大招折疊變換模型

翻折變換（折疊問題）

01＞翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換.

02＞折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

因3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找

到圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時(shí)，我們常常設(shè)要求

的線段長(zhǎng)為無(wú)，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適

當(dāng)?shù)闹苯侨切危\(yùn)用勾股定理列出方程求出答案.我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)

出正確的未知數(shù).

考點(diǎn)一：三角形中的折疊問題

【例如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,/B=30°,BC=3,點(diǎn)。是邊上的一

動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)2、C重合），過(guò)點(diǎn)。作。交于點(diǎn)E,將NB沿直線。E翻折，

點(diǎn)8落在射線3c上的點(diǎn)尸處.當(dāng)為直角三角形時(shí),則折疊后所得到的四邊形AEL不

的周長(zhǎng)為顯旦+3或空空+4.

一33

解：：RtZ\ABC中，ZACB=90°，ZB=30°，BC=3,

"8=_^_=2我，AC=—AB=y/3.

cosB2

VZB=30°,DELBC,

：.ZBED^60°.

由翻折的性質(zhì)可知：/BED=NFED=6Q°,

：.ZAEF^60°.

,/AAE/為直角三角形，

ZAFE=90°或NE4F=90°.

①NAFE=90°時(shí)，點(diǎn)F1在邊8C上.

AZEAF=30°,

：.AE=2EF.

由翻折的性質(zhì)可知：BE=EF,

：.AB^3BE,

:.EB=LAB=^J^~,AE=2EB=^^-,

333

：.ED=^EB=^~,BD=MED=\=DF,

:.AF=6EF=6EB=2,

四邊形AEDF的周長(zhǎng)=4￡+即+「尸+陰=空叵+近+1+2=旦巨+3；

333

?ZEAF=90°時(shí)，點(diǎn)尸在BC的延長(zhǎng)線上.

.".Z￡M=30°.

：.ZEFD=ZEFA.

5L'：EDLBF,EALAF,

:.AE=DE.

設(shè)DE=x,BE=AB-AE=AB-DE=2M-x.

'：DE//AC,

?ED_BEx_2V3-x

"ACAB'V32V3，

解得，x=2&,

3

_加

貝ijAE=Z)E=^^,BD=-^-==2=DF,AF=6AE=2,

3tanB

T~

四邊形AEDF的周長(zhǎng)=AE+￡D+OF+E1=22巨+漢1_+2+2=至巨+4.

333

綜上所述，折疊后所得到的四邊形4瓦加的周長(zhǎng)為顯巨+3或全應(yīng)+4.

33

故答案為《返+3或生巨+4.

33

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，等邊△ABC中，￡＞是BC邊上的一點(diǎn)，把△ABC折疊，使點(diǎn)A落在8C

邊上的點(diǎn)D處，折痕與邊AB.AC分別交于點(diǎn)M、N,若40=2,AN=3,那么邊BC

長(zhǎng)為_￡

解：設(shè)BO=x,DC=y,

AABC是等邊三角形，

.?.AB=2C=AC=x+y,ZABC=ZACB=ZBAC^60°,

由折疊的性質(zhì)可知：MN是線段4。的垂直平分線，

；.AM=DW=2,AN=DN=3,

??BM-^-MD-^BD=2x+y,DN+NC+DC=x+2y,

VZMDN=ZBAC=ZABC=60°,

AZNDC^ZMDB=ZBMD+ZMBD=120°,

/.ZNDC=ZBMDf

VZABC=ZACB=60°,

:?叢BMDs/\CDN,

：.(BM+MD+BD)：(ON+NC+CD)=DM：DN=2：3,

(2x+y)：(x+2y)=2：3,

.?.y=4x,

：.AB=BC=AC=5x,MB=5x-2,CN=5x-3f

..BM=DM__2

"CDDN-3，

?

??-5--x---2--—_,2

4x3

?,—6

7

：.BC=5x=^-,

7

故答案為毀.

7

【變式1-2].如圖，在等腰直角三角形ABC中，NC=90°,。為8C的中點(diǎn)，將aABC

折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)。重合，所為折痕，則AF：CF=()

A.2：1B.3：2C.5：3D.7：5

解：設(shè)CO=mCF=x,

?.?。為BC的中點(diǎn),

??CA.—CB—2ci.

/.DF=FA=2a-x,

...在RtZiCDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2,即/+/=(2a-x)2,

解得x=—a,

4

即CF=^-a,AF=2a-亙0,

444

：.AF：CF=5：3.故選：C.

