第03講導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性

T模塊導(dǎo)航—T素養(yǎng)目標(biāo)—

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，提升直觀想象

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）和邏輯推理的核心素養(yǎng).

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，提升邏輯

推理的核心素養(yǎng).

【考點(diǎn)一：原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系】

3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

【考點(diǎn)二：求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

心素養(yǎng).

【考點(diǎn)三：求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

【考點(diǎn)四：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值（范圍）】

【考點(diǎn)五：利用單調(diào)性解不等式】

【考點(diǎn)六：利用單調(diào)性比較大小】

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

6模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理-----------------------------

一、函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)/（X）的正負(fù)之間的關(guān)系

①單調(diào)遞增：在某個(gè)區(qū)間（。力）上，如果/（0＞0,那么函數(shù)y=Ax）在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增；

②單調(diào)遞減：在某個(gè)區(qū)間（a,b）上，如果/（x）＜0,那么函數(shù)尸/㈤在區(qū)間（。力）上單調(diào)遞減.

③如果在某個(gè)區(qū)間3,6）內(nèi)恒有f（x）=0,那么函數(shù)尤）在這個(gè)區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)函數(shù).

【注意】

（1）在某區(qū)間內(nèi)/'（尤）＞0（/'（1）＜0）是函數(shù)/（X）在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充分不必要條件；

（2）可導(dǎo)函數(shù)/（力在上是增（減）函數(shù)的充要條件是對(duì)VxG（a,b）,都有/'（%"0（/（X）＜O）且

/'（%）在（a,b）上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

2、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟

（1）確定函數(shù)/（x）的定義域；

⑵求/,（%）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/'（X）〉0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

（4）解不等式r（x）＜o(jì),解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

二、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

1、函數(shù)/（X）在區(qū)間D上單調(diào)增（單減）=/。）20（40）在區(qū)間口上恒成立；

2、函數(shù)/（尤）在區(qū)間D上存在單調(diào)增（單減）區(qū)間=/'。）＞0（＜0）在區(qū)間口上能成立；

3、已知函數(shù)/（“在區(qū)間D內(nèi)單調(diào)n/'（X）不存在變號(hào)零點(diǎn)

4、已知函數(shù)”X）在區(qū)間D內(nèi)不單調(diào)n/'（x）存在變號(hào)零點(diǎn)

三、研究函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法

1、研究一個(gè)函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系時(shí)，注意抓住各自的關(guān)鍵要素，對(duì)于原函數(shù)，要注意其

圖象在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；而對(duì)于導(dǎo)函數(shù)，則應(yīng)注意其函數(shù)值在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)大

于零，在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)小于零，并分析這些區(qū)間與原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是否一致。

2、函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值變化得快，這時(shí)，函數(shù)

的圖象就比較“陡峭”（向上或向下）；如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較小，那么在這個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)

值變化得慢，函數(shù)的圖象就“平緩”一些.

常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)情況如下表所示.

圖象

JL0JKJL

1

了（無(wú)）變化/W＞o/?＞0r（x）＜o(jì)r?＜o(jì)

規(guī)律且越來(lái)越大且越來(lái)越小且越來(lái)越小且越來(lái)越大

函數(shù)值變函數(shù)值增加函數(shù)值增加函數(shù)值減小函數(shù)值減小

化規(guī)律得越來(lái)越快得越來(lái)越慢得越來(lái)越快得越來(lái)越慢

0＞模塊三核心考點(diǎn)舉一反三

【考點(diǎn)一：原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系】

一、單選題

1.（23-24高二下?四川成都?期中）函數(shù)y=f（x）在定義域，*3］內(nèi)可導(dǎo)，記y=f⑺的導(dǎo)函數(shù)為y=

y=f?0）的圖象如圖所示，貝卯=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（）

【答案】B

【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.

【詳解】若要y=r（x）＞0,則由圖可知

故y=〃x）的單調(diào)增區(qū)間為11,￡|,

故選：B.

2.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖是函數(shù)/'（尤）的導(dǎo)函數(shù)尸（無(wú)）的圖象，則（）

A./⑺在區(qū)間（0,。）內(nèi)是常函數(shù)B./（X）在區(qū)間（a,c）內(nèi)是減函數(shù)

C.在區(qū)間（。⑷內(nèi)是增函數(shù)D./（X）在區(qū)間（d,e）內(nèi)是增函數(shù)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)/（久）的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性與尸（x）的函數(shù)值間的關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即

可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由0<x<a時(shí)，f\x)=C(正實(shí)數(shù))，

則/(x)在區(qū)間(0,。)內(nèi)是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，當(dāng)avxvb時(shí)，/?(%)>0,當(dāng)hvxvc時(shí)，/?(%)<0,

所以在區(qū)間(a,c)內(nèi)先增后減，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，當(dāng)c<x<d時(shí)，/?(x)<0,在區(qū)間(G")內(nèi)是減函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，當(dāng)d<x<e時(shí)，-(力>0,/(村在區(qū)間(〃,e)內(nèi)是增函數(shù)，所以D正確.

