第09講基本立體圖形

T模塊導(dǎo)航AT素養(yǎng)目標(biāo)A

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)1.通過(guò)對(duì)實(shí)物模型的觀(guān)察，歸納認(rèn)知棱柱、棱錐、

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）棱臺(tái),圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的的結(jié)構(gòu)特征

模塊三核心考點(diǎn)舉一反三2.能運(yùn)用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征描述現(xiàn)實(shí)

模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)生活中簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)并進(jìn)行有關(guān)計(jì)算

3.了解簡(jiǎn)單組合體的概念及結(jié)構(gòu)特征.靈活運(yùn)用

各種知識(shí)解決組合體問(wèn)題

模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)

一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形,并且

「定義一相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的

多面體叫做棱柱

有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,

由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理

知識(shí)點(diǎn)1空間幾何體的相關(guān)概念

(1)空間幾何體

如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其它因素，那么這些由物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間

幾何體.

（2）多面體

由若干平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體,圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面;

相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).

（3）旋轉(zhuǎn)體

由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

知識(shí)點(diǎn)2棱柱

（1）棱柱的定義

定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，

由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

底面（底）：兩個(gè)互相平行的面

側(cè)面：其余各面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)

（2）棱柱的圖形

三棱柱、四棱柱、五棱柱、

（3）棱柱的分類(lèi)及表示

①按棱柱底面邊數(shù)分類(lèi)：

②按棱柱側(cè)棱與底面位置關(guān)系分類(lèi)：

③直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱

直棱柱、斜棱柱

斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱

正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱

表示法：用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如圖棱柱A6coM-A'5'C'D'EF'

知識(shí)點(diǎn)3棱錐

（1）棱錐的定義

定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐

底面：多邊形面

側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各三角形面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)

（2）棱錐的圖形

（3）棱錐的分類(lèi)及表示

按照棱錐的底面多邊形的邊數(shù)，棱錐可分為：三棱錐、四棱錐、五棱錐……

特別地，三棱錐又叫四面體，底面是正多邊形，且頂點(diǎn)與底面中心的連線(xiàn)垂直于底面的棱錐叫做正棱錐

表示法：棱錐也用頂點(diǎn)和底面各頂點(diǎn)字母表示，如圖棱錐S-A5CD

知識(shí)點(diǎn)4棱臺(tái)

（1）棱臺(tái)的定義

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)

上底面：原棱錐的截面

下底面：原棱錐的底面

側(cè)面：除上下底面以外的面

側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊

頂點(diǎn)：側(cè)面與上（下）底面的公共頂點(diǎn)

（2）棱臺(tái)的圖形

叭

、卜七7々底面三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái).....

4點(diǎn)

（3）棱臺(tái)的分類(lèi)及表示

由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)

用各頂點(diǎn)字母表示棱柱，如棱臺(tái)A5CD-AB'C'。'

知識(shí)點(diǎn)5圓柱

(1)圓柱的定義

以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸

圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

圓柱側(cè)面的母線(xiàn)：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊

(2)圓柱的圖形

(3)圓柱的表示

圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖，圓柱0。

知識(shí)點(diǎn)6圓錐

(1)圓錐的定義

以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面

側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面

母線(xiàn)：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊

錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體

(2)圓錐的圖形

(3)圓錐的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓錐S0

知識(shí)點(diǎn)7圓臺(tái)

(1)圓臺(tái)的定義

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)

軸：圓錐的軸

底面：圓錐的底面和截面

側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分

母線(xiàn)：圓錐的母線(xiàn)在底面與截面之間的部分

臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體

（2）圓臺(tái)的圖形

（3）圓臺(tái)的表示

用表示它的軸的字母表示，如圖，圓臺(tái)0。

知識(shí)點(diǎn)8球的結(jié)構(gòu)特征

（1）定義：半圓以它的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

球體，簡(jiǎn)稱(chēng)球

（2）相關(guān)概念：

球心：半圓的圓心

半徑：連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段

直徑：連接球面上兩點(diǎn)并經(jīng)過(guò)球心的線(xiàn)段

6模塊三核心考點(diǎn)舉一反三-----------------------

考點(diǎn)一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.（24-25高二?上海?隨堂練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）.

A.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行

B.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面

C.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高

D.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】根據(jù)棱柱的幾何特征得到A正確；舉出反例，得到BCD錯(cuò)誤；

【詳解】A選項(xiàng)，棱柱的面中，上下底面必平行，側(cè)面可能平行，故至少有兩個(gè)面互相平行，A正確；

B選項(xiàng)，棱柱中兩個(gè)互相平行的平面可能是棱柱的底面，也可能是側(cè)面，比如正方體，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，若棱柱為斜棱柱，此時(shí)棱柱中側(cè)棱不是棱柱的高，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，它的底面可能是平行四邊形，比如長(zhǎng)方體，D錯(cuò)誤.

