江西省大余縣普通高中2024-2025下學(xué)期高二3月月考數(shù)學(xué)試卷滾動測試卷（一）（測試時間：120分鐘滿分：150分）第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（共8個小題，每小題5分，共40分）1.在等差數(shù)列中，已知，則等于A.7 B.10 C.13 D.19【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)可得，解得，所以；考點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的前項(xiàng)和，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用求出通項(xiàng)，再驗(yàn)證是否符合，確定出通項(xiàng).【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和所以當(dāng)時，當(dāng)時，，符合上式，所以綜上【點(diǎn)睛】本題考查由求，利用，驗(yàn)證是否符合，屬于簡單題.3.如圖，在楊輝三角中，斜線的上方從1按箭頭的方向可以構(gòu)成一個“鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，，記其前項(xiàng)和為，則（）（參考公式）A.4927 B.4957 C.4967 D.5127【答案】B【解析】【分析】根據(jù)鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，，的規(guī)律，當(dāng)為偶數(shù)時，滿足，是等差數(shù)列，用通項(xiàng)公式求得；當(dāng)為奇數(shù)時，滿足，即，用累加法求得，然后用分組求和法求解.【詳解】由鋸齒形”數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，，可知：當(dāng)為偶數(shù)時，，所以是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，，即，所以，，…，，將上述各式兩邊分別相加可得，而滿足該式，故當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用，還考查了分類討論，轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4.已知數(shù)列滿足，，則的最小值為()A. B. C.10 D.21【答案】B【解析】【分析】由所給表達(dá)式，結(jié)合累加法可求得的通項(xiàng)公式；進(jìn)而求得的表達(dá)式，因?yàn)閚取正整數(shù)，因而注意不能用基本不等式求最小值，需結(jié)合打勾函數(shù)，利用最低點(diǎn)附近的n求的最小值．【詳解】因?yàn)?，所以由遞推公式可得等式兩邊分別相加，得因?yàn)樗约?，n∈N*根據(jù)打勾函數(shù)圖象可知，當(dāng)n=5時，當(dāng)n=6時，因?yàn)樗缘淖钚≈禐樗赃xB【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，基本不等式使用的條件及打勾函數(shù)的用法，屬于中檔題．5.設(shè)公差為d的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】因，所以，所以，即，解得，故選：B.6.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和我，，則下列結(jié)論中錯誤的是A. B.C. D.和均為的最大值【答案】C【解析】【詳解】試題分析：，，故，所以，選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本性質(zhì)．【思路點(diǎn)晴】等差數(shù)列的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列.已知求是一種非常常見的題型，這些題都是由與前項(xiàng)和的關(guān)系來求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可由數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，注意：當(dāng)時，若適合，則的情況可并入時的通項(xiàng)；當(dāng)時，若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．7.數(shù)列中，，且，則這個數(shù)列的前項(xiàng)的絕對值之和為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由知數(shù)列為等差數(shù)列，由此可得；根據(jù)的正負(fù)可確定前項(xiàng)的絕對值之和為，利用等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，令，解得：，.故選：B.8.數(shù)列滿足，對任意的都有，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)，且，得到，再利用累加法求得，進(jìn)而得到，再利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，所以，，所以，所以，，，故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法(1)公式法：①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；(2)分組轉(zhuǎn)化法：把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．(3)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng)．(4)倒序相加法：把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(5)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，則這個數(shù)列的前n項(xiàng)和用錯位相減法求解.(6)并項(xiàng)求和法：一個數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．二、多項(xiàng)選擇題（共4個小題，部分選對得2分，全部選對得5分，共20分）9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，則以下結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，把S4和a5用a1和d表示出來，建立方程組，解出a1和d，即可求得an和Sn，即可選出正確答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)镾4＝0，a5＝5，所以根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式得，解方程組得，，所以，．故選：AC．10.已知公差為的等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，且，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出公差d，再逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，B正確；于是得公差，A正確；，則，C不正確；，D正確.故選：ABD11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列前n項(xiàng)和，則下列說法中正確的是（）A.若，數(shù)列的前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，則等差數(shù)列的公差B.若，，則使成立的最大的n為4039C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式與二次函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可判斷A；根據(jù)選項(xiàng)信息可求得，利用等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式與一元二次不等式的解法可判斷B；利用等差數(shù)列前項(xiàng)求和公式可得，進(jìn)而求出即可判斷C；根據(jù)成等差數(shù)列求出，即可判斷D.