故選：D.

3.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))函數(shù)/(X)在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為尸(%),且尸(x)的圖象如圖所示,

則“X)的圖象可能是()

【答案】B

【分析】利用排除法，根據(jù)尸(久)的符號(hào)判斷了(x)的單調(diào)性，可排除A,D；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義排除

C.

【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)圖象可知/(久)在區(qū)間(-8,0)先正后負(fù)，在區(qū)間(0,+?)先負(fù)后正，

故函數(shù)“X)在區(qū)間(-8,0)內(nèi)先遞增后遞減，在區(qū)間(0,+?)內(nèi)先遞減后遞增，

結(jié)合4個(gè)選項(xiàng)的圖象，可排除A,D；

由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值是變化的，即函數(shù)/(%)在遞減區(qū)間的斜率也是變化的，排除C,

故選：B.

4.(23-24高二下?四川綿陽(yáng)?期末)已知了=尸("為函數(shù)/㈤的導(dǎo)函數(shù)，如圖所示，則的大致圖象為

'y=f'M

-1\Olx

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性排除B,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的大小變化確定選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閞(x)?O,所以“X)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又因?yàn)閺V(無(wú))在(-8,0)單調(diào)遞減，可以得出/(x)的切線斜率逐漸變小，A,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)正確.

故選：D.

5.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象如圖，則不等式步的解集為

C.(-雙0)口、,21D.(-l,0)u(l,3)

【答案】C

【分析】由f(x)的圖象得到/(%)的單調(diào)性，從而得到(的正負(fù)，即可得解.

【詳解】由f(x)的圖象可知，在(-8,$和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(；,2)上單調(diào)遞減,

則當(dāng)時(shí)，廣。)>0,xe(2,+?))時(shí)，廣。)>0,

xe(；2)時(shí)，((了)<0,所以不等式的解集為(f。)嗎，2).

3J

故選：c.

【考點(diǎn)二：求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

一、單選題

1.(23-24高二下?河北秦皇島?階段練習(xí))函數(shù)“M=；X3-；X2-2X+1的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(―8,—1)和(2,+co)D.(―co,—2)和(1,+oo)

【答案】A

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解尸(力<。的解集，即是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由題意得r(x)=f-x-2=(x+l)(x-2),

令尸⑺<0,得-K2,所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,2).

故選：A

2.(23-24高二下.江蘇南通?階段練習(xí))函數(shù)>=見(jiàn)匚口的單調(diào)增區(qū)間為()

X

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得答案.

【詳解】函數(shù)y=電區(qū)的定義域?yàn)?0,+?)，

X

,(lnx+1)x-(lnx+l)xfl-(lnx+l)-Inx

'v=----------X-2----------=-----X--2----=---X-2-，

由y>0MInx<0,解得0<x<l,

所以y=電區(qū)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1).

故選:B.

P'+1

3.(24-25高二上?全國(guó)裸后作業(yè))函數(shù)〃尤卜班+71■的單調(diào)增區(qū)間為()

A.(0,1)B.(O,e)C.(l,+oo)D.(e,+oo)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得廣(尤)=(無(wú)T—+1),結(jié)合尸(力>。的解集，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間.

【詳解】由函數(shù)〃》)=12+巨?，可得其定義域?yàn)?。,+"),

日/⑴J產(chǎn)-（：+1）（1乂：，+1）,

令尸（x）>0,解得x>l,所以函數(shù)〃x）的單調(diào)增區(qū)間為（L"）.

故選：C.

4.（23-24高二下?北京通州?期中）定義在區(qū)間（-兀㈤上的函數(shù)〃x）=xsinx+cosx,則〃尤）的單調(diào)遞減區(qū)

間是（）

【答案】D

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令尸（無(wú)）<。，利用三角函數(shù)單調(diào)性解不等式即可求得結(jié)論.

【詳解】由/⑺=xsinx+cosxn]*^/r（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令/'（x）=xcosxv。，

當(dāng)（一兀,0）時(shí)，由xcosx<0可得cos%>0,解得-^?，。｝

當(dāng)（0,兀）時(shí)，由xcosx<0可得cosx<0,解得XE]/，兀｝

因此可得“X）在（f㈤的單調(diào)遞減區(qū)間是[go]和1，。.

