專題10.6二元一次方程組（4大知識點5大考點15類題型）（全章知識梳理與題型分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點1】二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個未知數(shù)（一般用和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.【要點提示】（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.【要點提示】二元一次方程的每一個解，都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般要用大括號聯(lián)立起來，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.此外，組成方程組的各個方程也不必同時含有兩個未知數(shù).【要點提示】（1）它的一般形式為（其中，，，不同時為零）．（2）更一般地，如果兩個一次方程合起來共有兩個未知數(shù)，那么它們組成一個二元一次方程組．（3）符號“”表示同時滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.【要點提示】（1）方程組中每個未知數(shù)的值應(yīng)同時滿足兩個方程，所以檢驗是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個方程，若兩個方程同時成立，才是方程組的解，而方程組中某一個方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個.【知識點2】二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法和加減消元法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過程：①從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個未知數(shù)的值，就是方程組的解.【要點提示】（1）用代入法解二元一次方程組時，應(yīng)先觀察各項系數(shù)的特點，盡可能選擇變形后比較簡單或代入后化簡比較容易的方程變形；（2）變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個方程；（3）要善于分析方程的特點，尋找簡便的解法.如將某個未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個整體用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個方程，或直接將某一方程代入另一個方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運用可使運算簡便，提高運算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個方程相加（或相減），消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；③解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡單的一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值；⑤將兩個未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.【要點提示】當(dāng)方程組中有一個未知數(shù)的系數(shù)的絕對值相等或同一個未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時，用加減消元法較簡單.【知識點3】實際問題與二元一次方程組【要點提示】（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.【知識點4】三元一次方程組1．定義：含有三個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個相同的未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.【要點提示】理解三元一次方程組的定義時，要注意以下幾點：（1）方程組中的每一個方程都是一次方程；（2）如果三個一元一次方程合起來共有三個未知數(shù)，它們就能組成一個三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)，最后再求出另一個未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個方程與另兩個方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個二元一次方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個未知數(shù)的值代入原方程組中的一個系數(shù)比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；（4）解這個一元一次方程，求出最后一個未知數(shù)的值；（5）將求得的三個未知數(shù)的值用“{”合寫在一起．【要點提示】（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時要根據(jù)各方程特點尋求比較簡單的解法．（2）要檢驗求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個方程中，看每個方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母（如x，y，z）表示題目中的兩個（或三個）未知數(shù)；（2）找出能夠表達應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫出答案（包括單位名稱）．【要點提示】（1）解實際應(yīng)用題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個方程并組成方程組．考點與題型目錄【考點一】二元一次方程（組）的定義及其解【題型1】二元一次方程（組）.........................................................4【題型2】二元一次方程（組）的解.....................................................4【考點二】解二元一次方程組【題型3】解二元一次方程組...........................................................5【題型4】用特殊方法解二元一次方程組.................................................5【題型5】二元一次方程組的錯解復(fù)原問題...............................................5【題型6】構(gòu)造二元一次方程組求解.....................................................6【題型7】已知二元一次方程組的解求參數(shù)...............................................6【題型8】二元一次方程組的同解原理...................................................7【考點三】三元一次方程組【題型9】解三元一次方程組...........................................................7【題型10】用三元一次方程組解決問題..................................................7【考點四】用二元一次方程組解決問題【題型11】銷售與利潤問題............................................................8【題型12】行程問題與工程問題........................................................8【題型13】古代問題與分配問題........................................................9【考點五】直通中考與拓展延伸【題型14】直通中考.................................................................10【題型15】拓展延伸.................................................................10第二部分【題型展示與方法點撥】【考點一】二元一次方程（組）的定義及其解【題型1】二元一次方程（組）【例1】（2425七年級下·山東聊城·階段練習(xí)）下列方程組中，屬于二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【變式1】（2425七年級下·重慶·階段練習(xí)）已知是關(guān)于，的二元一次方程，則的值是．【變式2】（2122七年級下·吉林長春·階段練習(xí)）下列方程組為二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【題型2】二元一次方程（組）的解【例2】（2023七年級上·全國·專題練習(xí)）已知方程組，則的值是．【變式1】（2324九年級下·浙江·自主招生）方程的正整數(shù)的組數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】（2223七年級下·浙江嘉興·階段練習(xí)）下列某個方程與組成方程組的解為，則這個方程是（

