上海高考必記核心知識點(diǎn)歸納總結(jié)（干貨必備）TOC\o"1-1"\h\z\u必備知識01集合與邏輯 2必備知識02不等式 4必備知識03函數(shù)的概念與性質(zhì) 6必備知識04冪指對函數(shù) 7必備知識05三角函數(shù) 10必備知識06函數(shù)的應(yīng)用 11必備知識07平面向量及其應(yīng)用 13必備知識08復(fù)數(shù) 16必備知識09空間向量與立體幾何 17必備知識10直線和圓 20必備知識11圓錐曲線 27必備知識12數(shù)列 29必備知識13導(dǎo)數(shù) 30必備知識14計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理 32必備知識15統(tǒng)計(jì)與概率 34必備知識01集合與邏輯知識點(diǎn)01集合的有關(guān)概念（1）集合元素的三大特性：確定性、無序性、互異性．（2）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為eq\a\vs4\al(∈)；不屬于，記為.（3）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．區(qū)間法一般區(qū)間的表示設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]特殊區(qū)間的表示定義R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符號(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)（4）五個特定的集合集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號eq\a\vs4\al(N)N*或N＋eq\a\vs4\al(Z)eq\a\vs4\al(Q)eq\a\vs4\al(R)知識點(diǎn)02集合間的基本關(guān)系文字語言符號語言集合間的基本關(guān)系相等集合A與集合B中的所有元素都相同A＝B子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素A?B真子集集合A中任意一個元素均為集合B中的元素，且集合B中至少有一個元素不是集合A中的元素空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集知識點(diǎn)03集合的基本運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為圖形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}知識點(diǎn)04集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩()＝，A∪()＝U，；知識點(diǎn)05常用結(jié)論（1）空集性質(zhì)：①空集只有一個子集，即它的本身，???；②空集是任何集合的子集（即??A）；空集是任何非空集合的真子集（若A≠?，則?A）．（2）子集個數(shù)：若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空真子集有個．（3）A∩B＝A?A?B；A∪B＝A?A?B．（4）（5）知識點(diǎn)06充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p知識點(diǎn)07充分、必要條件與集合的關(guān)系設(shè)p，q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A，B．（1）p是q的充分條件?A?B，p是q的充分不必要條件?AB；（2）p是q的必要條件?B?A，p是q的必要不充分條件?BA；（3）p是q的充要條件?A＝B．<知識記憶小口訣>集合平時很常用，數(shù)學(xué)概念有不同，理解集合并不難，三個要素是關(guān)鍵，元素確定和互異，還有無序要牢記，空集不論空不空，總有子集在其中，集合用圖很方便，子交并補(bǔ)很明顯．<解題方法與技巧>充要條件的兩種判斷方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)使p，q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.必備知識02不等式知識點(diǎn)01等式與不等式的性質(zhì)1.兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性質(zhì)(1)對稱性：若a＝b，則b＝a.(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.3.不等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).知識點(diǎn)02均值不等式及其應(yīng)用1.均值不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)均值不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大).知識點(diǎn)03從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.2.三個“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}?{x|b<x<a}4.分式不等式與整式不等式(1)eq\f(f(x),g(x))>0(<0)?f(x)·g(x)>0(<0).(2)eq\f(f(x),g(x))≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.必備知識03函數(shù)的概念與性質(zhì)知識點(diǎn)01函數(shù)的概念設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集，如果按照確定的法則f，對A中的任意數(shù)x，都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.知識點(diǎn)02函數(shù)的定義域、值域(1)函數(shù)y＝f(x)自變量取值的范圍(數(shù)集A)叫做這個函數(shù)的定義域；所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做這個函數(shù)的值域.(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)法則完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù).知識點(diǎn)03函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.知識點(diǎn)04分段函數(shù)(1)在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.知識點(diǎn)05函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間M?A，如果取區(qū)間M中任意兩個值x1，x2，改變量Δx＝x2－x1>0，則當(dāng)Δy＝f(x2)－f(x1)>0時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)Δy＝f(x2)－f(x1)<0時，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間.知識點(diǎn)06函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值知識點(diǎn)07函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)奇函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)設(shè)函數(shù)y＝g(x)的定義域?yàn)镈，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱知識點(diǎn)08函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.必備知識04冪指對函數(shù)知識點(diǎn)01冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；④當(dāng)α為奇數(shù)時，y＝xα為奇函數(shù)；當(dāng)α為偶數(shù)時，y＝xα為偶函數(shù)．知識點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)1．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．2．指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：一般地，函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)，即x＝0時，y＝1當(dāng)x>0時，y>1；當(dāng)x<0時，0<y<1當(dāng)x<0時，y>1；當(dāng)x>0時，0<y<1增函數(shù)減函數(shù)知識點(diǎn)03對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lgN.以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作lnN.2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時，y＝0當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．1．指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn)(0,1)，(1，a)，.2.如圖所示是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．3．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)4．如圖，給出4個對數(shù)函數(shù)的圖象．