專題04數(shù)列考點(diǎn)01等差、等比數(shù)列的定義1．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開(kāi)學(xué)考試）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件易錯(cuò)分析：利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷時(shí)一定要注意驗(yàn)證.2．（24-25高三上·陜西·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．為等比數(shù)列3．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件5．已知數(shù)列滿足，（，）.又?jǐn)?shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，求的取值范圍.考點(diǎn)02等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1．（24-25高三上·吉林·期末）若等差數(shù)列的公差，則（

）A． B． C．15 D．282．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．25 B．16 C．9 D．43．（24-25高三上·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，若成等比數(shù)列，則（

）A．-2 B．4 C．8 D．-2或44．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知等比數(shù)列，則（

）A．3 B．±3 C．3 D．5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，且，，記為的前項(xiàng)和，則（

）A．127 B．128 C．63 D．646．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（）A．8 B．±8 C．10 D．±10易錯(cuò)分析：在進(jìn)行等比數(shù)列的基本量運(yùn)算時(shí)要注意挖掘等比數(shù)列的隱含條件，如公比不等于零、通項(xiàng)不等于零、同號(hào)等.7．（2024·山東泰安·二模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比為（

）A．1或5 B．5 C．1或 D．5或考點(diǎn)03等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．48 B．84 C．90 D．1122．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．易錯(cuò)分析：在利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)求值時(shí)一定要注意這一前提條件.3．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．18 B．13 C． D．5．（24-25高三上·黑龍江·期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．140 B．150 C．160 D．1806．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．88 B．114 C．132 D．144考點(diǎn)04數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．易錯(cuò)分析：利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)一定要檢驗(yàn)和時(shí)能否合寫成一個(gè)公式.2．（2025·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.3．（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．4．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．考點(diǎn)05數(shù)列的求和1．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·期末）記首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．易錯(cuò)分析：利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和時(shí)，拆項(xiàng)時(shí)要注意是否需要添加系數(shù)即注意變形的等價(jià)性.2．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·甘肅·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.4．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比不為的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列，{}的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有.5．（24-25高三上·吉林四平·期末）在前項(xiàng)和為的等比數(shù)列中，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.易錯(cuò)分析：求數(shù)列的和要注意錯(cuò)位相減法適用的前提條件，即判斷數(shù)列是否是“差比數(shù)列”.6．（24-25高三上·遼寧·期末）已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求證：．8．（24-25高三上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.易錯(cuò)分析：當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng)含有或者是分奇偶數(shù)的分段函數(shù)形式時(shí)，求數(shù)列的和往往需要分奇偶數(shù)進(jìn)行討論.9．（2024·陜西西安·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.10．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．11．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明，，是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題04數(shù)列考點(diǎn)01等差、等比數(shù)列的定義1．（24-25高三上·內(nèi)蒙古包頭·開(kāi)學(xué)考試）“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出其首項(xiàng)及公差，計(jì)算可得數(shù)列亦為等差數(shù)列，舉出恰當(dāng)?shù)臄?shù)列的通項(xiàng)公式，使是等差數(shù)列，但不是等差數(shù)列即可得.【詳解】若數(shù)列是等差數(shù)列，可設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，取，則，符合要求，但數(shù)列不為等差數(shù)列，故“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A,易錯(cuò)分析：利用等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷時(shí)一定要注意驗(yàn)證.2．（24-25高三上·陜西·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則（

