第65講雙曲線及其性質

知識梳理

知識點一：雙曲線的定義

平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點的軌

F1,F2．．．．．F1F2

跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）．用集合表示為

MMFMF2a(02aFF)

1212．

注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支．

（2）當2aF1F2時，點的軌跡是以F1和F2為端點的兩條射線；當2a0時，點的軌

跡是線段F1F2的垂直平分線．

（3）2aF1F2時，點的軌跡不存在．

在應用定義和標準方程解題時注意以下兩點：

22

①條件“F1F22a”是否成立；②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定a，b的

值），注意a2b2c2的應用．

知識點二：雙曲線的方程、圖形及性質

雙曲線的方程、圖形及性質

x2y2y2x2

標準方程1(a0,b0)1(a0,b0)

a2b2a2b2

圖形

A2

焦點坐標F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0,c)，F(xiàn)2(0,c)

對稱性關于x，y軸成軸對稱，關于原點成中心對稱

頂點坐標A1(a,0)，A2(a,0)A1(0,a)，A2(0,a)

范圍xaya

實軸、虛軸實軸長為2a，虛軸長為2b

cb2

離心率e1(e1)

aa2

x2y2by2x2a

令，令，

220yx220yx

漸近線方程abaabb

焦點到漸近線的距離為b焦點到漸近線的距離為b

點在雙曲線內

1,(x0,y0)

221,點(x,y)在雙曲線內

xy（含焦點部分）00

點和雙曲線22

22點在雙曲線上yx（含焦點部分）

ab1,(x0,y0)

22點在雙曲線上

點在雙曲線外ab1,(x0,y0)

的位置關系1,(x0,y0)

點在雙曲線外

1,(x0,y0)

共焦點的雙

x2y2y2x2

2222

221(akb)221(akb)

曲線方程akbkakbk

共漸近線的

x2y2y2x2

22(0)22(0)

雙曲線方程abab

xxyyyyxx

切線方程001,(x,y)為切點001,(x,y)為切點

a2b200a2b200

22

對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中x換為x0x，y換成y0y

切線方程

便得．

xxyy

001,(x,y)為雙曲線

2200yyxx

ab001,(x,y)為雙曲線外一點

切點弦所在a2b200

外一點

直線方程

點(x0,y0)為雙曲線與兩漸近線之間的點

設直線與雙曲線兩交點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，kABk．

1

則弦長AB1k2xx1yy(k0)，

12k212

弦長公式

2

xxxx4xx，其中“a”是消“y”后關于“x”的一元二次方程的

121212a

“x2”系數(shù)．

2b2

通徑通徑（過焦點且垂直于FF的弦）是同支中的最短弦，其長為

12a

雙曲線上一點P(x0,y0)與兩焦點F1,F2構成的PF1F2成為焦點三角形，

2b2

設F1PF2，PF1r1，PF2r2，則cos1，

r1r2

焦點三角形

2焦點在軸上

1sin2bcy0,x

Srrsinb，

PF1F22121coscx,焦點在y軸上

tan0

2

焦點三角形中一般要用到的關系是

PFPF2a(2a2c)

12

1

SPFPFsinFPF

PF1F21212

2

222

F1F2PF1PF22PF1PF2cosF1PF2

等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線ab離心率e2

等軸雙曲線

22

兩漸近線互相垂直漸近線方程為yx方程可設為xy(0)．

【解題方法總結】

（1）雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通

2

徑．通徑長為2b．

a

（2）點與雙曲線的位置關系

x2y2x2y2

對于雙曲線1(ab0)，點P(x，y)在雙曲線內部，等價于001．

a2b200a2b2

x2y2

點P(x，y)在雙曲線外部，等價于001結合線性規(guī)劃的知識點來分析．

00a2b2

（3）雙曲線?？夹再|

性質1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)b；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)

