湖北省武漢市華中師大一附中2023-2024學(xué)年高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．6個(gè)班分別從7個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同的安排方法有()A．C76 B．A76 C．2．(1?x)2n(n∈N?A．第2n?7項(xiàng) B．第2n?6項(xiàng) C．第2n?5項(xiàng) D．第2n?4項(xiàng)3．已知等差數(shù)列{an}，則“k=9”是“aA．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要4．兩個(gè)單位向量e1與e2滿足e1?eA．π6 B．π3 C．2π35．在(33xA．32 B．?32 C．0 D．16．學(xué)校決定于3月14日～3月21日舉行為期8天的“數(shù)學(xué)節(jié)”活動(dòng)，現(xiàn)安排A，B，C，D，E五位同學(xué)擔(dān)任本次活動(dòng)的志愿者.已知五位志愿者要全部安排且每天只安排1位志愿者，要求3月14日、3月15日做志愿者的同學(xué)每人安排一天，3月16日到3月21日做志愿者的同學(xué)每人安排兩天，則不同的安排方法一共有()A．792種 B．1440種 C．1800種 D．10800種7．下列不等式中，所有正確的序號(hào)是()①4tan②③10sin④A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④8．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)定義域均為R，滿足f(32+x)?f(32?x)=4x，且A．?2 B．2 C．1 D．0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9．已知方程x2A．存在實(shí)數(shù)θ，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是圓B．存在實(shí)數(shù)θ，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是平行于x軸的兩條直線C．存在實(shí)數(shù)θ，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D．存在實(shí)數(shù)θ，使得該方程對(duì)應(yīng)的圖形是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量分別為a1A．若z12=z22，則C．若z1z2=0，則a111．在下列底面為平行四邊形的四棱錐中，M，S，T，P，Q是四棱錐的頂點(diǎn)或棱的中點(diǎn)(如圖)，則PQ//平面MST的有()A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在(2x?y)6的展開式中，含x513．對(duì)于隨機(jī)事件A，B，記A?為事件A的對(duì)立事件，且P(A)=23,P(B|A)=14．已知函數(shù)f(x)=alnx?2x(a>0)，若不等式xae?2x≥3f(x)+1對(duì)x>0恒成立，則實(shí)數(shù)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PD與底面所成的角為45°，E為PD的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）若AB=2，G為△BCD的內(nèi)心，求直線PG與平面PCD所成角的正弦值．16．ChatGPT是OpenAI研發(fā)的一款聊天機(jī)器人程序，是人工智能技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語言處理工具，它能夠基于在預(yù)訓(xùn)練階段所見的模式和統(tǒng)計(jì)規(guī)律來生成回答，但它的回答可能會(huì)受到訓(xùn)練數(shù)據(jù)信息的影響，不一定完全正確.某科技公司在使用ChatGPT對(duì)某一類問題進(jìn)行測(cè)試時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.98；如果出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，它回答正確的概率為0.18.假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為0.1，且每次輸入問題，ChatGPT的回答是否正確相互獨(dú)立.該公司科技人員小張想挑戰(zhàn)一下ChatGPT，小張和ChatGPT各自從給定的10個(gè)問題中隨機(jī)抽取9個(gè)作答，已知在這10個(gè)問題中，小張能正確作答其中的9個(gè)．（1）在小張和ChatGPT的這次挑戰(zhàn)中，求小張答對(duì)的題數(shù)X的分布列；（2）給ChatGPT輸入一個(gè)問題，求該問題能被ChatGPT回答正確的概率；17．已知函數(shù)f(x)=xln(x?1)．（1）求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；（2）設(shè)g(x)=f'(x)（3）若f(x)x?a>2，求實(shí)數(shù)18．如圖，已知橢圓C1：x24+y2=1和拋物線C2：x2=2py(p>0)，C2的焦點(diǎn)F是C1的上頂點(diǎn)，過F的直線交C2于M、N兩點(diǎn)，連接NO、MO（1）求p的值；（2）求OM?（3）求S△OMN19．已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)=a（1）記an=f(n)?ln(n+1)+n，n∈N?，Sn為數(shù)列{an}的前（2）當(dāng)a=1e時(shí)，證明：（3）當(dāng)a>0且a≠1時(shí)，試討論f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：對(duì)于每個(gè)班來說有7種選擇，則根據(jù)分步乘法有76故答案為：D.