=90°,

^ABF+/.CBM=90°,

^\Z-BAF=乙CBM,

團(tuán)48=BC,

回△ABF=△BCM,

團(tuán)BF=MC,AF=BM,

^AFB=Z.FMC=90°,

^AF||CM,

^FAC=乙HCD,

團(tuán)。為4c中點，

團(tuán)4。=CD,

0ZFDX=乙HDC,

回CHD,

BAF=CH,

WM=CH,

團(tuán)BF=CM

國BF-BM=CM-CH

團(tuán)MF=MH.

(2)解：連接CM,

AE

團(tuán)BM'IBM,/.ABC=90°,

回乙ABC=乙MBM'=90°,

團(tuán)4M'BA=4CBM,

團(tuán)48=BC,BM'=BM,

0AABM'CBM,

團(tuán)AM'=CM,

^\AE1BA,Z.ABC=90°,

^ABC+/.BAE=180°,

團(tuán)4EIIBC,

回SAZBC—S?BEC=36,

團(tuán)BG1CE,BG=8,

回S^BEC=3義ECx8=36,

團(tuán)EC=9,

在4ECM中，EM=6,

則9-6WCMW9+6,

03<CM<15,

03<AM'<15.

10.(1)證明：回四邊形4BCD是正方形,

BGC^BAD=90°,AB=AD,

：./.BAG+/.DAE=90°,

DE1AG,

???乙AED=90°.

???/-DAE+AADE=90°,

???Z.ADE=Z-BAG.

???BFLAG.

??.AAFB=ADEA=90°,

：.^ADE三△BAF(AAS).

??.BF=AE.

.?.AF-BF=AF-AE=EF；

(2)解：AE+CF=EF,理由如下：

回四邊形/BCD是正方形

??.AD=CD,乙ADC=90°

???^LADE+乙CDF=90°,

???AE1DG,

???^AED=90°

???^ADE+乙DAE=90°.

???Z-DAE=Z.CDF,

???CF1DGf

???乙CFD=90°,

:.Z-E=Z-CFD,

：^ADE^ADCF（AAS）.

???4E=DFfDE=CF.

??.AE+CF=DF+DE=EF；

（3）解：如圖，作DE，AF交4F于點E,

BGORtAABF中，/.BAG=30°,BF=2,

AB=2BF=4,

由勾股定理得4F=7AB2—BF2=V42-22=2?

由（1）得：AE=BF=2,DE=AF=2?

???SAADF=~AF?DE=|x2V3x2V3=6.

11.解：［特例感知］

①當(dāng)NBA。=90。,AB=4。時，平行四邊形2BCD是正方形，如圖所示,

^BAF=/.CBE=90°,AB=BC,

0ZFGC=/.DAB

國/FGC=N￡L4B=90°,BPCE1BF,

EI4EBG+乙GBC=Z.GBC+/.BCG=90°,

^ABF=乙BCE,

2BAF=UBE=90°

在△48尸和△BCE中，AB=BC

、4ABF=乙BCE

ABF三△BCE(ASA),

團(tuán)BF=CE=居,

故答案為：V5；

②當(dāng)乙4=90。時，如圖所示,

團(tuán)四邊形ZBCD是矩形,

團(tuán)=/-ABC=90°=/.FGC,AD=BC,

團(tuán)CE1BF,

^ABF+A.AFB=4ABF+乙BEG=90°

^AFB=乙BEC,

[?]△ABFs'BCE,

^ABBF

回--——

BCCE

回一二3即anA——B=3

AD2BC2

3

回--——

CE2

3

故答案為:2；

［猜想證明］（2）喘=給理由如下,

ADCE

點E,尸在線段48,4。上,

回四邊形4BCD是平行四邊形,

^AB=CD,AD=BCfAB||CD,AD||BC,

回NZ+Z,ABC=180°,

^FGC+乙CGB=180°,乙人=乙FGC,

^\Z-CGB=乙EBC,且Z_BCG=乙ECB,

[?]△BCGfECB,

噂=需乙CBG=AEB,

^\AF\\BC,

^\Z-AFB=乙CBG,

^AFB=ABEG,&^EBG=/-FBA,

[?]△BEGs匕BFA,

「BEBG

回--=---

BFAB

ABBG

回---=----

BFBE

「BCAB

團(tuán)---=----

CEBF

BF

"回-B-=---

BCCE

團(tuán)4。=BC,

^ABBF

團(tuán)--——;

