（12）二次函數(shù)（知識精煉）——中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精煉與綜測重難講解1.二次函數(shù)的概念一般式一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)【提示】函數(shù)未必是二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)頂點(diǎn)式，函數(shù)圖象的對稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為2.二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)（是常數(shù)，）對稱軸或（其中，為二次函數(shù)圖象）與軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；（2）用配方法把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式求解；（3）將對稱軸代入函數(shù)解析式求解增減性時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；當(dāng)時(shí)，取最小值；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大時(shí)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，取最大值；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小3.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí)，注意解析式的設(shè)法，常見情況如下：已知所設(shè)表達(dá)式頂點(diǎn)+其他頂點(diǎn)在原點(diǎn)處：頂點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)在軸上：與軸的兩個交點(diǎn)+其他（注：與軸的兩個交點(diǎn)為）對稱軸+與軸一交點(diǎn)+其他（1），當(dāng)對稱軸為軸時(shí)，（2）由對稱軸與求出拋物線與軸的另一個交點(diǎn)，設(shè)解析式（注：對稱軸為直線，與軸的一個交點(diǎn)為）任意三個點(diǎn)過原點(diǎn)：4.二次函數(shù)的平移：圖形表示【提示】（1）平移前，先將解析式用配方法化成的形式；（2）二次函數(shù)圖象平移時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不變；（3）平移變換的口訣：左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng).5.二次函數(shù)與一元二次方程（1）一元二次方程的解是二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）判別式?jīng)Q定拋物線與軸的交點(diǎn)個數(shù)：①方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸有兩個交點(diǎn)；②方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根拋物線與軸有一個交點(diǎn)；③方程沒有實(shí)數(shù)根拋物線與軸沒有交點(diǎn)6.二次函數(shù)與不等式不等式的圖象觀察方法函數(shù)的圖象位于軸上方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍函數(shù)的圖象位于軸下方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍解集或延伸拓展二次函數(shù)的圖象與a，b，c之間的關(guān)系決定拋物線開口方向拋物線開口向上拋物線開口向下決定拋物線對稱軸的位置對稱軸為軸；（同號）對稱軸在軸左側(cè)；（異號）對稱軸在軸右側(cè)決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置拋物線過；拋物線與軸交于正半軸；拋物線與軸交于負(fù)半軸解題方法1.比較二次函數(shù)值大小的方法（1）代入比較法：若已知二次函數(shù)的解析式，可將幾個點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式，求出對應(yīng)的函數(shù)值，再比較函數(shù)值的大?。唬?）增減性比較法：當(dāng)點(diǎn)都在對稱軸的同側(cè)時(shí)，可直接根據(jù)函數(shù)的增減性比較大小，當(dāng)點(diǎn)不在對稱軸的同側(cè)時(shí)，可利用二次函數(shù)圖象的對稱性，將點(diǎn)轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再利用增減性比較大小；（3）根據(jù)點(diǎn)到對稱軸距離比較大?。寒?dāng)拋物線開口向上時(shí)，點(diǎn)到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值越大，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，點(diǎn)到對稱軸的距離越大，相應(yīng)的函數(shù)值越小.2.求二次函數(shù)最值的策略求二次函數(shù)的最值時(shí)，要先確定函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的增減性，如果所給范圍包含頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則在頂點(diǎn)處取得最大（?。┲?；如果所給范圍不包含頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則利用函數(shù)增減性確定最值.3.解二次函數(shù)解析式的確定問題用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法.（1）設(shè)一般式：若已知二次函數(shù)圖象上的三點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為一般式，然后列出關(guān)于的三元一次方程組求解.（2）設(shè)交點(diǎn)式：若已知二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為，通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為交點(diǎn)式，將已知條件代入，求出待定系數(shù)，最后將解析式化為一般式.（3）設(shè)頂點(diǎn)式：若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大值（最小值），通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式，然后代入另一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可列出關(guān)于的一元一次方程，最后將所求出的拋物線的解析式化為一般式.【方法總結(jié)】確定二次函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)慕馕鍪叫问?，主要的方法是待定系?shù)法.在考慮把二次函數(shù)的解析式設(shè)成什么形式時(shí)，可根據(jù)題目中的已知條件靈活選擇，以簡單為原則，盡量減少計(jì)算量，以提高準(zhǔn)確率.4.解拋物線的對稱性問題拋物線的對稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在求一個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，或者是已知拋物線上兩個點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.解此類題的主要依據(jù)：若拋物線上兩個關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則拋物線的對稱軸可表示為直線.【方法總結(jié)】已知點(diǎn)在拋物線上，則把該點(diǎn)坐標(biāo)代入其解析式一定能使解析式成立.根據(jù)一個點(diǎn)及對稱軸（直線），求點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)可利用公式，即.5.根據(jù)圖象確定不等式解集的方法先畫出函數(shù)的圖象，并確定（計(jì)算）兩個圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象的上下關(guān)系（圖象在上方即函數(shù)值較大），得出不等式的解集.【技巧點(diǎn)撥】①求大于時(shí)的取值范圍，即求拋物線在直線下方時(shí)所對應(yīng)的的取值范圍.②求與的乘積小于0時(shí)的取值范圍，即求拋物線與直線在軸異側(cè)時(shí)對應(yīng)的的取值范圍.【技巧點(diǎn)撥】求解直線與拋物線的公共點(diǎn)個數(shù)問題，即求直線與拋物線的解析式聯(lián)立組成的方程組，消去函數(shù)值后得到的一元二次方程的解的個數(shù)問題.拋物線與直線恒有兩個公共點(diǎn)，即對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式大于0.6.利用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問題中最值的方法在實(shí)際問題中，求最值的一般步驟：（1）列出二次函數(shù)解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（2）在自變量的取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式法或配方法求出二次函數(shù)的最大值.需要注意的是：當(dāng)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍之內(nèi)時(shí)，需結(jié)合二次函數(shù)的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，在自變量的取值范圍內(nèi)求出函數(shù)的最值.7.利用二次函數(shù)解決拋物線形的實(shí)際問題的方法利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題時(shí)，需要先建立合適的坐標(biāo)系，一般選擇頂點(diǎn)作為原點(diǎn)或選擇對稱軸作為軸，然后確定某些點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，最后利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題；利用二次函數(shù)解決拋物線形運(yùn)動路程問題時(shí)，一定要分析清楚拋物線的橫、縱坐標(biāo)的實(shí)際意義，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.8.利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解動態(tài)問題的方法求解動態(tài)問題時(shí)，常