故選：A

【變式1-1］（2024高一下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中正確的是（）

A.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、判斷幾何體是否為棱柱

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，如圖所示滿(mǎn)足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，但該幾何體不是棱柱，故A

不正確；

對(duì)于B中，正六棱柱中有四對(duì)互相平行的面，但只有一對(duì)面為底面，所以B不正確；

對(duì)于C中，長(zhǎng)方體、正方體的底面都是平行四邊形，故C不正確；

對(duì)于D中，根據(jù)棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，可得棱柱的側(cè)棱都相等，且側(cè)面都是平行四邊形，所以D正確.

故選：D.

【變式1-2］（2024高一下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.棱柱中相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做側(cè)棱

B.棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同

C.棱柱中兩個(gè)互相平行的面一定是棱柱的底面

D.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、判斷幾何體是否為棱柱

【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，判斷選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確.

【詳解】A錯(cuò)誤，底面和側(cè)面的公共邊不是側(cè)棱；

B正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱的兩個(gè)底面一定是全等的，故棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；

C錯(cuò)誤，正六棱柱的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面互相平行；

D錯(cuò)誤，“其余各面都是平行四邊形”并不能保證“相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”，如圖所示的幾何

體就不是棱柱.

故選：B.

【變式1-3］（多選）（23-24高一下?山東青島?期中）下列有關(guān)平行六面體的命題正確的是（）

A.平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形

B.平行六面體的八個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上

C.平行六面體的四個(gè)側(cè)面不可能都是矩形

D.平行六面體任何兩個(gè)相對(duì)的面都可以作為它的底面

【答案】AD

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】由平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，可判斷選項(xiàng)A；由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，可判斷選

項(xiàng)B；只有平行六面體的側(cè)棱垂直于底面時(shí)，四個(gè)側(cè)面都是矩形，可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)平行六面體定義，可

判斷選項(xiàng)D.

【詳解】平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，所以平行六面體中相對(duì)的兩個(gè)面是全等的平行四邊形，

故A正確；

若平行六面體的8個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則平行四邊形ABCZ）四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓周上，

而圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，而平行四邊形ABCD對(duì)角不一定互補(bǔ)，故B錯(cuò)誤；

平行六面體的側(cè)棱垂直于底面時(shí)，四個(gè)側(cè)面都是矩形，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)平行六面體定義可知，平行六面體中任意兩個(gè)相對(duì)的面都可以當(dāng)作它的底面，故D正確.

故選：AD.

考點(diǎn)二：棱錐，棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

例2.（多選）（23-24高二上?海南?？?開(kāi)學(xué)考試）棱臺(tái)具備的特點(diǎn)有（）

A.兩底面相似B.側(cè)面都是梯形

C.側(cè)棱都相等D.側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)

【答案】ABD

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】根據(jù)棱臺(tái)是由平行棱錐底面的平面截得的判斷.

【詳解】解：因?yàn)槔馀_(tái)是由平行棱錐底面的平面截得的，

所以棱臺(tái)的兩底面相似，側(cè)面都是梯形，側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)，

故選：ABD

【變式2-1］（2024高一下?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐

B.各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

C.各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐

D.底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、正棱錐及其有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正棱錐的定義和幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無(wú)法保證各個(gè)等腰三角形全等且腰長(zhǎng)均為側(cè)棱長(zhǎng)，所以

B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無(wú)法保證等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)，所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心，滿(mǎn)足正棱

錐定義，所以D正確.

故選：D.

【變式2-2］（23-24高三上?江蘇南通?期末）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選擇四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成空間四面體，則該四

面體不可熊（）

A.每個(gè)面都是等邊三角形

B.每個(gè)面都是直角三角形

C.有一個(gè)面是等邊三角形，另外三個(gè)面都是直角三角形

D.有兩個(gè)面是等邊三角形，另外兩個(gè)面是直角三角形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)和四面體的特征，結(jié)合圖形逐個(gè)分析判斷即可.

【詳解】如圖，

D-BAG每個(gè)面都是等邊三角形，A不選；

A-DDC每個(gè)面都是直角三角形，B不選；

D-ABG三個(gè)面直角三角形，一個(gè)面等邊三角形，C不選，選D.

【變式2-3］（23-24高一下?安徽?階段練習(xí)）下列敘述正確的是（）

A.用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)

B.兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)

D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】根據(jù)棱臺(tái)的定義以及性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,C,如圖的幾何體滿(mǎn)足條件，但側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，B,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，D正確.

