廣西南寧市馬山縣金倫中學4+N高中聯(lián)合體2024-2025學年數(shù)學高二下期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知甲口袋中有個紅球和個白球，乙口袋中有個紅球和個白球，現(xiàn)從甲，乙口袋中各隨機取出一個球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個數(shù)為，則（）A． B． C． D．2．已知某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是0.8，則該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為()A．0.85 B．0.8192 C．0.8 D．0.753．已知函數(shù)為內的奇函數(shù)，且當時，，記，則間的大小關系是（）A． B．C． D．4．命題p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則P是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導數(shù)滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+16．若集合，函數(shù)的定義域為集合B，則A∩B等于（）A.（0，1）B.[0，1）C.（1，2）D.[1，2）7．已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．88．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A． B． C． D．9．已知點F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若M是FN的中點，則M點的縱坐標為（）A．2 B．4 C．±2 D．±410．在二維空間中，圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2；在三維空間中，球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=4A．4πr4 B．3πr411．下列選項中，說法正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．命題“為真”是命題“為真”的充分不必要條件C．命題“若，則”是假命題D．命題“在中，若,則”的逆否命題為真命題12．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量，且，則__________.14．________．15．在名男生和名女生中各選出名參加一個演唱小組，共有__________種不同的選擇方案.16．設隨機變量的分布列（其中），則___．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線的焦點，是拋物線上一點，且.（1）求拋物線的方程;（2）直線與拋物線交于兩點，若（為坐標原點），則直線是否會過某個定點？若是，求出該定點坐標，若不是，說明理由.18．（12分）已知是正實數(shù))的展開式的二項式系數(shù)之和為128,展開式中含項的系數(shù)為84.(1)求的值；(2)求的展開式中有理項的系數(shù)和.19．（12分）已知命題方程表示雙曲線，命題點在圓的內部.若為假命題，也為假命題，求的取值范圍.20．（12分）某校為“中學數(shù)學聯(lián)賽”選拔人才，分初賽和復賽兩個階段進行，規(guī)定：分數(shù)不小于本次考試成績中位數(shù)的具有復賽資格，某校有900名學生參加了初賽，所有學生的成績均在區(qū)間內，其頻率分布直方圖如圖．（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線；（2）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人參加學校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人？（3）從（2）抽取的7人中，選出4人參加全市座談交流，設表示得分在中參加全市座談交流的人數(shù)，學校打算給這4人一定的物質獎勵，若該生分數(shù)在給予500元獎勵，若該生分數(shù)在給予800元獎勵，用Y表示學校發(fā)的獎金數(shù)額，求Y的分布列和數(shù)學期望。21．（12分）已知橢圓的離心率為，是橢圓上一點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點，是直線上任意一點.證明：直線的斜率成等差數(shù)列.22．（10分）已知函數(shù).（I）解不等式：；（II）若函數(shù)的最大值為，正實數(shù)滿足，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出的可能取值及取各個可能取值時的概率，再利用可求得數(shù)學期望.【詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個紅球，從乙口袋中取出一個白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個白球，故.表示從甲口袋中取出一個白球，從乙口袋中取出一個紅球，故.所以.故選A.求離散型隨機變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機變量服從二項分布，也可以直接利用公式求期望.2、B【解析】

因為某射擊運動員，每次擊中目標的概率都是，則該射擊運動員射擊4次看做4次獨立重復試驗，則至少擊中3次的概率3、D【解析】

根據奇函數(shù)解得，設，求導計算單調性和奇偶性，根據性質判斷大小得到答案.【詳解】根據題意得，令.則為內的偶函數(shù)，當時，，所以在內單調遞減又，故，選D.本題考查了函數(shù)的奇偶性單調性，比較大小，構造函數(shù)是解題的關鍵.4、B【解析】

根據充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．【詳解】命題p：?x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命題p：①當a≠0時，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②當a＝0時，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命題q：指數(shù)函數(shù)f（x）＝ax（a＞0且a≠1）為減函數(shù)，則0＜a＜1；所以當0≤a＜1；推不出0＜a＜1；當0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分條件．故選：B．本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了二次型函數(shù)恒成立的問題，考查了指數(shù)函數(shù)的單調性，屬于基礎題．5、D【解析】

構造函數(shù)g（x）＝f（x），利用導數(shù)可知函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，則答案可求．【詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調減函數(shù)，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，正確構造函數(shù)是解題的關鍵，是中檔題．6、D【解析】試題分析：，，所以?？键c：1.函數(shù)的定義域；2.集合的運算。7、D【解析】分析：先求出集合B中的元素，從而求出其子集的個數(shù)．詳解：由題意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，則B的子集個數(shù)為：23=8個，故選D．點睛：本題考察了集合的子集個數(shù)問題，若集合有n個元素，其子集有2n個，真子集有2n-1個，非空真子集有2n-2個.8、C【解析】

由題意得到關于a,c的齊次式，然后求解雙曲線的離心率即可.【詳解】由雙曲線的通徑公式可得，由結合雙曲線的對稱性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性質有：，即：，據此有：，，解得：，雙曲線中，故的離心率為.本題選擇C選項.雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．9、C【解析】