ab；

c

a2b2

性質2：雙曲線上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；

c2

b2

（4）雙曲線焦點三角形面積為（可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越

tan

2

小，面積越大）

（5）雙曲線的切線

x2y2

點M(x，y)在雙曲線1(a0，b0)上，過點M作雙曲線的切線方程為

00a2b2

xxyyx2y2

001．若點M(x，y)在雙曲線1(a0，b0)外，則點M對應切點弦方程

a2b200a2b2

xxyy

為001

a2b2

必考題型全歸納

題型一：雙曲線的定義與標準方程

例1．（2024·全國·模擬預測）已知F1，F(xiàn)2分別是離心率為2的雙曲線

x2y2

E:1a0,b0的左，右焦點，過點F2的直線與雙曲線的左?右兩支分別交于點C，

a2b2

D，且CF1CD，DF14，則E的標準方程為.

x2y2

例2．（2024·山東臨沂·高二校考期末）已知雙曲線E：1（a0，b0），矩

a2b2

形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2AB3BC6，則雙

曲線E的標準方程是．

5

例3．（2024·高二課時練習）設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若

13

曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程

為．

1

變式1．（2024·貴州貴陽·高二清華中學?？茧A段練習）漸近線方程為yx且經(jīng)過點4,1

2

的雙曲線標準方程為．

x2y2

變式2．（2024·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考階段練習）若雙曲線C與雙曲線1有相同

1612

的漸近線，且經(jīng)過點22,15，則雙曲線C的標準方程是．

變式3．（2024·上海黃浦·高二上海市向明中學?？计谥校╇p曲線經(jīng)過兩點A2,3，

15

B,2，則雙曲線的標準方程是．

3

x2y2

變式4．（2024·全國·模擬預測）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:1a0,b0的左、

a2b2

右焦點，是雙曲線的右支上一點，雙曲線的焦點到漸近線的距離為，與的

MCC3F1MMF2

π

夾角為，MF13MF2MF13MF2，則雙曲線C的標準方程為.

3

x2y2

變式5．（2024·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線Γ:1a0,b0，四點

a2b2

55

A6,3、B4,、C5,2、D5,2中恰有三點在上，則雙曲線的標準方程

5

為．

10

變式6．（2024·高二課時練習）（1）若雙曲線過點(3,92)，離心率e，則其標準方

3

程為．

（2）若雙曲線過點P(2,1)，漸近線方程是y3x，則其標準方程為．

y2x2

（3）若雙曲線與雙曲線1有共同的漸近線，且經(jīng)過點M(3,2)，則其標準方程

43

為．

【解題方法總結】

求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑：

（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a，b，c，即

利用待定系數(shù)法求方程．

（2）根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，

即利用定義法求方程．

題型二：雙曲線方程的充要條件

x2y2

例4．（2024·全國·高三對口高考）若曲線1表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值

3k2k

范圍是（）

A．3,2B．,32,

C．2,3D．,23,

例5．（2024·湖南岳陽·高三湖南省岳陽縣第一中學校考開學考試）已知kR，則“2k3”

x2y2

是“方程1表示雙曲線”的（）

2k2k

A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不

充分也不必要條件

x2y2

例6．（2024·全國·高三專題練習）若方程1表示雙曲線，則m的取值范圍

m2m6

是（）

A．m2或m6B．2m6

C．m6或m2D．6m2

變式7．（2024·全國·高三專題練習）已知方程E:(m1)x2(3m)y2(m1)(3m)，則

E表示的曲線形狀是（）

A．若1m3，則E表示橢圓

B．若E表示雙曲線，則m1或m3

C．若E表示雙曲線，則焦距是定值

25

D．若E的離心率為，則m

23

x2y2

變式8．（2024·四川南充·統(tǒng)考三模）設0,2π，則“方程1表示雙曲線”