故選:D

5.（23-24高二下?吉林?期中）函數(shù)/（x）=xe-，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.(1,+<?)B.C.(一8,-1)D.(-1,+℃)

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/（x）=xeT的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得/（》）=（1-外尸，

由1f（x）>0,得x<l,所以函數(shù)/（>=*'的單調(diào)遞增區(qū)間是（TO,1）.

故選：B

【考點(diǎn)三：求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間】

一、解答題

2

1.（24-25高二上?全國(guó)裸后作業(yè)）己知函數(shù)”x）=（（awO）,討論〃x）的單調(diào)性.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】求導(dǎo)，分4>0和。<0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷了(尤)的單調(diào)性.

【詳解】由題意知：函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且:(x)="(2：x),

令r(x)=0,解得x=。或2,

當(dāng)。>0時(shí)，令尸(x)<0,解得x<0或無(wú)>2；令r(x)>0,解得0cx<2；

可知在區(qū)間(-右0)和(2,+力)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)"0時(shí)，令r(x)<0,解得0<x<2；令r(x)>0，解得x<0或x>2；

可知〃x)在區(qū)間(-g0)和(2,+力)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，

綜上所述：

當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間(-力,0)和(2,+8)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在區(qū)間(-%,。)和(2,+力)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減.

2.(24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))設(shè)函數(shù)/(x)=d+依-3a21nx,其中。eR.討論/'(x)的單調(diào)性.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】求導(dǎo)得導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為x或彳=-￡即對(duì)。分類討論即可求解.

【詳解】〃無(wú))的定義域是(0,+功，

若a=0,/(x)=/,函數(shù)f(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

、r,cq/■,,、c2x2+ax—3a2(x—a)Clx+3a)

當(dāng)。力0時(shí)，f\x)=2x+a----=------------=-------------,

XXX

3

令廣(x)=0,解得無(wú)=a或x=

若"0,貝!J當(dāng)。<尤<-31時(shí)，/。)<°，當(dāng)x>-3?時(shí)，rw>o,

所以/(*)在上單調(diào)遞減，在1上單調(diào)遞增；

若a>0,貝！J當(dāng)0<x<a時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)尤〉。時(shí)，f\x)>0,

所以/(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在(。，―)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)。=0時(shí)，在(0,+◎上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在］。，-TQ上單調(diào)遞減，在［-］，+"］上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(0,。)上單調(diào)遞減，在3,y)上單調(diào)遞增.

3.(23-24高二下.寧夏銀川.階段練習(xí))已知函數(shù)(2a+l)x+alnx+a.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)aeR時(shí)，求/（x）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴單調(diào)遞增區(qū)間為（1,收），單調(diào)遞減區(qū)間為,，1）

（2）答案見(jiàn)解析

【分析】（D根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，求出單調(diào)區(qū)間即可；

（2）對(duì)含參函數(shù)求導(dǎo)，從而得出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，再通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的根的討論，得出單調(diào)區(qū)間.

【詳解】（1）當(dāng)4=1時(shí)，/（x）=f_3x+lnx+l,定義域?yàn)椋ā?+e）,

r（x）=2x-3+-=（2x-1）（x-1\

XX

令［（元）＞0,得.（1,+8）,令尸（尤）＜0,得

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,￡|,（1,+a））,單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）/（x）=x2-（2a+i）x+a}nx-\-a,定義域?yàn)椋ā?+。）,

:⑺=2*一（24+1）+幺=（-1）"一4）,令「⑴犯得」或x=a.

①當(dāng)。（0時(shí)，當(dāng)xe［o,1時(shí)，尸（尤）＜0,/（X）單調(diào)遞減，

當(dāng)無(wú)不；,+“時(shí)，r（x）＞0,〃x）單調(diào)遞增；

②當(dāng)0＜。＜；時(shí)，當(dāng)尤e（O,a）和時(shí)，/（尤）＞0,/（%）單調(diào)遞增，

當(dāng)xe,』時(shí)，r（x）＜0,〃x）單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)，尸（無(wú)）上。對(duì)Vxe（O,—）恒成立，所以在（0,+。）單調(diào)遞增;

④當(dāng)時(shí)，當(dāng)無(wú)e,,；］和xe（a,—）時(shí)，/（尤）＞0,f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，尸（x）＜0,/⑺單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)aWO時(shí)，/（尤）在，單調(diào)遞減，在1;，單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a＜；時(shí)，在［a,gj單調(diào)遞減，在（0,。）和，,+8）單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，”力在（0,+司單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，”力在單調(diào)遞減，在(0,；］和3y)單調(diào)遞增.