則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內(nèi)，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．必備知識05三角函數(shù)與解三角形知識點(diǎn)01三角函數(shù)的運(yùn)算1．同角關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．誘導(dǎo)公式：在eq\f(kπ,2)＋α，k∈Z的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”．知識點(diǎn)02三角恒等變換1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα；(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).知識點(diǎn)03正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用1．正弦定理：在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)．變形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA.變形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).3．三角形的面積公式：S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.1.三角恒等變換的“4大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降冪與升冪：正用二倍角公式升冪，逆用二倍角公式降冪．(4)弦、切互化：一般是切化弦．2.解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將a＋b與ab相互轉(zhuǎn)化求最值范圍．(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍．3.解三角形實(shí)際問題的步驟必備知識06函數(shù)的應(yīng)用知識點(diǎn)01函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解．知識點(diǎn)02二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．常用結(jié)論1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn)．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號．知識點(diǎn)03三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值的變化而各有不同知識點(diǎn)04常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷．(2)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解．在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性．2.利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法必備知識07平面向量及其應(yīng)用知識點(diǎn)01向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點(diǎn)02向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb知識點(diǎn)03兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．知識點(diǎn)04平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．知識點(diǎn)05平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．知識點(diǎn)06平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．知識點(diǎn)07向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．知識點(diǎn)08平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cosθ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積知識點(diǎn)09向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知識點(diǎn)10平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0知識點(diǎn)11平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決．(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識．1．五個特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個實(shí)數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個常用結(jié)論(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點(diǎn)指向最后一個向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關(guān)注三點(diǎn)(1)基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果對于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定．5．兩個結(jié)論(1)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.必備知識08復(fù)數(shù)知識點(diǎn)01復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a，虛部是b．(2)復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(純虛數(shù)（a＝0，b≠0），,非純虛數(shù)（a≠0，b≠0）.))))(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．知識點(diǎn)02復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\f(→,\s\up6(一一對應(yīng))))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))．知識點(diǎn)03復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．三個易誤點(diǎn)(1)兩個虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．2．復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的三個結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度．(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*必備知識09空間向量與立體幾何知識點(diǎn)01空間幾何體的側(cè)面展開圖(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形．(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形．(3)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)．知識點(diǎn)02旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)＝2πrl，S圓柱表＝2πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(2)S圓錐側(cè)＝πrl，S圓錐表＝πr(r＋l)(r為底面半徑，l為母線長)．(3)S球表＝4πR2(R為球的半徑)．知識點(diǎn)03空間幾何體的體積公式(1)V柱＝Sh(S為底面面積，h為高)．(2)V錐＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．(3)V臺＝eq\f(1,3)(S上＋eq\r(S上·S下)＋S下)h(S上，S下分別為上、下底面面積，h為高)．(4)V球＝eq\f(4,3)πR3(R為球的半徑)．知識點(diǎn)04求空間多面體的外接球半徑的常用方法(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；(2)定義法：到各個頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可．知識點(diǎn)05判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題．(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷．知識點(diǎn)06平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化知識點(diǎn)07異面直線所成的角設(shè)異面直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，異面直線l與m的夾角為θ.則(1)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．知識點(diǎn)08直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).