34sin

的必要不充分條件為（）

2

A．0,πB．,2

3

3ππ3π

C．π,D．,

222

【解題方法總結】

x2y2

1表示橢圓的充要條件為：m0,n0,mn；

mn

x2y2

1表示雙曲線方程的充要條件為：mn0；

mn

x2y2

1表示圓方程的充要條件為：mn0．

mn

題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題

y2x2

例7．（2024·廣東揭陽·高三?？奸_學考試）已知雙曲線C:1(a0,b0),O為坐

a2b2

標原點，F(xiàn)1,F2為雙曲線C的兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF13PF2,OPb，則

雙曲線C的方程可以為（）

y2y2x2

A．x21B．1

424

y2x2y2x2

C．1D．1

34164

x2y2

例8．（2024·安徽六安·六安一中?？寄M預測）已知雙曲線C:1的左、右焦點

169

分別為F1、F2，直線ykx與雙曲線C交于A，B兩點，若ABF1F2，則ABF1的面積

等于（）

A．18B．10C．9D．6

x2y2

例9．（2024·福建漳州·高三漳州三中?？茧A段練習）已知雙曲線:1的左右焦

42

點分別為F1,F2，過F1的直線分別交雙曲線的左右兩支于A,B兩點，且F2ABF2BA，

則BF2（）

A．54B．254C．25D．5

x2y2

變式9．（2024·湖北恩施·?？寄M預測）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：1b0

4b2

的左右焦點，且F1到漸近線的距離為1，過F2的直線l與C的左、右兩支曲線分別交于A,B

兩點，且lAF1，則下列說法正確的為（）

△

A．AF1F2的面積為2B．雙曲線C的離心率為2

11

．．62

CAF1BF11046D

AF2BF2

變式10．（2024·全國·高三專題練習）設雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且焦距為210，

5

P是C上一點，滿足PFPF，PF2PF，則△PFF的周長為．

1221212

x2y2

變式11．（2024·全國·高三專題練習）雙曲線1的左?右焦點分別是F1?F2，過F2

a2b2

的弦AB與其右支交于A?B兩點，ABm，則ABF1的周長為（）

A．4aB．4amC．4a2mD．4am

13

變式12．（2024·云南保山·統(tǒng)考模擬預測）已知F1,F2是離心率等于的雙曲線

3

x2y2

C:1的左右焦點，過焦點F2的直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點，若ABF1

m4

的周長20，則|AB|等于（）

A．10B．8C．6D．4

x2y2

變式13．（2024·全國·高三專題練習）設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1的左?右焦點，P

445

△

是該雙曲線上的一點，且3PF15PF2，則PF1F2的面積等于（）

A．143B．715C．153D．515

2

2y

變式14．（2024·全國·高三專題練習）設雙曲線x1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，

3

點P在雙曲線上，下列說法正確的是（）

△△

A．若F1PF2為直角三角形，則F1PF2的周長是274

△△

B．若F1PF2為直角三角形，則F1PF2的面積是6

△

C．若F1PF2為銳角三角形，則PF1PF2的取值范圍是27,8

△

D．若F1PF2為鈍角三角形，則PF1PF2的取值范圍是(8,)

