培優(yōu)專題相交線

。思維構(gòu)建?理清脈絡(luò)。

「相交線

L對頂角

J垂線

I垂線段

o相交線中的平分線問題

L多個結(jié)論判斷問題

o相交線中三角板的應(yīng)用

O根據(jù)比例關(guān)系求角度

--根據(jù)倍數(shù)關(guān)系求角度

O夾角模型與k字模型

卜跨學(xué)科問題

O規(guī)律探究

Q對對頂角的概念和性質(zhì)理解不清

Q畫垂線時，誤認(rèn)為垂足一定在線段上

Q對點(diǎn)到直線的距離理解錯誤

Q理解不清對垂線段的性質(zhì)

［。知識盤點(diǎn)?查漏補(bǔ)缺。」

相交線

1.經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.簡單地說：兩點(diǎn)確定一條直線.

【特別提醒】

這是一條公理，在幾何里，挑選其中一些基本事實(shí)，承認(rèn)其正確，作為用邏輯推理證實(shí)其他

事實(shí)的原始依據(jù)，稱為公理.

2.當(dāng)兩條直線有一個公共點(diǎn)時，就稱這兩條直線相交，或稱它們是相交直線.這個公共點(diǎn)

叫作它們的交點(diǎn).

【特別提醒】兩條直線相交，只有一個交點(diǎn).

試卷第1頁，共24頁

知識點(diǎn)2對頂角

i.對頂角的概念：有公共頂點(diǎn)，且其中一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線

的兩個角叫作對頂角.如圖所示，直線與8相交于點(diǎn)。,21和N3是對頂角，/2和N4

是對頂角.

2.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等.

如圖所示，由/1+/2=180。,/3+/2=180。，可得Z1=Z3,即對頂角相等.

注意:對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角.

3.（補(bǔ)充）鄰補(bǔ)角的概念

如圖，Z1和N2有公共頂點(diǎn)。，有公共的一邊OC,只有一條邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做鄰補(bǔ)角，它們的度數(shù)和是180。.

即學(xué)即練

1.下面四個圖形中，/I與N2是對頂角的為（)

【解后反思】

“三點(diǎn)”確定對頂角

尋找對頂角時，要看兩角是否滿足三個條件：一是由兩條相交直線形成，二是有公共頂點(diǎn),

三是兩個角的兩邊分別互為反向延長線，若三個條件均滿足，則這兩個角是對頂角，否則不

是對頂角.對頂角往往隱含在已知圖形中，所以要理解對頂角的概念，注意挖掘圖形中的隱

含條件.

即學(xué)即練

試卷第2頁，共24頁

2.如圖，直線48與CZ）相交于點(diǎn)。，OE平分//OC,且/8。。=100。，則/。?！隇椋ǎ?/p>

A.40°B.80°C.100°D.140°

垂線

1.夾角：兩條直線相交形成四個小于平角的角，其中不大于直角的那個角叫作這兩條直線

的夾角.

【提示】兩條直線相交的位置特征，可以通過兩條直線的夾角來描述.

2.垂線：如果兩條相交直線的夾角為直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作

另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫作垂足.

【巧記】（己知垂直得直角，己知直角得垂直）

3.垂直的記法與讀法：垂直用符號?”表示，兩條直線N8與CD互相垂直，記作/81CD,

讀作22垂直于CD”

4.垂線的畫法：給定直線/和點(diǎn)P,要求過點(diǎn)尸畫已知直線/的線，如圖1,將三角尺的一

條直角邊緊靠直線/,另一直角邊經(jīng)過點(diǎn)P,沿著這條邊畫直線，它就是直線/的垂線，如

圖2.如果點(diǎn)P在直線/上，同樣也可以畫出直線/的垂線.

,OO

【特別提醒】

（1）在畫垂線時，要標(biāo)記垂直符號.（2）過一點(diǎn)畫射線或線段的垂線，是指畫它們所在的

直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上.

ABO

試卷第3頁，共24頁

5.垂線的數(shù)量：在同一平面上，經(jīng)過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線.

【易混易錯提醒】

垂線、垂線段的辨析

垂線是直線，無法度量長度；垂線段是線段，可以度量長度.

即學(xué)即練

3.如圖，/、2、C三點(diǎn)在一直線上，已知Z1=20。，Z2=70。，則CD與CE的位置關(guān)系是

【總結(jié)】

畫垂線時，必須明確兩點(diǎn)：一是畫哪條直線的垂線；二是過哪個點(diǎn)畫這條直線的垂線

即學(xué)即練

4.如圖.

①過P點(diǎn)畫48的垂線.

②過尸點(diǎn)分別畫。4、03的垂線.

③過點(diǎn)A畫8C的垂線.