4.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=x(l-山丘).

(1)若曲線"X)在x=e處的切線與直線＞垂直，求左的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性.

【答案】⑴左=1

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(D對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合題意有，r(e)=-ln(te)=-l,即可求解左值；

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分左＞0和左＜0兩種情況討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=x(l-In"),TO,所以解(x)=-ln(H),

曲線〃x)在X=e處的切線與y=x垂直，

所以/'(e)=-ln(⑹=一1,得4=1；

(2)由/(x)=x(l-InAx)得/'(x)=—ln(Ax),

當(dāng)人＞0時(shí)，〃力的定義域?yàn)?0,+?),

令/''("=0得%=：，

當(dāng)時(shí)，尸(無(wú))〉0,當(dāng)尤時(shí)，f?(*)＜0

所以在/J上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)左＜0時(shí),“X)的定義域?yàn)?y,o),

令/'("=。得%=

當(dāng)時(shí)，f?(久)＜0,當(dāng)時(shí)，f?(久)＞0

所以〃x)在「巴￡|上單調(diào)遞減，在［,()］上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)人＞0時(shí)，小)在(。,￡|上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)左＜0時(shí)，在「雙￡|上單調(diào)遞減，在］，。)上單調(diào)遞增.

5.(24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/(x)=^——--alnx(aGR).

X

⑴求曲線y=/(%)在點(diǎn)(11⑴)處的切線方程;

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】(l)，=e—a

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(D利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)求出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分aWO,0<a<l,l<a<e,a=e和a>e討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從

而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

【詳解】(D由可得f(x)=e'(xl)s+a,

XX

貝！I尸⑴=0且f(D=e-a,

所以曲線y=在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y=e-。.

(2)由函數(shù)/(x)=￡二-alnx的定義域?yàn)?0,+⑹，且外的=史生二"，

xx2

若aWO,令/'(x)=0,解得*=1,當(dāng)xw(0,l)時(shí)，fr(x)<0,當(dāng)xe(l,+w)時(shí)，f'(x)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+s).

若?！?,令/'(x)=0,解得x=l或x=lna,

①若InaVO,即0<aVl時(shí)，當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f\x)<0,當(dāng)尤e(l,+oo)時(shí)，f\x)>0,

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

②若0<lna<l,即l<a<e時(shí)，當(dāng)xe(0,lna)時(shí)，f'{x}>0,當(dāng)xe(lna,l)時(shí)，f'{x)<0,當(dāng)xe(l,+(?)時(shí)，

Ax)>0,

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為Qna,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(0」na),(l,+8).

③若Ina=1,即。=e時(shí)，可得(。)2。且等號(hào)不恒成立，

所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+A).

④若Ina>l,即a>e時(shí)，當(dāng)xw(0,l)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe(l,lna)時(shí),f\x)<0,當(dāng)xe(ln>+8)時(shí),f(x)>0,

所以函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,Ina),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(Ina,+8).

綜上，當(dāng)aWl時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(L+A)；

當(dāng)l<a<e時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(Ina,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,lna),(L+s)；

當(dāng)a=e時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+s)；

當(dāng)a>e時(shí)，/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(l,lna),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(Ina,+8).

6.(23-24高二下?廣東中山?階段練習(xí))已知函數(shù)/1(X)=lnx+加-x+a+1.

(D證明曲線y=/(x)在x=i處的切線過(guò)原點(diǎn)；

⑵若a>0,討論/W的單調(diào)性；

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(D求導(dǎo)，可得“1)=2°,進(jìn)而可得切線方程為y-2a=2a(x-l),進(jìn)而可得恒過(guò)原點(diǎn)；

(2)1(x)=2a—x+l(x>0),分4=0,a>^-,0<。<：三種情況討論可得/(x)的單調(diào)性.

x88

【詳解】(D由題設(shè)得尸(元)=,+2依一l(x>0),所以廣(1)=1+24-1=2%

又因?yàn)?⑴=。-1+“+1=2”，所以切點(diǎn)為(1,2a),斜率左=2a,

故切線方程為丁-2“=2a(工-1),即>=2以，所以y-0=2a(x-0)恒過(guò)原點(diǎn).