【變式1-3].如圖，在△ABC中，NBAC=45°,AD1BC于點(diǎn)D,BD=6,OC=4,求

A。的長(zhǎng).小明同學(xué)利用翻折，巧妙地解答了此題，按小明的思路探究并解答下列問題:

（1）分別以AB，AC所在直線為對(duì)稱軸，畫出△AB。和△AC。的對(duì)稱圖形，點(diǎn)。的對(duì)

稱點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F,延長(zhǎng)和尸C相交于點(diǎn)G,求證：四邊形AEGP是正方形；

（2）設(shè)AZ）=x,建立關(guān)于x的方程模型，求出AD的長(zhǎng).

(1)證明：由題意可得：AABD咨LABE,AACD^AACF.

：.ZDAB=ZEAB,ZDAC=ZFAC,又N8AC=45°,

AZEAF=90°.

又?.?AO_LBC

：.ZE=ZADB=90°,ZF=ZADC=90°.

四邊形AEGb是矩形，

又：AE=A￡),AF^AD

：.AE=AF.

矩形AEGB是正方形；

（2）解：設(shè)AO=x,則AE=EG=GP=x.

VB￡>=6,DC=4,

：.BE=6,CF=4,

.'.BG—x-6,CG—x-4,

在RdBGC中，BG1+CG1=BC2,

（X-6）2+（X-4）2=102.

化簡(jiǎn)得，x2-10尤-24=0

解得尤1=12,X2—-2（舍去）

所以AD=x=12.

考點(diǎn)二：矩形中的折疊問題

【例2].如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形。48C,。為原點(diǎn)，點(diǎn)A、C分別在x軸、y

軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）,連接。3,將△042沿直線。2翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)。的位

置J，則cosZCOD的值是______

解：作。尸_Ly軸于F,OE_Lx軸于E,BD交OC于G.

「在ABCG與△OOG中，

2BCG=NODF

<OD=BC,

ZD0F=ZGBC

.?.△BCG<△OOG,

...GO=GB,

.,.設(shè)GO=GB=x,

貝ijCG=GD=2-x,

于是在RMCGB中，（2-x）2+l2=x2；

解得x=5.

4

GO=2-x=2-包=旦；

44

：BC_Ly軸，。尸_Ly軸，

：.ZBCG=ZDFG,

?：ZBGC=ZDGF,

:ACBGSAFDG,

.DF=DG

"BCBG"

；.DF=—；

5

又：00=1,

A變式訓(xùn)練

【變式27].如圖（1）是一段長(zhǎng)方形紙帶，ZDEF=a,將紙帶沿EF折疊成圖（2）,再沿

8月折疊成圖（3）,則圖（3）中的NCFE的度數(shù)為（）

解：???四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，

J.AD//BC,

：.ZBFE=ZDEF^a,

由翻折的性質(zhì)可知：圖（2）中，ZEFC=180°-ZBF￡=180°-a,ZBFC=ZEFC-

180°-2a,

.?.圖（3）中，ZCFE=ZBFC-ZBFE=180°-3a,故選：A.

【變式2-2].如圖，在矩形ABC。中，AB=8,8C=12,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE1沿

AE折疊，使點(diǎn)2落在矩形內(nèi)點(diǎn)尸處，連接CR則5的長(zhǎng)為（）

32

解：連接8凡交AE于H,

D

憶

BEC

：8C=12,點(diǎn)E為8c的中點(diǎn)，

：.BE=6,

又；AB=8,

AE=y]AB2+BE2=V36+64=10，

由折疊知，BF±AE（對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線必垂直于對(duì)稱軸）

_24

?.?DDrUi_A--B---X--B---E--,

AE5

貝I]BF=^-,

5

,:FE=BE=EC,

：.ZBFC=90°,

22

：,CF=B=J（12）2-（普二=魯，

VC-BFV□D

故選：D.

【變式2-3].如圖，折疊矩形紙片ABC。，使B點(diǎn)落在上一點(diǎn)E處，折痕/G的兩端點(diǎn)

分別在A3、BC上（含端點(diǎn)），且AB=6,BC=10.則AE的最大值是6,最小值是

解：如圖，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得

ED

EC=BC=10,

在RtZiCDE中，CEr=CD1+Eb1,

即102=(10-AE)2+62,

解得AE=2,

即x=2.

如圖，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得

所以AE的最大值是6,最小值為2.

故答案是：6,2.

考點(diǎn)三：菱形中的折疊問題

【例3】.如圖，將菱形紙片ABC。折疊，使點(diǎn)A恰好落在菱形的對(duì)角線交點(diǎn)。處，折痕為

EF,若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2c〃z,ZB=60°,那么斯=_、巧_5.