）A． B． C． D．【考點二】解二元一次方程組【題型3】解二元一次方程組【例3】（2425七年級下·重慶·階段練習(xí)）解二元一次方程組（1） （2）【變式1】（2425七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）解下列方程組：（1） （2）【變式2】（2425七年級下·全國·期中）解下列方程組．（1） （2）【題型4】用特殊方法解二元一次方程組【例4】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）解下列方程組：（1）； （2）【變式1】（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）利用換元法解下列方程組：（1） （2）【變式2】（2324七年級下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組．（1）若，求這個方程組的解．（2）若這個方程組的解滿足，求的值．【題型5】二元一次方程組的錯解復(fù)原問題【例5】（2425七年級下·重慶·階段練習(xí)）樂樂，果果兩人同解方程組時，樂樂看錯了方程①中的，解得，果果看錯了方程②中的，解得，求的值．【變式1】（2223七年級下·云南昆明·期末）甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了方程①中的，解得，乙看錯了方程②中的，解得，則的值為（

）A．2 B． C．0 D．【變式2】（2425八年級上·陜西榆林·階段練習(xí)）甲乙兩人共同解關(guān)于，的方程組由于甲看錯了方程①中的，得到方程組的解為，乙看錯了方程②中的，得到方程組的解為則關(guān)于，的方程組的正確解為．【題型6】構(gòu)造二元一次方程組求解【例6】（2324八年級上·河北保定·階段練習(xí)）已知代數(shù)式．（1）當(dāng)時，代數(shù)式的值是，請用含的代數(shù)式表示．（2）當(dāng)時，代數(shù)式的值是；當(dāng)時，代數(shù)式的值是，求，的值．【變式1】（2324七年級下·四川樂山·期末）對于有理數(shù)x、y，定義新運算：，其中是常數(shù)，例：．已知，，那么（

）A． B． C． D．【變式2】（2425七年級下·北京·開學(xué)考試）把和分別代入式子中，值分別為和，則．【題型7】已知二元一次方程組的解求參數(shù)【例7】（2425七年級下·吉林長春·階段練習(xí)）二元一次方程組，它的解x和y值相等，求a的值．【變式1】（2425七年級下·安徽池州·開學(xué)考試）若關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，則k的值為（）A．0 B．1 C．2 D．【變式2】（2425七年級下·重慶萬州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組的解為整數(shù)，且關(guān)于y的多項式為二次三項式，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為【題型8】二元一次方程組的同解原理【例8】（2425七年級下·浙江·階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程組和有相同的解．（1）求出它們的相同解．（2）求和的值．【變式1】（2425七年級上·湖南婁底·期末）關(guān)于x，y的方程組與有相同的解，則的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2425八年級上·四川成都·期末）若關(guān)于x，y的方程組與關(guān)于x，y的方程組有相同的解，則，．【考點三】三元一次方程組【題型9】解三元一次方程組【例9】（2425七年級下·全國·課后作業(yè)）解下列三元一次方程組：（1）（2）【變式1】（2324七年級下·全國·單元測試）關(guān)于的方程組的解是，則的值是（

）A． B． C． D．【變式2】（2324七年級下·四川宜賓·期中）若，則_________；【題型10】用三元一次方程組解決問題【例10】（2425七年級下·全國·隨堂練習(xí)）已知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．求、、的值．【變式1】（2025九年級下·全國·學(xué)業(yè)考試）一個旅游團50人到一家賓館住宿，賓館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間每人每晚100元，標(biāo)準(zhǔn)間每人每晚150元，單人間每晚200元．如果該團住滿了20間客房，最低總消費是（

