課程基本信息

課例編號2020QJ10SXRA059學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期

課題簡單的三角變換（2）

書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊A版

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師王建光北京市第二中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：（1）借助三角恒等變換，把形如yasinxbcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為

yAsin(x)形式的函數(shù)，并研究其性質(zhì)；

（2）體會三角變換在解決實際問題中的作用，加深對函數(shù)概念的認(rèn)識和化歸思想的理

解；

（3）在實際問題的解決過程中，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值，發(fā)展數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素

養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn)：借助三角恒等變換，把形如yasinxbcosx的函數(shù)轉(zhuǎn)化為

yAsin(x)形式的函數(shù)，并研究其性質(zhì)．

教學(xué)難點(diǎn)：借助三角變換解決有關(guān)的實際問題．

教學(xué)過程

時

教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動

間

隨著三角恒等變換工具的增多，可以實現(xiàn)角的和差變化，三角函數(shù)

式結(jié)構(gòu)的變化等．這節(jié)課，我們思考將這種變換實施在某些函數(shù)身上，

使得它們在變換以后可進(jìn)行深度研究．

（一）問題

引導(dǎo)，引入例1求函數(shù)ysinx3cosx的周期，最大值和最小值．

新知

問題1：請同學(xué)們根據(jù)已有的三角函數(shù)的知識對例題進(jìn)行分析，說

出你的結(jié)論以及你的依據(jù)．

師生活動：教師提出問題，學(xué)生利用已學(xué)過的三角函數(shù)的性質(zhì)分析

函數(shù)ysinx3cosx的周期，最大值和最小值．

預(yù)案：函數(shù)ysinx和ycosx的周期均為2π，最大值為1，最

小值為-1，由此猜測函數(shù)ysinx3cosx的周期為2π，最大值為

13，最小值為13．針對學(xué)生的分析結(jié)論，師生開展討論，相

互交流．

因為sin(2πx)3cos(2πx)sinx3cosx，由周期函數(shù)

的定義可知，2π是函數(shù)ysinx3cosx的周期，但是未證明2π是

函數(shù)的最小正周期，證明的過程有能力的同學(xué)可以在課后嘗試．

當(dāng)sinxcosx1時，ysinx3cosx取到最大值13．因

為sin2xcos2x1，則當(dāng)sinx1時，cosx0，所以函數(shù)

ysinx3cosx的最大值是13這個結(jié)論是不正確的．同理，函

數(shù)的最小值不是13．

問題2：我們還學(xué)過哪種類型三角函數(shù)的周期、最值的求解呢？

師生活動：在問題1得到矛盾后，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)知識，函

數(shù)yAsin(x)（其中A，，為常數(shù)，且A0，0）的

2ππ

周期T，當(dāng)x2kπ(kZ)時，函數(shù)yAsin(x)

2

π

取得最大值|A|，當(dāng)x2kπ(kZ)時，函數(shù)取得最小值

2

|A|．

設(shè)計意圖：從一個具體的函數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)的周期、

最值的解法．在問題的分析過程中，明確化簡的目標(biāo)，為接下來的學(xué)習(xí)

過程做好鋪墊，同時培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

問題3：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是

yAsin(x)，那是否可以將函數(shù)ysinx3cosx轉(zhuǎn)化為

yAsin(x)的形式？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生思索，交流，提出方案．

利用和角公式將yAsin(x)展開，可化為

yAsin(x)cosAcos(x)sin．

令sinx3cosxAsin(x)cosAcos(x)sin，得1，

Acos1，Asin3，則A2cos2xA2sin2x4，A24．

13

取A2，則cos，sin．因此，可以利用和角公式將

22

ysinx3cosx轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式．

13

解：ysinx3cosx2(sinxcosx)

22

πππ

2(sinxcoscosxsin)2sin(x).

333

因此，所求周期為2π，最大值為2，最小值為-2.