(1)線面角θ與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的關(guān)系是〈a，n〉＋θ＝eq\f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq\f(π,2)，所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值．(2)利用方程思想求法向量，計(jì)算易出錯，要認(rèn)真細(xì)心．知識點(diǎn)09平面與平面所成的角設(shè)平面α，β的法向量分別為u，v，平面α與平面β的夾角為θ，則(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).平面與平面夾角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量夾角的取值范圍是[0，π]，兩平面的夾角與其對應(yīng)的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補(bǔ)．知識點(diǎn)10空間距離(1)點(diǎn)到直線的距離直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的任一點(diǎn)，P為直線l外一點(diǎn)，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝eq\r(a2－a·u2).(2)點(diǎn)到平面的距離平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)任一點(diǎn)，P為平面α外一點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).(3)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法．(4)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行．求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距離．1.求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．2.求解空間幾何體的內(nèi)切球問題的策略空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．3.解決與幾何體有關(guān)的動點(diǎn)軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定．(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算．(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除．4.在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值．(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值．5.作幾何體截面的方法(1)利用平行直線找截面．(2)利用相交直線找截面．6.找交線的方法(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn)．(2)面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線．必備知識10直線和圓知識點(diǎn)01直線的傾斜角1.傾斜角的定義（1）當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．（2）當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.2.直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識點(diǎn)02直線的斜率1.斜率的定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即.2.斜率的計(jì)算公式：定義斜率的定義式兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)，的直線的斜率公式為【注意】任何直線都有傾斜角，但當(dāng)傾斜角等于時，直線的斜率不存在.3.傾斜角與斜率的關(guān)系圖示傾斜角斜率不存在知識點(diǎn)03直線的平行于垂直定義平行當(dāng)存在時，兩直線平行，則當(dāng)不存在時，則兩直線的傾斜角都為垂直當(dāng)存在時，兩直線垂直，則當(dāng)不存在時，則一條直線傾斜角為，另一條直線傾斜角為【注意】在計(jì)算兩直線平行的題時，注意考慮重合的情況.知識點(diǎn)04直線的方程直線方程適用范圍點(diǎn)斜式不能表示與軸垂直的直線斜截式不能表示與軸垂直的直線兩點(diǎn)式不能表示與軸、軸垂直的直線截距式不能表示與軸垂直、軸垂直以及過原點(diǎn)的直線一般式無局限性知識點(diǎn)05特殊的直線方程已知點(diǎn)，則類型直線方程與軸垂直的直線與軸垂直的直線知識點(diǎn)06方向向量與直線的參數(shù)方程除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯(lián)系，它由一個定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.如圖1，設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)，是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點(diǎn)，則向量與共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使，即，所以.在①中，實(shí)數(shù)t是對應(yīng)點(diǎn)P的參變數(shù)，簡稱參數(shù).由上可知，對于直線l上的任意一點(diǎn)P(x,y)，存在唯一實(shí)數(shù)t使①成立；反之，對于參數(shù)t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點(diǎn)P(x,y).我們把①稱為直線的參數(shù)方程.知識點(diǎn)07直線的平行與垂直斜截式一般式直線方程平行（注意可能重合）垂直知識點(diǎn)08利用平行與垂直解決問題斜截式一般式直線方程平行若直線，則可設(shè)的方程為：若直線，則可設(shè)的方程為：垂直若直線，則可設(shè)的方程為：若直線，則可設(shè)的方程為：知識點(diǎn)09兩條直線的交點(diǎn)對于直線，，求交點(diǎn)即解方程組，該方程組的解與兩直線的位置關(guān)系如下：方程組解的個數(shù)位置關(guān)系一個解相交無解平行無數(shù)解重合知識點(diǎn)10三個距離公式條件距離公式兩點(diǎn)之間的距離公式已知兩點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式已知一點(diǎn)，以及直線兩平行線的距離公式已知直線，以及知識點(diǎn)11對稱條件方法兩點(diǎn)關(guān)于另外一點(diǎn)對稱，兩點(diǎn)關(guān)于對稱兩點(diǎn)關(guān)于一直線對稱，兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱（斜率存在）1.兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上；2.兩點(diǎn)所在直線與直線垂直兩直線關(guān)于另一直線對稱（三直線不平行）1.三條直線交于同一點(diǎn)；2.到角公式知識點(diǎn)12兩點(diǎn)關(guān)于一直線特殊的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)直線方程對稱點(diǎn)坐標(biāo)知識點(diǎn)13圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.知識點(diǎn)14圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心半徑知識點(diǎn)15圓的一般方程圓的一般方程圓心半徑知識點(diǎn)16二元二次方程與圓的方程1.二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：二元二次方程，對比圓的一般方程，，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.2.二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是&A=C≠0&B=0&(知識點(diǎn)17點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn)到圓心的距離為.位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法（標(biāo)準(zhǔn)方程）代數(shù)法（一般方程）點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓內(nèi)知識點(diǎn)18與圓有關(guān)的最值問題1.與圓的幾何性質(zhì)有關(guān)的最值問題類型方法圓外一定點(diǎn)到圓上一動點(diǎn)距離的最值最大值：；最小值：（為該定點(diǎn)到圓心的距離）圓上一動點(diǎn)到圓外一定直線距離的最值最大值：；最小值：（為圓心到直線的距離）過園內(nèi)一定點(diǎn)的弦的最值最大值：直徑；最小值：與過該點(diǎn)的直徑垂直的弦2.與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題類型代數(shù)表達(dá)方法截距式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題斜率式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題距離式求形如的最值轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題【注意】截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動直線與圓相切時取得最值.