垂線段

1.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度，叫作點(diǎn)到直線的距離如果一個

點(diǎn)在直線/上，那么就說這個點(diǎn)到直線I的距離為零.

【補(bǔ)充說明】

(1)在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短.

(2)垂線段是一條線段，是圖形；點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，有單位.

即學(xué)即練

5.如圖，AC1CD,NBED=90。.填空：

試卷第4頁，共24頁

(2)直線AD與BE的位置關(guān)系是；

⑶點(diǎn)B到直線AD的距離是線段的長度，點(diǎn)D到直線AB的距離是線段的

長度；

(4)在線段DA,DB,DC中，最短的是線段；在線段BA,BE,BD中，最短的是線

段,理由是.

【總結(jié)】

判斷最短、最近問題的兩依據(jù)

(1)兩點(diǎn)之間，線段最短；(2)在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短.

［。題型突審?精準(zhǔn)提分。］

相交線中的平分線問題

例

6.已知直線與CD相交于點(diǎn)O,且0河平分/40C,?！?，48于點(diǎn)。.

(1)如圖①，若ON平分NBOC,求NMON的度數(shù)；

(2)如圖②，若NCON=；NEON(NEONC'NMON=80°,求/BON的度數(shù).

【變式1-11

7.如圖，直線與直線相交于點(diǎn)。，OE平分NBOD,

試卷第5頁，共24頁

F

B

c

/'D

⑴若4BOE=41。36',則ZCOB=°；

⑵若OF平分ZCOE,ZFOB的度數(shù)為30°.

①求//OC的度數(shù)；

②作射線OGLOE,請直接寫出NFOG的度數(shù).

【變式1-2]

8.如圖，直線相交于點(diǎn)。，ZBOD=60°,?！昶椒?49C.

⑴求的度數(shù)；

(2)若OELOF,求/。。尸的度數(shù).

【變式1-3]

9.如圖，AB,CD相交于點(diǎn)O,。￡為NDOB的平分線，MO1EO,NO±DO.

⑴試說明：■是乙4。。的平分線；

⑵若ZAOC=34°,求AMON的度數(shù).

【變式1-4]

10.如圖，點(diǎn)。為直線上一點(diǎn)，0c為一射線，0E平分//OC,OF平分/BOC.

試卷第6頁，共24頁

(1)若/8。。=50。，試探究。尸的位置關(guān)系，并說明理由.

⑵若/80C為任意角a(0°<a<180°),(1)中0E,。尸的位置關(guān)系是否仍成立？請說明理

由，由此你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(數(shù)學(xué)思想鏈接：從特殊到一般)

【變式1-5]

11.如圖，直線48和直線ED相交于點(diǎn)O,0c為N80E內(nèi)部的射線，OE平分440C,OF

平分/50C.

(1)若480。=58。，求乙4。廠和NEO廠的度數(shù)；

⑵若ZBOD的度數(shù)為?(0°<?<90°),求ZCOF的度數(shù).

【變式1-6]

12.如圖，已知。ZFOD=2ZCOD,08平分/40C,0E平分/CO77.

(1)若/COD=30°,求/BOE的度數(shù)；

⑵若NBOE=85。，求NC8的度數(shù).

多個結(jié)論判斷問題

13.如圖，直線42,CD相交于點(diǎn)。，0E工AB,0D1OF,08平分乙DOG,給出下列

結(jié)論：①當(dāng)//O尸=60。時，ZDOE=60°；②")為NEOG的平分線；③與/20D相等的

試卷第7頁，共24頁

角有3個；@/COG=NAOB-2NE0F.其中正確的結(jié)論為（）

B.②③④C.①③④D.①②③④

【變式2-1]

14.如圖，一副三角板的兩個直角頂點(diǎn)C（尸）疊放在一起，其中乙4=30。，

=60°,/D=/E=45。,三角板不動，三角板。斯可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，貝U下列結(jié)論:

①/3CE+//CD隨44CZ）的變化而變化；②當(dāng)Z8CE=3N/C。時，OE一定垂直于

AC.其中正確的結(jié)論是（）

A.①正確，②正確B.①錯誤，②正確C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②錯誤

【變式2-2]

15.如圖，點(diǎn)。為直線上一點(diǎn)，/COD=90。，OE、。尸分別是NOC和NBOZ）的平分

線.給出下面四個結(jié)論：①②2E0D=2C0F；

③//OE+NDO尸=45。；④尸=135。.上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號有.