【詳解】A：由，得，則是關(guān)于的二次函數(shù)，對稱軸為，又?jǐn)?shù)列前10項(xiàng)和或前11項(xiàng)和最大，所以，解得，故A錯誤；B：由，得，即，整理得，解得或，當(dāng)時，，不符題意；所以，由，得，由，得，所以的最大值為4039，故B正確；C：，解得，又，故C正確；D：因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即成等差數(shù)列，所以，解得，故D錯誤.故選：BC12.兩位大學(xué)畢業(yè)生甲?乙同時開始工作．甲第1個月工資為4000元，以后每月增加100元．乙第一個月工資為4500元，以后每月增加50元，則（）A.第5個月甲月工資低于乙B.甲與乙在第11個月時月工資相等C.甲?乙前11個月的工資總收入相等D.甲比乙前11個月工資總收入要低【答案】ABD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，逐一驗(yàn)證即可出答案.【詳解】本題考查等差數(shù)列．設(shè)甲各月工資組成數(shù)列，乙各月工資組成數(shù)列，易知因?yàn)椋赃x項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)正確；因?yàn)榧浊?1個月工資總收入為元，乙前11個月工資總收入為元，所以選項(xiàng)不正確，選項(xiàng)正確．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（共4個小題，每小題5分，共20分）13.數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_________.【答案】【解析】【分析】令，得出的值；令，由求出，再檢驗(yàn)是否滿足在時的通項(xiàng)公式，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.不適合，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由求，一般利用公式來求解，同時也要對的值是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則=.【答案】16【解析】【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：也成等差，所以成等差，即，因此,故答案為16.考點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)15.項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)之和為44，偶數(shù)項(xiàng)之和為33，則該數(shù)列的中間項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)分別為______．【答案】11，7【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，表示出奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和，建立方程，解得n=3，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)，可得答案．【詳解】設(shè)等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為，，，∴，解得n=3，∴項(xiàng)數(shù)2n+1=7，又因?yàn)?，所以，所以中間項(xiàng)為11．故答案為：11，7.16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，把中的各項(xiàng)按照一定的順序排列成如圖所示的三角形數(shù)陣：135791113151719……（）數(shù)陣中第行所有項(xiàng)的和為________________；（）在數(shù)陣中第行的第列，則________________．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）寫出數(shù)陣中第行所有項(xiàng)，求和即可；（2）分析可得為數(shù)列中的第項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)陣中的規(guī)律確定、的值，即可求得結(jié)果.【詳解】（）第行的個數(shù)依次為：、、、、，其和為；（）令，得，故是數(shù)列中的第項(xiàng)．又?jǐn)?shù)陣的前行共有個數(shù)，前行共有個數(shù)，故數(shù)列的第項(xiàng)在第行，即，又，故是第行的第個數(shù)，即．故．故答案為：（1）；（2）.四、解答題（共6個小題，共70分）17.已知是遞增的等差數(shù)列，，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求和的值.【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）求得數(shù)列的公差后可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）得出，從而易得．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列公差為，則由得，數(shù)列遞增，則，故解得．；（2）由（1）得，，．18.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和，且a1=1，S3=6．（1）求公差d的值；（2）Sn＜3an，求所有滿足條件的n的值．【答案】（1）d=1（2）0＜n＜5【解析】【詳解】解：（1）∵a1=1，S3=6．∴3×1+d=6，解得d=1．（2）∵Sn＜3an，∴n+＜3（1+n﹣1），解得0＜n＜5，∴n=1，2，3，4．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（2）若bnan﹣30，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝4n﹣2.（2）n2﹣30n.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由S6＝72可求，由等差數(shù)列的性質(zhì)可求a3+a4，進(jìn)而可求公差d，從而可求通項(xiàng)（2）由（1）可知，2n﹣31，利用等差數(shù)列的求和公式即可求解【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵S672，∴24，∴a3+a4＝24，∵a3＝10，∴a4＝14，d＝4，∴an＝a3+4（n﹣3）＝4n﹣2.（2）∵2n﹣31，∴Tn＝2（1+2+3+…+n）﹣31n＝n（n+1）﹣31n＝n2﹣30n.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題20.已知等差數(shù)列．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）5；（2）24.【解析】【分析】（1）由題求出首項(xiàng)和公差即可計(jì)算；（2）由結(jié)合求和公式可求出.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，，，解得，．（2），，．21.數(shù)列滿足，（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若求數(shù)列的前999項(xiàng)的和.【答案】(1)見解析.(2)【解析】【分析】（1）作差，將代入，只要差為同一常數(shù)即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）∵=6，由（1）可得，則數(shù)列的前999項(xiàng)的和易求.【詳解】（1）證明：(n≥2).∴數(shù)列是等差數(shù)列；（2）∵=6，由（Ⅰ）知∴數(shù)列的前999項(xiàng)和22.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知