江蘇省無錫市青山高級(jí)中學(xué)2024?2025高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．若，則（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或32．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（

）A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.843．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A． B． C．20 D．804．2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)乒乓球比賽，中國隊(duì)表現(xiàn)出色，包攬全部乒乓金牌，其中混雙是中國歷史上第一塊奧運(yùn)乒乓球混雙金牌，由王楚欽和孫穎莎組成的“莎頭”組合對(duì)戰(zhàn)朝鮮隊(duì)，最終以的比分贏得勝利.假設(shè)2025年的一次乒乓球比賽中，“莎頭”組合再次遇到朝鮮隊(duì)，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽“莎頭”組合獲勝的概率為，則“莎頭”組合再次以獲勝的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．6．甲?乙?丙?丁?戊?己共6名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)文化知識(shí)比賽，決出第1名到第6名的名次.甲?乙去詢問成績，回答者對(duì)甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名.”對(duì)乙說：“你和丙的名次是相鄰的.”從對(duì)這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有（

）種.A．144 B．156 C．168 D．1927．已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釣著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為，若從頂端投入1024粒小球，則落入3號(hào)格子的小球的均值為（

）A．93 B．120 C．210 D．300二、多選題9．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，則下列結(jié)論正確的是（

）-213A． B．C． D．10．某校高三年級(jí)要從5名男生和2名女生中任選3名代表參加數(shù)學(xué)競賽（每人被選中的機(jī)會(huì)均等），記“男生甲被選中”，“男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中”，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．11．對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的（

）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．若恒成立，則三、填空題12．一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為（s的單位：m，時(shí)間單位：s），則該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度為.13．展開式中的系數(shù)為．14．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，其中則的值為.四、解答題15．3名男生與4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法總數(shù)．按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答．（1）從中選出1名男生和3名女生排成一列；（2）全體站成一排，男生必須站一起；（3）全體站成一排，甲不站排頭，乙站在排尾．16．已知，求解：（1）；（2）；（3）．17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．DeepSeek是由中國杭州的DeepSeek公司開發(fā)的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學(xué)習(xí)的決心．DeepSeek主要功能為內(nèi)容生成、數(shù)據(jù)分析與可視化、代碼輔助、多模態(tài)融合、自主智能體等，在金融領(lǐng)域、醫(yī)療健康、智能制造、教育領(lǐng)域等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場景．為提高DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織A，B兩部門的50名員工參加DeepSeek培訓(xùn)．（1）此次DeepSeek培訓(xùn)的員工中共有6名部門領(lǐng)導(dǎo)參加，恰有3人來自部門．從這6名部門領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人，記表示選取的2人中來自部門的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）此次DeepSeek培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪培訓(xùn)結(jié)果相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的員工才能合格．（?。┣竺课粏T工經(jīng)過培訓(xùn)合格的概率；（ⅱ）經(jīng)過預(yù)測，開展DeepSeek培訓(xùn)后，合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤30萬元，不合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤20萬元，且公司需每年平均為每位參加培訓(xùn)的員工支付3萬元的其他成本和費(fèi)用．試估計(jì)該公司兩部門培訓(xùn)后的年利潤（公司年利潤員工創(chuàng)造的利潤-其他成本和費(fèi)用）．19．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線)在點(diǎn)處的切線方程;（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對(duì)任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以或，解得?故選D.2．【答案】C【詳解】由題意得，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，所以．故選C3．【答案】D【分析】先求出展開式中的通項(xiàng)，再求出值即可．【詳解】展開式中的通項(xiàng)公式為：，令，則，展開式中的系數(shù)為，故選D．4．【答案】B【詳解】“莎頭”組合再次以獲勝，即前局“莎頭”組合勝局、負(fù)局，第局“莎頭”組合獲勝，所以“莎頭”組合再次以獲勝的概率.故選B5．【答案】D【詳解】由可得，令可得，即.故選D6．【答案】C【詳解】依題意，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，當(dāng)丙是第一名時(shí)，則第二名肯定是乙，則共有種不同名次排列情況；當(dāng)丙不是第一名時(shí)，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，則共有種不同名次排列情況，故共有種不同名次排列情況.故選C7．【答案】D【詳解】由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以，所以，即.故選D8．【答案】B【詳解】由于小球是等概率的向左或向右下落，則最后落入格子的號(hào)碼數(shù)，所以，又1024個(gè)小球落入第三個(gè)格子的球數(shù)，所以，即落入第三個(gè)格子的球數(shù)均值為120.故選B.9．【答案】BD【詳解】對(duì)于，由分布列的性質(zhì)可得，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于，故B正確；對(duì)于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D正確.故選BD.10．【答案】ACD【詳解】由題意，總情況數(shù)為，符合事件的情況有先選定男生甲，再從剩下的人種選出人，則情況數(shù)為，所以，對(duì)于事件“男生甲被選定，且男生乙和女生丙至少一個(gè)被選中”，符合事件的情況有①先選定男生甲，再選定男生乙，最后再除男生甲乙與女生丙之外的人中選出人，則情況數(shù)為，②先選定男生甲，再選定女生丙，最后再除男生甲乙與女生丙之外的人中選出人，則情況數(shù)為，③先選定男生甲，再選定男生乙與女生丙，則情況數(shù)為，所以，對(duì)于事件，易知其對(duì)立事件“男生乙與女生丙都不選”，則事件的情況有從除男生乙與女生丙之外人選人，則情況數(shù)為，所以，由條件概率公式可得．故選ACD．11．【答案】ACD【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；由函數(shù)的圖象，可得，因?yàn)?，所以，所以C正確；若在恒成立，則在恒成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，所以D正確.故選ACD.12．【答案】12【詳解】因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，所以，所以當(dāng)時(shí)的瞬時(shí)速度為.13．【答案】【詳解】因?yàn)檎归_式通項(xiàng)，所以展開式中項(xiàng)為：，所以展開式中的系數(shù)為.14．【答案】1【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，；時(shí)，，∴，作出的圖象，如圖要使有三個(gè)不同的零點(diǎn)，其中令，則需要有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根（其中）可得，∵，∴，則∴，則，且∴.15．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）從3名男生中任選1名有種選法，從4名女生中任選3名有種選法，再將選取的4人全排列有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種排法．（2）將3個(gè)男生看作一個(gè)整體，然后與4個(gè)女生全排有種，再將3個(gè)男生全排列有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種排法．（3）乙站在排尾，對(duì)于甲有種排法，其他人有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有種排法．16．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）令，得①．令，得②，由①②，得，.（2）求，即相當(dāng)于求二項(xiàng)式的系數(shù)和，令，得．（3）因?yàn)?，兩邊分別求導(dǎo)，得，令，得．17．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值，無極大值；（2）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，無極大值；（2）當(dāng)時(shí)恒成立，所以；當(dāng)，在上有解，即在上有解，即在上有解，令，，則由（1）知時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．【答案】（1）分布列見解析，1（2）（?。?；（ⅱ）1100【詳解】（1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．的分布列為012的數(shù)學(xué)期望．（2）（?。┯洝懊课粏T工經(jīng)過培訓(xùn)合格”，“每位員工第輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀”（），，根據(jù)概率加法公式和事件相互獨(dú)立定義得，，即每位員工經(jīng)過培訓(xùn)合格的概率為．（ⅱ）記兩部門開展DeepSeek培訓(xùn)后合格的人數(shù)為，則，，則（萬元），即估計(jì)兩部門的員工參加DeepSeek培訓(xùn)后為公司創(chuàng)造的年利潤為1100萬元．19．【答案】（1）（2）答案見解析（3）3【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，