解：連接AC、BD,如圖所示：

根據(jù)題意得：E、尸分別為A3、A。的中點(diǎn)，

尸是的中位線，

;.EF=±BD,

2

:菱形ABC。的邊長(zhǎng)為20",ZABC=60°,

：.AB=2,OB=LBD,ZABO=30°,

2

：.OB^AB-cos30Q=2X四=百,

2

:?EF=LBD=OB=如;

2

故答案為：Vs-

A

B■■■■...■

c

A變式訓(xùn)練

【變式3-1].如圖，在菱形ABC。中，N2=60°,E為AB的中點(diǎn)，將△AE。沿。E翻折

若則

得到△GE。，射線DG交BC于點(diǎn)F,A￡>=2,BF=/.

□

>D

C

解:DE和CB的延長(zhǎng)線相交于G'點(diǎn)，連接ER作EHLDP于H點(diǎn)、,如圖,

>

Ct

???四邊形A3CO為菱形，

AZA=180°-ZB=120°,AB二=AD=2,AD//BC

???N1=NG,

而E為A5的中點(diǎn)，

：?AE=BE=1,

?,?AAED沿DE翻折得到△GED,

???N1=N2,DG=DA=2,EG=1皿=1,N3=NA=120°,

：.Z4=60°,

在RtZ\EHG中，HG=LG=工,￡H=V3￡H=—

222

在RtZ\￡)E8中，^=VEH2+DH+(

'：AD//BG,

：.Z1=ZG',

：.ZG'=Z2,

：.FG=FD,

在△AED和△BEG中，

2I=NG'

<ZAED=ZBEGZ,

AE=BE

△AEDq△BEG',

:.DE=G'E,

：.FE±DG',

.\ZFED=9Q°,

ZHDE=NEDF,

：.RtdDEFsRtADHE,

.DF=DE即DF_近_

"DEW"5'

2

5

：.FG=FD-DG=--2=—,

55

：.BF^FG=—.

5

故答案為名.

5

【變式3-2].如圖，在菱形ABC。中，ZABC=60°,A￡）=6,點(diǎn)E在邊CD上，且DE=

4,尸是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△。所沿直線EF折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)N處，當(dāng)點(diǎn)N在四邊形

A3C。內(nèi)部（含邊界）時(shí)，。尸的長(zhǎng)度的取值范圍是0WZ）尸-2.

,D

B'C

解：根據(jù)題意可知，點(diǎn)N在以點(diǎn)E為圓心，DE長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

①當(dāng)點(diǎn)/和點(diǎn)。重合時(shí)，DP最短，此時(shí)。尸=0；

②當(dāng)點(diǎn)N落在邊上時(shí)，。尸最長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)N作NGLAZ）于點(diǎn)G,分別過(guò)點(diǎn)E,。作BC

的垂線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)X,M,

：.四邊形MNGD是矩形，

在菱形ABC。中，ZABC=6Q°,AO=6,點(diǎn)E在邊CO上，且。E=4,

：.CD=AD=AB=6,CE=2,AD//BC,AB//CD,

：.ZABC=ZDCH^60°,

；.CM=3,CH=1,

:.GN=DM=3M，EH=M，

在Rt/XNEH中，NE=DE=4,EH=M，

:.NH=4U>

：.NH=y/13+2,

:.DG=NH=4^+2,

設(shè)。/=無(wú)，則NG=x,GF=V13+2-x,

在RtAJVGF中，由勾股定理可知，GN2+GF2^NF2,

即（3我）2+（V13+2-X）2=/,

解得尤=2后-2,

.?.OWO/W2Vl§-2.

故答案為：0Wr>BW2而-2.

考點(diǎn)四：正方形中的折疊問題

【例4].如圖，正方形A8CD的邊長(zhǎng)是2,點(diǎn)E是C。邊的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是邊BC上不與點(diǎn)8,

C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把/C沿直線EF折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.當(dāng)△AOC'為等腰三

角形時(shí)，PC的長(zhǎng)為工或1.

-2

：.DC<1+1

：.DC￥DA,只要分兩種情形討論即可：

①如圖1中，當(dāng)AZ)=AC'=2時(shí)，連接AE.

圖1

"：AE=AE,AD=AC',DE=EC',

：.△ADE^AAC,E,

：.ZADE^ZAC'E=90°,

?：ZC=ZFC'E=90°,

：.ZACE+ZFC'E=180°,

；.A、C、尸共線，設(shè)CF=x,則2尸=2-x,AF=2+x,

在RtZiAB尸中，22+(2-x)2=(2+無(wú))2,

解得尤=L.

