PAGEPAGE8題組層級快練(七十一)1．若在區(qū)間[0，2]中隨機地取兩個數，則這兩個數中較大的數大于eq\f(1,2)的概率是()A.eq\f(9,16) B.eq\f(3,4)C.eq\f(15,16) D.eq\f(15,32)答案C解析兩個數都小于eq\f(1,2)的概率為eq\f(1,16)，所以兩個數中較大的數大于eq\f(1,2)的概率是1－eq\f(1,16)＝eq\f(15,16).2．(2024·河南豫北名校聯盟精英對抗賽)已知函數f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx，當x∈[0，π]時，f(x)≥1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,2)答案D解析由f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2sin(x＋eq\f(π,3))≥1及x∈[0，π]得x∈[0，eq\f(π,2)]，∴所求概率為P＝eq\f(\f(π,2),π)＝eq\f(1,2).3．(2024·河南濮陽模擬)在[－6，9]內任取一個實數m，設f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數f(x)的圖像與x軸有公共點的概率等于()A.eq\f(2,15) B.eq\f(7,15)C.eq\f(3,5) D.eq\f(11,15)答案D解析∵f(x)＝－x2＋mx＋m的圖像與x軸有公共點，∴Δ＝m2＋4m>0，∴m<－4或m>0，∴在[－6，9]內取一個實數m，函數f(x)的圖像與x軸有公共點的概率P＝eq\f([－4－（－6）]＋（9－0）,9－（－6）)＝eq\f(11,15)，故選D.4．(2024·課標全國Ⅱ，文)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少須要等待15秒才出現綠燈的概率為()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)答案B解析記“至少須要等待15秒才出現綠燈”為事務A，則P(A)＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).5．(2024·青島一模)如圖所示，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個邊長為2的大正方形，若直角三角形中較小的銳角θ＝eq\f(π,6).現在向該正方形區(qū)域內隨機地投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在小正方形內的概率是()A.eq\f(2－\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)答案A解析易知小正方形的邊長為eq\r(3)－1，故小正方形的面積為S1＝(eq\r(3)－1)2＝4－2eq\r(3)，大正方形的面積為S＝2×2＝4，故飛鏢落在小正方形內的概率P＝eq\f(S1,S)＝eq\f(4－2\r(3),4)＝eq\f(2－\r(3),2).6.(2024·河北衡水聯考)2024年8月1日是中國人民解放軍建軍90周年，中國人民銀行為此發(fā)行了以此為主題的金銀紀念幣．如圖所示是一枚8克圓形金質紀念幣，直徑22mm，面額100元．為了測算圖中軍旗部分的面積，現用1粒芝麻向硬幣內投擲100次，其中恰有30次落在軍旗內，據此可估計軍旗的面積大約是()A.eq\f(363π,10)mm2 B.eq\f(363π,5)mm2C.eq\f(726π,5)mm2 D.eq\f(363π,20)mm2答案A解析向硬幣內投擲100次，恰有30次落在軍旗內，所以可估計軍旗的面積大約是S＝eq\f(30,100)×π×112＝eq\f(363π,10)(mm2)．7．(2024·山西太原五中月考)在區(qū)間(0，1)上任取兩個數，則兩個數之和小于eq\f(6,5)的概率是()A.eq\f(12,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(17,25) D.eq\f(18,25)答案C解析設這兩個數是x，y，則試驗全部的基本領件構成的區(qū)域即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1))確定的平面區(qū)域，滿意條件的事務包含的基本領件構成的區(qū)域即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<1，,0<y<1，,x＋y<\f(6,5)，))確定的平面區(qū)域，如圖所示，陰影部分的面積是1－eq\f(1,2)×(eq\f(4,5))2＝eq\f(17,25)，所以這兩個數之和小于eq\f(6,5)的概率是eq\f(17,25).8．(2024·安徽淮南一模)《九章算術》是我國古代數學名著，也是古代數學的代表作．書中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓，徑幾何？”其意思為：“已知直角三角形兩直角邊長分別為8步和15步，問其內切圓的徑為多少步？”現若向此三角形內投豆子，則豆子落在其內切圓內的概率是()A.eq\f(3π,20) B.eq\f(π,20)C.eq\f(3π,10) D.eq\f(π,10)答案A解析依題意，直角三角形的斜邊長為17.設內切圓半徑為r，則由等面積法，可得eq\f(1,2)×8×15＝eq\f(1,2)×(8＋15＋17)r，解得r＝3，向此三角形內投豆子，豆子落在其內切圓內的概率是P＝eq\f(π×32,\f(1,2)×8×15)＝eq\f(3π,20).9．