（16）圖形的相似與位似（知識精煉）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精煉與綜測重難講解1.四條線段成比例：對于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段成比例.【注意】（1）成比例線段是有順序的，即若是成比例線段，則（或），不能寫成.（2）在運用計算時，通常情況下，四條線段的長度單位要一致，但有時為了計算方便，的長度單位一致，的長度單位一致也可以.2.黃金分割線在線段上，點把線段分成兩條線段和（），如果，那么稱線段被點黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，與的比叫做黃金比，黃金比為，線段有兩個黃金分割點和.3.平行線分線段成比例的基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.幾何語言：如圖，直線，直線被直線，，所截，那么，可簡記為：.【注意】（1）對應(yīng)線段成比例是指同一條直線上的兩條線段的比，等于另一條直線上與它們對應(yīng)的線段的比，書寫時，要把對應(yīng)線段寫在對應(yīng)的位置上.（2）基本事實中的“所得的對應(yīng)線段”是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無關(guān).4.相似三角形的判定①利用平行線判定兩個三角形相似的定理定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.幾何語言：如圖所示，，.②利用兩邊和夾角判定兩個三角形相似的定理定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，,且，.【注意】應(yīng)用該定理判定兩個三角形相似時，相等的角必須是成比例的兩邊的夾角.③應(yīng)用三邊判定兩個三角形相似的定理定理：三邊成比例的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，，.【注意】利用三邊成比例判定兩個三角形相似時，一定要注意邊與邊之間的對應(yīng)關(guān)系，主要根據(jù)最長邊與最長邊對應(yīng)，最短邊與最短邊對應(yīng)的思路找對應(yīng)邊.④利用兩角判定兩個三角形相似的定理定理：兩角分別相等的兩個三角形相似.幾何語言：如圖所示，在和中，,.【注意】利用此定理證明兩個三角形相似的關(guān)鍵是找相等的角.如公共角、對頂角、同角（等角）的余角（補角）、同弧所對的圓周角等都是相等的角，解題時要注意挖掘題目中的隱含條件.5.相似三角形的性質(zhì)①根據(jù)三角形相似的定義可知，相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.②相似三角形對應(yīng)線段的性質(zhì)：相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.即相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比.③相似三角形周長的比等于相似比.④相似三角形面積的比等于相似比的平方.6.位似定義兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.性質(zhì)（1）位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離的比等于相似比；（2）位似圖形對應(yīng)點的連線或延長線相交于一點；（3）位似圖形對應(yīng)邊平行（或在同一條直線上）；（4）位似圖形對應(yīng)角相等；（5）在平面直角坐標(biāo)系中，如果原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)比等于±k作圖步驟確定位似中心；確定原圖形中各頂點關(guān)于位似中心的對應(yīng)點；描出新圖形基本圖形延伸拓展1.比例的相關(guān)性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若，則.（2）合比性質(zhì)：若，則.（3）分比性質(zhì)：若，則.（4）等比性質(zhì)：若，則.2.平行線分線段成比例的基本事實應(yīng)用在三角形中的結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例.幾何語言：如圖，，或或.3.相似三角形的常見模型（1）A字型——有一個公共角類別已知為公共角，為公共角，或方法判定思路①判定思路②表示（2）8字型——有一組對頂角模型已知與為對頂角，與為對頂角，或方法判定思路①判定思路②表示（3）母子型——有一個公共角且該角的一邊為公共邊模型已知為公共角，或為公共角，，方法判定思路②判定思路②或④表示或（4）一線三等角型——三個角相等且這三個角的頂點在同一條直線上模型已知方法判定思路②（根據(jù)三角形的內(nèi)角和及同角的余角相等求證另一組等角）表示解題方法1.解相似三角形的判定問題相似三角形的判定方法：（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這是判定兩個三角形相似的最基本的一個定理.（2）兩個三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③兩角分別相等的兩個三角形相似.判定兩個三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法.有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：（1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；（2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；（3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；（4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例.解決相似三角形的判定問題時，要根據(jù)題目中的已知條件或隱含條件選擇合適的判定方法.【注意】兩組對應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，但是兩組對應(yīng)邊成比例且除夾角之外的任一組角相等時，這兩個三角形不一定相似.2.利用相似三角形證明等積式的步驟（1）將等積式轉(zhuǎn)化為比例式.（2）觀察比例式中的線段是否分別在兩個形狀相同的三角形中（可采用三點定形法；也可在圖中標(biāo)出這些線段，通過觀察確定），若在兩個形狀相同的三角形中，可證明這兩個三角形相似，若不在兩個形狀相同的三角形中，可利用如下方法轉(zhuǎn)化：①等線段轉(zhuǎn)化；②中間比轉(zhuǎn)化；③添加輔助線構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化.（3）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例或中間的轉(zhuǎn)化得到比例式，再化為等積式.3.解位似圖形問題如果兩個平面圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線或延長線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫作位似圖形，這個點叫作位似中心，這時的相似比又叫作位似比.位似圖形具有下列性質(zhì)：（1）位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.（2）位似圖形對應(yīng)點的連線或延長線相交于一點.（3）位似圖形對應(yīng)線段平行或在同一條直線上且成比例.（4）位似圖形的對應(yīng)角相等.【易錯警示】對位似圖形的定義掌握不牢致錯在判斷與是不是位似圖形時，容易出現(xiàn)只考慮兩個三角形的對應(yīng)頂點的連線相交于同一點，而沒有證明兩個三角形相似的情況.如圖所示，雖然與對應(yīng)頂點的連線相交于一點，但是兩個三角形不是相似三角形，顯然不是位似圖形.【技巧點撥】找位似中心的方法位似圖形中對應(yīng)頂點所在的直線相交于位似中心.利用這一性質(zhì)，只要用直尺把位似圖形中的對應(yīng)頂點所在直線的交點找出來，即可找到位似中心.在此類題中，要注意相關(guān)線段的長度與點的坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化.4.解位似圖形的畫圖問題作位似圖形就是將一個平面圖形進行放大或縮小，其依據(jù)是位似圖形的性質(zhì)，即位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.因此，作位似圖形有兩個要點：一是位似中心（位似中心位于對應(yīng)點的連線所在的直線上）；二是相似比.在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為或.【方法總結(jié)】利用網(wǎng)格畫位似圖形時，要先根據(jù)位似中心確定關(guān)鍵點的對應(yīng)點，再畫出位似圖形，位似圖形面積之比等于相似比的平方.5.解相似三角形的實際應(yīng)用問題運用相似三角形解決實際問題時，主要是運用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)線段之比等于相似比