故選：D.

考點(diǎn)三：圓柱的結(jié)構(gòu)特征

、產(chǎn)J3.（23-24高一下?浙江臺(tái)州）將正方形繞其一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是（）

A.圓柱B.圓臺(tái)C.圓錐D.棱柱

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】由圓柱的定義可得答案.

【詳解】將正方形繞其一條邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是圓柱.

故選：A.

【變式3-1］（23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè)）一個(gè)長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別為2和3,將其繞一邊進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，能得

到不同的圓柱的種數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)圓柱的特征直接得到結(jié)果.

【詳解】將長(zhǎng)方形分別繞著長(zhǎng)或?qū)掃M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，可得兩種不同的圓柱.

故選：B.

【變式3-2］（23-24高一下?黑龍江雞西）圓柱側(cè)面的母線(xiàn)有條.

【答案】無(wú)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)圓柱的母線(xiàn)的定義判斷即可.

【詳解】以矩形一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，平行于

軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線(xiàn)，

故圓柱的母線(xiàn)就是圓柱側(cè)面上同時(shí)垂直于兩底面的直線(xiàn)段，它有無(wú)數(shù)條.

故答案為：無(wú)數(shù)

【變式3-3］（2024高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）圓柱的軸截面有個(gè)，它們（填“全等”或“相似”），

圓柱的母線(xiàn)有條,它們與圓柱的高.

【答案】無(wú)窮多全等無(wú)窮多相等

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)圓柱的定義即可求解.

【詳解】根據(jù)圓柱的定義，可得圓柱的軸截面有無(wú)窮多個(gè)，它們是全等的，圓柱的母線(xiàn)有無(wú)窮多條，它們

與圓柱的高是相等的.

故答案為：無(wú)窮多；全等；無(wú)窮多；相等.

考點(diǎn)四：棱柱展開(kāi)圖中最短距離問(wèn)題

|'yJ4（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體48。-ABCiR中，點(diǎn)P在線(xiàn)段

AR上運(yùn)動(dòng)，則Q/+|￡叼的最小值為.

［答案］TiR

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】將三角形AD2沿AD翻折90。與平面共面且。與B在A2的異側(cè)，連接。G，則的長(zhǎng)

度即為距離和最小值.

將三角形沿A2翻折90。得到該圖形（與平面A8G2共面且。與B在A2的異側(cè)），

連接。G與相交于點(diǎn)P,此時(shí)|C0+|DP|取得最小值DG，延長(zhǎng)G2,過(guò)。作DELCg于點(diǎn)E,

又GA=D2=2,ZAr）1D=45°,所以△EDD］為等腰直角三角形，所以DE=D、E=2x與=6,

在RIADECJ中，Dq=1（用+（2+用=/8+4及,

故|C0+|。尸|的最小值為廂瓦?

故答案為：&+40

【變式4-1］（23-24高一下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC-A與G的底面邊長(zhǎng)為2cm,高

為5cm,一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周到達(dá)A點(diǎn)的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為cm.

【答案】761

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】沿著正三棱柱ABC-A與G的側(cè)棱AA剪開(kāi)，把側(cè)面展成一個(gè)平面圖形，得到一個(gè)矩形，結(jié)合矩形

的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即可求解.

【詳解】如圖所示，沿著正三棱柱ABC-ABCi的側(cè)棱AA剪開(kāi)，

把正三棱柱的側(cè)面展成一個(gè)平面圖形，可得一個(gè)長(zhǎng)為3x2=6cm,寬為5cm一個(gè)矩形，

可矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為扈與=府，即最短路線(xiàn)的長(zhǎng)為加cm.

故答案為：V61.

【變式4-2]（23-24高三下?貴州?階段練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABCQ中，尸為棱。。上一動(dòng)

點(diǎn)，則PB{+PC的最小值為.

【答案】2"+21

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】將平面B8QD繞翻折到與平面CCQD共面，連接瓦C交。2于點(diǎn)尸，此時(shí)尸4+PC取得最小

值與C,利用勾股定理計(jì)算出3（即可.

【詳解】如圖將平面班繞翻折到與平面CCQD共面（如下平面圖形），

連接BC交于點(diǎn)P,此時(shí)PBl+PC取得最小值BQ

又DC=BB[=2,BD=也-+2?=2及，所以BC=2+2夜，

22

貝!IBXC=J2+（2+20）=2,4+20,

即PB,+PC的最小值為2歷*■

故答案為：24+2及

【變式4-3］（2024?江西九江?一模）如圖，在正三棱柱ABC-A用G中，AB=2A41=2,N為AG的中點(diǎn),

M為線(xiàn)段AA上的點(diǎn).則\MN\+\MB\的最小值為

【答案】歷

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】將側(cè)面A86A沿4A展開(kāi)，使得側(cè)面AB4A與側(cè)面ACQA在同一平面內(nèi)，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間線(xiàn)

段最短可求得答案.

