課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ11SXRA038學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期

課題雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（A版）

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師陳鳳飛北京一七一中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)

（1）能通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件列出雙曲線上的點(diǎn)

的坐標(biāo)滿足的方程，化簡(jiǎn)所列出的方程，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算

素養(yǎng)．

（2）通過(guò)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比及數(shù)形結(jié)合等思想方

法的運(yùn)用，提高學(xué)生的觀察與探究能力；

教學(xué)重點(diǎn)：理解和掌握雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)過(guò)程

時(shí)教學(xué)

主要師生活動(dòng)

間環(huán)節(jié)

雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程與橢圓很類似，學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)

驗(yàn)，節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究”式的教學(xué)方法，重點(diǎn)突出以下兩點(diǎn)：（1）以類

比思維作為教學(xué)的主線（2）以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方法

采用多媒體輔助教學(xué)。體現(xiàn)在用幾何畫(huà)板畫(huà)雙曲線。但不是單純用動(dòng)畫(huà)演示給

學(xué)生看，而是用動(dòng)畫(huà)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

一、知識(shí)引入

橢圓、雙曲線都是平面截圓錐所得，由于截面與圓錐對(duì)稱軸的角度不同，

它們的形狀存在差異。我們想，這兩類圖形存在某種聯(lián)系.

一、我們首先復(fù)習(xí)一下橢圓的定義是什么？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

知

識(shí)師生活動(dòng)：打開(kāi)幾何畫(huà)板，我們回顧橢圓的生成過(guò)程.然后改變圖中的條件，調(diào)

引整，使得為常數(shù)，動(dòng)畫(huà)生成一種新的曲線.

入

12

5（?在?動(dòng)畫(huà)的過(guò)?程?中，?請(qǐng)?同?學(xué)們不僅要觀察生成的曲線，還要觀察第一象限的各

分個(gè)參數(shù)值的變化，追問(wèn)學(xué)生，這個(gè)常數(shù)有什么要求？）

鐘

我們稱該曲線為雙曲線.雙曲線的??定1義?其?實(shí)?就2是動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系式。

問(wèn)題1雙曲線定義是什么？

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)，的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于)

的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線?1.這?兩2個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，|?1?2|

兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

二、定義辨析

追問(wèn)1：類比橢圓，雙曲線定義中哪些關(guān)鍵字？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法發(fā)現(xiàn)定義中的關(guān)鍵詞

追問(wèn)2：若分別去掉這幾個(gè)關(guān)鍵字曲線會(huì)發(fā)生怎樣變化？

2.1、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差等于常數(shù)小于的點(diǎn)的軌跡是什么？

2.2、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為,常數(shù)|?1等?2于|的點(diǎn)的軌跡是

什么？,|?1?2|

2.3、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)大于的點(diǎn)的軌跡是

什么？,|?1?2|

2.4、平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為0的點(diǎn)的軌跡是什么？

三、標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

問(wèn)題2回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步驟及方法，能否類比橢圓試著推導(dǎo)雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動(dòng)：通過(guò)類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的研究過(guò)程與方法，研究雙曲線的方程．

追問(wèn)1：如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？

師生活動(dòng)：觀察發(fā)現(xiàn)雙曲線具有對(duì)稱性，與求橢圓方程的建系過(guò)程完全類似，

建立以點(diǎn)F1和F2所在直線為軸，線段F1F2的垂直平分線為軸的平面直角坐標(biāo)

二

系．教學(xué)中應(yīng)再次強(qiáng)調(diào)，把握所研究的幾何對(duì)象的基本特征（如對(duì)稱性、

定??

特殊點(diǎn)等），對(duì)于合理建立坐標(biāo)系、簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算、得出特征明顯的代數(shù)方程等

義???

