2024-2025學(xué)年福建省福州市高三下學(xué)期數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（二模）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合和，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．的展開式中的系數(shù)為（

）A．10 B．20 C．40 D．804．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C．1 D．25．在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，則這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．6．如圖，點(diǎn)為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（

）A．

B．

C．

D．

7．已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．328．已知滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．一口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，從中無放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，記事件A1：第一次取出的是紅球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的兩球同色；事件C：取出的兩球中至少有一個紅球，則（

）A．事件，為互斥事件 B．事件B，C為獨(dú)立事件C． D．10．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．沒有零點(diǎn) B．當(dāng)時，的圖象位于軸下方C．存在單調(diào)遞增區(qū)間 D．有且僅有兩個極值點(diǎn)11．已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，（其中），點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，的最小值為2，則下列說法正確的是（

）A．橢圓的焦距為2B．過作圓切線的斜率為C．若、為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱且異于頂點(diǎn)和點(diǎn)的兩點(diǎn)，則直線與的斜率之積為D．的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，則.13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，若圓上有且僅有四個不同的點(diǎn)，使得的面積為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．已知拋物線，弦過拋物線的焦點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，設(shè)的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線交軸于，則；若的中點(diǎn)為，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列，若，點(diǎn)、在斜率是的直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑17．在三棱錐中，底面為等腰直角三角形，.(1)求證：；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.18．恰逢盛世，風(fēng)調(diào)雨順.某稻米產(chǎn)地今秋獲得大豐收，為促進(jìn)當(dāng)?shù)啬称放拼竺卒N售，甲、乙兩位駐村干部通過直播宣傳銷售所駐村生產(chǎn)的該品牌大米.通過在某時段100名顧客在觀看直播后選擇在甲、乙兩位駐村干部的直播間（下簡稱甲直播間、乙直播間）購買的情況進(jìn)行調(diào)查（假定每人只在一個直播間購買大米），得到以下數(shù)據(jù)：網(wǎng)民類型在直播間購買大米的情況合計(jì)在甲直播間購買在乙直播間購買本地區(qū)網(wǎng)民50555外地區(qū)網(wǎng)民301545合計(jì)8020100(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)；(2)用樣本分布的頻率分布估計(jì)總體分布的概率，若共有名網(wǎng)民在甲、乙直播間購買大米，且網(wǎng)民選擇在甲、乙兩個直播間購買大米互不影響，記其中在甲直播間購買大米的網(wǎng)民數(shù)為X，求使事件“”的概率取最大值時k的值.附：，其中.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87919．已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性(2)證明：①當(dāng)時，；②.

答案1．【正確答案】D【詳解】，,A、B選項(xiàng)錯誤；，，故C錯誤，D正確.故選D.2．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選B.3．【正確答案】C【詳解】分析：寫出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.4．【正確答案】B【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選B.5．【正確答案】C【詳解】這8個素數(shù)中，任取2個不同的數(shù)，有如下基本事件：共有28個基本事件，這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的基本事件有：共4個，所以這兩個數(shù)之和仍為素數(shù)的概率是，故選:C.6．【正確答案】D【詳解】對于A選項(xiàng)，如圖①所示，在正方體中，

且，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，同理可證平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，因?yàn)槠矫妫势矫?故A滿足；對于B選項(xiàng)，如圖②所示，連接，