）A．為等差數(shù)列 B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．為等比數(shù)列【答案】A【分析】由條件可得，，結(jié)合關(guān)系可得，可得，由此判斷AC，舉反例判斷BD.【詳解】因?yàn)?，?shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，所以，，又，所以，所以，所以為等差數(shù)列，A正確，C錯(cuò)誤；設(shè)，則，，，滿足條件，，因?yàn)?，，所以不是等比?shù)列，不是等差數(shù)列，B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：A.3．（24-25高三上·江蘇常州·期末）已知，，，則“，，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用推出關(guān)系去判斷充要關(guān)系即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，當(dāng)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則，故“既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”是“”的充分不必要條件，故選：A．4．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對(duì)也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C5．已知數(shù)列滿足，（，）.又?jǐn)?shù)列滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，裂項(xiàng)變形，再利用等比數(shù)列定義判斷即得.（2）由（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)，再由單調(diào)性列出不等式，分離參數(shù)，借助單調(diào)性求解即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，亦即，又，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1），，即，，依題意，對(duì)任意的正整數(shù)成立，即對(duì)任意的正整數(shù)成立，而數(shù)列嚴(yán)格增，且對(duì)任意的正整數(shù)成立，因此，又，解得，所以的取值范圍是.考點(diǎn)02等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算1．（24-25高三上·吉林·期末）若等差數(shù)列的公差，則（

）A． B． C．15 D．28【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題目條件可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，解得，∴，故，故選：B.2．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．25 B．16 C．9 D．4【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，（也可由等差數(shù)列的性質(zhì)得，得）解得，又，所以，解得或．因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，，所以．故選：D3．（24-25高三上·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，若成等比數(shù)列，則（

）A．-2 B．4 C．8 D．-2或4【答案】B【分析】設(shè)出公差，根據(jù)成等比數(shù)列，得到方程，求出，檢驗(yàn)后得到答案.【詳解】由題意得，，且，設(shè)公差為，則，解得，若，則，，滿足要求，若，則，不合要求，舍去，故.故選：B4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知等比數(shù)列，則（

）A．3 B．±3 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】在等比數(shù)列中，，由，得，而，因此，又，且同號(hào)，則，所以.故選：C5．（2025高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知為等比數(shù)列，且，，記為的前項(xiàng)和，則（

）A．127 B．128 C．63 D．64【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得和，即可求解公比和首項(xiàng)，由等比求和公式即可求解.【詳解】設(shè)的公比為，由，得，又，故.又，所以，從而，所以，，故選：C.6．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列則（）A．8 B．±8 C．10 D．±10【答案】A【分析】運(yùn)用等比中項(xiàng)，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可解決.【詳解】根據(jù)等比中項(xiàng)知道，求得，則.又，則.故選：A.易錯(cuò)分析：在進(jìn)行等比數(shù)列的基本量運(yùn)算時(shí)要注意挖掘等比數(shù)列的隱含條件，如公比不等于零、通項(xiàng)不等于零、同號(hào)等.7．（2024·山東泰安·二模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比為（

）A．1或5 B．5 C．1或 D．5或【答案】D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，采用基本量思想進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由得，，所以，即，所以，所以或.故選：D.考點(diǎn)03等差、等比數(shù)列的性質(zhì)1．（24-25高三上·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．48 B．84 C．90 D．112【答案】C【分析】利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)得，，進(jìn)而可求.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和，所以，，，成等比數(shù)列，又，，所以，，所以.故選：C2．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．易錯(cuò)分析：在利用等比數(shù)列片段和的性質(zhì)求值時(shí)一定要注意這一前提條件.3．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，根據(jù)題意可將都用表示，可求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知、、、成等差數(shù)列，∵，即，，∴，，∴，，∴.故選：A.4．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．18 B．13 C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知依舊成為等差數(shù)列，據(jù)此求解.【詳解】由，可設(shè)，為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，，即.故選：D.5．（24-25高三上·黑龍江·期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．140 B．150 C．160 D．180【答案】B【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出，即可求出，再由求和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所?故選：B6．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．88 B．114 C．132 D．144【答案】A【分析】根據(jù)題設(shè)條件可求得的值，從而可得的值.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)，，解得，所以.故選：A.考點(diǎn)04數(shù)列的通項(xiàng)公式1．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則．【答案】【分析】由，可知是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，然后由求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，又不符合上式，所以.故答案為：.易錯(cuò)分析：利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)時(shí)一定要檢驗(yàn)和時(shí)能否合寫成一個(gè)公式.2．（2025·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】根據(jù)題目給出的遞推公式進(jìn)行升次作差即可求解.【詳解】由題意…①，，…②，②①得：，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，不適合上式.