）A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元【變式2】（2425八年級上·四川成都·期末）信息安全保障越來越受到人們重視，很多信息需要加密處理，有一種加密、解密的工作原理為：發(fā)送方由明文通過加密規(guī)則加密成密文，接收方由密文通過解密成明文．已知某加密規(guī)則為：明文互為相反數(shù)，其對應(yīng)密文為．若接收方收到密文為2和，則的值為．【考點四】用二元一次方程組解決問題【題型11】銷售與利潤問題【例11】（2324七年級下·浙江杭州·期中）愛好數(shù)學(xué)的小明，來到西湖邊一知名奶茶店，注視著價格表．（1）小明發(fā)現(xiàn)：2杯西瓜啵啵、3杯元氣鮮橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元氣鮮澄共需142元，那么購買1杯西瓜啵啵和2杯元氣鮮橙共需元；（2）小明購買了楊枝甘露、百香鳳梨、葡萄芝士三種奶茶共10杯，共消費了187元，若楊枝甘露18元/杯．百香鳳梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，則葡萄芝士買了杯．【變式1】（2223八年級上·全國·單元測試）小李家去年節(jié)余5000元，今年可節(jié)余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入與支出各是多少？設(shè)去年的收入為元，支出為元，則可列方程組為（

）A． B． C． D．【變式2】（2021·廣東深圳·二模）五一節(jié)前，某商店擬用元的總價購進兩種品牌的電風(fēng)扇進行銷售，為更好的銷售，每種品牌電風(fēng)扇都至少購進1臺．已知購進3臺A種品牌電風(fēng)扇所需費用與購進2臺B種品牌電風(fēng)扇所需費用相同，購進1臺A種品牌電風(fēng)扇與2臺B種品牌電風(fēng)扇共需費用元．（1）求A、B兩種品牌電風(fēng)扇每臺的進價分別是多少元？（2）銷售時，該商店將A種品牌電風(fēng)扇定價為元/臺，B種品牌電風(fēng)扇定價為元/臺，為能在銷售完這兩種電風(fēng)扇后獲得最大的利潤，該商店應(yīng)采用哪種進貨方案？【題型12】行程問題與工程問題【例12】（2324七年級下·四川德陽·期末）市域（郊）成都至德陽段（線），全長約70公里，估計投資187億．2023年3月開建，2026年12月達初期運行．中鐵二院某工程隊負(fù)責(zé)德陽市區(qū)某段建設(shè)，分兩個班組分別從德陽南站和四川建院站同時開工掘進．已知甲組比乙組平均每天多掘進2.4米，經(jīng)過5天施工，兩組共掘進了110米．則甲班組平均每天掘進米．【變式1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）從甲地到乙地的路有一段上坡，一段平路，如果保持上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需要，從乙地到甲地需．則從甲到乙地的全程是（

）A． B． C． D．【變式2】（2425七年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）甲、乙兩地相距千米，一列慢車從甲地開出，一列快車從乙地開出，如果兩車同向而行，快車小時追上慢車：如果兩車相向而行，小時后兩車相遇，試問：（1）兩車的速度分別是多少？（2）若兩車同時相向而行，多少時間可以相距千米？【題型13】古代問題與分配問題【例13】（2024·湖北黃岡·二模）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，則繩長多少尺？木長多少尺？答：（1）繩長尺；（2）木長尺．【變式1】（2025·天津·模擬預(yù)測）一服裝廠用某種布料生產(chǎn)玩偶A與玩偶B組合成一批盲盒，一個盲盒搭配1個玩偶A和2個玩偶B，已知每米布料可做1個玩偶A或3個玩偶B，現(xiàn)計劃用136米這種布料生產(chǎn)這批盲盒（不考慮布料的損耗），設(shè)用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，則下列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2324七年級下·吉林松原·期中）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子，問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？（2）