如圖，連接交M于M,貝！+的最小值為此時(shí)的忸叫，

|BN|=qBB：+B、N,=712+32=M,

叫的最小值為M.

故答案為：M.

考點(diǎn)五：棱錐展開(kāi)圖中最短距離問(wèn)題

\I例5.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，S-ABC是正三棱錐且側(cè)棱長(zhǎng)為兩側(cè)棱SA,SC的夾角為

30。,￡,尸分別是SA,SC上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形B跖的周長(zhǎng)的最小值為（）

A.y/2aB.y/3aC.s/5aD.y/6a

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的展開(kāi)圖

【分析】通過(guò)展開(kāi)平面以及勾股定理求得正確答案.

【詳解】把正三棱錐沿S3剪開(kāi)并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形：ASBC、△SCA、△SA9,

則ZB'SA=ZBSC=ZASC=30°,NBSB'=90°,

連接88',交SC于尸，交于E,

則線(xiàn)段88'就是△?￡；廠(chǎng)的最小周長(zhǎng)，又SB=SB，=a,

根據(jù)勾股定理，SB2+SB'2=BB'2=2a2,BB'=s/2a.

故選：A

【變式5-1］（23-24高一下?河北石家莊?期中）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，PA=2gAB=4.從

A拉一條細(xì)繩繞過(guò)側(cè)棱PB到達(dá)C點(diǎn)，則細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為.

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、棱錐的展開(kāi)圖

【分析】將圖形展成平面圖形，進(jìn)而解三角形PAC即可求得答案.

【詳解】如圖，將側(cè)面展開(kāi)在一個(gè)平面，

由題意PA=PB=PC=2而,AB=BC=4,ZAPB=NBPC,

旅+尸長(zhǎng)-朗40+40-16_4

在APAB中,cosZAPB=

2PAPB-2x2^0x2710-5

7

所以在AB4C中,cosZAPC=cos2ZAPB=2cos2ZAPB-1=—,

由余弦定理得AC2=+PC2-2PA-PCcosZAPC=40+40-^=,

所以AC="叵，

5

即細(xì)繩的最短長(zhǎng)度為上叵.

故答案為：為何.

5

【變式5-2］（23-24高一下?山東濱州?階段練習(xí)）如圖，正三棱錐A-BCD中，440=20。，側(cè)棱長(zhǎng)為4,

過(guò)點(diǎn)C的平面與側(cè)棱A3,AO相交于綜A，貝！UC4R的周長(zhǎng)的最小值為.

A

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的展開(kāi)圖

【分析】將正三棱錐A-3CD沿4C剪開(kāi)，利用側(cè)面展開(kāi)圖求解即可.

【詳解】將正三棱錐A-BCD沿AC剪開(kāi)可得如下圖形,

VZBAD=20°,即NC4c=60。，又ACBQ的周長(zhǎng)為CR+。瓦+瓦（7,

???要使ACBQ的周長(zhǎng)的最小，則c,2出c共線(xiàn)，即CR+C4+的c=cc,

又正三棱錐A-3CD側(cè)棱長(zhǎng)為4,△G4C'是等邊三角形，則CC'=4,

.?.ACBQ的周長(zhǎng)的最小值為4.

故答案為：4.

考點(diǎn)六：圓柱展開(kāi)圖中最短距離問(wèn)題

6.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)圓柱，在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞

蟻，它要爬行到上底面的點(diǎn)5處.當(dāng)圓柱的高等于8cm,底面半徑為3cm時(shí)，螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路

B.V15TIcm

C.18cmD?764+9K2cm

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】48之間的最短路程為兩直角邊分別為圓柱的高，底面周長(zhǎng)的一半的構(gòu)成的直角三角形的斜邊長(zhǎng).

【詳解】如圖所示，在圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖中，

8c的長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)的一半，即BC=gx27tx3=3ncm,

螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路程

AB=VAC2+BC2=,64+9兀2cm.

【變式6-1］（23-24高一下?河南南陽(yáng)?期末）如圖，某圓柱的一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形A5C。，點(diǎn)、E

在下底面圓周上，且3。=23萬(wàn)，點(diǎn)尸在母線(xiàn)A3上，點(diǎn)G是線(xiàn)段AC的靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，則E尸+尸G

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、圓柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】將AABE繞直線(xiàn)A3旋轉(zhuǎn)到ARR的位置，并且點(diǎn)P在5c的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接尸G,交48于點(diǎn)

F,此時(shí)所+產(chǎn)G最小，求出即可.