ADCE

點瓦F在直線ZB,上,

同理，四邊形ABC。是平行四邊形,

^AB=CD,AD=BC,AB||CD,AD||BC,

團(tuán)乙028+Z,ABC=180°,

團(tuán)4FGC+乙CGB=180°,/-DAB=4FGC,

^\Z-CGB=Z.EBCf且Z_8CG=(ECB,

BCGECB,

曜=祟MBG=MEB,

團(tuán)4FIIBC,

^\Z-AFB=Z-CBG,

^AFB=/.BEG,且NEBG=4FBA,

0ABEG—△BFAf

回「-B-E=-B-G

BFAB

^ABBG

回------

BFBE

^回A-B-=-B-F

BCCE

^\AD=BC,

AB_BF

綜上所述，凡四條線段的比例關(guān)系為:

BCEMSADAD-CE

12.(1)證明：團(tuán)四邊形ABC。是正方形,

^\AB=BC,AABC=90°,ABAC=^ACB=45°.

^EBF=90°,

^\Z-ABC-Z-EBC=Z-EBF-Z-EBC,

^AABE=乙CBF.

團(tuán)BE=BF,

[?]△ABE=△CBF.

團(tuán)AE=CF,乙BCF=4BAE=45°.

^ACF=AACB+^BCF=90°.

^CF1AC.

(2)解：①如圖2,連接FG.

由（1）可知中，^ACF=90°,CF^AE=1,

0FG=y/CF2+CG2=Vl2+22=V5.

MG平分NEBF,

^\Z-EBG=Z-FBG,

^\BE—BF,BG—BGf

0AEBG=△FBG.

0FG=FG=V5.

②BE1EH,BE=EH.

理由：如圖3,連接F"，作“MlAC于點M,

作FN1交HM延長線于點N.

則NEM"=乙CMN=ACMH=NN=乙FCM=90°.

回四邊形MNFC是矩形.

0CM=FN.

回四邊形ABC。是正方形，

團(tuán)乙4cH=45°.

回乙4cH=4CHM=45°.

WM=CM=FN.

B\BE=BF,乙EBH=LFBH=45°,BH=BH,

[?]△EBH=△FBH.

^\EH=FH,乙EHB=LFHB.

團(tuán)Rt△EMH=Rt△HNF.

^EHM=乙HFN.

^EHF=乙EHM+乙FHN=乙HFN+乙FHN=90°.

國乙EHB=乙FHB=45°.

?乙EBH=LEHB,/-BEH=90°.

0BE1EH,BE=EH.

13.（1）證明：在等邊三角形△ABC中，AC=BC,/_A=^ACB=AABC=60°,

在△血1和4CDB中，

AE=CD

NA=乙ACB=60°

AC=BC

?-?AAECdCOB（SAS）；

（2）解：過點E作EG1BD,如圖所示：

由（1）可矢口AaEC三△CDB,

Z.ACE=Z.CBD,

設(shè)乙4CE=乙CBD=a,貝/BD=3〃CE=3a,

4a=60°,解得a=15°,

.?.在RtABGE中，乙EGB=90°,4EBG=45°,貝UNBEG=45°,

乙BEF=42+^ACE=75°,

乙GEF=30°,

在RtAEFG中，設(shè)FG=x,貝!]EF=2x,由勾股定理可得EG=7EF2一FG2=岳,

???BG=EG=V3x,

BF=1+V3=V3x+x,解得x=1,則￡T=2尤=2；

(3)證明：延長CE交BG于/,在GB上取G/=FC,如圖所示:

由（1）AAEC=ACDB,

???Z.ACE=Z.CBD,

???乙FCB是△FC”的一個外角，

???Z.FCB=ZH+乙HFC,

???乙FCB+/.ACE=60°=ZH+Z.HFC+/.ACE,N”+4G+乙GBH=乙HFG=120°,即

N"+NG+乙GBD+乙CBD=120°

又回RGB。=60°,則N”+NG+/.ACE=60°,

???乙HFC=乙G,

???將線段”F繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)120。得GF,

??.FH=FG,乙HFC+乙GFE=60°,

在和△—；/中，

FH=FG

乙HFC=ZG

.GI=FC

/.AHFC三△FG/(SAS),

???乙GFI=(H,

由4"FC+4GFE=60。知，^HFC+^GFI+Z.JFI=60°,貝!+N”+N/F/=60。，

???乙H+乙HFC+AACE=60°,

々FI=^ACE,BPZ/F/=ACBD,

???乙FJB是△F〃的一個外角，

???乙FJB=々FI+Z-JIF=Z.JFI+4G+Z.GFI=60°,

???ABFJ^尸8。的一個外角，

???乙BFJ=乙FCB+Z.CBD=60°,

BF/是等邊三角形，則BF=FJ=BJ,

???Z//F=4G+乙GFI,Z.FCB=4”+HFC,

??.Z.JIF=乙FCB,

在4和中，

?JIF=乙FCB

乙JFI=乙FBC

.BF=F]

JFI=AFBC(AAS),

/.JI=FC,

??.BG=BJ+JI+IF=BF+2CF；

14.解：(1)vZ.BAC=^DAEf

Z-BAC-Z-BAE=乙DAE—Z.BAE,

^Z.CAE=4BAD,

在△AEC和△ADB中，

AC=AB

Z-CAE=Z-BAD，

.AE=AD

.*.△AEC三△ADB(SAS)；

(2)@-：AD=AE,ZDXF=9O°,

???^.ADE=^AED=45°,

???Z.ADB=180°-/.ADE=180°-45°=135°,

同(1)得：AAECmAaDBlSAS),

???^AEC=4ADB=135°,

???乙BEC=/.AEC-^.AED=135°-45°=90°；

②如圖2,過點A作AGIDE于點G,

圖2

貝IUFGA=90°,

由①可知，NFEC=90。，

Z.FGA=Z.FEC,

???點/為/C中點，

??.AF=CF,

又???^AFG=乙CFE,

AGF=△CEF(AAS),

.'.AG=CE=2,GF=EF,

vAD=AE,/DAE=90。，

DG=EG=AG=2,

.?.GF=EF=-EG=1,

2

SRACE~2sACEF=2x-CE-EF=2x1=2；

(3)解：如圖3,連接CE,

EC

同(2)得：△CDEmziFDA(SAS),

??.CE=AF,乙DCE=Z.DFA=135°,

???/,ACE=乙DCE一4ACB=135°-45°=90°,

在△ACE和△BAF中，

AC=AB

/-ACE=Z.BAF=90°，

CE=AF

ACE三△8”(SAS),

，?S〉A(chǔ)CE=^^BAF9

Z-ACE=Z-BAC,

回CE||g

^LABE~^LABC=3"?48=5"2，

S^ZBC+S^ACE-^LABE-S〉CEF=LBCF'

1cl1cl

-AC2+-AC-CE--AC2--CE-CF=18,

2222

???AC-AF-AF-CF=36,

???AF^AC-CF)=36,

???AF2=36,

???29=演=6負(fù)值舍去，

即AF的長為6.