2

②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)尸在8C中點(diǎn)時(shí)，易證AC'=DC,滿足條件，此時(shí)CF=1.

圖2

綜上所述，滿足條件的CT的長(zhǎng)為工或1.

故答案為工或1.

2

A變式訓(xùn)練

【變式4-1].如圖，正方形ABC。中，A8=6,點(diǎn)E在邊CD上，且C_D=3Z)E,將△AOE

沿AE對(duì)折至△AFE,延長(zhǎng)EF交邊8c于點(diǎn)G,連接AG、CF,則下列結(jié)論：①ZXABG

^AAFG；②BG=CG；③AG〃CF；?SAEGC=SAAFE,其中正確的是.

理由：\'AB^AD^AF,AG=AG,NB=NAFG=90°,

RtAABG^RtAAFG(HL)；

②正確.

理由：EF=DE=LCD=2,設(shè)BG=PG=尤，則CG=6-尤.

3

在直角AECG中，根據(jù)勾股定理，得(6-無(wú))2+42=(x+2)2,

解得x=3.

：.BG=3=6-3=CG；

③正確.

理由：:CG=BG,BG=GF,

：.CG=GF,

...△■FGC是等腰三角形，NGFC=NGCF.

又,/RtAABG^RtAAFG；

AZAGB^ZAGF,ZAGB+ZAGF=2ZAGB=180°-NFGC=NGFC+NGCF=2N

GFC=2ZGCF,

：.ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,

J.AG//CF-,

④正確.

理由：,/5GCE=—GC?C￡=—X3X4=6,

A22

,?SAAFE=^AF'EF=AX6X2=6,

22

??S/\EGC~S/\AFEf

J其中正確的是①②③④.

@0

成j實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，將平行四邊形紙片ABC。沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，AE恰好過(guò)8c邊

中點(diǎn)，若AB=3,BC=6,則的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

解：AE與BC相交于F點(diǎn)，如圖，

?/四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

???平行四邊形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)E處，

；./2=/3,

.\Z1=Z2,

C.FC^FA,

:尸為BC邊中點(diǎn),BC=6,

：.AF=CF=BF=—X6=3,

2

而A8=3,

??.△AB/為等邊三角形,

/.ZB=60°.

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=V丐，E為CD邊上一點(diǎn),將△氏：￡1沿BE折疊,

使得C落到矩形內(nèi)點(diǎn)尸的位置，連接AR若tan/BAF=^，則CE=（）

A.炳-2B.V5-1c.D.

解：過(guò)點(diǎn)/作MN〃A。，交AB于點(diǎn)M,交CD于點(diǎn)、N,

貝ijMNLAB,MNLCD,

由折疊可得，EC=EF,BC=BF=QNC=NBFE=90°,

在RtZXAMF中，tanZBAF=—=A,

AM2

設(shè)FM=x,則AM=2尤，BM^4-lx,

在RtZXBWW中，由勾股定理可得，

X2+(4-2X)2=(V5)2>

解得1=1或1=旦(舍去)，

5

AM=BM=2,FN=MN-FM=BC-FM=4^-1,

/EFN+/FEN=NEFN+NBFM=9U°,

/.ZFEN=ZBFM,

又,：/FNE=/BMF,

：.AEFNsAFBM,

?.?BFBM,

EFFN

即泥=」,

EFV5-1

解得EF=5一遍.

2

￡C=5-V5

2

故選：c.

3.如圖，矩形紙片ABC。中，AB=4,BC=8,現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕

為EF,則圖形中重疊部分/的面積為

解：設(shè)AE=無(wú)，由折疊可知，EC=x,BE=8-x,

在RtZ\ABE中，AB2+BE2^AE2,即42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

由折疊可知NAE/-NCER

,JAD//BC,

：.ZCEF=ZAFE,

：./A￡F=ZAFE,即AE=AB=5,

XAFXAB=AX5X4=10.

22

故答案為：10.

4.如圖，矩形ABCD中，AB=4,AZ)=6,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到4

AEF,點(diǎn)”為C。上一點(diǎn)，將ACEH沿EH折疊得到AEHG,且尸落在線段EG上，當(dāng)

GF=GH時(shí)，則BE的長(zhǎng)為2

解：如圖，連接

由折疊可得，BE=FE,EC=EG,GH=CH,ZAEB=ZAEF,ZCEH=ZGEH,

：.ZAEH=^-ZBEC^90°,

2

.?.RtZXAE”中，AE^+EH2=AH2,①

設(shè)BE=x,則EF=x,CE—6-x=EG,

:.GF=6-2x=GH=CH,DH=4-(6-2x)=2x-2,

'：ZB=ZC=ZD=90°,

.?.RtZXABE中，A￡2=EB2+AB2=^+42,

RtZ\CEH中，HE1=EC2+CH1=(6-X)2+(6-2x)2,

RtAADH+,AH2=DH2+AD2=(2x-2)2+62,

代入①式，可得

X2+42+(6-x)2+(6-2x)2=(2x-2)2+62,

解得尤1=2,%2=12(舍去)，

BE的長(zhǎng)為2,

故答案為：2.