【詳解】將A/WE繞直線(xiàn)A5旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，并且點(diǎn)尸在5c的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，

連接PG,交4B于點(diǎn)F，此時(shí)EF+FG最小，如圖所示：

TT

因?yàn)锳B=3C=2,所以/ACB=/PCG=—,

4

又因?yàn)?c=23E,所以BE=BP=1,

又因?yàn)锳C=VL48=20，所以CG=』AC=^，尸C=PB+BC=3,

42

在APCG中，由余弦定理得PG2=PC2+CG2-2PCCG-COSNPCG=9+?-2x3x述x巫=2,

2222

解得尸G=迷，即防+/G的最小值為述.

22

故選：A.

【變式6-2］（24-25高二上?上海?期中）如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,高BC為9cm,48是底面

的直徑.一只昆蟲(chóng)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,則昆蟲(chóng)爬行的最短距離是—cm.

【答案】15

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】作出圓柱側(cè)面展開(kāi)圖，可知所求最短路程為AC,利用勾股定理可求得結(jié)果.

【詳解】作出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖如下圖所示，

則當(dāng)昆蟲(chóng)的爬行路線(xiàn)為線(xiàn)段AC時(shí)，爬行的路程最短,

因?yàn)閳A柱體的底面周長(zhǎng)為24cm,即A￡)=gx24=12(cm),且C￡)=9cm,

所以最短路程為：y/AD2+CD2=7122+92=15(cm).

故答案為：15.

考點(diǎn)七：圓錐展開(kāi)圖中最短距離問(wèn)題

例7.（24-25高三上?廣東?開(kāi)學(xué)考試）圓錐頂點(diǎn)A,底面半徑為1,母線(xiàn)"=4,AB的中點(diǎn)為一

只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)8繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)”的最短路線(xiàn)中，其中下坡路的長(zhǎng)是（）

A.0B.二c?警D.45

5

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】將圓錐側(cè)面沿母線(xiàn)剪開(kāi)并展開(kāi)成扇形，最短路線(xiàn)即為扇形中的線(xiàn)段過(guò)A作3M的垂線(xiàn),

垂足為N,求出M0的長(zhǎng)即可.

【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線(xiàn)剪開(kāi)并展開(kāi)成扇形,

2冗JT

則該扇形半徑鉆=4,弧長(zhǎng)為2兀xl。，圓心——丁于

最短路線(xiàn)即為扇形中的線(xiàn)段BM=ylAB2+AM2=2A/5,

過(guò)A作的垂線(xiàn)，垂足為N,當(dāng)螞蟻從8點(diǎn)爬行到點(diǎn)N過(guò)程中，它與點(diǎn)A的距離越來(lái)越小,

于是M為上坡路段，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)N爬行到點(diǎn)Af的過(guò)程中，它與點(diǎn)A的距離越來(lái)越大,

于是為下坡路段，下坡路段長(zhǎng)M0=AM.cosZWB=2xS=mL

2V55

故選：B

【變式7-1］（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）圓錐的底面半徑為R,母線(xiàn)長(zhǎng)L=3R,一只螞蟻?zhàn)缘酌鎴A周上一

點(diǎn)8沿圓錐表面爬到過(guò)母線(xiàn)AB的軸截面上另一條母線(xiàn)AC的中點(diǎn)D,問(wèn)這只螞蟻爬行的最短距離為

【答案】浮

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】圓錐半側(cè)面展開(kāi)成一個(gè)扇形，則對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)是底圓周長(zhǎng)的一半，可求出扇形的圓心角為。弧度,

沿圓錐側(cè)面移動(dòng)到D,利用余弦定理可求最短距離.

【詳解】

A

如圖，沿母線(xiàn)AB,AC剪下作出半側(cè)面展開(kāi)圖，得到的是扇形，

設(shè)扇形的圓心角為6弧度，則根據(jù)題意知，扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)的一半，

JT

得：TIR=3R0,即。=§,

在中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，由余弦定理得：

BD2AB2+AD2-2ABxADxcos0

=（3A）。+（1.5R）2一2x3Rx1.5Rxcos二］=子女，

所以=故所求的最短距離為舊1R.

22

故答案為：更R.

2

【變式7-2］（2024高一下?浙江?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)是3,底面半徑是1,A是底面圓周上一

點(diǎn)，從A點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到A點(diǎn)的最短的路線(xiàn)長(zhǎng)是.

