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第8講冪函數(shù)與二次函數(shù)

知識梳理

1、冪函數(shù)的定義

一般地，yxa(aR)(a為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為

常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).

2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)

①xa的系數(shù)為1；②xa的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：

1

函數(shù)yx231

yxyxyx2yx

圖象

定義域RRR{x|x0}{x|x0}

值域R{y|y0}R{y|y0}{y|y0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在(，0)上單調(diào)在(，0)和

在R上單在R上單調(diào)遞在[0，+)上單調(diào)

單調(diào)性遞減，在(0，+)上(0，+)上單調(diào)遞

調(diào)遞增增遞增

單調(diào)遞增減

公共點(1，1)

4、二次函數(shù)解析式的三種形式

（1）一般式：f(x)ax2bxc(a0)；

（2）頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)；其中，(m,n)為拋物線頂點坐標(biāo)，xm為

對稱軸方程.

（3）零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，其中，x1,x2是拋物線與x軸交點的橫坐

標(biāo).

5、二次函數(shù)的圖像

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b

二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為x，頂點

2a

b4acb2

坐標(biāo)為(,).

2a4a

（1）單調(diào)性與最值

bb

①當(dāng)a0時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在(,]上遞減，在[,)上

2a2a

b4acb2

遞增，當(dāng)x時，f(x)；

2amin4a

bb

②當(dāng)a0時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在(,]上遞增，在[,)上

2a2a

b4acb2

遞減，當(dāng)x時，f(x)

2amax4a

（2）與x軸相交的弦長

當(dāng)b24ac0時，二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖像與x軸有兩個交點

M(x,0)和M(x,0)，|MM||xx|(xx)24xx.

112212121212|a|

6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點或頂點處.

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對二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，當(dāng)a0時，f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值是M，

pq

最小值是m，令x：

02

b

（1）若p，則mf(p),Mf(q)；

2a

bb

（2）若px，則mf(),Mf(q)；

2a02a

bb

（3）若xq，則mf(),Mf(p)；

02a2a

b

（4）若q，則mf(q),Mf(p).

2a

【解題方法總結(jié)】

1、冪函數(shù)yxa(aR)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：

①當(dāng)a0時，其圖象可類似yx1畫出；

②當(dāng)時，其圖象可類似1畫出；

0a1yx2

③當(dāng)a1時，其圖象可類似yx2畫出．

2、實系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)的實根符號與系數(shù)之間的關(guān)系

b24ac0

（）方程有兩個不等正根b

1x1,x2x1x20

a

c

x1x20

a

b24ac0

（）方程有兩個不等負(fù)根b

2x1,x2x1x20

a

c

x1x20

a

c

（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為x,xxx0

1212a

3、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布問題

一般情況下需要從以下4個方面考慮：

b

（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸x與區(qū)間端點的關(guān)系；（4）區(qū)間端點

2a

函數(shù)值的正負(fù).

設(shè)為實系數(shù)方程2的兩根，則一元二次2的

x1,x2axbxc0(a0)axbxc0(a0)

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根的分布與其限定條件如表所示.

根的分布圖像限定條件

0

b

mx1x2m

2a

f(m)0

x1mx2f(m)0

0

b

m

2a

xxm

12f(m)0

0

在區(qū)間(m,n)

內(nèi)

0

沒有實根

x1x2m

或x1x2m

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0

b

m

2a

f(m)0

0

b

n

2a

f(n)0

f(m)0

f(n)0

f(m)0

f(n)0

在區(qū)間(m,n)

內(nèi)

有且只有一個

實根

f(m)0

f(n)0

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在區(qū)間(m,n)0

b

內(nèi)mn

2a

有兩個不等實f(m)0

根f(n)0

4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.

（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題

——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點一軸”，三點指的是區(qū)間兩個端點和區(qū)間中

點，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸

處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中

點的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.

（2）對于二次方程實根分布問題，要抓住四點，即開口方向、判別式、對稱軸位置及

區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù).