在正方體中，且，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，故B滿足；對于C選項(xiàng)，如圖③所示，在正方體中，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)榍曳謩e為的中點(diǎn)，所以且，故四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)榍?，則四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面故C滿足；對于D選項(xiàng)，如圖④所示，在正方體中，取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)榍曳謩e為的中點(diǎn)，則且，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，故，所以四點(diǎn)共面，同理可證，故，同理可得，反設(shè)平面，因?yàn)?，且平面，則平面，但與平面有公共點(diǎn)，這與平面矛盾，故平面，故D不滿足.故選D.7．【正確答案】C【詳解】∵，∴，即：∴，∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，即：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為16.故選C.8．【正確答案】B【詳解】滿足，，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時最大，最大值為，故選B.9．【正確答案】ACD【詳解】第一次取出的球是紅球還是白球兩個事件不可能同時發(fā)生，它們是互斥的，A正確；由于是紅球有3個，白球有2個，事件發(fā)生時，兩球同為白色或同為紅色，，事件不發(fā)生，則兩球一白一紅，，不獨(dú)立，B錯；，C正確；事件發(fā)生后，口袋中有3個紅球1個白球，只有從中取出一個紅球，事件才發(fā)生，所以，D正確．故選ACD．10．【正確答案】BC【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則，所以函數(shù)在上遞減，又，所以存在上，使得，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且，當(dāng)時，，即，函數(shù)遞增，故C正確；當(dāng)時，，即，函數(shù)遞減，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，即有且僅有一個極值點(diǎn)，故D錯誤；所以，又，所以函數(shù)在上存在一個零點(diǎn)，故A錯誤；當(dāng)時，，所以，即當(dāng)時，的圖象位于軸下方，故B正確.故選BC.11．【正確答案】ABD【詳解】圓的圓心，半徑，顯然圓與橢圓相離，而點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在圓上，于是，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時取等號，因此，解得，則橢圓的焦距為2，且橢圓的方程為，A正確；顯然過的圓切線的斜率存在，設(shè)此切線方程為，于是，解得，B正確；設(shè)，有，且，即，直線的斜率分別為，因此，C錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)分別是線段與橢圓、圓的交點(diǎn)時取等號，D正確.故選ABD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)橄蛄?，則.13．【正確答案】【詳解】由已知可得，AB的斜率，.又的面積為，所以點(diǎn)到直線的距離.直線AB的方程為，即.則圓心O到直線的距離.如圖，過點(diǎn)作，垂足為，交圓于點(diǎn).因?yàn)閳A上有且僅有四個不同的點(diǎn)C，使得的面積為.又點(diǎn)到直線的距離，則應(yīng)有，所以，即點(diǎn)到直線的距離小于，所以有，解得.14．【正確答案】/0.51【詳解】對于第一空：易知弦的斜率存在，,設(shè),聯(lián)立，化簡得：則，即可得弦方程中垂線方程為：，故，由弦長公式得：顯然對于第二空：易知∥軸，由上可得故四邊形是平行四邊形，所以15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由點(diǎn)、在斜率是的直線上得：，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）知：，所以.16．【正確答案】(1)1(2)1【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以外接圓半徑．所以.（2）因?yàn)?，由題可知，所以，又因?yàn)?，可得，因?yàn)椋傻拿娣e，得．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)為E，連結(jié)，∵，∴，在和中，∴，∴，∵的中點(diǎn)為E，∴，∵，∴面，∵面，∴（2）過S作面，垂足為D，連接，∴∵，平面∴，同理，∵底面為等腰直角三角形，，∴四邊形為正方形且邊長為2.以D為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面的法向量，則，解得，取，則，∴，設(shè)平面與平面夾角為故平面與平面夾角的余弦值為.18．【正確答案】(1)能認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)(2)【詳解】（1）提出零假設(shè)：網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)沒有關(guān)聯(lián)，經(jīng)計(jì)算得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為網(wǎng)民選擇在甲、乙直播間購買大米與網(wǎng)民所處地區(qū)有關(guān)聯(lián).（2）利用樣本分布的頻率估計(jì)總體分布的概率，可知網(wǎng)民選擇在甲直播間購買夏橙的概率為，則，記，，則，則問題等價于求當(dāng)取何值時取最大值，因?yàn)椋?，又，所以?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，，所以當(dāng)時，取最大值，即使事件“”的概率取最大值的的值為.19．【正確答案】(1)答案見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.【詳解】（1）由于，定義域?yàn)?，則，①當(dāng)時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時，，所以在上