(2)由(1)得尸(x)=2"—-x+l(x>0),

X

—Y+1

①4=0時(shí)，/'(%)=-----,

當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，r(x)>0,/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)%￡(1,+8)時(shí)，r(X)<0,/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減；

令［％)=2辦2_%+1,則A=l-8a

②a>0且A=l—8aW0,即時(shí)，f'(x)>0,/⑴在(0,+刃)上單調(diào)遞增，

8

0<。<一時(shí)，A=1—8f7>0,

8

t［x)=2ax1-x+l>Q,貝IJo<x<匕邊丑，或》>1±2匠近，得「(無(wú))>0

4〃4。

所以/(X)在fo,Iz^ElZ］上單調(diào)遞增，在f巨呼,+J上單調(diào)遞增；

I4a)I4aJ

t(x)=2ax2-x+l<0,則+貝廳'(x)<0,

4a4〃

所以/(x)在［匕尸￡匕手電］上單調(diào)遞減，

綜上：。=0時(shí)，/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增；F(X)在(L+◎上單調(diào)遞減；

時(shí)，在(0,+8)上單調(diào)遞增；

8

0<。」時(shí),/(X)在0,1一i;8a上單調(diào)遞增,在1+號(hào)~8“，+8上單調(diào)遞增;

8

公)在［千,咤鴕］上單調(diào)遞減.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)情，利用分類討論法是求解含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常用的方法.

【考點(diǎn)四：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍)】

一、單選題

1.（24-25高二上?浙江寧波?期中）若函數(shù)/（x）=得在［2,+8）上單調(diào)遞增，則上的取值范圍為（）

4

B.k<-lC.k<lD.k<——

3

【答案】D

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可

【詳解】由得/⑴

又“X）在［2,y）上單調(diào)遞增，

所以r⑺>0在［2,田）上恒成立，即依2+2苫-左40在［2,e）上恒成立，

22

即"1一在［2,e）上恒成立，只需求出1一的最小值即可，

----X----X

1Qo1

又在［2,+向單調(diào)遞減，所以則一91<0,

XZ5t

424

所以一耳47<0,故k4-飛.

故選：D

2.（23-24高二下?廣東佛山?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=2無(wú)+向-2在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為（）

A.（-oo,-3］B.（-oo,-3）

C.（-oo,-10］D.（-oo,-10）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知廣（X）=2+：+?V0在［1,2］上恒成立，將問(wèn)題再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可.

【詳解】尸（無(wú)）=2+：+*,若函數(shù)仆）=22』三在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

即（（無(wú)）=2+』+=W0在［1,2］上恒成立，

XX

2

即QV-2x-x在［1,2］上恒成立.

令/犬）二一2一一孫則力⑴在［1,2］上單調(diào)遞減，/z（x）min=/z（2）=-2x4-2=-10,

所以a4/z（x）111ta卬4一10,

即6ZG（-a?,-10］

故選：C.

3.(23-24高二下?吉林四平?期中)若函數(shù)〃尤)=In尤+g以2+3在區(qū)間0,4)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

A-DB.(f焉一…)

C.D.(0,1)

【答案】A

【分析】對(duì)/(x)求導(dǎo)，分和。<0兩種情況，結(jié)合/'(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，求出。的取值

范圍即可.

2

【詳解】/(x)=lnx+l?x+3,;(月」+以=竺±1,

當(dāng)時(shí)，尸(無(wú))>0,不符合題意；

當(dāng)時(shí)，令/(x)<0,解得無(wú)>g,

f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)減區(qū)間，

?/—<4,解得a<-二.

Valo

實(shí)數(shù)”的取值范圍是1-8,-.

故選：A.

4.(23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí))函數(shù)/(%)=(lr)lnx+依在(1,+a))上不單調(diào)則a的取值范圍是()

A.ae(^o,0)B.6ze(l,+oo)

C.ae(-l,+oo)D.aG(0,+oo)

【答案】D

【分析】由〃x)在(L-)上不單調(diào)，可得r(x)在",欣)上必有零點(diǎn)，利用。=皿-1+1,構(gòu)造函數(shù)

z(x)=lnx-：+l,再求出”的取值范圍.

【詳解】依題意r(x)=-lnx+J+a-l,

因?yàn)楹瘮?shù)〃%)=(1-X)lnx+辦在(l,+oo)上不單調(diào)，

所以廣⑴在(1,y)上有零點(diǎn)，

令g(%)=-lnx+』+Q-l,令g(%)=0,得<2=lnx--+1,

令z（x）=lnx」+l,貝”（%）=工+二,

xxx~

當(dāng)X>1時(shí)，z［x）>O,z（x）單調(diào)遞增,又Z⑴=0,

所以z（x）>0,故a=z（x）>0,

所以。的取值范圍是（0,包）.

