2025江蘇大學(xué)考研信號(hào)與線性系統(tǒng)大綱真題(附答案)一、考試內(nèi)容詳解（一）信號(hào)與系統(tǒng)的基本概念1.信號(hào)的分類與運(yùn)算：需掌握確定信號(hào)與隨機(jī)信號(hào)、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)（序列）的區(qū)分；重點(diǎn)理解能量信號(hào)與功率信號(hào)的定義及計(jì)算（能量E=∫|f(t)|2dt，功率P=lim(T→∞)(1/(2T))∫(-T到T)|f(t)|2dt）；熟練進(jìn)行信號(hào)的時(shí)移、反折、尺度變換（如f(at+b)的圖形繪制）、相加與相乘運(yùn)算，特別注意尺度變換中“壓縮”與“擴(kuò)展”的時(shí)間軸變化規(guī)律（a>1時(shí)信號(hào)壓縮，0<a<1時(shí)擴(kuò)展）。2.系統(tǒng)的描述與特性：掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程、差分方程）；重點(diǎn)分析LTI系統(tǒng)的線性（齊次性+疊加性）、時(shí)不變性（參數(shù)不隨時(shí)間變化）、因果性（響應(yīng)不超前激勵(lì)）、穩(wěn)定性（有界輸入有界輸出，BIBO穩(wěn)定）的判斷方法。例如，判斷系統(tǒng)y(t)=f(2t)是否時(shí)不變：若輸入f(t-t?)，輸出為f(2(t-t?))=f(2t-2t?)，而原系統(tǒng)時(shí)移t?后的輸出應(yīng)為y(t-t?)=f(2(t-t?))，兩者相等，故為LTI系統(tǒng)；但該系統(tǒng)因果性需判斷：當(dāng)t<0時(shí)，若輸入f(2t)依賴t<0時(shí)刻的f值（如t=-1時(shí)，f(-2)），則系統(tǒng)非因果。（二）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析1.沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)：沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)對(duì)δ(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，階躍響應(yīng)g(t)是對(duì)ε(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，二者關(guān)系為g(t)=∫(-∞到t)h(τ)dτ，h(t)=dg(t)/dt。求解h(t)的關(guān)鍵是將微分方程中的輸入替換為δ(t)，利用沖激平衡法確定初始條件（如n階系統(tǒng)中，h(t)及其n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0?處可能跳變）。例如，系統(tǒng)微分方程y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f'(t)+3f(t)，其沖激響應(yīng)的求解步驟為：①取拉普拉斯變換（s2+3s+2）Y(s)=(s+3)F(s)，系統(tǒng)函數(shù)H(s)=(s+3)/(s2+3s+2)=(s+3)/[(s+1)(s+2)]；②部分分式分解得H(s)=2/(s+1)-1/(s+2)；③逆變換得h(t)=(2e??-e?2?)ε(t)。2.卷積積分：掌握卷積的定義f?(t)f?(t)=∫(-∞到∞)f?(τ)f?(t-τ)dτ，重點(diǎn)計(jì)算時(shí)限信號(hào)的卷積（如矩形脈沖與指數(shù)信號(hào)的卷積），熟練運(yùn)用卷積的性質(zhì)（交換律、結(jié)合律、分配律，與沖激函數(shù)的卷積f(t)δ(t-t?)=f(t-t?)）。例如，f?(t)=ε(t)-ε(t-1)（寬度為1的矩形脈沖），f?(t)=e??ε(t)，則卷積結(jié)果為：當(dāng)t≤0時(shí)，0；當(dāng)0<t≤1時(shí)，∫(0到t)e?