【答案】3百

【知識(shí)點(diǎn)】弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算、圓錐的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】沿過(guò)A點(diǎn)母線(xiàn)把圓錐側(cè)面剪開(kāi)攤平，得出圓錐側(cè)面展開(kāi)圖，如圖.線(xiàn)段AA的長(zhǎng)就是所求最短距

離.

【詳解】如圖所示，在圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖中，AA的長(zhǎng)就是所求最短距離.過(guò)點(diǎn)S作S3,懼，則A4,=2A8.

因?yàn)槔秊閳A錐底面圓的周長(zhǎng)，即2m

2兀

由弧長(zhǎng)公式得NASA=三，.

所以期=2AB=2AS-sin,|=3^,

故答案為：3也.

.例8.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正方體A3。-44G2的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為棱A氏CG的

中點(diǎn).請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過(guò)點(diǎn)E,凡2的截面，并寫(xiě)出作圖過(guò)程；（不用證明）

【答案】作圖見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀

【分析】利用平面的基本性質(zhì)作出截面圖形即可.

【詳解】連接A尸并延長(zhǎng)交。C延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)/,

連接正并延長(zhǎng)交3C于點(diǎn)交D4延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)J,

連接肛交A4于點(diǎn)G,則截面QGEW即為所求.

【變式8-1]（24-25高二上?廣西柳州?期中）如圖，正方體鉆8-44￡口的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為BC,CG

的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為

ac.

9

【答案】I

【知識(shí)點(diǎn)】判斷正方體的截面形狀

【分析】由EFIIBC^ADJIBC,,EF〃ADlf從而截面為梯形AE/冷求解.

【詳解】解：如圖所示：

因?yàn)镋F〃BC\,AD\UBG，所以E尸〃AR,所以截面為梯形AEF，,

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,則。尸=君,￡F=0,g=2四，

梯形的高為//=JR尸一］?丐7=?，

1Q

所以梯形的面積為：S=-（ADi+EF）h=^,

9

故答案為：—

【變式8-2］（23-24高二下?上海）已知正四面體棱長(zhǎng)為2,所有與它四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面

體所得的截面之和為.

【答案】3+用

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐中截面的有關(guān)計(jì)算

【分析】分別找出滿(mǎn)足條件的截面，求出面積之和即可.

【詳解】如圖（1）：

A

瓦EG分別為正四面體棱的中點(diǎn)，此時(shí)它的四個(gè)頂點(diǎn)到截面EFG的距離相等,

B

△瓦G是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，S.EFG.這樣的截面有4個(gè);

如圖（2）：

瓦廠(chǎng),分別為正四面體棱的中點(diǎn)，此時(shí)它的四個(gè)頂點(diǎn)到截面EMWN的距離

B

相等，四邊形ERWN是邊長(zhǎng)為1的正方形，S口EFMN=19這樣的截面有3個(gè).

所以滿(mǎn)足條件的截面的面積之和為：3+6.

故答案為：3+也

【變式8-3］（223-24高二下?河北石家莊）若圓柱的底面半徑為2,軸截面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為5,則這個(gè)圓柱側(cè)

面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為.

【答案］,16/+9

【知識(shí)點(diǎn)】圓柱軸截面的有關(guān)計(jì)算、圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)勾股定理及圓柱與圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的關(guān)系即可求解.

【詳解】因?yàn)閳A柱的底面半徑為2,

所以圓柱的底面直徑為4,

又因?yàn)檩S截面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為5,

所以圓柱的高為斤彳=3,

所以圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)為4兀，寬為3,

所以這個(gè)圓柱側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為J（以）2+3?=J16/+9.

故答案為：&6兀2+9?

【變式8-4］（24-25高二上?上海?期中）已知圓錐底面半徑為若，高為1,則過(guò)圓錐的母線(xiàn)的截面面積的

最大值為.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算

【分析】依題意求得圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解.

【詳解】依題意，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為/,

?.?圓錐的底面半徑為G，高為1,

?-I=<3+1=2,

設(shè)圓錐的軸截面的兩母線(xiàn)夾角為。，則cose=2?+2-2后」,

2x2x22

QO<^<71,

則過(guò)該圓錐的母線(xiàn)作截面，截面上的兩母線(xiàn)夾角設(shè)為a，ae,g

故截面的面積為S=51x2x2xsinaW2,當(dāng)且僅當(dāng)。=曰jr時(shí)，等號(hào)成立，

故截面的面積的最大值為2.

故答案為：2.

考點(diǎn)九：球的有關(guān)計(jì)算

\?例9.（23-24高二?上海?課堂例題）若平面a截球。所得圓的半徑為1,球的表面積是12兀，則球心0

到平面a的距離為.