故選：D

二、填空題

9

5.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)〃尤）=1——Inx在區(qū)間［1-。,2-句內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取值范圍

X

是.

【答案】［。,1）

【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可知“X）的單調(diào)增區(qū)間為（0,2］,結(jié)合題意列式求解即可.

【詳解】由題意可知：/（X）的定義域?yàn)椋?,+?）,且尸（同=》-：=不，

令廠（久）20,得0<xV2,可知/（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0,2］,

/\r-1f1—Q>0

若函數(shù)/⑺在區(qū)間［?乂-力內(nèi)單調(diào)遞增，依題意2a<2,解得?！?1，

所以。的取值范圍是［0,1）.

故答案為：［0,1）.

6.（23-24高二上?山西長(zhǎng)治?期末）若函數(shù)〃x）=：（a>0且"1）在區(qū)間［，+田）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

【答案】上2,心）

【分析】函數(shù)求導(dǎo)后，“X）在區(qū)間1,+，）上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為尸（X）NO在區(qū)間［,+，）上恒成立，然后

利用函數(shù)單調(diào)性求最值即得.

【詳解】由函數(shù)/（尤）=：">0且a/1）在區(qū)間心,+8）上單調(diào)遞增，

得:（力=加嗎-優(yōu)=優(yōu)（*-1）20在區(qū)間（；,+e］上恒成立，

XX、乙）

又三在區(qū)間（g,+，|上恒正，只需滿足xlna-1"在區(qū)間■，+/］上恒成立即可，

令g（x）=xlna—1,

若貝!Jlna<0,則一次函數(shù)g(x)=xlna-l在區(qū)間上單調(diào)遞減，不可能恒正;

若貝!Jlna>0,則一次函數(shù)g(x)=xlna-l在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以只需g(x)>g')。，即；lna-120,解得aNe?,

故答案為：[e1+8).

【考點(diǎn)五：利用單調(diào)性解不等式】

一、單選題

1.(23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x+lnx+cosx,5g/(x2-4)</(3x),則實(shí)數(shù)x的

取值范圍是()

A.[-1,4]B.(-oo,2)u[4,+oo)

C.(0,4]D.(2,4]

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)/(%)的單調(diào)性，即可根據(jù)單調(diào)性的定義解出.

【詳解】因?yàn)?(x)=x+lnx+cosx(x>0),

所以r(x)=l+1-sinx>0,即在(0,+?)上函數(shù)”X)單調(diào)遞增，

X2-4>0

由/(X2-4)</(3X)可得，<3x>0,解得2。44,即xe(2,4].

尤2-443x

故選：D.

2.(24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè))已知了。)的定義域?yàn)镽,/(D=2023,且/'(x)26x恒成立，則不等式

/(x)>3尤2+2020的解集為()

A.(-1J)B.(1,+℃)C.D.(1,+co)

【答案】B

【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后應(yīng)用單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令函數(shù)g(尤)=/(尤)-3爐,因?yàn)間'(x)=r(x)-6xN0,所以解x)在R上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(D=〃1)-3=2020,所以不等式/。)>3爐+2020等價(jià)于g(x)>g⑴，

所以無(wú)>1.

故選:B.

3.(23-24高二下.江蘇揚(yáng)州.期中)已知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),>/(l)=e-1,f'{x}+x>ex,則

不等式2e—2/(x)>爐的解集為()

A.(0,1)B.(0,+8)C.(l,+oo)D.(O,l)|J(l,-H?)

【答案】A

【分析】由題設(shè)不等式整理后構(gòu)造函數(shù)gQ)=/(x)-e，+；Y滿足g，(x)>o,得出y=g(x)在(0,+?)上單調(diào)

遞增，整理待求不等式，利用函數(shù)，=g。)的單調(diào)性即可求得.

【詳解】由r(x)+x>e，可得/⑺―e，+x>0,gp(/(x)-e'+|x2y>0,

設(shè)g(元)=〃x)-e'+gx2,xe(0,+s),則由g'(x)>0可得，y=g(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增.

Xg(l)=/(l)-e+|=e-1-e+|=0,

由2e「2/(x)>f可得，/(x)-eA+1x2<0,即g(x)<g(l),解得0<x<l.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用構(gòu)建函數(shù)的單調(diào)性求抽象不等式的解集的問(wèn)題，屬于難題.

解題的關(guān)鍵在于觀察已知不等式和題設(shè)不等式的組成，提煉出構(gòu)造函數(shù)的基本形式，結(jié)合函數(shù)定義域和函

數(shù)值等條件，利用單調(diào)性求解抽象不等式.