5.將矩形ABC。按如圖所示的方式折疊，BE、EG、BG為折痕，若頂點(diǎn)A、C、。都落在

點(diǎn)。處，且點(diǎn)8、O、G在同一條直線上，同時(shí)點(diǎn)E、0、F在另一條直線上，則地的

AB

值為歷

解：???四邊形A8CO是矩形，

：.ZC=90°,AB=CD,AD=BC,

由折疊的性質(zhì)得：AE=OE=DE,CG=OG=DG,

：.E,G分別為AD,CD的中點(diǎn)，

設(shè)CD=2a,AD=2b,則AB=2a=0B,DG=OG=CG=a,BG=3a,BC=AD=2b,

在RtZ\2CG中，cd+BC^Bd1,

即a2+(2。)2=(3。)2,

：.b2=2a2,

:—近,

a

即膽的值為加；

AB

故答案為：V2.

6.如圖，在邊長(zhǎng)為8的菱形ABC。中，ZA=60°,M是邊A。的中點(diǎn)，N是AB上一點(diǎn)，

將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN,連接A'B,則A'B的取值范圍-4

解：如圖所示，連接BD,

:M是邊4。的中點(diǎn)，AAMN沿MN所在的直線翻折得到△AMN,

.?.點(diǎn)A的軌跡為以A￡>為直徑的半圓M,A'M=AM=4,

VZA=60°,AB=AD,

.?.△ABD是等邊三角形，

：.BM1AD,ZABM=30°,

：.A'B^BM-AM=4我-4,

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)A或點(diǎn)。重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)A或點(diǎn)。重合，此時(shí)A3的最大值為8,

：.A'B的取值范圍為：473-4WA3W8,

故答案為：4?-4WABW8.

7.如圖，將矩形ABC。（AB<AO）沿8。折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，且BE交A。于點(diǎn)「

若AB=5,BC=10.

(1)求。尸的長(zhǎng)；

(2)求△DBF和△￡>￡下的面積；

(3)求△。瓦;'中尸點(diǎn)到2。邊上的距離.

解：(1)?.?將矩形ABC。(AB<A￡?)沿8。折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處,

J.AD//BC,ZA=ZC=ZE=90°,AD//BC,ZCBD=ZDBE,

：.ZADB=ZDBC,

:.NDBE=NADB,

:.BF=DF,

設(shè)=尤，則A尸=10-x,

在中，由勾股定理得，

X2=52+(10-x)2,

解得x=生，

4

.?.OF=li；

4

(2)由(1)知，S￡>BF=—DF.^B=—x—X5=—1

A2248

S/\BCD-S/\BDE=yX10X5=25,

?,.SAD￡F=25=

88

(3)在RtZXBCD中，由勾股定理得，BD=5相,

設(shè)尸到8。的距離為/7,

則春X5“h=導(dǎo)，

Zo

解得九二視5,

4

二/XDBF中F點(diǎn)到BD邊上的距離為■^返.

4

8.如圖，將矩形ABCO沿AE折疊，使點(diǎn)。落在8c邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG〃C。交

4尸于點(diǎn)G,連接。G.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)求證：￡G2=AAF?GF；

2

(3)若AG=6,EG=2疾,求BE的長(zhǎng).

(1)證明：'：GE//DF,

ZEGF=NDFG.

:由翻折的性質(zhì)可知：GD=GE,DF=EF,ZDGF=ZEGF,

：./DGF=ZDFG.

：.GD=DF.

:.DG=GE=DF=EF.

四邊形EEDG為菱形.

(2)證明：如圖1所示：連接。E,交A尸于點(diǎn)0.

???四邊形EFDG為菱形，

J.GFLDE,OG=OF=^GF.

；NDOF=NADF=90°,ZOFD^ZDFA,

:.△DOFs^ADF.

1

ADF=FO；gpDF=FO'AF.

AFDF

?：FO=^GF,DF=EG,

2

：.EG2=^GF*AF.

2

(3)如圖2所示：過(guò)點(diǎn)G作GHLDC,垂足為H.

2

.\20=AFG(FG+6),整理得：FG2+6FG-40=0.

2

解得:尸G=4,FG=-10(舍去).