變式15．（2024·吉林四平·高三雙遼市第一中學校聯(lián)考期末）設雙曲線

22

xy△

1a0,b0的左、右焦點分別F1、F2，點Px,y為雙曲線右支上一點，PF1F2

a2b2

V

的內切圓圓心為M2,2，則PMF1的面積與PMF2的面積之差為（）

A．1B．2C．4D．6

x2y2

變式16．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線1的左右焦點分別為F1,F2，若

97

△

雙曲線上一點P使得F1PF260，求F1PF2的面積（）

73143

A．B．C．73D．143

33

x2

變式17．（2024·上海浦東新·統(tǒng)考三模）設P為雙曲線y21（a0）的上一點，

a2

2

FPF，（F、F為左、右焦點），則FPF的面積等于（）

1231212

3323

A．3a2B．a(chǎn)2C．D．

333

【解題方法總結】

對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即，

PF1PF22a

1

在焦點三角形面積問題中若已知角，則用SPFPFsin，PFPF2a

PF1F221212

1

及余弦定理等知識；若未知角，則用S2cy．

PF1F220

題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題

2

x2

例10．（2024·全國·高三專題練習）已知雙曲線C:y1的左右焦點為F1，F(xiàn)2，點M

2

為雙曲線C上任意一點，則MF1MF2的最小值為（）

A．1B．2C．2D．3

2

x2

例11．（2024·全國·高三專題練習）已知A3,2是雙曲線y1上一點，F(xiàn)1是左焦

3

點，B是右支上一點，AF1與ABF1的內切圓切于點P，則F1P的最小值為

A．3B．23C．332D．6322

x2y2

例12．（2024·全國·高三專題練習）已知點M5,0，點P在曲線1x0上運

916

2

2PM

動，點Q在曲線x5y21上運動，則的最小值是．

PQ

x2y2

變式18．（2024·河北衡水·統(tǒng)考模擬預測）已知雙曲線1，其右焦點為F，P為

916

其上一點，點M滿足|MF|=1，MFMP0，則|MP|的最小值為()

A．3B．3C．2D．2

y2

變式19．（2024·高二課時練習）已知直線l與雙曲線x21交于A，B兩點，且ABOB

2

22

（O為坐標原點），若M是直線x2y30上的一個動點，則MA|MB|的最小值為

（）

A．12B．6C．16D．8

2

2y

變式20．（2024·廣東韶關·高二統(tǒng)考期末）已知點F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x1的左、右

3

焦點，點P是雙曲線C右支上一點，過點F2向F1PF2的角平分線作垂線，垂足為點Q，則

點A(3,1)和點Q距離的最大值為（）

A．2B．7C．3D．4

【解題方法總結】

利用幾何意義進行轉化．

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題

例13．（2024·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知等軸雙曲線的焦距為8，左、右焦點F1,F2在

x軸上，中心在坐標原點，點A的坐標為(5,3)，P為雙曲線右支上一動點，則PF1PA的

最大值為（）

A．222B．422C．224D．424

x2y2

例14．（2024·全國·高二專題練習）已知雙曲線C:1a0,b0，其一條漸近

a2b2

線方程為x3y0，右頂點為A，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在其右支上，點B3,1，

3

三角形F1AB的面積為1，則當PF1PB取得最大值時點P的坐標為（）

2

6666

A．3,1B．3,1

2222

3365781078

C．3,1D．,

2102222

y2

例15．（2024·全國·高二專題練習）已知F是雙曲線C：x21的右焦點，P是C的

8

左支上一點，A0,7，則PAPF的最小值為（）

A．5B．6C．7D．8

變式21．（2024·寧夏銀川·校聯(lián)考二模）已知拋物線y216x上一點Am,n到準線的距

x2y2

離為5,F是雙曲線1的左焦點，P是雙曲線右支上的一動點，則PFPA的最小值

412

為（）

A．12B．11C．10D．9

x2y2

變式22．（2024·全國·高二專題練習）已知點A0,37，雙曲線E:1的左焦點

27

為F，點P在雙曲線E的右支上運動.當APF的周長最小時，APPF（）

A．62B．72C．82D．92

x2y2

變式23．（2024·福建寧德·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線C:1，點F是C的右

124

焦點，若點P為C左支上的動點，設點P到C的一條漸近線的距離為d，則d|PF|的最

小值為（）

A．243B．63C．8D．10

2

x2

變式24．（2024·全國·高二專題練習）設F1，F(xiàn)2為雙曲線C：y1的左、右焦點，

3

Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當QF1PQ取最小值時，QF2的值為（）

A．32B．32C．62D．62

x2y2

變式25．（2024·全國·高二專題練習）設P是雙曲線1上一點，M?N分別是兩圓

916

(x5)2y24和(x5)2y21上的點，則PMPN的最大值為（）

A．6B．9C．12D．14

變式26．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知點P是右焦點為F的雙曲線

22

xy22

1x10上一點，點Q是圓x8y1上一點，則PFPQ的最小值

1010

是.

