廣西梧州市2015屆高三第三次模擬考試（數(shù)學(xué)理）掃描版缺答案一、選擇題1.已知函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2$，其中$x>0$，則函數(shù)的極值點(diǎn)為：（1）$x=1$（2）$x=\frac{1}{2}$（3）$x=\frac{1}{e}$（4）$x=e$2.設(shè)集合$A=\{x|x^2-2x+1<0\}$，集合$B=\{x|x\inN_+，x\leq3\}$，則$A$與$B$的交集為：（1）$\{1,2\}$（2）$\{1,2,3\}$（3）$\{2,3\}$（4）$\{1,2,3\}$二、填空題3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，則該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$為______。4.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)=______$。三、解答題5.（1）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求$f(x)$的定義域。（2）求函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。6.（1）已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。（2）已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3n-2$，求該數(shù)列的遞推公式。四、解答題7.（1）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=4n^2-3n$，求該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1$和公差$d$。（2）若數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=1$，公比$q=2$，求$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。8.（1）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求函數(shù)的極值點(diǎn)和拐點(diǎn)。（2）求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。五、解答題9.（1）已知數(shù)列$\{a_n\}$的遞推公式為$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，求該數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。（2）已知數(shù)列$\{a_n\}$的遞推公式為$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n$。10.（1）已知函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2$，其中$x>0$，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）已知函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2$，其中$x>0$，求函數(shù)的凹凸性。六、解答題11.（1）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數(shù)$f(x)$的圖像。（2）已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$，求函數(shù)$f(x)$的圖像在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：（1）$x=1$解析：函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{x}-2x$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{1}{2}$，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定極值點(diǎn)，當(dāng)$x<\frac{1}{2}$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x>\frac{1}{2}$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，$x=1$是函數(shù)的極值點(diǎn)。2.答案：（1）$\{1,2\}$解析：集合$A=\{x|x^2-2x+1<0\}$可化簡(jiǎn)為$A=\{x|1<x<1\}$，即$A=\varnothing$；集合$B=\{x|x\inN_+，x\leq3\}$為$\{1,2,3\}$。因此，$A$與$B$的交集為$\{1,2\}$。二、填空題3.答案：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2(3-2)+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$解析：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$a_1=1$，$d=3$，得$S_n=\frac{n(2(3-2)+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$。4.答案：$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則，$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-3(x+h)^2+4(x+h)-x^3+3x^2-4x}{h}=\lim_{h\to0}(3x^2+3xh+3h^2-6x-6h+4x+4-3x^2+6x-4)=3x^2-6x+4$。三、解答題5.（1）答案：$f(x)$的定義域?yàn)?\{x|x\neq2\}$解析：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$中分母$x-2$不能為0，因此定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)除了$x=2$。（2）答案：$f'(x)=\frac{2x(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{2x}{x-2}$解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則，$f'(x)=\fracz3jilz61osys{dx}\left(\frac{x^2-4}{x-2}\right)=\frac{(x-2)\fracz3jilz61osys{dx}(x^2-4)-(x^2-4)\fracz3jilz61osys{dx}(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{2x(x-2)}{(x-2)^2}=\frac{2x}{x-2}$。6.（1）答案：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2(3-2)+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$解析：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$a_1=1$，$d=3$，得$S_n=\frac{n(2(3-2)+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$。（2）答案：$a_{n+1}=a_n+3$解析：根據(jù)等差數(shù)列的遞推公式$a_{n+1}=a_n+d$，代入$a_1=1$，$d=3$，得$a_{n+1}=a_n+3$。四、解答題7.（1）答案：$a_1=1$，$d=3$解析：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$S_n=4n^2-3n$，解得$a_1=1$，$d=3$。（2）答案：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2(1)+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}$解析：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$a_1=1$，$d=3$，得$S_n=\frac{n(3n+1)}{2}$。8.（1）答案：極值點(diǎn)為$(1,-1)$，拐點(diǎn)為$(1,-1)$解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$得$x=1$，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化確定極值點(diǎn)，當(dāng)$x<1$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x>1$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，$x=1$是函數(shù)的極值點(diǎn)，且極值為$f(1)=-1$。由于$f''(x)=6x-6$，$f''(1)=0$，所以拐點(diǎn)也為$(1,-1)$。（2）答案：$f'(x)=0$的解為$x=\frac{2}{3}$，$x=1$解析：求導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x+4$的零點(diǎn)，即解方程$3x^2-6x+4=0$，得$x=\frac{2}{3}$，$x=1$。五、解答題9.（1）答案：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2(1)+(n-1)2)}{2}=\frac{n(2n+1)}{2}$解析：根據(jù)等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$a_1=1$，$d=2$，得$S_n=\frac{n(2n+1)}{2}$。（2）答案：$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1$解析：根據(jù)等差數(shù)列的遞推公式$a_{n+1}=a_n+d$，代入$a_1=1$，$d=2$，得$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1$。10.（1）答案：函數(shù)在$(0,\frac{1}{2})$上單調(diào)遞增，在$(\frac{1}{2},+\infty)$上單調(diào)遞減解析：函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=\frac{1}{x}-2x$，令$f'(x)=0$得$x=\frac{1}{2}$，當(dāng)$x<\frac{1}{2}$時(shí)，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$x>\frac{1}{2}$時(shí)，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。（2）答案：函數(shù)在$(0,\frac{1}{2})$上凹，在$(\frac{1}{2},+\infty)$上凸解析：函數(shù)$f(x)=\lnx-x^2$的二階導(dǎo)數(shù)為$f''(x)=-\frac{1}{x^2}-2$，當(dāng)$x<\frac{1}{2}$時(shí)，$f''(x)<0$，函數(shù)凹；當(dāng)$x>\frac{1}{2}$時(shí)，$f''(x)<0$，函數(shù)凸。六、解答題11.（1）答案：函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的圖像是一個(gè)開口向上的拋物線，在