【分析】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理.直接利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)榈?項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C2n7，由組合數(shù)的對(duì)稱性知所以第2n?6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故答案為：B.【分析】本題考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng).根據(jù)條件，先利用二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)求出第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性可求出答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：當(dāng)k=9時(shí)，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)得a7設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，當(dāng)d=0時(shí)，無論k取何值，a無法推出k=9，可得必要性不成立，則“k=9”是“a7故答案為：A.【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，充分條件和必要條件的定義.當(dāng)k=9時(shí)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可判斷充分性成立；設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為a1，公差為d，舉出反例當(dāng)d=0時(shí)，無法推出k=94．【答案】D【解析】【解答】解：由題意可得|e1|=1，|所以|e設(shè)e1?3e2與e則cosθ=所以θ=5π故答案為；D.【分析】本題考查平面向量的數(shù)量積，平面向量的夾角.根據(jù)題意可得|e1|=1，|e2|=1，再根據(jù)|e1?3e5．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意可得：2n=32，解方程可求出當(dāng)x=1時(shí)，(33x故答案為：A【分析】本題考查二項(xiàng)式系數(shù).先利用二項(xiàng)式系數(shù)和可列出方程，解方程可求出n的值，再利用賦值法，令x=1可求出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：第一步從5個(gè)人中挑選2人排列在3月14日?3月15日做志愿者，共有A5第二步將剩余6天平均分為3組并分配給其他3人，則有C6根據(jù)分步乘法原理得共有20×90=1800種，故答案為：C.【分析】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，分步乘法計(jì)數(shù)原理.本題需要分兩步：第一步挑選2人全排列；第二步：將剩余6天平均分為3組并分配給其他3人，利用排列組合公式依次求出兩步的種數(shù)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：①，令f(x)=tanx?x，x∈(0,∴f(x)>f(則tan14>14②，tan(π?2)=?tan2，而tan2<tan3π4=?1而sin2<1，則tan(π?2)>sin2成立，②正確；③，設(shè)h(x)=sinxx，x∈(0再令g(x)=xcosx?sinx，則則g'(x)=?xsinx<0在(0,則g(x)<g(0)=0，則h'(x)<0在(0,1)上恒成立，則因?yàn)?<110<π6<1，則④，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性知cos45<故答案為：D.【分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性.構(gòu)造函數(shù)f(x)=tanx?x，x∈(0,π2)，求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)，據(jù)此可證明tanx>x在x∈(0,π2)上恒成立，進(jìn)而可得：4tan14>1，判斷①；利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的單調(diào)性可得?tan2>1，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得sin2<1，據(jù)此可判斷8．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閒(32+x)?f(32?x)=4x，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：可得g(x)對(duì)g(x)則g'(x)關(guān)于則f(x+3)=?f(3?x)，求導(dǎo)可得g(3+x)=g由g(x)關(guān)于(32g(x)+g(3?x)=4①，g(x)=g(6?x)，則g(6?x)+g(3?x)=4，則g(x+6)+g(x+3)=4，則g(x+3)+g(x)=4，則作差得g(x+6)=g(x)，g(同理g'因此g(15又g(x)關(guān)于(由g'(x)關(guān)于所以g(15故答案為：B.【分析】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對(duì)稱性，函數(shù)的周期性.先將函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式可推出g(x)關(guān)于(32,2)對(duì)稱，根據(jù)f(x+3)為奇函數(shù)，可得f(x+3)9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A，取θ=?