【答案】V2

【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算

【分析】根據(jù)題意可以求出球的半徑，進(jìn)而用勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)槠矫鎍截球。所得的圓半徑為r=l,設(shè)球的半徑為R,

球的表面積為12JI=4nR2,

所以球的半徑R=g,

7

所以球心。到平面a的距離d=VF二=G=叵.

故答案為：V2.

【變式9-1］（23-24高二上?河北唐山?開(kāi)學(xué)考試）已知圓柱的高為2,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為4的同

一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（）

A.萬(wàn)B.3%C.6兀D.8萬(wàn)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】柱體體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

【分析】根據(jù)圓柱外接球的直徑與圓柱的底面直徑和圓柱的高的關(guān)系求解即可.

【詳解】由題可知該圓柱底面直徑為"萬(wàn)=2壞，

所以底面半徑為6

所以圓柱體積為nx^/32x2=6?t

故選：C

【變式9-2］（2024?山西?三模）某公司在慶典活動(dòng)中，設(shè)計(jì)了一款紀(jì)念品如圖所示，其底座是頂部有凹槽

的圓臺(tái)，上面放置一個(gè)水晶玻璃球，圓臺(tái)上底圓周的所有點(diǎn)都在凹槽面上四槽面上的所有點(diǎn)都在球面上圓

臺(tái)的上、下底面半徑分別為2cm,4cm,母線(xiàn)長(zhǎng)為2括cm,球的頂端到底座下底面的距離為8cm,則水晶

球的半徑為（）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征辨析、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題

［分析］根據(jù)圓臺(tái)的性質(zhì)可知圓臺(tái)的高位4cm,球的最高點(diǎn)到圓臺(tái)上底面的距離為4cm,設(shè)球的半徑為Rcm,

結(jié)合球的性質(zhì)分析求解.

【詳解】由題意可知：圓臺(tái)的高位J（2瓶）2-（4-2）2=4cm,球的最高點(diǎn)到圓臺(tái)上底面的距離為8-4=4cm,

設(shè)球的半徑為Rem,則R2=2?+（4-咫，解得R=gcm.

故選：A.

【變式9-3］（24-25高二上?上海?期中）若球。的半徑為5,圓M為該球的一個(gè)小圓且面積為16元，則線(xiàn)段

OM的長(zhǎng)度是.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】求球面距離、球的截面的性質(zhì)及計(jì)算

【分析】求出小圓的半徑，從而由勾股定理得到答案.

【詳解】設(shè)小圓的半徑為廠(chǎng)，則+=16兀，解得廠(chǎng)=4,

又球。的半徑為5,故線(xiàn)段加=d彳=3.

故答案為：3

6模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)-------------------------------

一、單選題

1.（2024高二上?黑龍江佳木斯?學(xué)業(yè)考試）一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)360。形成的曲

面所圍成的幾何體是（）

A.球體B.圓柱C.圓臺(tái)D.圓錐

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】判斷幾何體是否為圓錐

【分析】根據(jù)圓錐定義可得結(jié)論.

【詳解】依題意可知一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)360。形成的曲面所圍成的幾何體是圓

錐.

故選：D

2.（2024高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

B.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)

C.正四棱柱都是長(zhǎng)方體

D.直角三角形以其直角邊所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】由正棱錐的定義判斷A,由棱臺(tái)的定義判斷B,由正四棱柱的定義判斷C,由圓錐的定義判斷D.

【詳解】對(duì)于A,底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,將兩個(gè)相同的棱臺(tái)的底面重合得到的多面體滿(mǎn)足有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是梯形，

但是這樣的多面體不是棱臺(tái)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)檎睦庵堑酌鏋檎叫蔚闹崩庵?，所以正四棱柱都是長(zhǎng)方體，故C正確；

對(duì)于D,根據(jù)圓錐的定義可知D不正確.

故選：C.

3.（24-25高二上?北京?階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中正確的是（）

A.正三棱錐的每個(gè)面都是正三角形

B.所有棱長(zhǎng)都相等的四棱柱是正方體

C.以矩形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱

D.以直角三角形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析、圓錐的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)題意，舉出反例可得AB錯(cuò)誤，由圓柱、圓錐的定義綜合分析可知C正確，D錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,正三棱錐的底面為正三角形，側(cè)面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形,

且能保證頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影在底面正三角形的中心即可，可知A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,底面是菱形的直四棱柱，其側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等時(shí),

該四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，但不是正方體，可得B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,以矩形的一邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱，即C正

確;

對(duì)于D,以直角三角形的一條直角邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做

圓錐，可得D錯(cuò)誤.