,:DF=GE=2返，AF=10,

-"-AD=>\/AF2-DF2=4底，

\'GH±DC,ADLDC,

：.GH//AD.

△尸G77s△曲￡).

?GH=FG即GH_4

"ADAF'、4T5-Io-

5

：.BE=AD-GH=4娓-戛遙.

55

9.如圖1,四邊形ABCD的對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,

BC=n,ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：/BAD與ZACB的數(shù)量關(guān)系為/BAD+NACC=180°；

(2)求旦的值；

n

(3)將△AC。沿CO翻折，得到C。(如圖2),連接84，，與CD相交于點(diǎn)P.若

CD=^+5,求PC的長(zhǎng).

解：(1)如圖1中,

在△ABQ中，VZBAD+ZABD+ZADB=180°,

又,/ZABD+ZADB=ZACB,

：.ZBAD+ZACB=18O°,

故答案為/及1D+NACB=18O°.

（2）如圖1中，作。石〃AB交AC于E.

\ZDEA=ZBAE,ZOBA=ZODE,

：OB=OD,

MOAB〈LOED,

\AB=DE,OA^OE,設(shè)4B=DE=CE=x,OA=OE=y,

：ZEDA+ZDAB^ISQ°,ZBA￡）+ZACB=180°,

\ZEDA=ZACB,

；NDEA=NCAB,

\/\EAD^AABC,

?ED_AE_DA_m

'AC-AB-CB-n，

..x2y,

x+2yx

\4y2+2x_y-x2=0,

?.（2y）2+互_i=o,

XX

..生=土區(qū)（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

X2

.m_V5-1

"n2-'

(3)如圖2中，作。E〃AB交AC于E.

由（1）可知，DE=CE,ZDCA=ZDCAr,

AZEDC=ZECD=ZDCA',

J.DE//CA'//AB,

：.ZABC+ZA'CB=180°,

由（1）知，ZEDA=ZACB,ZDEA=ZBAEf

：./\EAD^AABC,

：.ZDAE=ZABC=ZDA'C,

：.ZDA'C+NA'CB=180°,

???A'D//BC,

：./\PA'DsXPBC,

.A;DPDV5-1

BCPC2

?PD_V5-1_DC-PC

"PC"2PC

：.DC~立T-PC+PC=^+1-PC=在二，

222

：.PC=1.

10.如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對(duì)折，折痕為CD展平后，再將點(diǎn)2折疊在邊AC

上（不與A、C重合），折痕為ER點(diǎn)2在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為跖設(shè)C。與應(yīng)W交于點(diǎn)P,

連接尸R已知BC=4.

（1）若M為AC的中點(diǎn)，求CE的長(zhǎng)；

（2）隨著點(diǎn)M在邊AC上取不同的位置，

①的形狀是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

②求的周長(zhǎng)的取值范圍.

解：(1)為AC的中點(diǎn)，

CM=」AC=LC=2,

22

由折疊的性質(zhì)可知，F(xiàn)B=FM,

設(shè)CF=x,則FB=FM=4-x,

在中，F(xiàn)M2=CF2+CM2,即(4-x)2=^+22,

解得，x=l,即CF=1；

22

(2)①的形狀是等腰直角三角形，不會(huì)發(fā)生變化,

理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，ZPMF=ZB=45°,

是中垂線，

ZACD=ZDCF=45°,

ZPMO=ZFCO,

'：ZPOM=ZFOC,

：./\POM^/\FOC,

.OM=OP

"ocOF'

.ON=0C

,,0POF

??ZPOF=ZMOC,

:.APOFs八MOC,

:./PFO=NMCO=45°,

AZPFM=ZPMF=45°,

AZMPF=90°,

APFM是等腰直角三角形.

②是等腰直角三角形，設(shè)尸〃=?

由勾股定理可知：PF=PM

...△P尸M的周長(zhǎng)=(1+V2)y，

V2<y<4,

.?.△PFM的周長(zhǎng)滿足：2+2我<(1+V2)y<4+472.

11.已知在△ABC中，AC=BC=m,。是AB邊上的一點(diǎn)，將沿著過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，

使點(diǎn)8落在AC邊的點(diǎn)尸處(不與點(diǎn)A,C重合)，折痕交3c邊于點(diǎn)E.

(1)特例感知如圖1,若NC=60°,D是AB的中點(diǎn)，求證：AP=1AC；

2

(2)變式求異如圖2,若/C=90°,機(jī)=6&，AD=7,過(guò)點(diǎn)。作。H_LAC于點(diǎn)H,

求AH和AP的長(zhǎng)；

(3)化歸探究如圖3,若根=10,48=12,且當(dāng)AD=。時(shí)，存在兩次不同的折疊，使

點(diǎn)B落在AC邊上兩個(gè)不同的位置，請(qǐng)直接寫出a的取值范圍.