π4，此時(shí)方程為B，y2sin2θ=x則x2C，取θ=π4，則方程為x2D，取θ=?π12，此時(shí)方程為x2故答案為：ACD.【分析】本題考查圓的方程，直線方程，雙曲線方程，橢圓方程.舉出反例，取θ=?π4，通過計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)平行于x軸的直線的特征可得：x2?1必須滿足為一個(gè)定值，據(jù)此可知不成立判斷B選項(xiàng)；舉出反例，取10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A.設(shè)z1=x1+y1若z12=z2因a12=x1B.若a12=而z12=C.若z1即a1,a2至少一個(gè)是D.若a1?a而z1z2故答案為：AC【分析】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的模長公式.設(shè)z1=x1+y1i，z2=x2+11．【答案】A,B【解析】【解答】解：A，設(shè)A為MS的中點(diǎn)，底面為平行四邊形STFE，連接PA,則PA//SE,PA=12SE故PA//TQ,PA=TQ，即四邊形故PQ//AT，而AT?平面MTS，PQ?平面故PQ//平面MSTB，設(shè)P為AB的中點(diǎn)，底面為平行四邊形BCFE，連接MP,則AP//ES,AP=12ES故AP//QT,故PQ//AT，而AT?平面MST，PQ?平面故PQ//平面MSTC，設(shè)A為ME的中點(diǎn)，底面為平行四邊形GFES，連接QA,設(shè)AQ交MT于H，連接SH，則AQ//FE,故AQ//PS,故AS//PQ，又PQ?平面AQPS，PQ?平面平面AQPS∩平面MST=SH，假設(shè)PQ//平面MST，則PQ即在平面AQPS內(nèi)過點(diǎn)S有兩條直線和PQ都平行，這是不可能的，故此時(shí)平面不成立，C錯(cuò)誤；D，設(shè)底面為平行四邊形MQEF，連接ME,FQ交于點(diǎn)H，F(xiàn)Q∩MT交于則H為FQ的中點(diǎn)，連接SH,由于S為PF的中點(diǎn)，故SH//又PQ?平面PFQ，PQ?平面MST，平面PFQ∩平面MST=SG，假設(shè)PQ//平面MST，則PQ即在平面PFQ內(nèi)過點(diǎn)S有兩條直線和PQ都平行，這是不可能的，故此時(shí)平面不成立，D錯(cuò)誤；故答案為：AB【分析】本題考查直線與平面平行的判定定理.設(shè)A為MS的中點(diǎn)，底面為平行四邊形STFE，連接PA,TA，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)可推出PQ//AT，利用直線與平面平行的判定定理可判斷A選項(xiàng)；設(shè)P為AB的中點(diǎn)，底面為平行四邊形BCFE，連接MP,PC，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)可推出PQ//AT，利用直線與平面平行的判定定理可判斷B選項(xiàng)；設(shè)A為ME的中點(diǎn)，底面為平行四邊形12．【答案】?192【解析】【解答】解：在(2x?y)6的展開式中，含x所以含x5y的項(xiàng)的系數(shù)是故答案為：?192【分析】本題考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng).直接利用二項(xiàng)式定理展開式可得：含x5y的項(xiàng)為13．【答案】7【解析】【解答】解：由題意可得，P(B|A)=P(AB)P(A)=25又因?yàn)镻(A|B)=且P(A|B)=P(AB)故答案為：715【分析】本題考查條件概率的計(jì)算公式.根據(jù)題意，利用條件概率計(jì)算公式可求出P(AB)，再利用對(duì)立事件的概率P(A|B)=1?P(A14．【答案】(0,2【解析】【解答】解：不等式xae?2x等價(jià)于ealnx?2x設(shè)g(t)=et?3t?1，其中t=f所以當(dāng)t<ln3時(shí)，g'(t所以g(x)所以存在t0∈(ln所以若g(t)≥0，則t≤0或t≥tf'所以在(0,a2在(a2,所以f(x)即a(lna2?1)≤0，又所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0故答案為：(0【分析】本題考查函數(shù)的恒成立問題.利用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為ef(x)?3f(x)?1≥0，再設(shè)g(t)=et?3t?1，求出導(dǎo)函數(shù)15．【答案】（1）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD,CD?平面ABCD，所以因?yàn)镻D與平面ABCD所成的角為45°,PA⊥平面所以∠PDA=45°，且∠PDA=∠APD=45°，所以PA=AD，又E為PD的中點(diǎn)，所以AE⊥PD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD，又CD⊥PA,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD，因?yàn)锳E?平面PAD，所以CD⊥AE，因?yàn)镻D∩CD=D,PD,所以AE⊥平面PCD．（2）解：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，G為△BCD的內(nèi)心，所以G在對(duì)角線AC上．如圖，設(shè)正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)為O，所以O(shè)G=GF,所以CO=CG+OG=(2所以AG=AO+OG=CO+OG=(2所以AG=22AC，又因?yàn)锳B=2由題意知AB,AD,AP兩兩垂直，以AB,AD,AP所在的直線分別為x軸，所以G(2,2所以P(0,所以PG=(又因?yàn)锳E⊥平面PCD，所以平面PCD的一個(gè)法向量為AE=(0設(shè)直線PG與平面PCD所成角為θ，則sinθ=|cos?【解析】【分析】本題考查直線與平面垂直的判定，利用空間向量求直線與平面所成的角.