16.下列各圖中，過直線/外的點(diǎn)尸畫直線/的垂線，三角尺操作正確的是（）

試卷第8頁，共24頁

17.如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上.如果4=32。，那么N2的度數(shù)是

【變式3-2】

18.一副直角三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)將45。的三角尺NOE固定不動，將含30。的三角尺

N3C繞頂點(diǎn)/順時針轉(zhuǎn)動（旋轉(zhuǎn)角不超過180度），使兩塊三角尺至少有一組邊互相垂

直.則ABAD(00<ABAD<180°)的度數(shù)為

【變式3-3】

19.小明利用一副直角三角板繞著直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，探究旋轉(zhuǎn)過程中各角之間的關(guān)系.他

試卷第9頁，共24頁

旋轉(zhuǎn)至如圖所示時，即則此時2B4D的度數(shù)為度.

【變式3-4]

20.在下列各圖中，點(diǎn)。為直線上一點(diǎn)，ZAOC=60°,直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。

處.

N

圖1圖2圖3

⑴如圖1,三角板一邊在射線08上，另一邊ON在直線的下方，則N3OC的度數(shù)為

°-/CCW的度數(shù)為。；

(2)如圖2,三角板一邊恰好在N3OC的角平分線上，另一邊ON在直線4B的下方,

此時ZBON的度數(shù)為°；

(3)在圖2中，延長線段NO得到射線8,如圖3,則的度數(shù)為。；NDOC與

NBON的數(shù)量關(guān)系是NDOCZBON(填“>”、"=”或說明理由.

根據(jù)比例關(guān)系求角度

21.如圖，直線42,CD相交于點(diǎn)。，0E工AB,OF平分ZBOC,Z1:Z2=2:1,貝!|NC。尸

的度數(shù)為

試卷第10頁，共24頁

(1)若平分/8OC,求ZDOE的度數(shù)；

⑵若N20E的度數(shù)比/COE的度數(shù)的3倍多30。，試判斷OD與OE的位置關(guān)系，并說明理

由.

【變式4-2]

23.如圖，直線CD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作OELCO.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,求證：NBOE-N40c=90°；

(2)如圖2,將射線沿著直線C。翻折得到射線。尸，BPZBOD=ZFOD,求證：OE平分

ZAOF；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)。作。G_L/8,當(dāng)/F0G:40￡=2:3時，求NCOG的

度數(shù).

【變式4-3]

24.如圖，直線交于點(diǎn)。，OF平分/BOD,OE1OD.

試卷第11頁，共24頁

(1)若48。廠=25。，求的度數(shù)；

⑵若NAOE:ZAOC=2:3,求ZBOF的度數(shù).

【變式4-4]

(2)若NBOE:4OE=4:5,求//0。的度數(shù)；

【變式4-5]

26.直線48、CD、跖相交于點(diǎn)。，且CDLE尸，OG平分48。廠.

⑴如圖1,

?ZAOD的余角有.(填寫所有符合情況的角)

②若N/OD:/COG=2:3,求N/OD的度數(shù).

(2)如圖2：探究ZAOD與ZCOG是否存在數(shù)量關(guān)系，如果存在，請直接寫出ZAOD與ZCOG

的數(shù)量關(guān)系，若不存在，請說明理由.

根據(jù)倍數(shù)關(guān)系求角度

試卷第12頁，共24頁

27.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)0,。￡，N8于點(diǎn)O,0尸，CD于點(diǎn)。.若AAOD=|AEOF,

求乙40。的度數(shù).

【變式5-1]

28.如圖，直線CD交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作射線。及0F,使OE平分//OC,

ACOF=3ZCOE.

⑴若40。=134。，求N8O尸的度數(shù)；

(2)若OELOF,求NBOD的度數(shù).

【變式5-2]

29.如圖，直線與直線CD交于點(diǎn)。，射線?！暝谝?。。內(nèi)部，。9是/E08的平分線,

且ZFOD=20°.

(1)若E。，。。，求//OC的度數(shù).

⑵若NEOD=1ABOD,求的度數(shù).

【變式5-3]

30.如圖所示，已知直線48與CD交于點(diǎn)。，EOVAB,垂足為。，＞ZCOE=2ZAOC.

試卷第13頁，共24頁

D

-F

0

B-------------------A

C

E

⑴求乙DOE的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)。在48上方作射線。尸，若ND0F=4ZA0F,求/CO尸的度數(shù).

【變式5-4]

31.如圖，點(diǎn)。在直線￡尸上，ZFOC=55°,N/02是直角.

(1)如圖①，若。4與重合，求/BOC的度數(shù)；

(2)如圖②，若。C平分/尸02,求NFC%的度數(shù)；

(3)如圖③，^ZAOE=4ZAOC,求/EOB的度數(shù).

夾角模型與k字模型

32.已知O/'O8,OC'OD.

(2)如圖②，若/3OC=60。，求乙40。的度數(shù)；

(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)果猜想N/OD與N8OC的關(guān)系，并根據(jù)圖①說明理由.