圖1圖2圖3

(1)證明：\'AC=BC,ZC=60°,

AABC是等邊三角形，

：.AC=AB,ZA=6Q°,

由題意，得DB=DP,DA=DB,

J.DA^DP,

△ADP使得等邊三角形，

：.AP^AD^—AB^—AC.

22

(2)解：?.,AC=2C=6&,NC=90°,

AAB=VAC2+BC2=V（6>/2）2+（6V2）2=12'

VDH1AC,

：.DH//BC,

：.△ADHsAABC,

.DH=AD

"BCAB"

'：AD=1,

.DH_7

.寺F

2

將沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，

情形一：當(dāng)點(diǎn)8落在線段C”上的點(diǎn)Pi處時(shí)，如圖2-1中,

圖2-1

'：AB=12,

：.DPi=DB=AB-AD=5,

???HPLJDPJ-DM=j52-(￥>[=喙,

：.AP\=AH+HPi=4近,

情形二：當(dāng)點(diǎn)B落在線段4"上的點(diǎn)P2處時(shí)，如圖2-2中,

2

：.AP2=AH-HP2=3近,

綜上所述，滿足條件的AP的值為4&或3&.

（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)C作于H,過(guò)點(diǎn)C作。P_LAC于P.

:?AH=HB=6,

:@=VAC2-AH2=V102-62=8'

當(dāng)。尸時(shí)，BD=PD=x,則AZ)=12-x,

?8—x

??元—

：.AD=AB-BD=—,

3

觀察圖形可知當(dāng)6<a<理■時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)3落在AC邊上兩個(gè)不同的位

3

置.

12.［初步嘗試］

(1)如圖①，在三角形紙片A3C中，ZACB=90°,將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重

合，折痕為MN,則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；

［思考說(shuō)理］

(2)如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6,AB=10,將△ABC折疊，使點(diǎn)8與

點(diǎn)C重合，折痕為求幽的值；

BM

［拓展延伸］

(3)如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將△ABC沿過(guò)頂

點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)8落在邊AC上的點(diǎn)2,處，折痕為CM.

①求線段AC的長(zhǎng)；

②若點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為線段。3'上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到

△4PM,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A',A'M與CP交于點(diǎn)R求里的取值范圍.

MF

c

圖①圖②圖③

解：（1）如圖①中，

圖①

「△ABC折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)C重合，折痕為

?,?MN垂直平分線段BC,

:.CN=BN,

■:/MNB=NACB=90°,

:.MN//AC9

?:CN=BN,

：.AM=BM.

故答案為

圖②

VCA=CB=6,

???NA=NB,

由題意MN垂直平分線段BC,

:?BM=CM,

:?/B=/MCB,

：.ZBCM=ZAf

■:/B=/B,

:.ABCMs/\BAC,

.BC=BM

"BABC'

?.?6-BM,

106

5

：.AM=AB-BM=1O-歿=絲

55

32

?AM5

"BM18.V

5

（3）①如圖③中,

圖③

由折疊的性質(zhì)可知，CB=CB'=6,NBCM=NACM,

?/ZACB=2ZA,

：.ZBCM=NA,

,:NB=NB,

:.ABCMsABAC,

?BC=BM=CM

"ABBCAC'

?.?-6_B1M,

96

/.AM=CM=5,

?

??6---5--,

9AC

；.AC=至.

2

②如圖③-1中，設(shè)尸2'X.

2

：.AB'=K-6=3,

22

：.AP=AP'=&+無(wú)，

2

VZA=ZA'=ZMCF,ZPFA'=ZMFC,PA^PA',

：.^PFA's^MFC,

?PF—PA'

"FMCM

?：CM=5,

.PF_PA'_3+x

"FM5IoT

：OA=OC=K,

4

.?.owxw9,

4

10FM4

13.如圖，將邊長(zhǎng)為6的正三角形紙片ABC按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕A。、

BE(如圖①)，點(diǎn)。為其交點(diǎn).

(1)探求A。與0D的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)如圖②，若P,N分別為BE,BC上的動(dòng)點(diǎn).

①當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；

②如圖③，若點(diǎn)。在線段2。上，8。=1,則QV+NP+尸。的最小值=_石5_.