(t-τ)dτ=1-e??；當(dāng)t>1時(shí)，∫(0到1)e?(t-τ)dτ=e?(t-1)-e??=e??(e-1)。（三）連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析1.傅里葉變換：掌握非周期信號(hào)的傅里葉變換F(jω)=∫(-∞到∞)f(t)e??ω?dt及逆變換f(t)=(1/(2π))∫(-∞到∞)F(jω)e?ω?dω；重點(diǎn)記憶典型信號(hào)的傅里葉變換（如δ(t)?1，ε(t)?πδ(ω)+1/(jω)，e???ε(t)?1/(a+jω),a>0）；熟練運(yùn)用傅里葉變換的性質(zhì)（線性、時(shí)移、頻移、尺度變換、時(shí)域微分/積分、頻域微分，帕塞瓦爾定理E=(1/(2π))∫(-∞到∞)|F(jω)|2dω）。例如，f(t)=e??ε(t)δ(t-2)的傅里葉變換，因卷積對(duì)應(yīng)頻域相乘，δ(t-2)的傅里葉變換為e??2ω，e??ε(t)的傅里葉變換為1/(1+jω)，故F(jω)=e??2ω/(1+jω)。2.周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)：掌握三角形式（f(t)=a?/2+Σ(a?cosnω?t+b?sinnω?t)）與指數(shù)形式（f(t)=ΣF?e??ω??）的轉(zhuǎn)換，其中F?=(1/T)∫(t?到t?+T)f(t)e???ω??dt，且F?=F??（共軛對(duì)稱性）。例如，周期矩形脈沖（幅度A，脈寬τ，周期T）的傅里葉系數(shù)F?=(Aτ/T)Sa(nω?τ/2)，其中Sa(x)=sinx/x，其頻譜特點(diǎn)為離散、諧波性、包絡(luò)按Sa函數(shù)衰減。3.系統(tǒng)的頻域分析：系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(jω)=Y(jω)/F(jω)，幅頻特性|H(jω)|表示信號(hào)各頻率分量的幅度縮放，相頻特性φ(ω)表示相位偏移。無失真?zhèn)鬏敆l件為|H(jω)|=K（常數(shù)），φ(ω)=-ωt?（線性相位）。例如，已知系統(tǒng)h(t)=δ(t-t?)，則H(jω)=e??ω??，滿足無失真?zhèn)鬏敆l件（K=1，t?為延遲時(shí)間）。（四）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析1.拉普拉斯變換：掌握單邊拉普拉斯變換F(s)=∫(0?到∞)f(t)e???dt（s=σ+jω），重點(diǎn)確定收斂域（ROC）：對(duì)因果信號(hào)（t<0時(shí)f(t)=0），ROC為Re[s]>σ?（σ?為極點(diǎn)實(shí)部最大值）；反因果信號(hào)ROC為Re[s]<σ?；雙邊信號(hào)可能為帶狀區(qū)域或不存在。典型信號(hào)的拉普拉斯變換（如δ(t)?1（全s平面），ε(t)?1/s（Re[s]>0），e??ε(t)?1/(s-a)（Re[s]>a））。2.拉普拉斯變換的性質(zhì)：線性、時(shí)移（f(t-t?)ε(t-t?)?e????F(s)，t?>0）、s域平移（e??f(t)ε(t)?F(s-a)）、時(shí)域微分（f’(t)?sF(s)-f(0?)）、時(shí)域積分（∫(0?到t)f(τ)dτ?F(s)/s）、初值定理f(0?)=lim(s→∞)sF(s)（要求f(t)在t=0?無沖激）、終值定理f(∞)=lim(s→0)sF(s)（要求sF(s)的ROC包含jω軸）。3.復(fù)頻域求解系統(tǒng)響應(yīng)：將微分方程轉(zhuǎn)換為s域代數(shù)方程，分離零輸入響應(yīng)Y?(s)（初始條件引起，F(xiàn)(s)=0）與零狀態(tài)響應(yīng)Y?(s)=H(s)F(s)（H(s)為系統(tǒng)函數(shù)，由微分方程系數(shù)決定）。例如，系統(tǒng)y''(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，初始條件y(0?)