設(shè)計意圖：在明確化簡目標(biāo)yAsin(x)后，將yAsin(x)

的展開式與yasinxbcosx進(jìn)行對比，在差異中建立聯(lián)系，確定對

yasinxbcosx怎樣進(jìn)行變形，最后對yasinxbcosx進(jìn)行變

形、化簡，求解函數(shù)的周期和最大值、最小值．

練習(xí)1求函數(shù)y3sinx4cosx的周期，最大值和最小值．

師生活動：學(xué)生根據(jù)例1的分析，完成練習(xí)，鞏固通過三角恒等變

換化簡函數(shù)表達(dá)式，分析函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)．

解：設(shè)3sinx4cosxAsin(x)，則

12（二）方法3sinx4cosxAsinxcosAcosxsin．

分總結(jié)，鞏固

鐘提升于是Acos3，Asin4，

于是A2cos2xA2sin2x25，

所以A225．

34

取A5，則cos，sin．

55

由y5sin(x)可知，所求周期為2π，最大值為5，最小

值為-5.

問題4：請同學(xué)們將這種作法推廣到函數(shù)yasinxbcosx．

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生將例1的方法進(jìn)行推廣，因為利用和角公

式將yAsin(x)展開，可得yasinxbcosx的形式，其中

aAcos，bAsin．反之，利用和（差）角公式，可將

yasinxbcosx轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式，其中

ab

Aa2b2，cos，sin．進(jìn)而就可以求得其周期和最

AA

值．

設(shè)計意圖：學(xué)生完成練習(xí)，鞏固所學(xué)的知識．學(xué)生通過特殊形式的

函數(shù)再次明確轉(zhuǎn)化的基本思路，并將問題一般化，實現(xiàn)從

yasinxbcosx到y(tǒng)Asin(x)的轉(zhuǎn)化．

33

練習(xí)2化簡ysinxcosx．

22

師生活動：教師給出了a0的類型的變換，學(xué)生在明確化簡目標(biāo)

的前提下，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)的形式．

33

解：法1：將sinxcosx轉(zhuǎn)化為Asin(x)．

22

33

計算，得A()2()23，則

22

3313

sinxcosx3(sinxcosx)．

2222

132π

令cos，sin，即．

223

33

所以，ysinxcosx

22

2π2π2

3(sinxcoscosxsin)3sin(xπ)．

333

33

法2：設(shè)sinxcosxAcos(x)，則

22

33

sinxcosxAcosxcosAsinxsin．

22

33

則Acos，Asin．得A23．

22

31π

取A3，則cos，sin，即．

226

33π

所以，ysinxcosx3cos(x)．

226

設(shè)計意圖：對問題進(jìn)行簡單變形，給出了a0的類型，學(xué)生在確

認(rèn)轉(zhuǎn)化目標(biāo)的前提下，將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)或yAcos(x)

的形式．

角的概念起源于幾何圖形，三角函數(shù)與平面幾何有著密切的內(nèi)在聯(lián)

系．有很多實際生活中的問題會以角為變量，可建立以三角函數(shù)為背景

函數(shù)進(jìn)行研究．

π

例2如圖，在扇形OPQ中，半徑OP=1，圓心角∠POQ=，C

3

是扇形弧上的動點(diǎn)，矩形ABCD內(nèi)接于扇形．記∠

POC＝α，求當(dāng)角α取何值時，矩形ABCD的面積

最大？并求出這個最大面積．

師生活動：教師給出問題，學(xué)生分析、交流．要

6（三）應(yīng)用研究矩形面積的最大值，可先建立矩形ABCD的面

分方法，解決積S與α之間的函數(shù)關(guān)系S＝f(α)，再求函數(shù)S＝f(α)的最大值．學(xué)生根據(jù)

鐘問題三角函數(shù)式中角、三角函數(shù)名的不同，選擇合適的公式，進(jìn)行合理的變

形，研究三角函數(shù)的性質(zhì)．

解：在Rt△OBC中，OB=cosα，BC=sinα．

在Rt△OAD中，

DA333

tan603．OADABCsin．

OA333

設(shè)矩形的面積為S，則S=AB·BC

3

(cossin)sin

3

3

sincossin2

3

師生活動：學(xué)生會發(fā)現(xiàn)得到的函數(shù)的形式并不是asinxbcosx，教師

引導(dǎo)學(xué)生分析解析式的特點(diǎn)，利用倍角公式將其轉(zhuǎn)化．

13

sin2(1cos2)

26

133

sin2cos2

266

1313

(sin2cos2)

3226

1π3

sin(2)．

366

師生活動：得到y(tǒng)Asin(x)k的形式后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際

問題的背景分析自變量的取值范圍，這是數(shù)學(xué)問題和實際問題聯(lián)系的

關(guān)鍵．

πππ5πππ

由0，得2，所以當(dāng)2，即