15.(1)證明：回AG1AD,LBAC=90°,

團(tuán)乙O/G=Z.BAC=90°,

回乙BAG+^CAG=/.CAD+Z.CAG=90°,

團(tuán)乙BAG=Z-CAD,

回CD1BE,

^BAE=(CDE=90°,

又回=Z.CED,

^\Z-ABE=Z-DCE,

即乙4BG="CD,

團(tuán)48=AC,

[?]△ABG=△AC。(ASA),

團(tuán)4G=AD；

(2)證明：團(tuán)CG中點是H,

回G”=CH,

在△AG”與△KC”中，

GH=CH

乙AHG=乙KHC,

、AH=KH

團(tuán)△ZG”三AKCH(SAS),

團(tuán)AG=CK,^GAH=乙CKH,

團(tuán)4G||CK,

^GAC+AACK=180°,

^DAG=乙BAC=90°,

團(tuán)/DAG+乙BAC=180°,

即4G/C+^DAC+^BAC=180°,

艮114GAe+4BAD=180°,

回/ACK=乙BAD,

團(tuán)4G=AD,

回CK=40,

在△ACK與△84。中，

AC=AB

/-ACK=4BAD，

CK=AD

團(tuán)△ACK三△BAD(SAS),

團(tuán)=AK=2AH,

即=2AH；

(3)解：如圖，過點C作CT1AC,并且使C7=BC,連接力T,MT,

0ZF4C=90°,AB=AC,

回△ABC是等腰直角三角形，

回乙4cB=45°,

0ZTCB=/.ACT-/-ACB=45°,

由旋轉(zhuǎn)知CM=C4,^A'CM=45°,

0ZTCB=/.A'CM,

^TCB-ABCM=^A'CM一4BCM,

回"CM=NBCA,

在ATCM與△BC4中，

-TC=BC

乙TCM=ABCA',

.CM=CA'

0ATCMmABCa'lSAS),

STM=BA',

由翻折知B力=BA',

可知B4是定值，

由RtAACT中，AC,乙4CT,CT=BC是定值，

則斜邊47是定值，

由三角形三邊關(guān)系可知AM>AT-TM,當(dāng)且僅當(dāng)4、M、7依次共線時，4M取得最小值4T-

TM,此時如圖，連接CF,

0ATCM=ABCA',

回/TMC=Z.BA'C,

回N7MC+NFMC=180°,

^z.BA'C+乙FMC=180°,

E1ZFMC+ZFCM+/.CFM+^A'FC+^A'CF+/.CA'F=180°+180°,

0(zFMC+NCAF)+(NFCM+NA'CF)+(乙CFM+乙4'FC)=360°,

回180°+/.A'CM+/.A'FM=360°,

0180°+45°+^A'FM=360°,

解得:/.A'FM=135°.

16.解：(1)EL4C=BC,AACB=90°,點。是4B的中點，

???AO=CO=BO/ACO=NB=45°,NCOB=90°=乙MON,

：.4MOC=乙NOB,

?-.AMOC=△WOB(ASA),

BN=CM,

???AC=BC,

AM=CN,

???MN2=CM2+CN2,

：.MN2=AM2+BN2,

故答案為：①②③；

(2)不發(fā)生改變，S四邊形MCNO=16，

理由如下：

團(tuán)四邊形ACBD是正方形，

.?.AO=BO=COf^ACO=乙ABC=45。,乙4OC=乙=90°,

??.ZMOC=乙BON=90°-乙CON,

團(tuán)在△MOC和ANOB中，

2MCO=乙NBO

/.MOC=Z.NOB,

CO=BO

.?.△MOC三△NOB(AAS),

???S^MOC=S^BON'

,,,S四邊形CNOM=S^NOC+S&MOC=S^NOC+S^NOB=S^BOC=qS&ABC

11

=-x-x8x8

22

=16.

(3)MN2=AM2+BN2成立，

理由如下：

如圖3,延長M。交。B于瓦連接EN,

團(tuán)四邊形ACBO是矩形，

???AO=BO,AC\\BDfZ.CBD=90°,

???/.MAO=乙EBO,乙AMO=乙BEO,

在△4M。和△BE。中

2M4。=乙EBO

LAMO=乙BEO,

AO=BO

團(tuán)△ZM。三△BEO(AAS),

???AM=BE,MO=EO,

???(MON=90。,M。=EO,

???MN=NE,

團(tuán)在Rt2kBEN中，乙NBE=9。。,

???NE2=BE2+BN2,

即MN2