=1，y’(0?)=2，輸入f(t)=e??ε(t)，則s域方程為s2Y(s)-sy(0?)-y’(0?)+3[sY(s)-y(0?)]+2Y(s)=1/(s+1)，代入初始條件得(s2+3s+2)Y(s)=s1+2+31+1/(s+1)=s+5+1/(s+1)，解得Y(s)=(s+5)/(s2+3s+2)+1/[(s+1)(s2+3s+2)]。分解后零輸入響應(yīng)Y?(s)=(s+5)/[(s+1)(s+2)]=4/(s+1)-3/(s+2)，對(duì)應(yīng)y?(t)=(4e??-3e?2?)ε(t)；零狀態(tài)響應(yīng)Y?(s)=1/[(s+1)2(s+2)]=1/(s+1)2-1/(s+1)+1/(s+2)，對(duì)應(yīng)y?(t)=(te??-e??+e?2?)ε(t)，總響應(yīng)y(t)=y?(t)+y?(t)=(3e??-2e?2?+te??)ε(t)。（五）離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析1.離散信號(hào)的運(yùn)算：序列的時(shí)移（f(k-k?)）、反折（f(-k)）、尺度變換（f(mk)下采樣，f(k/m)上采樣，m為整數(shù)）、相加與相乘；重點(diǎn)掌握單位樣值序列δ(k)（k=0時(shí)為1，否則為0）、單位階躍序列ε(k)（k≥0時(shí)為1，否則為0）、實(shí)指數(shù)序列a?ε(k)、正弦序列sin(Ωk)的特性（周期性：Ω/2π為有理數(shù)時(shí)周期N=2πm/Ω，m為整數(shù)）。2.離散系統(tǒng)的差分方程與單位樣值響應(yīng)：n階線性常系數(shù)差分方程一般形式為Σ(a?y(k-i))=Σ(b?f(k-j))（i=0到n，j=0到m）；單位樣值響應(yīng)h(k)是系統(tǒng)對(duì)δ(k)的零狀態(tài)響應(yīng)，可通過遞推法或z變換法求解。例如，一階系統(tǒng)y(k)-0.5y(k-1)=f(k)，初始條件y(-1)=0（零狀態(tài)），當(dāng)f(k)=δ(k)時(shí)，k=0時(shí)y(0)=0.5y(-1)+δ(0)=1；k≥1時(shí)y(k)=0.5y(k-1)，故h(k)=0.5?ε(k)。3.卷積和：f?(k)f?(k)=Σ(m=-∞到∞)f?(m)f?(k-m)，性質(zhì)與連續(xù)卷積類似（交換律、結(jié)合律、分配律，與δ(k)的卷積f(k)δ(k-k?)=f(k-k?)）。例如，f?(k)=ε(k)-ε(k-2)（k=0,1時(shí)為1，否則為0），f?(k)=0.5?ε(k)，則卷積和為：k<0時(shí)0；k=0時(shí)11=1；k=1時(shí)11+10.5=1.5；k≥2時(shí)10.5???+10.5??1=0.5?(1+2)=30.5?（k≥2時(shí)，f?(m)僅m=0,1時(shí)有值，故和為f?(k)+f?(k-1)=0.5?+0.5??1=0.5?(1+2)=30.5?）。（六）離散時(shí)間系統(tǒng)的z域分析1.z變換：單邊z變換F(z)=Σ(k=0到∞)f(k)z??，收斂域?yàn)閨z|>R?（因果序列），|z|<R?（反因果序列），或環(huán)狀區(qū)域（雙邊序列）。典型序列的z變換（δ(k)?1（全z平面），ε(k)?z/(z-1)（|z|>1），a?ε(k)?z/(z-a)（|z|>|a|），kε(k)?z/(z-1)2（|z|>1））。2.z變換的性質(zhì)：線性、時(shí)移（f(k-k?)ε(k-k?)?z???F(z)，k?>0）、z域尺度變換（a?f(k)?F(z/a)）、時(shí)域卷積（f?(k)f?(k)?F?(z)F?(z)）、初值定理f(0)=lim(z→∞)F(z)、終值定理f(∞)=lim(z→1)(z-1)F(z)（要求F(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，或z=1處有單極點(diǎn)）。3.z域求解離散系統(tǒng)響應(yīng)：將差分方程轉(zhuǎn)換為z域代數(shù)方程，分離零輸入響應(yīng)Y?