【變式6-1]

33.如圖，直線4B與。相交于點(diǎn)O,O尸是23OC的平分線，OE工AB,OFA.CD.

試卷第14頁，共24頁

(1)圖中除直角外，還有相等的角嗎？請寫出兩對.

(2)如果/30尸=50。，求NDOP的度數(shù).

(3)OP平分NEOF嗎?請寫出理由.

【變式6-2]

34.如圖，直線4B,CD相交于點(diǎn)O,OM1AB.

(1)若N1=N2,求證：ONLCD；

(2)若N1=；N3OC,求//OC的度數(shù).

【變式6-3]

35.如圖，于點(diǎn)。，射線。C,的方向如各圖所示，ZCOE=90°.

(1)如圖1,若44OE=20。，求NCON的度數(shù)；

(2)如圖2,射線。尸平分/C<W.若NAOF=25。,求NEOF,/CON的度數(shù)；

(3)如圖3,射線。尸平分NCOM,若2AOF=/3,用含力的代數(shù)式表示NEOP,NCON的

度數(shù).

試卷第15頁，共24頁

跨學(xué)科問題

例

跨物理學(xué)科

36.圖1是光的反射規(guī)律示意圖.其中，P。是入射光線，。。是反射光線，法線K01MN,

NPOK是入射角，/KO0是反射角，ZKOQ=ZPOK.圖2中，光線自點(diǎn)尸射入，經(jīng)鏡面

斯反射后經(jīng)過的點(diǎn)是（）

D.D點(diǎn)

【變式7-1]

37.如圖是光的反射規(guī)律示意圖，C。是入射光線，是反射光線，法線ZCOE

是入射角，/EOD是反射角，ZCOE=ZEOD.若/A0C=2/E0D,則/COE的度數(shù)

為.

A()H

規(guī)律探究

例

38.如圖，已知?！?〃c,點(diǎn)尸為。與6之間一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作9條不同的直線均與直線。相

交，探究圖中相交線形成的所有角中，互為對頂角的對數(shù)是（）

試卷第16頁，共24頁

【變式8-1]

39.觀察下列圖形，閱讀下面相關(guān)文字并填空:

(1)在同一平面內(nèi)，兩條直線相交最多有1個交點(diǎn)，3條直線相交最多有個交點(diǎn),

4條直線相交最多有個交點(diǎn)，……,像這樣，8條直線相交最多有個交

點(diǎn)，"條直線相交最多有個交點(diǎn)；

(2)在同一平面內(nèi)，1條直線把平面分成2部分，兩條直線最多把平面分成4部分，3條直

線最多把平面分成部分，4條直線最多把平面分成部分，……，像這樣,

8條直線最多把平面分成部分，〃條直線最多把平面分成部分.

【變式8-2]

40.觀察下列圖形，尋找對頂角(不含平角).

圖I圖2圖3

(1)如圖1,兩條直線相交于一點(diǎn)，共有對對頂角;

(2)如圖2,三條直線相交于一點(diǎn)，共有對對頂角;

(3)如圖3,四條直線相交于一點(diǎn)，共有對對頂角;

(4)根據(jù)填空結(jié)果探究：當(dāng)"條直線相交于一點(diǎn)時，共有對對頂角;

(5)根據(jù)探究結(jié)果，求1000條直線相交于一點(diǎn)時，所構(gòu)成的對頂角的對數(shù).

【變式8-3]

試卷第17頁，共24頁

映學(xué)盅相二類比患凰

41.阿學(xué)患冠:磷任意段觀察系列圖形，補(bǔ)全探究過程.

探究】如圖1,有2條直線相交于一點(diǎn)，則圖中共有對對頂角；如圖2,有3

條直線相交于一點(diǎn)，則圖中共有對對頂角；如圖3,有4條直線相交于一點(diǎn),

則圖中共有對對頂角.

【歸納總結(jié)】若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成對對頂角.

【規(guī)律應(yīng)用】若有40條直線相交于一點(diǎn)，則可形成幾對對頂角.

【變式8-4]

42.已知，點(diǎn)O在直線48上，OC1OD,OE平分/BOC.

【問題初探】

(1)如圖1,若N/OC=116。，求NDOE的度數(shù)；

【類比分析】

(2)如圖1,試探究NOOE與/NOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖2,若OW平分//OC,ON平分NBOE,試探究2NMON+/OOE的值是否為定

值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

【變式8-5]

43.綜合與探究

【提出問題】小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：如圖1,ZAOJB=a(0°<a<90°),請作一個

ZAOC,使//OC與/80C互余(NAOONBOC),即4OC+ZBOC=90。.