(2024·云南師大附中月考)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中任取一點M，則滿意∠AMB>90°的概率為()A.eq\f(π,24) B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,8) D.eq\f(π,6)答案A解析以AB為直徑作球，球在正方體內的區(qū)域體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(π,3)，正方體的體積為8，∴所求概率P＝eq\f(\f(π,3),8)＝eq\f(π,24).10．(2024·九江模擬)定義：一個矩形，假如從中截取一個最大的正方形，剩下的矩形與原矩形相像，則稱這樣的矩形為黃金矩形，其寬與長的比為黃金比．如圖，現在在黃金矩形ABCD內隨機取一點，則此點取自剩下的矩形EBCF內部的概率為()A.eq\f(3－\r(5),2) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)－2,2) D.eq\f(\r(2)－1,2)答案A解析設AB＝a，AD＝b，則EB＝a－b，eq\f(b,a)＝eq\f(a－b,b)，整理得(eq\f(b,a))2＋eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)－1,2)(負值已舍去)．∴P＝eq\f(b（a－b）,ab)＝1－eq\f(b,a)＝eq\f(3－\r(5),2).故選A.11．(2024·課標全國Ⅰ)如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(π,4)答案B解析由題意可知，圓中黑色部分面積與白色部分面積相等．設正方形的邊長為a，則S正方形＝a2，S圓＝π(eq\f(a,2))2＝eq\f(π,4)a2，S黑＝eq\f(π,8)a2.∴p＝eq\f(S黑,S正)＝eq\f(\f(π,8)a2,a2)＝eq\f(π,8)，故選B.12．公共汽車在8：00到8：20內隨機地到達某站等待乘客，某人8：15到達該站，則他能等到公共汽車的概率為________．答案eq\f(1,4)解析∵公共汽車在8：00到8：20內隨機地到達某站，故全部基本領件對應的時間總長度LΩ＝20分鐘，某人8：15到達該站，記“他能等到公共汽車”為事務A，則LA＝5分鐘，故P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).13．(2024·湖北鄂南一中模擬)在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，在直角邊BC上任取一點M，則∠CAM<30°的概率是________．答案eq\f(\r(3),3)解析因為點M在直角邊BC各位置上是等可能出現的，所以測度是長度．設直角邊長為a，則所求概率為eq\f(\f(\r(3),3)a,a)＝eq\f(\r(3),3).14．若在區(qū)間[0，10]內隨機取出兩個數，則這兩個數的平方和也在區(qū)間[0，10]內的概率是________．答案eq\f(π,40)解析將取出的兩個數分別用x，y表示，則0≤x≤10，0≤y≤10.如圖所示，當點(x，y)落在圖中的陰影區(qū)域時，取出的兩個數的平方和也在區(qū)間[0，10]內，故所求概率為eq\f(\f(1,4)π×10,102)＝eq\f(π,40).15．(2024·安徽合肥一中模擬)已知關于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個數，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率．答案(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(2,3)解析設事務A為“方程有實根”．當a≥0，b≥0時，方程有實根的充要條件為a≥b.(1)由題意知本題是一個古典概型，全部的基本領件為(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共12個，其中第一個數表示a的取值，其次個數表示b的取值．事務A中包含9個基本領件，∴事務A發(fā)生的概率為P＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)由題意知本題是一個幾何概型．試驗的全部結果所構成的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，構成事務A的區(qū)域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，∴所求的概率是eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).16．甲、乙兩艘輪船駛向一個不能同時停岸兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜內任何時刻到達是等可能的．(1)假如甲船和乙船的停岸的時間都是4小時，求它們中的任何一條船不須要等待碼頭空出的概率；(2)假如甲船的停岸時間為4小時，乙船的停岸時間為2小時，求它們中的任何一條船不須要等待碼頭空出的概率．答案(1)eq\f(25,36)(2)eq\f(221,288)解析(1)設甲、乙兩船到達時間分別為x，y，則0≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出區(qū)域eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x<24，,0≤y<24，,y－x>4或y－x<－4.))設“兩船無須等待碼頭空出”為事務A，則P(A)＝e