必考題型全歸納

題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像

【例1】（2024·寧夏固原·高三隆德縣中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)f(x)m22m2xm2

是冪函數(shù)，且在0，上遞減，則實數(shù)m（）

A．1B．1或3C．3D．2

【對點訓(xùn)練1】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知fxm2m5xm為冪函數(shù)，則（）．

A．fx在,0上單調(diào)遞增B．fx在,0上單調(diào)遞減

C．fx在0,上單調(diào)遞增D．fx在0,上單調(diào)遞減

【對點訓(xùn)練2】（2024·河北·高三學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)yfx的圖象過點8,22，則

f9的值為（）

A．2B．3C．4D．9

1

【對點訓(xùn)練3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)yxa中a的取值集合C是1,0,,1,2,3

2

的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（）

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1111

A．1,0,B．,1,2C．1,,3D．,1,2,3

2222

p

【對點訓(xùn)練】（·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)q（p,qZ且p,q互質(zhì)）的

42024yx

圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（）

p

A．p，q均為奇數(shù)，且0

q

p

B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且0

q

p

C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且0

q

p

D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且0

q

【解題方法總結(jié)】

確定冪函數(shù)yx的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，

或為則被開方式非負(fù).當(dāng)0時，底數(shù)是非零的.

題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

【例2】（2024·吉林長春·高三校考期中）已知冪函數(shù)fxm23m3xm1的圖象關(guān)于

mm

原點對稱，則滿足a132a成立的實數(shù)a的取值范圍為___________.

【對點訓(xùn)練5】（2024·全國·高三專題練習(xí)）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②yx0

圖象是一條直線；③若函數(shù)y2x的定義域是x|x0，則它的值域是y|y1；④若函數(shù)

11

y的定義域是x|x2，則它的值域是y|y；⑤若函數(shù)y=x2的值域是

x2

y|0y4，則它的定義域一定是x|2x2．其中不正確命題的序號是________．

1

【對點訓(xùn)練6】（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知f(x)x2，g(x)()xm，若對

2

≥

x1[1,3]，x2[0,2]，f(x1)g(x2)，則實數(shù)m的取值范圍是_________.

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a

111

【對點訓(xùn)練】（·福建三明·高三?？计谥校┮阎?，，則實數(shù)

720241a1loga1

22

a的取值范圍是___________

3x,xa

【對點訓(xùn)練】（·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)，若函數(shù)f(x)的值

820242

x,xa

域為R，則實數(shù)a的取值范圍為__________．

1011

【對點訓(xùn)練9】（2024·全國·高三專題練習(xí)）不等式x21x20222x210的解集為：

_________．

1

110

【對點訓(xùn)練10】（2024·江蘇淮安·江蘇省盱眙中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知冪函數(shù)f(x)，

x

若fa1f82a，則a的取值范圍是__________.

11

【對點訓(xùn)練11】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知2,1,,,1,2,3，若冪函數(shù)

22

fxx奇函數(shù)，且在0,上為嚴(yán)格減函數(shù)，則__________.

【解題方法總結(jié)】

緊扣冪函數(shù)yx的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這

里注意為奇數(shù)時，x為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，x為偶函數(shù).

題型三：二次方程ax2bxc0a0的實根分布及條件

【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x22(m1)xm2m0有兩個實數(shù)

根，，且2212，那么m的值為（）

A．1B．4C．4或1D．1或4

【對點訓(xùn)練12】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a為實數(shù)，若方程x22axa0在區(qū)間(1,1)

上有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（）.

A．(,0)(1,)B．(1,0)

11

C．,0D．,0(1,)

33

【對點訓(xùn)練13】（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程x2(m2)x5m0的一根在區(qū)間(2,3)

內(nèi)，另一根在區(qū)間(3,4)內(nèi)，則m的取值范圍是（）

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1313

A．(5,4)B．,2C．,4D．(5,2)

33

【對點訓(xùn)練14】（2024·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2a2x9a0有兩個

<<

不相等的實數(shù)根x1,x2，且x11x2，那么a的取值范圍是（）

222

A．a(chǎn)B．a(chǎn)

755

22

C．a(chǎn)D．a(chǎn)0

711

【解題方法總結(jié)】

結(jié)合二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖像分析實根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參

數(shù)的不等式，從而解不等式求參數(shù)的范圍.

題型四：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題

【例4】（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知fxax22bx4ca,b,cR.

(1)若f01，a2b0，解關(guān)于x的不等式fxa1x3；

21b

(2)若ac0，fx在2,2上的最大值為，最小值為，求證：2.

32a

【對點訓(xùn)練15】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在[2,2]上的奇函數(shù)，

x

且x0,2時，fx21，gxx22xm.

(1)求fx在區(qū)間2,0上的解析式；

(2)若對x12,2，則x22,2，使得fx1gx2成立，求m的取值范圍.

【對點訓(xùn)練16】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx3x3x．

(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明fx是單調(diào)遞增函數(shù)；

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2

(2)若對任意x1,1，fxmfx4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

【對點訓(xùn)練17】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)x22ax(a0)．

(1)當(dāng)a3時，解關(guān)于x的不等式5f(x)7；

(2)函數(shù)y