試卷第18頁，共24頁

【動手操作】小明是這樣思考的：如圖2所示，若射線OC在N/O8的內(nèi)部，則

ZAOC+ZBOC<90°,所以射線OC在的外部；然后通過構(gòu)造直角249D,找到

//OC的余角，如圖3所示；進(jìn)而分析要使N/OC與48OC互余，只需/30C=NC。。.

圖2

因此，小明找到了解決問題的方法：過點(diǎn)。作射線04的垂線如，利用量角器作出

的平分線OC,這樣就得到//OC與N8OC互余.請你幫助小明完成下列推理說明:

（1）已知：如圖3,4400=90。，射線OC平分/80D.請說明N/0C與/20C互余.

解：理由：因?yàn)樯渚€0c平分NBOD（已知）,

所以NBOC=（角平分線的定義）,

由于N/O0=9O。，gpZAOC+ZCOD

所以4OC+Z50c=90。(),即//0C與/20C互余.

（2）【類比操作】如圖4,若4408=40。，參考小明的畫法，請在圖4中作出一個/Z0E,

使//0E與NB0E互補(bǔ)（,/AOE〉NBOE）,并直接寫出的度數(shù).

圖4

（3）【拓展延伸】如圖5,已知44。8=￡（90。</<180。），若N/Q8與/8OC互補(bǔ)，射線

平分射線0N平分N20C.請根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，并求/MON的度數(shù).

試卷第19頁，共24頁

BB

［。能見失分點(diǎn)避開誤區(qū)。］

對對彼南的慨您產(chǎn)性良理奸不精

［例1］

44.下列語句正確的個數(shù)是()

①有公共頂點(diǎn)并且相等的兩個角是對頂角；②如果兩個角不相等，那么這兩個角一定不是

對頂角；③若兩個角有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊，和等于180。，則這兩個角為鄰補(bǔ)角；④

兩條直線相交所成的四個角中，如果有三個角相等那么這兩條直線互相垂直：⑤直線外一

點(diǎn)與直線上的一點(diǎn)間的線段的長度是這一點(diǎn)到這條直線的距離；⑥互相垂直的兩條線段一

定相交.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【防錯警示】

對對頂角的判定，要嚴(yán)格依據(jù)概念，缺少任何一個條件，就不是對頂角.對頂角相等，反過

來說是不成立的，即相等的角不一定是對頂角，不是對頂角的角也可能相等.

啕畫垂先吟誤認(rèn)方手足-定左殘役上

【例2】

45.(1)在圖①中，過外一點(diǎn)〃■作的垂線；

(2)在圖②中，分別過4B作08、CM的垂線.

ABOB

①②

【防錯警示】

畫線段或射線的垂線就是畫這條線段或射線所在直線的垂線，垂足可能在線段或射線上，也

可能在線段的延長線上或射線的反向延長線上.

試卷第20頁，共24頁

0A對前的直狙璃能離讒崎鑄或

【例3】

46.如圖，點(diǎn)P是直線。外的一點(diǎn)，點(diǎn)/、B、C在直線。上，且尸8，。，垂足是2,

PAYPC,則下列不正確的語句是（）

A.線段尸C的長是點(diǎn)C到直線PA的距離

B.線段NC的長是點(diǎn)A到直線PC的距離

C.PA、PB、PC三條線段中，PB最短

D.線段尸&的長是點(diǎn)尸到直線。的距離

【防錯警示】

線段是圖形，線段的長度才是距離，切勿混淆“線段”與“線段的長度”的含義.

&A讒招不充對軍轉(zhuǎn)段用性限

【例4】

47.點(diǎn)P為直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)、A,B,C為直線/上三點(diǎn)，P/=3cm,PB=4cm,PC=5cm,

則點(diǎn)P到直線/的距離（）

A.大于等于4cmB.大于3cm且小于4cm

C.等于3cmD.小于等于3cm

【防錯警示】

在給出的三條線段中，PN最短，因?yàn)闆]有給出圖形，所以線段"不一定是垂線段，所以

有兩種可能情況：線段PA是垂線段和線段PA不是垂線段.

［。好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)。」

48.如圖，點(diǎn)。在直線上，過。在上方作射線。C,ZBOC=120°,直角三角板的

直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，邊0州與08重合，邊ON在直線的下方.如果三角板繞點(diǎn)。按

10度/秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第秒時，OC1ON.

試卷第21頁，共24頁

49.如圖1,。為直線48上一點(diǎn)，過點(diǎn)0在直線48的下方作射線OC,使NBOC=140。,

將一個直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊在射線02上，另一邊CW在直線的

上方.

(1)將圖1中的三角板以每秒10。的速度繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)(ON始終保持在直線N3的上

方)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第/秒時，ON恰好與OC在同一直線上，請直接寫出t的值.

(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)到圖2所示的位置，使一邊0河在N30C的內(nèi)部，

且恰好平分/8OC,求N/ON的度數(shù).