同時，需要注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在.知識點(diǎn)19直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示幾何法代數(shù)法相切（為圓心到直線的距離）相交（為圓心到直線的距離）相離（為圓心到直線的距離）知識點(diǎn)20相切→求切線方程過定點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為：與圓的位置關(guān)系切線條數(shù)切線方程（方法）在圓上1條在圓外2條【分兩種情況討論】：1.斜率存在，設(shè)為點(diǎn)斜式，再通過或求出斜率即可；2.斜率不存在.【說明】：若情況1有一解，則情況2必有一解；若情況1有兩解，則情況2必?zé)o解.知識點(diǎn)21相交→求弦長弦長公式：直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（為圓心到直線的距離）.知識點(diǎn)22圓與圓的位置關(guān)系兩圓的半徑分別為，兩圓的圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系及其判斷方法為：位置關(guān)系圖示幾何法公切線條數(shù)外離四條外切三條相交兩條內(nèi)切一條內(nèi)含無知識點(diǎn)23兩圓的公共弦1.公共弦方程：將兩圓的方程作差，所得到的直線方程就是兩圓的公共弦方程.2.公共弦長：取其中一個圓，利用圓的弦長公式即可求出.知識點(diǎn)24直線與圓的綜合應(yīng)用的一般步驟：步驟具體內(nèi)容第一步設(shè)直線方程，注意討論直線斜率是否存在第二步聯(lián)立直線與圓方程消元化簡第三步根據(jù)韋達(dá)定理寫出兩根之和與兩根之積第四步根據(jù)題中所給的條件，帶入韋達(dá)定理必備知識11圓錐曲線知識點(diǎn)01橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．注意：(1)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)>|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡為橢圓；(2)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)＝|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為兩端點(diǎn)的線段；(3)當(dāng)動點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)<|F1F2|時，動點(diǎn)M的軌跡不存在．知識點(diǎn)02橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長為2b，長軸長為2a焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對稱性對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的關(guān)系a2＝b2＋c2知識點(diǎn)03雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．注意：(1)若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點(diǎn)的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線(包括端點(diǎn))；若將其改為“大于|F1F2|”，其余條件不變，此時動點(diǎn)軌跡不存在．(2)若將絕對值去掉，其余條件不變，則動點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．(3)若將“等于非零常數(shù)”改為“等于零”，則此時動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．知識點(diǎn)04雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實(shí)半軸長：a，虛半軸長：b漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知識點(diǎn)05拋物線的概念把平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．注意：定點(diǎn)F不在定直線l上，否則動點(diǎn)M的軌跡不是拋物線，而是過點(diǎn)F垂直于直線l的一條直線．知識點(diǎn)06拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)對稱軸x軸y軸頂點(diǎn)(0,0)離心率e＝1知識點(diǎn)07直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ>0；直線與圓錐曲線相切?Δ＝0；直線與圓錐曲線相離?Δ<0.特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點(diǎn)．②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點(diǎn)．知識點(diǎn)08弦長公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(y1＋y22－4y1y2).必備知識12數(shù)列知識點(diǎn)01等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))知識點(diǎn)02通項(xiàng)性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).知識點(diǎn)03前n項(xiàng)和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外)．(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.知識點(diǎn)04等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項(xiàng)法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中項(xiàng)法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項(xiàng)和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．知識點(diǎn)05數(shù)列求和（1）裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過程中，有的是相鄰項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消．常見的裂項(xiàng)方式有：eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).（2）錯位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．必備知識13導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)記作f′(x0)或.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).知識點(diǎn)02導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．知識點(diǎn)03基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)知識點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x)，g′(x)存在，則有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．知識點(diǎn)05復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．知識點(diǎn)06函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系條件恒有結(jié)論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上可導(dǎo)f′(x)>0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增f′(x)<0f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減f′(x)＝0f(x)在區(qū)間(a，b)上是常數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)07利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟第1步，確定函數(shù)f(x)的定義域；第2步，求出導(dǎo)數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；第3步，用f′(x)的零點(diǎn)將f(x)的定義域劃分為若干個區(qū)間，列表給出f′(x)在各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)y＝f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性．知識點(diǎn)08函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．2．函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．必備知識14計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)01兩個計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．