二、填空題

4.(23-24高二下?廣東深圳?期末)已知函數(shù)〃x)=2x—sin2x,則不等式/(n+〃3》_4)<0的解集

為.

【答案】(-4,1)

【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷奇偶性，即可求解不等式.

【詳解】由/(龍)=2x-sin2x得r(x)=2-2cos2x=2(l-cos2x)N。，

所以函數(shù)〃x)=2x-sin2x是R上的增函數(shù)，

又由=—2x-sin(-2力=-(2尤-sin2x)=-/⑺得函數(shù)/⑺是奇函數(shù)，

則由/(爐)+/(3工一4)<0得/(/)<一/(3萬(wàn)-4)=〃4-3刈，

所以X?<4-3了=f+3x-4<0=>(x-l)(x+4)<0,

解得-4<x<l.

故答案為：(-M).

5.(23-24高二下?天津北辰?期中)已知〃x)是定義在(一,0)(0,-)上的奇函數(shù)，/'⑺是“X)的導(dǎo)函

數(shù)，"1)/0,且滿足(⑺lnx+W<0,則不等式(x—2)/(x)<0的解集為.

【答案】(9,0)，(2,+8)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)lnx,求導(dǎo)判斷函數(shù)為單調(diào)遞減，從而可得在(0,『)上〃”<0,在(e,0)

上，/(x)>0,求出不等式的解集即可.

【詳解】令g(x)=/(x)lnx(x>。),貝！)g(x)=r(x)inx+W<0,

可知g(x)=/(x)lnx在(0,+co)上為減函數(shù)，而g(l)=0,

在(0,1)上，lnx<0,g。)>0,所以/(x)<0；

在(1,+?)上，lnx>0,g(x)<0,而/⑴H0,/(x)<0；

可得在(0,抬)上〃x)<0,

又因?yàn)椤▁)是定義在(f,0)(0,+8)上的奇函數(shù)，則在(7),0)上，/(x)>0,

x>2fx<2

不等式(x-2)/(x)<0等價(jià)于,〃x)<0或解得x>2或x<0,

故不等式的解集為(-力,0)。(2,+力).

故答案為：(-OO,0)U(2,+8).

6.(23-24高二下?四川涼山?期中)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(x),滿足礦(x)+/(x)>0在R上恒成立，

且"1)=2,則不等式獷(x)<2的解集為.

【答案】(-8,1)

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=^G),由題意可得g(x)在R上單調(diào)遞增，不等式4(x)<2可轉(zhuǎn)化為g(x)<g⑴,

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得.

【詳解】令85)=令(力，則有g(shù)'(x)=/(x)+礦(%),

由.礦'(X)+“X)>。在R上恒成立，故g'(x)>0在R上恒成立，

即函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，

由/(1)=2,貝(Jg⑴=lx〃l)=2,

即不等式<2可轉(zhuǎn)化為g(x)<g⑴，

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得x<l,即不等式#(%)<2的解集為(-雙1).

故答案為：

【考點(diǎn)六：利用單調(diào)性比較大小】

一、單選題

1.(23-24高二下?天津?期中)己知函數(shù)〃x)=cos^+e*,且。=〃2)、=c=/(ln2),則〃、b、

C的大小關(guān)系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，求導(dǎo)得/（左）,即可得到/（X）在（。,+e）上單調(diào)遞增，從而可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.

【詳解】由/（x）=cosx+e%nT^/r（x）=-sinx+ex,

當(dāng)兀>0時(shí)，/'（%）=-sinx+ex>-sinx+l>0,

所以〃%）在（0,+。）上單調(diào)遞增，

_1ic1-2In2Ine—In4_

X--ln2=---=---<0,所以=<ln2,

2222

即g<ln2<2,貝！J/g)<〃ln2)<〃2),

所以

故選：D

2.(24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=a=/(/(4)),b=f(f(ln3)),c=f/L2

77

則<7,6,c的大小關(guān)系是（）

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】分類討論，當(dāng)x>l時(shí)，/（x）=—,當(dāng)0<x<l時(shí)，/（x）=--,最后利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)

XX

性即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃尤）=—,得當(dāng)X>1時(shí)，/（x）=—,k（力=上萼，所以“X）在（Le）上單調(diào)遞增,

%XX

在(e,+8)上單調(diào)遞減，所以在(L+s)上的最大值為/(e)=j.

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(%)=--,尸(無(wú))=皿二，所以/?(%)在(0,1)上單調(diào)遞減.