⑶將圖1中的三角板繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，使ON在NNOC的內(nèi)部，請?zhí)骄?/p>

與/NOC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

50.如圖，直線43、CD相交于點(diǎn)。，將一個直角三角尺的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)。處，且ON

(1)若N/OC=66。，求的度數(shù)；

⑵試說明0M平分乙4。。.

51.如圖，直線48,CD相交于點(diǎn)。，04平分/EOC.

試卷第22頁，共24頁

ED

C

(1)若/￡。。=86。，求的度數(shù)；

⑵若ZEOC:ZEOD=4:5,求ZBOD的度數(shù).

52.如圖①，點(diǎn)O為直線43上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作射線。C,使NNOC=60。，將一把直角三角

尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)。處，一邊r在射線03上，另一邊CW在直線的下方.

⑴將圖①中的三角尺繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)至圖②，使得點(diǎn)N在0c的反向延長線上，求NMO8

的度數(shù).

(2)將圖①中的三角尺繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)至圖③，使0N在//OC的內(nèi)部，請?zhí)骄?/p>

與NNOC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

53.點(diǎn)。是直線48上一點(diǎn)，NCOD是直角，OE平分NBOC.

⑴如圖1,若NDOE=25。，求N/OC的度數(shù)；

(2)將圖1中的NCOD繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置.探究NDOE與//OC的度

數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

54.觀察圖形，尋找對頂角(不含平角).

試卷第23頁，共24頁

①②③

(1)兩條直線相交于一點(diǎn)，如圖①，共有對對頂角;

(2)三條直線相交于一點(diǎn)，如圖②，共有對對頂角;

(3)四條直線相交于一點(diǎn)，如圖③，共有對對頂角;

(4)根據(jù)探究：當(dāng)"條直線相交于一點(diǎn)時，共有對頂角.

55.若直線和直線ED相交于點(diǎn)。，OC為Z80E內(nèi)部的射線，OE平分/NOC,OF

平分/20C.

(1)若ZBOO=58°,求/NO9和NEO尸的度數(shù)？

⑵若ABOD是任意角?(0°<?<90°),求AEOF的度數(shù)？

⑶請猜想，/EO尸度數(shù)會改變嗎？若改變，請說明理由；若不改變，則NEO尸度數(shù)是多少?

試卷第24頁，共24頁

1.c

【分析】本題考查了對頂角.兩條邊互為反向延長線的兩個角叫對頂角，根據(jù)定義結(jié)合圖形

逐個判斷即可.

【詳解】解：A、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

B、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

C、符合對頂角的定義，故本選項符合題意；

D、不符合對頂角的定義，故本選項不符合題意；

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和對頂角相等，可得乙4OC=80。,乙400=100。,從而得到乙4?！?40。,

即可求解.

【詳解】解：,?,ZBOC=100°,

.-?A4OC=80°,A40Z)=100°,

???OE平分4OC,

山?！?40°,

：.^DOE=^AOE+Z-AOD=140°.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和對頂角相等，熟練掌握鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和對頂角相等

是解題的關(guān)鍵.

3.CDLCE

【詳解】解：???/、B、C三點(diǎn)在一直線上，zl=20°,42=70。，.?zDC￡=180°-N1-42=90°,

■■.CDLCE.故答案為CZXLCE.

4.見解析

【分析】本題考查了畫垂線，根據(jù)垂線的定義，畫出圖形，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，

答案第1頁，共42頁

5.(1)90;(2)互相垂直；(3)BE,DC;(4)DC,BE,連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,

垂線段最短

【分析】(1)、(2)、根據(jù)垂線的定義以及性質(zhì)即可解決問題；

(3)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離定義解決問題；

(4)根據(jù)垂線段最短即可解決問題；

【詳解】解：(1)■■-ACICD,

.?.zACD=90°,

(2)-,■ZBED=9O°,

???BE1AD,

故答案為:互相垂直.

(3)「BE1AD.?.線段BE的長是點(diǎn)B到直線AD的距離的線段；

同理，點(diǎn)D到直線AB的距離是線段DC的長度；

故答案為線段BE的長、線段DC的長度；

(4)在線段DA、DB、DC中，最短的線段是DC；在線段BA,BE,BD中，最短的是線

段BE.理由是垂線段最短.

故答案為:CD,BE,垂線段最短.

【點(diǎn)睛】垂線的定義和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，

屬于中考?？碱}型.

6.(1)90°

(2)75

【分析】本題主要考查了垂線、角平分線的定義、角的計算、一元一次方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，

掌握角平分線的定義并由平角定義列出關(guān)于ZBON的方程成為解題的關(guān)鍵.