（1）利用直線與平面垂直的性質(zhì)可證明PA⊥CD，利用等腰三角形的性質(zhì)可證明AE⊥PD，利用正方形的性質(zhì)可證明CD⊥AD，利用直線與平面垂直的判定定理可證明CD⊥平面PAD，進(jìn)而推出CD⊥AE，再利用直線與平面垂直的判定定理可證明結(jié)論；（2）先利用等腰直角三角形內(nèi)心的特點(diǎn)可確定點(diǎn)G的位置，據(jù)此可求出AG=2，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)向量，求出平面PCD的法向量，利用空間向量的夾角計(jì)算公式可求出直線PG與平面PCD所成角.16．【答案】（1）設(shè)小張答對(duì)的題數(shù)為X，則X的可能取值是8，9，P(X=8)=C所以小張答對(duì)題數(shù)的分布列為：X89P91（2）設(shè)事件A表示“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”，事件B表示“一個(gè)問題能被ChatGPT正確回答”，由題意知P(A則P(A)=1?P(AP(B)=P(B∩A)+P(B∩=0.98×0.9+0.18×0.1=0.9【解析】【分析】本題考查超幾何分布，全概率的計(jì)算公式.

（1）根據(jù)條件，可得X的可能取值為8,（2）設(shè)事件A表示“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”，事件B表示“一個(gè)問題能被ChatGPT回答正確”，根據(jù)題意可得：P(A?),P(B|A),P(B|17．【答案】（1）f'曲線y=f(x)在x=2處的切線的斜率k=又因?yàn)閒(2)=0，所以切點(diǎn)為(曲線y=f(x)在x=2處的切線方程為y=2x?4.（2）設(shè)g(x)=fg'當(dāng)x變化時(shí)，g'(x)和x(2(2,+∞)

g-0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)x=2時(shí)，g(x（3）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,當(dāng)a≤1時(shí)，x?a>0，則f(x)x?a>2，即即?2a<f(x)?2x，由（2）得f'令h(x)=f(x)?2x，則h'所以h(x)在(1,又當(dāng)x→1時(shí)，h(x)→?∞，因?yàn)閍≤1，所以?2a≥?2，此時(shí)?2a<f(x)?2x不恒成立，故a≤1不符題意；當(dāng)a>1時(shí)，若x>a，則x?a>0，則f(x)x?a>2，即f(x)>2(x?a)，即由上可知函數(shù)h(x)=f(x)?2x在(a,所以h(x)>h(a)=aln所以?2a≤aln(a?1)?2a，解得a≥2若1<x<a，則f(x)x?a>2，即f(x)<2(x?a)，即由上可知函數(shù)h(x)=f(x)?2x在(1,所以h(x)<h(a)=aln所以?2a≥aln(a?1)?2a，解得a≤2由①②可得a=2，綜上所述，a=2.【解析】【分析】本題考查曲線的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問題.

（1）先求出導(dǎo)函數(shù)f'（2）先求出導(dǎo)函數(shù)g'(x)，令g'(x)>0和g'（3）分a≤1和a>1兩種情況討論，討論不等式是否成立；在a>1時(shí)，再分x>a和1<x<a兩種情況討論，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出函數(shù)的最值，據(jù)此可列出關(guān)于a的不等式，解不等式可求出實(shí)數(shù)a的值.18．【答案】（1）拋物線C2的焦點(diǎn)為F(0,1（2）若直線MN與y軸重合，則該直線與拋物線C2所以，直線MN的斜率存在，設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，點(diǎn)M(x1,聯(lián)立x2=4yy=kx+1Δ=16k2+16>0OM（3）設(shè)直線NO、MO的斜率分別為k1、k2，其中k1聯(lián)立x24+y2點(diǎn)A在第三象限，則xA點(diǎn)B在第四象限，同理可得xB且k1S=≥2當(dāng)且僅當(dāng)k1∴S△OMN【解析】【分析】本題考查拋物線方程，直線與拋物線的位置關(guān)系.

（1）根據(jù)拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出p（2）設(shè)直線MN的方程為y=kx+1，與拋