第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解平面向量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系,掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.積累·必備知識(shí)01回顧教材,夯實(shí)四基1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=

.若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

.不共線有且只有λ1e1+λ2e2基底平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底,反之亦然.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量,叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=

,a-b=

,λa=

,|a|=.互相垂直(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(x2-x1,y2-y1)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量,無論起點(diǎn)在什么位置,它們的坐標(biāo)都是相同的.4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b?

.x1y2-x2y1=0√1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”).(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底.(

)(2)設(shè)a,b是平面內(nèi)的一個(gè)基底,若實(shí)數(shù)λ1,μ1,λ2,μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.(

)(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件可以表示成.(

)(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換其坐標(biāo)不變.(

)××√2.(多選題)下列各組向量中,可以作為基底的是(

)A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,3),e2=√√3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,則x的值是(

)A.-6 B.6 C.9 D.12√解析:因?yàn)閍∥b,所以4×3-2x=0,所以x=6.故選B.4.已知向量a=(1,2),b=(-1,2),則|3a-b|=

.

解析:因?yàn)橄蛄縜=(1,2),b=(-1,2),所以3a-b=3(1,2)-(-1,2)=(4,4),所以|3a-b|=5.設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底,則向量a=e1+λe2與b=-e1+2e2共線的充要條件是λ=

.

-2解析:依題意a與b共線,應(yīng)滿足a=mb(m∈R),即e1+λe2=m(-e1+2e2),又e1,e2不共線,所以解得λ=-2.02提升·關(guān)鍵能力類分考點(diǎn),落實(shí)四翼考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用[例1](1)如果e1,e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底的是(

)A.e1與e1+e2 B.e1-2e2與e1+2e2C.e1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與6e2+2e1√√平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一個(gè)基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.[針對(duì)訓(xùn)練](1)(2024·浙江紹興模擬)在△ABC中,D是線段BC上一點(diǎn),滿足BD=2DC,M是線段AD的中點(diǎn),設(shè),則(

)√考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算√解析:(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(0,0).不妨設(shè)AB=1,則CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),(4,7)(1)巧借方程思想求坐標(biāo):若已知向量兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo),解題過程中注意方程思想的應(yīng)用.(2)向量問題坐標(biāo)化:向量的坐標(biāo)運(yùn)算,使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行,實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化,將數(shù)與形結(jié)合起來,使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且,則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

)A.(2,) B.(2,-)C.(3,2) D.(1,3)√(-3,2)(-6,21)考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示[例3](1)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),則λ=

.

解析:(1)由題意得2a+b=(4,2),因?yàn)閏=(1,λ),c∥(2a+b),所以4λ-2=0,解得λ=.(1)向量共線的兩種表示形式設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2):①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b?x1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用②.(2)兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行),可解決三點(diǎn)共線的問題;另外,利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值.[針對(duì)訓(xùn)練](1)已知向量e1=(1,1),e2=(0,1),若a=e1+λe2與b=-(2e1-3e2)共線,則實(shí)數(shù)λ=

.

解析:(1)由題意知a=e1+λe2=(1,1+λ),b=-(2e1-3e2)=(-2