(1)由角平分線定義得到=然后進(jìn)行計算即可解答；

(2)設(shè)NBON=x。，由條件得至！J50°-；x°+x°=100°,求出x的值即可解答.

【詳解】(1)解：???OM平分ON平分NBOC,

...ZMOC=|ZAOC,ZMOC=|ZBOC,

...ZMOC+ZCON=^(ZAOC+ZBOC),

AMON=-ZL4OS=-x180°=90°.

22

答案第2頁，共42頁

（2）解：設(shè)/BON=x。,

-OELAB,

ZBOE=90°,

??.NEON=90。+%,

1Y°

ZCON=-AEON=30°+—,

33

???/MON=80。,

.,.4COM=80°-130。+?]=50°一？，

OM平分ZAOC,

...ZAOM=ZCOM=50°--x°,

3

ZAOM+ABON=100°,

.?.50o-1x°+xo=100°,解得：，=75.

ZBON=75°.

7.（1）96°48,

（2）①80°；②20?；?60°

【分析】本題考查幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用：

（1）根據(jù)角平分線的定義得出/8。。=2/8?！?83。12，，再根據(jù)平角的定義得

/COB=180°-NBOD；

⑵①設(shè)NEOD=NBOE=x。,則NR9E=（30+x）。，ZCOE=（60+2%）0,根據(jù)

/COE+/EOD=180。列方程求出x,再根據(jù)對頂角相等，即可得出//OC的度數(shù)；②分OG

在上方、下方兩種情況，畫出圖形，利用角的和差關(guān)系求解.

【詳解】（1）解：：OE平分4OD,22。后=41。36,

NBOD=2NBOE=83O12',

Z.COB=180°-ABOD=180°-83°12,=96°48,；

（2）解：①；OE平分ZBOD,

設(shè)ZEOD=NBOE=X。，

???ZFOB=30°,

ZFOE=ZFOB+aBOE=（30+x）。，

VOF平分NCOE,

答案第3頁，共42頁

ZCOE=2ZFOE=(60+2x)°,

???ZCOE+ZEOD=^Q°,

60+2x+x=180,

解得x=40,

ZB。。=2x40°=80°,

NAOC=/BOD=80°；

②由①知NFOE=ZFOB+NBOE=30°+40°=70°,

OG_LOE時，ZGOE=90°,

分兩種情況:

ZGOF=ZGOE-ZFOE=90°-70°=20°；

ZGOF=ZGOE+ZFOE=90°+70°=160°；

綜上可知，NFOG的度數(shù)為20?；?60。.

8.(1)30°

(2)120°

【分析】本題考查了垂線，角平分線的定義，對頂角、鄰補(bǔ)角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)對頂角相等可得Z40c=480。=60。，然后利用角平分線的定義可得

44?！?30°；

(2)根據(jù)垂直定義可得NEO9=90。，從而利用平角定義求出480尸=60。，最后利用角的

答案第4頁，共42頁

和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答.

【詳解】(1)解：?；400=60。，

AAOC=/LBOD=60°,

???OE平分/NOC,

.-.ZAOE=-ZAOC=30°；

2

(2)解：-OEIOF,

ZEOF=90°,

ZBOF=180°-ZAOE-/EOF=60°,

ADOF=ZBOD+ZBOF=120°.

9.(1)詳見解析

(2)163°

【分析】本題考查了垂線，角平分線的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)角平分線的定義可得=再根據(jù)垂直定義可得NMOE=90。，從而

利用平角定義可得N/OM+NBOE=90。，然后根據(jù)等角的余角相等可得/NOW=/D(W,即

可解答；

(2)先利用平角定義可得/40D=146。，然后利用(1)的結(jié)論可得

4M0D="0D=13°,再根據(jù)垂直定義可得/DON=90。，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行

2

計算，即可解答.

【詳解】(1)證明：石為的平分線，

/.ADOE=ZBOE,

???MOVEO,

:.ZMOE=90°,

ZAOM+NBOE=180°-ZMOE=90°,

ZDOM+/DOE=90°,

/.AAOM=/DOM,

：.OM是//QD的平分線；

(2)解：???N4OC=34。，

ZAOD=180°-ZAOC=146°,

答案第5頁，共42頁

是N/OD的平分線，

ZMOD=-ZAOD=73°,

2

???NO1DO,

ZDON=90°,

AMON=ZMOD+ADON=163°,

.?.NMON的度數(shù)為163。.

10.ROELOF,理由見解析

(2)成立，鄰補(bǔ)角的兩條角平分線互相垂直

【分析】(1)根據(jù)/BOC=50。，求出乙4OC的度數(shù)，根據(jù)角平分線得到M0C與NC。尸的

度數(shù)，即可得到答案；

(2)根據(jù)M0C求出ZJOC的度數(shù)，根據(jù)角平分線得到NEOC與NCO尸的度數(shù)，即可得到

答案.