x2y2

變式27．（2024·全國·高二專題練習）已知雙曲線C1的左焦點為F，點P是雙

44

曲線C右支上的一點，點M是圓E:x2(y22)21上的一點，則PFPM的最小值為

（）

A．5B．522C．7D．8

x2y2

變式28．（2024·全國·高一專題練習）已知雙曲線C:1,F,F是其左右焦點.圓

9712

22

E:xy4y30，點P為雙曲線C右支上的動點，點Q為圓E上的動點，則|PQ|PF1

的最小值是（）

A．525B．522C．7D．8

變式29．（2024·四川眉山·高二四川省眉山第一中學?？计谥校┮阎狥2是雙曲線

x2y2

C:1的右焦點，動點A在雙曲線左支上，點B為圓E:x2(y2)21上一點，則

93

ABAF2的最小值為（）

A．9B．8C．53D．63

y2

變式30．（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統(tǒng)考模擬預測）過雙曲線x21的右

15

2222

支上一點P，分別向圓C1：(x4)y4和圓C2：(x4)y1作切線，切點分別為M，

22

N，則PMPN的最小值為

A．16B．15C．14D．13

【解題方法總結】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義．求解最值問題

的過程中，如果發(fā)現(xiàn)動點P在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃

而解．

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1：利用雙曲線定義去轉換

例16．（2024·內蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線Ε：

x2y2

1a0,b0的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點（點A在第一

a2b2

π

象限），延長AF交E于點C，若BFAC，F(xiàn)BF，則雙曲線E的離心率為（）

22123

A．3B．2C．5D．7

例17．（2024·陜西西安·高三校聯(lián)考開學考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線

x2y2

E:1(a0,b0)的左、右焦點，過原點O的直線l與E交于A，B兩點（點A在第

a2b2

π

一象限），延長AF交E于點C，若BFAC，F(xiàn)BF，則雙曲線E的離心率為（）

22123

A．3B．2C．5D．1

x2y2

例18．（2024·江西南昌·南昌市八一中學?？既＃┮阎p曲線C:1(a0，b0)

a2b2

的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若在C上存在點P(不是頂點)，使得PF2F13PF1F，則C

的離心率的取值范圍為（）

A．2,2B．3,

C．(1,3]D．1,2

變式31．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）已知雙曲線

x2y2

C:1(a0,b0)的左、右焦點分別為F,F,O為坐標原點，過原點的直線l與C相交

a2b212

2

于A,B兩點，F(xiàn)1F22|AO|，四邊形AF1BF2的面積等于c，則C的離心率等于（）

A．2B．3C．2D．5

變式32．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）如圖，已知雙曲線

x2y2

C:1a0,b0的左?右焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P在C上且位于第一象限，圓O1與

a2b2

△

線段F1P的延長線，線段PF2以及x軸均相切，PF1F2的內切圓為圓O2.若圓O1與圓O2外

切，且圓O1與圓O2的面積之比為4，則C的離心率為（）

5

A．3B．C．2D．3

3

方向2：建立關于a和c的一次或二次方程與不等式

x2y2

變式33．（2024·四川成都·四川省成都列五中學校考三模）已知雙曲線C:1(a0,b0)

a2b2

的左?右焦點分別為F1,F2，過點F1的直線與雙曲線在第二象限的交點為A，若

F1F2F1AF2A0,F1F2F1AF1F2，則雙曲線C的離心率是（）

3121

A．B．31C．21D．

22

22

、xy

變式34．（2024·湖南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，F(xiàn)1F2是雙曲線E:1(a0,b0)

a2b2

、22

的左、右焦點，過F1的直線交雙曲線的左、右兩支于AB兩點，且BF14AF1