求出拋物線的焦點坐標，推出M的坐標，然后求解，得到答案．【詳解】由題意，拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點，若為的中點，如圖所示，可知的橫坐標為1，則的縱坐標為，故選C．本題主要考查了拋物線的簡單性質的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、B【解析】

根據所給的示例及類比推理的規(guī)則得出，高維度的測度的導數(shù)是低一維的測度，從而得到W'【詳解】由題知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故選本題主要考查學生的歸納和類比推理能力。11、C【解析】對于A，命題“”的否定是“”，故錯誤；對于B，命題“為真”是命題“為真”的必要不充分條件，故錯誤；對于C，命題“若，則”在時，不一定成立，故是假命題，故正確；對于D，“在中，若，則或”為假命題，故其逆否命題也為假命題，故錯誤；故選C.12、B【解析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點：對立事件與獨立事件的概率．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由條件求得，可得正態(tài)分布曲線的圖象關于直線對稱．求得的值，根據對稱性，即可求得答案.【詳解】隨機變量，且，可得，正態(tài)分布曲線的圖象關于直線對稱．，故答案為：．本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題．14、【解析】分析：根據，即可求出原函數(shù)，再根據定積分的計算法則計算即可.詳解：，故答案為：.點睛：本題考查了定積分的計算，關鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎題.15、【解析】

根據分步計數(shù)原理計算可得.【詳解】從名女生中選出二人,有種選法,從5名男生中選出二人,有種選法,所以根據分步計數(shù)原理可得,從名男生和名女生中各選出名參加一個演唱小組，共有種不同的選法.故答案為:30.本題考查了分步計數(shù)原理,屬于基礎題.16、【解析】

根據概率和為列方程，解方程求得的值.【詳解】依題意，解得.故填本小題主要考查隨機變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解析】

（1）由拋物線的定義知得值即可求解（2）設的方程為：，代入，消去得的二次方程，向量坐標化結合韋達定理得，則定點可求【詳解】（1）由拋物線的定義知，拋物線的方程為：（2）設的方程為：，代入有，設，則，,的方程為：，恒過點，本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關系，韋達定理的應用，向量運算，準確計算是關鍵，是中檔題18、（1）2,7；（2）1.【解析】

（1）由二項式系數(shù)和求得，然后再根據展開式中含項的系數(shù)為84求得．（2）由（1）先求出二項式中的有理項，結合題意可得展開式中的有理項，進而得到所求．【詳解】（1）由題意可知，解得．故二項式展開式的通項為，令得含項的系數(shù)為，由題意得，又，∴．（2）由（1）得展開式的通項為，∴展開式中的有理項分別為，，，∴的展開式中有理項的系數(shù)和為1．（1）本題考查二項展開式通項的應用，這也是解決二項式問題的重要思路．二項式定理的應用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系．（2）解題時要把“二項式系數(shù)的和”與“各項系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項系數(shù)和與奇(偶)次項系數(shù)和”嚴格地區(qū)別開來．19、【解析】【試題分析】先分別確定命題“方程表示雙曲線”中的的取值范圍和“命題點在圓的內部”中的取值范圍，再依據建立不等式組求解：解：因為方程，表示雙曲線，故，所以或，因為點在圓的內部，故，解得：，所以，由為假命題，也為假命題知假、真，所以的取值范圍為：.20、（1）本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分；（2）5人，2人；（3）元.【解析】

（1）求獲得復賽資格應劃定的最低分數(shù)線，即是求考試成績中位數(shù)，只需滿足中位數(shù)兩側的頻率之和均為0.5即可；（2）先確定得分在區(qū)間與的頻率之比，即可求解；（3）先確定的可能取值，再求出其對應的概率，即可求出分布列和期望.【詳解】（1）由題意知的頻率為：，的頻率為：所以分數(shù)在的頻率為：，從而分數(shù)在的，假設該最低分數(shù)線為由題意得解得．故本次考試復賽資格最低分數(shù)線應劃為100分。（2）在區(qū)間與，，在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機抽取7人，分在區(qū)間與各抽取5人，2人，結果是5人，2人．（3）的可能取值為2，3，4，則：，從而Y的分布列為Y260023002000(元)．本題主要考查頻率分布直方圖求中位數(shù)，以及分層抽樣和超幾何分布等問題，熟記相關概念，即可求解，屬于常考題型.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】分析：（1）由橢圓的離心率為，以及點M在橢圓上，結合a，b，c關系列出方程組求解即可；（2）分過橢圓右焦點的直線斜率不存在和存在兩種情況，進行整理即可.詳解：（1）；(2)因為右焦點,當直線的斜率不存在時其方程為，因此，設，則，所以且，所以，，因此，直線和的斜率是成等差數(shù)列.當直線的斜率存在時其方程設為，由得，，所以，因此，，，，，所以，，又因為，所以有,因此，直線和的斜率是成等差數(shù)列，綜上可知直線和的斜率是成等差數(shù)列.點睛：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，考查數(shù)學轉