【詳解】(1)解：OELOF.理由如下：

因?yàn)镹8OC=50。，

所以//。。=180。-50。=130。.

因?yàn)槠椒?/OC,OF平分NBOC,

所以ZEOC=jz^OC=65°,ZCOF=；NBOC=25°,

所以ZEOF=ZCOF=ZEOC+ZCOF=650+25°=90°,

所以O(shè)EJ_Ob.

(2)解:成立.理由：

因?yàn)?BOC=a,

所以alOC=18(r-a.

因?yàn)镺E平分//OC,OF平分/BOC,

所以NEOC=；N4OC=9(T-；a,ZCOF=-ZBOC=^a,

所以NEOF=NEOC+NCOF=90°-；a+；a=90°,

所以O(shè)E_LOF.

規(guī)律：鄰補(bǔ)角的兩條角平分線互相垂直.

【點(diǎn)睛】此題考查了幾何圖形中角度的和差計算，角平分線的計算，正確理解圖形中各角的

答案第6頁，共42頁

位置關(guān)系進(jìn)行和差計算是解題的關(guān)鍵，還考查了由特殊到一般的解題思想.

11.(1)148°

(2)90°-(z

【分析】本題考查幾何圖形中的角度計算，角平分線的定義，理清圖中相關(guān)角的和差關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

(1)由角平分線的定義可得/。。石=；乙4。。,/。。b=348。。，進(jìn)而可得

ZEOF=12^05=1x180°=90°,由對頂角相等可得N/OE=N2OZ)=58。，貝I」

ZAOF=ZAOE+/EOF=148°；

(2)根據(jù)角平分線的定義及角的和差關(guān)系求解即可.

【詳解】(1)解:因?yàn)??！昶椒諲NOCO尸平分N20C,

所以/C0E=LZ^0C,/C0E=L/80C,

22

所以ZCOE+ZCOF=；(N/OC+NBOC),

即ZEOF=-ZAOB=-xlS0°=90°.

22

因?yàn)镹/OE=ZBOD=58°,

所以/4。尸=NAOE+NEOF=58°+90°=148°.

(2)解：因?yàn)槠椒?/OC,

所以N40c=2N4OE.

因?yàn)镹AOE=ZBOD=a,

所以//0C=2tz,

所以NBOC=180。-2a.

因?yàn)椤Ｊ椒諲80C,

所以NCOF=g/8OC=gx(180°-2a)=90°-e.

12.(1)75°

(2)40°

【分析】本題考查幾何圖形中角度的計算問題，角平分線的定義，

(1)根據(jù)/COD=30°,OA±OD,可求出ZAOC,根據(jù)OB平分ZAOC和AFOD=22coD,

可求出NR9。，再根據(jù)平分NC。尸，求出/COE,即可求出NBOE；

答案第7頁，共42頁

i3

(2)設(shè)/C8=x,根據(jù)已知條件可得NBOC=5(90。-％),ZCOE=-X,然后列方程,

解方程即可求出答案；

利用方程的思想解決問題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：vZCQD=30°,OALOD,

??.ZAOC=90°-/COD=90?！?0。=60°,

???05平分N/OC,

ZBOC=-ZAOC=-x60°=30°,

22

???ZFOD=2ZCOD,

ZFOD=2ZCOD=2x30。=60。，

??.ZCOF=/COD+ZFOD=30°+60°=90°,

?；OE平分NCOF,

??.ZCOE=-ZCOF=?!x90。=45。，

22

ZBOE=ZBOC+/COE=30。+45。=75°,

???/BOE的度數(shù)為75。；

(2)^ZCOD=x,

-OAJLOD,

.-.ZAOC=90°-/COD=90。一x,

???OB平分/4OC,

??.ABOC=ZAOC=^(90°-x)

???ZFOD=2ZCOD,

ZFOD=2ZCOD=2x,

??.ZCOF=/COD+ZFOD=x+2x=3xf

??,OE平分NCOF,

13

:.ZCOE=-ZCOF=-x,

22

???/BOE=85°,

i3

.-.85°=NBOE=NBOC+ZCOE=-(90°-x)+-x,

解得：x=40。，

??.NC8的度數(shù)為40。.

答案第8頁，共42頁

13.C

【分析】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角，熟練運(yùn)用這些定義解決問題是本題的關(guān)

鍵.由對頂角、鄰補(bǔ)角，角平分線的定義，余角和補(bǔ)角進(jìn)行依次判斷即可.

【詳解】解：OD±OF,

ZAOE=90°,ZDOF=90°,

ZBOE=90°=ZAOE=ZDOF

ZAOF+ZEOF=90°,NEOF+NEOD