辨等都是非常重要的．

析追問(wèn)2：如何寫(xiě)出曲線上的點(diǎn)M所滿足條件的集合？

師生活動(dòng)：求曲線方程的實(shí)質(zhì)是要找到曲線上的點(diǎn)所滿足的條件．一般情況下，

可以由確定曲線的幾何條件得到．根據(jù)雙曲線的定義，雙曲線上的點(diǎn)M滿足條

5件的集合是，．

PMMF1MF22a02aF1F2

分

鐘讓學(xué)生類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，認(rèn)識(shí)把兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離設(shè)為

2a，可以為運(yùn)算帶來(lái)方便，并且使標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式簡(jiǎn)潔．教學(xué)時(shí)還應(yīng)讓學(xué)生

認(rèn)識(shí)它的幾何意義，以及它與橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的區(qū)別．

追問(wèn)3：如何根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件的集合寫(xiě)出方程f(x,y)0？

師生活動(dòng)：將，中的等式解析化，也

PMMF1MF22a02aF1F2

就是用坐標(biāo)表示集合中的等式，可以得到關(guān)于x,y的方程

(xc)2y2(xc)2y22a，記為f(x,y)0．

坐標(biāo)法的基礎(chǔ)是建立平面直角坐標(biāo)系，然后由集合P得到方程f(x,y)0，

把幾何條件代數(shù)化，從而獲得方程．

追問(wèn)4：如何化簡(jiǎn)方程？

師生活動(dòng)：為了用方程研究曲線的性質(zhì)，需要化簡(jiǎn)方程．將

?(?,?)=0f(x,y)0f(x,y)0

等價(jià)變形為(xc)2y2(xc)2y22a，然后類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的化簡(jiǎn)

過(guò)程：

(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=±2a

\（(x+c)2+y2）2=（(x-c)2+y2±2a）2

\cx-a2=-a(x-c)2+y2

\(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)

222

令c=a+b，代入化簡(jiǎn)得：（強(qiáng)調(diào)優(yōu)化結(jié)構(gòu)）

22

5x-y=>>

221(a0,b0)

分ab

三、

鐘從上述過(guò)程可以看到，雙曲線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是上述方程的解，反

標(biāo)準(zhǔn)過(guò)來(lái)，以上述方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為

方程2,即以上述方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上，所以上述方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程。

的推?

導(dǎo)

追問(wèn)5：焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動(dòng)：得到焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，讓學(xué)生類比回答焦點(diǎn)在y

軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么．當(dāng)學(xué)生類比焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

y2x2x2y2

回答1（a＞0，b＞0）后，可通過(guò)如下兩個(gè)方面對(duì)1，

a2b2a2b2

y2x2

1（a＞0，b＞0）進(jìn)行比較：一是兩個(gè)焦點(diǎn)的位置（在軸上還是在y

a2b2

軸上）與負(fù)號(hào)的位置，二是方程中x,y與a,b的對(duì)應(yīng)位置，要使他?們認(rèn)識(shí)到：若

x2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；若y2項(xiàng)的系數(shù)是正數(shù)，則雙曲

線的焦點(diǎn)在y軸上．對(duì)于雙曲線，要強(qiáng)調(diào)a不一定大于b，因此不能像橢圓那

樣通過(guò)比較分母的大小判斷焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．

四、

例四、例題

題例1設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為雙曲線上一點(diǎn)與，的距離差

分

1212

析的絕對(duì)值等于6，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程?.(?5,0),?(5,0),???

解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2y2?

-=1(a>0,b>0)

a2b2

由，，得，，

因此2?，=102?=6=16.?=5?=3

222

所以，雙?曲=線5得?標(biāo)3準(zhǔn)方程為

3

x2y2

分-=1.

916

鐘

例2已知，兩地相距800m，在地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在地晚2s，且聲速為340m/s，

求炮彈爆炸?點(diǎn)?的軌跡方程．??

分析：雙曲線的應(yīng)用。

解：由題意，PA-PB=2′340

所以，點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支。

???

\2a=680,\a=340

|AB|=800,\2c=800,c=400,\b2=c2-a2=44400

|PA|-|PB|=680<800