XX

又〃4)=學(xué)=殍=〃2),l<ln3<|<^<2,

42V)2

所以0<〃ln3)</(五)<〃2)=〃4)<<,所以a<c<6.

故選：A.

00

3.(24-25高三上?浙江?期中)已知函數(shù)〃力=1+葭，若。=1嗎0.6,z，=3\c=log53,則有()

A./(?)>/(^)>/(c)B./(Z?)>/(c)>/(a)

C./(&)>/(?)>/(c)D./(c)>/(a)>/(&)

【答案】B

【分析】由已知可得/'(X)為偶函數(shù)，則/(Iog30.6)=/[og3￡|,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),

可得0<log3g<g,b>\,|<C<1,又當(dāng)尤>0時(shí)，由尸⑺>0,可得“X)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可得到答

案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/吠)=新+b且定義域?yàn)镽,則〃-司=b+6'=/卜)，所以/(x)為偶函數(shù),

3

因?yàn)镼=log30.6=log3—<0,

貝!|"logs0.6)=/(-log30.6)=/l-log315

又log3g<log3K=g,Iog3g>log31=0,b=3001>3°=1,

C=log53>log56二;,

c=log53<log55=1,

則;<c<l,所以30tH>log53>log3g,

當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)?'("=e'—ef>0,所以/'(x)為單調(diào)遞增函數(shù),

所以/0)>/(c)>/(a).

故選:B.

4.(24-25高三上?重慶?階段練習(xí))己知a=sin±6=立,c=ln』，則()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】構(gòu)建g(x)=x-sinx,xe[o,l),利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得”;<6,再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)

單調(diào)性可得;<c<從

【詳解】記g(x)=尤-sinx,xe[0,l),則g<x)=l-cosxN。,

可知g(x)在[0,1)上單調(diào)遞增，貝!Jg,卜g(0),即]sing>0,

可得a=sin!<J<=b；

333

又因?yàn)樨?|21n』<l<31n。，即工<歷3<!<且；

⑶⑶223223

所以a<c<b.

故選:B.

5.（23-24高二下?湖北?期末）已知5,>e8,a=3*b=54,c=e5，則a女c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】對(duì)于a6,久。擴(kuò)大適當(dāng)?shù)谋稊?shù)變?yōu)檎麛?shù)幕的形式比較即可；對(duì)于。、，，構(gòu)造函數(shù)比較大小即可

【詳解】對(duì)于久6,同時(shí)12次方可得3,與53,易知甲<53,所以。<6；

對(duì)于4c,同時(shí)4e次方可得5,與e3由題干可知>5‘>e',所以5e>e3即6>c；

對(duì)于“、c,同時(shí)取對(duì)數(shù)可得苧與,，/（x）=—,r（x）=LW竺=0,解得x=e,

3exx

易得〃X）=5'在（O,e）單調(diào)遞增，（e,+8）單調(diào)遞減，易知坐<工吧=[,所以"C.

x3ee

綜上可得a<c<b9

故選：B.

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（23-24高二下?四川南充?期中）函數(shù)y=gY-inx+2的單調(diào)減區(qū)間為（）

A.（-1,1）B.（1,+<?）C.（0,1）D.[1,+<?）

【答案】C

【分析】求導(dǎo)，令>'<0求解可得.

1九21

【詳解】由題知，y=x-L=」,x>o,

XX

令-―-<0,解得0<x<1,

x

所以，函數(shù)y=gV_inx+2的單調(diào)減區(qū)間為（0,1）.

故選：C

2.（23-24高二下?浙江嘉興?期中）函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，y=尸（均為函數(shù)y=/（￡）的導(dǎo)函數(shù)，則

不等式/（“<0的解集為（）

A.（—3,-1）B.（0,1）C.（一3,-1）。（0,1）D.（—oo,+。）

【答案】C

【分析】由〃x）的圖象得到的單調(diào)區(qū)間，從而得到r（x）的取值情況，從而得解.

【詳解】由圖可得/（X）在（F,-3）上單調(diào)遞減，在（-3,-1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在（L”）上

單調(diào)遞增，

所以xe（f,-3）時(shí)/⑺＜0,xe（-3-l）^r（x）＞0,

xe（—1,1）時(shí)（尤）＜0,尤時(shí)（無(wú)）＞0,

所以不等式礦（無(wú)）＜。的解集為（-3,-1）（0,1）.

故選：C

3.（23-24高二下?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)，（x）=xsinx”R,則汐⑴,/"勺大小關(guān)系為（）

A.佃＞〃1）＞佃B.〃1）＞佃＞山）

。?田加怎口可⑴

【答案】A

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】由