；故答案為：.3．（2025·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.【詳解】數(shù)列中，，，顯然，則有，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．故答案為：4．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴考點(diǎn)05數(shù)列的求和1．（24-25高三上·吉林長(zhǎng)春·期末）記首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是以2為公差的等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】因?yàn)槭醉?xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，令，故，由題意得是以2為公差的等差數(shù)列，故，即，得到，故，令，其前項(xiàng)和為，，故D正確.故選：D易錯(cuò)分析：利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和時(shí)，拆項(xiàng)時(shí)要注意是否需要添加系數(shù)即注意變形的等價(jià)性.2．（24-25高三上·河南·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】賦值可求得，，，，進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由，，令，得，即，令，得，即，令，得，即，令，得，即，同理可得，，，，則.故選：C.3．（24-25高三上·甘肅·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用公式，求出數(shù)列的通項(xiàng)，結(jié)合為等差數(shù)列列方程求，由此可得結(jié)論；（2）由（1），利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且，所以數(shù)列的公差為所以，即，所以，故，所以.（2）因?yàn)?，所以?4．（2023·天津·一模）已知數(shù)列是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，數(shù)列{}是公比不為的等比數(shù)列，且滿足，，.(1)求數(shù)列，{}的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意的，都有.【答案】(1)，.(2)(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得到結(jié)果；（2）可轉(zhuǎn)化為等差乘等比類型，利用錯(cuò)位相減法可解；（3）數(shù)列的前項(xiàng)和可利用裂項(xiàng)相消，然后用放縮可證.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，.由等比數(shù)列性質(zhì)可得，又，，所以，所以，解之得或，當(dāng)時(shí)，，則，，即與矛盾，故舍去；當(dāng)時(shí)，，則，，所以,，滿足題意；所以，.（2）設(shè)，，設(shè)，則，，兩式相減得，所以，即.（3）證明：，，，因?yàn)椋字S著的增大而增大，所以，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列前項(xiàng)和常見(jiàn)的方法：公式法：適用于等差數(shù)列、等比數(shù)列以及其他特殊數(shù)列.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和.5．（24-25高三上·吉林四平·期末）在前項(xiàng)和為的等比數(shù)列中，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由，可以計(jì)算得出等比數(shù)列的公比或，分別再由得，驗(yàn)證，是否符合，得到，得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)根據(jù)，得出的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減得出.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由，得，所以，解得或，若，則由，得，所以，與矛盾，所以，若，則由，得，所以，，符合，所以，，所以.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（2）由，兩邊乘以2得，兩式相減得：，故數(shù)列的前項(xiàng)和.易錯(cuò)分析：求數(shù)列的和要注意錯(cuò)位相減法適用的前提條件，即判斷數(shù)列是否是“差比數(shù)列”.6．（24-25高三上·遼寧·期末）已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，.(2)【分析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求出，即可求解通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可得解.【詳解】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，解得，因?yàn)椋?，則，.（2）由（1）得，則，①，②由①-②得，所以.7．（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系可得，進(jìn)而求證即可；（2）先求出，可得，進(jìn)而結(jié)合錯(cuò)位相減法求和即可；（3）結(jié)合（2）可得，進(jìn)而結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，而，所以數(shù)列成首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1）知，，則，由，所以，則，設(shè)前n項(xiàng)和記為，所以①，則②，①②得，則，即數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（3）證明：由（2）知，，則，所以所以，因?yàn)?，所以?．（24-25高三上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為；(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）將遞推數(shù)列變形，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）的結(jié)果根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可求.（3）分別討論為奇、偶的兩種情況的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋?，若，則，與矛盾，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列.（2）由（1