AA

解：⑴40=200,

理由：??,△ABC是等邊三角形，

：.ZBA0=ZABO=ZOBD=30°,

：.AO=OB,

?；BD=CD,

：.AD±BC,

：.ZBDO=90°,

???OB=2OD,

：.OA=2OD；

(2)①如圖②，作點(diǎn)。關(guān)于3E的對(duì)稱點(diǎn)》,過(guò)。'作O'N1BC于N交BE于P,

則此時(shí)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值，

???BE垂直平分。，

：.BD=BDr,

VZABC=60°,

/\BDD'是等邊三角形，

；.BN=±BD=3,

22

VZPBN=30°,

.BN_V3

??一，

PB2

:.PB=M；

②如圖③，作。關(guān)于8c的對(duì)稱點(diǎn)Q',作。關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)O'，

連接0D',即為QN+NP+PO的最小值.

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：N。'BN=NQBN=30°,ZQBQ'=60°,

^BQQ'為等邊三角形，ABDU為等邊三角形,

:.ND，BQ'=90°,

.?.在RtzX。'BQ'中，

D'Q'32+I2=1/10.

/.QN+NP+PD的最小值=,

故答案為：Vio.

14.如圖1,將△ABC紙片沿中位線EX折疊，使點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)。落在BC邊上，再將紙片分

別沿等腰42即和等腰△ZWC的底邊上的高線ERWG折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合

形成一個(gè)矩形，類似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個(gè)無(wú)縫隙、

無(wú)重疊的矩形，這樣的矩形稱為疊合矩形.

(1)將回ABC。紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形AEFG,則操作形成的折痕分別

是線段AE,GF;S矩形AEFG:S^ABCD=1:2.

(2)I3A8C。紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形E/G”,若EF=5,EH=U,

求AD的長(zhǎng)；

(3)如圖4,四邊形ABCD紙片滿足AO〃2C,AD<BC,AB±BC,A2=8,C￡)=10,

小明把該紙片折疊，得到疊合正方形，請(qǐng)你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出AD.

BC的長(zhǎng).

解：(1)根據(jù)題意得：操作形成的折痕分別是線段AE、GF；

由折疊的性質(zhì)得：LABE四乙AHE,四邊形AHFGg四邊形。CFG,

/.△ABE的面積=△?1〃￡的面積，四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積，

/.S矩形AEFG=」SEIABCD,

2

S矩形AEFG:S^iABCD=1:2;

故答案為：AE,GF,1：2；

(2)?.?四邊形EPG”是矩形，

：.ZHEF=90°,

.,.FH=iy52+122=13,

由折疊的性質(zhì)得：AD=FH=13；

(3)有3種折法，如圖4、圖5、圖6所示：

①折法1中，如圖4所示：

由折疊的性質(zhì)得：AD=BG,AE=BE=^AB=4,CF=DF=^CD=5,GM=CM,ZFMC

22

=90°,

?/四邊形EFMB是疊合正方形，

GM=CM==452.42=3,

：.AD=BG=BM-GM=1,BC=BM+CM=1；

②折法2中，如圖5所示：

由折疊的性質(zhì)得：四邊形EMHG的面積=』梯形ABCD的面積，AE=BE=」AB=4,

22

DG=NG,NH=CH,BM=FM,MN=MC,

:.GH=LCD=5,

2

1/四邊形EMHG是疊合正方形，

：.EM=GH=5,正方形EMHG的面積=52=25,

VZB=90°,

/.FM—BM—452_42—3,

設(shè)則MN=FM+FN=3+x,

:梯形ABC￡>的面積=工(AD+BC)X8=2X25,

2

：.AD+BC=—,

2

：.BC=^-x,

2

：.MC=BC-BM=^--x-3,

2

"：MN=MC,

二3+工=至-x-3,

2

解得：x=—,

4

.4n1325_1337

4244

③折法3中，如圖6所示，作GMLBC于M,

則E、G分別為A3、C。的中點(diǎn)，

則AH=AE=BE=B尸=4,CG=#￡>=5,正方形的邊長(zhǎng)所=G/=4&,

GM=FM=4,CM=^52-42=3,

BC=BF+FM+CM=11,FN=C尸=7,DH=NH=8-7=1,

.\AD=5.

15.如圖，矩形0ABe的邊長(zhǎng)0A=8,頂點(diǎn)A、C分別在尤、y軸的正半軸上，點(diǎn)Z）為對(duì)角

線的中點(diǎn)，反比例函數(shù)>=區(qū)（左W0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。、E、F,且tan

X

2

（1）求邊A8的長(zhǎng)；

（2）求反比例函數(shù)的解析式及/點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點(diǎn)F,將矩形折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合,

折疊分別與x、y軸正半軸交于點(diǎn)H、G,求線段0G的長(zhǎng).

(1)在RtAAOB中，

V