(z)（初始條件引起）與零狀態(tài)響應(yīng)Y?(z)=H(z)F(z)（H(z)為系統(tǒng)函數(shù)，由差分方程系數(shù)決定）。例如，系統(tǒng)y(k)-0.5y(k-1)=f(k)，初始條件y(-1)=2，輸入f(k)=ε(k)，則z域方程為Y(z)-0.5[z?1Y(z)+y(-1)]=F(z)（F(z)=z/(z-1)），代入y(-1)=2得Y(z)(1-0.5z?1)=0.52+z/(z-1)=1+z/(z-1)，解得Y(z)=[1+z/(z-1)]/(1-0.5z?1)=[(z-1)+z]/(z-1)z/(z-0.5)=(2z-1)z/[(z-1)(z-0.5)]。部分分式分解得Y(z)=(2z)/(z-1)-z/(z-0.5)，逆z變換得y(k)=2ε(k)-0.5?ε(k)。二、典型真題及詳細(xì)解答真題1（選擇題）：下列信號(hào)中，屬于功率信號(hào)的是（）。A.f(t)=e??ε(t)B.f(t)=sin(2t)ε(t)C.f(t)=cos(3t)D.f(t)=te??ε(t)解答：功率信號(hào)需滿足0<E<∞（能量無限）且0<P<∞（平均功率有限）。選項(xiàng)A：能量E=∫(0到∞)e?2?dt=1/2（有限），為能量信號(hào)；選項(xiàng)B：能量E=∫(0到∞)sin2(2t)dt=∫(0到∞)(1-cos4t)/2dt→∞，功率P=lim(T→∞)(1/(2T))∫(0到T)sin2(2t)dt=1/4（有限），但信號(hào)為因果正弦，實(shí)際平均功率需考慮t≥0，嚴(yán)格來說非周期功率信號(hào)；選項(xiàng)C：cos(3t)為周期信號(hào)（周期2π/3），功率P=(1/(2π/3))∫(0到2π/3)cos2(3t)dt=1/2（有限），能量無限，為功率信號(hào)；選項(xiàng)D：能量E=∫(0到∞)t2e?2?dt=1/4（有限），為能量信號(hào)。故選C。真題2（填空題）：已知連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為y''(t)+5y'(t)+6y(t)=f'(t)+2f(t)，則其沖激響應(yīng)h(t)=________。解答：對(duì)微分方程取拉普拉斯變換（零狀態(tài)，初始條件為0），得(s2+5s+6)Y(s)=(s+2)F(s)，系統(tǒng)函數(shù)H(s)=(s+2)/(s2+5s+6)=(s+2)/[(s+2)(s+3)]=1/(s+3)（s≠-2，極點(diǎn)s=-3）。逆拉普拉斯變換得h(t)=e?3?ε(t)（注意：分子分母的(s+2)約去，需確認(rèn)原系統(tǒng)是否存在沖激項(xiàng)，此處因分子多項(xiàng)式次數(shù)≤分母，無沖激項(xiàng)）。真題3（計(jì)算題）：離散系統(tǒng)的差分方程為y(k)-0.6y(k-1)=f(k)-f(k-1)，輸入f(k)=ε(k)，初始條件y(-1)=5，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(k)。解答：（1）求零輸入響應(yīng)y?(k)：差分方程齊次解形式為y?(k)=A(0.6)?（特征根r=0.6）。代入初始條件：y(-1)=5=A(0.6)?1→A=5×0.6=3，故y?(k)=3×0.6?ε(k)。（2）求零狀態(tài)響應(yīng)y?(k)：對(duì)差分方程取z變換（零狀態(tài)，y(-1)=0），得Y?(z)-0.6z?1Y?(z)=F(z)-z?1F(z)，F(xiàn)(z)=z/(z-1)，故Y?(z)=F(z)(1-z?1)/(1-0.6z?1)=[z/(z-1)]×[(z-1)/z]/[(z-0.6)/z]=z/(z-0.6)。逆z變換得y?(k)=0.6?ε(k)。（3）全響應(yīng)y(k)=y?(k)+y?(k)=3×0.6?ε(k)+0.6?ε(k)=4×0.6?ε(k)。真題4（綜合題）：某LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jω)=2/(jω+1)