知識點(diǎn)02排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組知識點(diǎn)03排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．知識點(diǎn)04排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(0,n)＝1；Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)知識點(diǎn)05二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)知識點(diǎn)06二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：①當(dāng)k<eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而增大；由對稱性知，當(dāng)k>eq\f(n＋1,2)時，Ceq\o\al(k,n)隨k的增加而減?。诋?dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶！＝n·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).必備知識15統(tǒng)計(jì)與概率知識點(diǎn)01全面調(diào)查和抽樣調(diào)查調(diào)查方式全面調(diào)查(普查)抽樣調(diào)查定義對每一個調(diào)查對象都進(jìn)行調(diào)查的方法,稱為全面調(diào)查,又稱普查根據(jù)一定目的,從總體中①抽取一部分個體進(jìn)行調(diào)查,并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法,稱為抽樣調(diào)查相關(guān)概念總體:在一個調(diào)查中,我們把調(diào)查對象的全體稱為總體.個體:組成總體的每一個調(diào)查對象稱為個體樣本:把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本.樣本量:樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量知識點(diǎn)02簡單隨機(jī)抽樣的概念放回簡單隨機(jī)抽樣不放回簡單隨機(jī)抽樣一般地,設(shè)一個總體含有N(N為正整數(shù))個個體,從中②逐個抽取n(1≤n<N)個個體作為樣本如果抽取是放回的,且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都③相等,我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的,且每次抽取時總體內(nèi)④未進(jìn)入樣本的各個個體被抽到的概率都相等,我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機(jī)抽樣放回簡單隨機(jī)抽樣和不放回簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機(jī)抽樣.通過簡單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本知識點(diǎn)03抽簽法先把總體中的個體編號,然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽,并將這些小紙片放在一個⑤不透明的盒里,充分?jǐn)嚢?最后從盒中不放回地逐個抽取號簽,使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本,直到抽足樣本所需要的個體數(shù).知識點(diǎn)04隨機(jī)數(shù)法(1)定義:先把總體中的個體編號,用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生已編號范圍內(nèi)的整數(shù)隨機(jī)數(shù),把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號,使與編號對應(yīng)的個體進(jìn)入樣本,重復(fù)上述過程,直到抽足樣本所需要的個體數(shù).(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法:(i)用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù);(ii)用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù).知識點(diǎn)05總體均值和樣本均值(1)總體均值:一般地,總體中有N個個體,它們的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,則稱Y=⑥Y1+Y2+…+YN(2)總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式:如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i=1,2,…,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式Y(jié)=⑧1N(3)如果從總體中抽取一個容量為n的樣本,它們的變量值分別為y1,y2,…,yn,則稱y=⑨y1+y2+…+yn知識點(diǎn)06分層隨機(jī)抽樣的相關(guān)概念(1)分層隨機(jī)抽樣的定義:一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行①簡單隨機(jī)抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本②合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣,每一個子總體稱為層.(2)比例分配:在分層隨機(jī)抽樣中,如果每層③樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.知識點(diǎn)07畫頻率分布直方圖的步驟(1)求極差:極差為一組數(shù)據(jù)中①最大值與②最小值的差;(2)決定組距與組數(shù):當(dāng)樣本容量不超過100時,常分成③5~12組,為方便起見,一般取等長組距,并且組距應(yīng)力求“取整”;(3)將數(shù)據(jù)分組;(4)列頻率分布表:一般分四列:分組、④頻數(shù)累計(jì)、頻數(shù)、⑤頻率.其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量,頻率合計(jì)是⑥1;(5)畫頻率分布直方圖:橫軸表示分組,縱軸表示⑦頻率組距小長方形的面積=組距×⑧頻率組距=⑨頻率,各小長方形的面積的總和等于知識點(diǎn)08其他統(tǒng)計(jì)圖表統(tǒng)計(jì)圖表主要應(yīng)用扇形圖直觀描述各部分?jǐn)?shù)據(jù)在全部數(shù)據(jù)中所占的比例條形圖和直方圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率折線圖反映統(tǒng)計(jì)對象在不同時間(或其他合適情形)的發(fā)展變化情況知識點(diǎn)09第p百分位數(shù)一般地,一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值,它使得這組數(shù)據(jù)中至少有①p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.知識點(diǎn)10計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步,按②從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步,計(jì)算i=③n×p%.第3步,若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù);若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第(i+1)項(xiàng)數(shù)據(jù)的④平均數(shù).知識點(diǎn)11眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù):一組數(shù)據(jù)中①出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).(2)中位數(shù):一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于②中間位置的數(shù).如果這組數(shù)據(jù)是偶數(shù)個,則取③中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù).(3)平均數(shù):一組數(shù)據(jù)的④和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù).知識點(diǎn)12眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系(1)平均數(shù):在頻率分布直方圖中,樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點(diǎn)的⑤橫坐標(biāo)與小矩形的⑥面積的乘積之和近似代替.(2)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該⑦相等.(3)眾數(shù):眾數(shù)是⑧最高小矩形底邊的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)據(jù).【特別提醒】眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)平均數(shù)與中位數(shù)相比,平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息,對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變.數(shù)據(jù)越“離群”,對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感