故選：C

4.（24-25高一下?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）如圖所示的組合體，則由下列所示的哪個(gè)三角形繞直線(xiàn)，旋轉(zhuǎn)一周可以

【知識(shí)點(diǎn)】由旋轉(zhuǎn)體找出其旋轉(zhuǎn)圖形

【分析】旋轉(zhuǎn)后的幾何體是由兩個(gè)共底的圓錐組合而成的立體圖形，再根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)中三角形的特征及旋

轉(zhuǎn)軸即可作出判斷.

【詳解】A旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，不滿(mǎn)足題意;

B旋轉(zhuǎn)一周是兩個(gè)圓錐，滿(mǎn)足題意;

C旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，不滿(mǎn)足題意;

D旋轉(zhuǎn)一周是圓柱挖去一個(gè)圓錐的幾何體，不滿(mǎn)足題意.

故選：B.

5.（23-24高一下?北京大興?期中）在三棱臺(tái)ABC-AEC中，截去三棱錐4-貝闌余部分是（）

A.三棱錐B.三棱臺(tái)

C.四棱錐D.組合體

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)

【分析】根據(jù)三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選出答案.

【詳解】

三棱臺(tái)ABC-AEC中，截去三棱錐A-后得到的是四棱錐A-3CC3',

故選：C.

6.（24-25高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）圖①②中的圖形折疊后的圖形分別是（）

C.球、棱錐D.圓錐、圓柱

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、圓錐的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)圖形中的形狀和大小組成即可判斷.

【詳解】圖①的底面為圓，側(cè)面為扇形，所以①折疊后的圖形是圓錐;

圖②的底面為三角形，側(cè)面均為三角形，所以②折疊后的圖形是棱錐.

故選:B.

7.（24-25高二上?安徽合肥?期中）如圖，在長(zhǎng)方體ABC。-A與G2中，48=A。=2,A4,=3,若點(diǎn)尸在

平面ACGA上運(yùn)動(dòng),則尸8+PB,的最小值為（）

C.V17D.272

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱(chēng)性有PBi+PB=PR+PB>BA,即可確定最小值.

【詳解】由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征知，4關(guān)于面ACC0對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為R,

所以世+PB=PR+PB>BD[={2-2=V17,

當(dāng)且僅當(dāng)民尸共線(xiàn)時(shí)，網(wǎng)+尸瓦取等號(hào).

故選：C

8.（23-24高一下?吉林?期中）如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，2PA=而48=6,石是棱尸8上的動(dòng)點(diǎn)，一只

螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)E點(diǎn)，爬到C點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的路程的最小值是（）

P

A.2A/2B.273C.245D.2巫）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、棱錐的展開(kāi)圖

【分析】根據(jù)題意，將平面和平面MC展開(kāi)到同一個(gè)平面，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可得AC的長(zhǎng)就是

螞蟻爬行的路程的最小值，由余弦定理計(jì)算以及二倍角公式可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，如圖，將平面上4B和平面P3C展開(kāi)到同一個(gè)平面，

連接AC,與尸8交于點(diǎn)則AC的長(zhǎng)就是螞蟻爬行的路程的最小值，

設(shè)ZAP3=〃，貝！|NAPC=2，，

_l9+9-62

又由2PA=7^45=6得PA=3,A3=V6,則cos。=一--=

2x3x33

則有cosZAPC=cos26=2cos20-l=-^,

^AC2=PA2+PC2-2PAPC-COSZAPC=9+9+2X3X3X1=20,

則AC=26，即這只螞蟻爬行的路程的最小值是2?.

故選：C.

二、多選題

9.（2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.以直角三角形的一條邊所在的直線(xiàn)為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

B.以等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)180。形成的曲面圍成的幾何體是圓錐

C.經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線(xiàn)的截面是等腰三角形

D.圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)有可能大于圓錐底面圓的直徑

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算

【分析】根據(jù)圓錐的定義及性質(zhì)直接判斷.

【詳解】A不正確，直角三角形繞斜邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐；

B正確，以等腰三角形底邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)180。形成的曲面圍成的幾何體是圓錐;

C正確，因?yàn)閳A錐的母線(xiàn)長(zhǎng)都相等，所以經(jīng)過(guò)圓錐任意兩條母線(xiàn)的截面是等腰三角形；

D正確，如圖所示，當(dāng)圓錐的母線(xiàn)圓錐的高夾角小于30。時(shí)，j<1,BP/>2r,

所以圓錐側(cè)面的母線(xiàn)長(zhǎng)/有可能大于圓錐底面圓半徑r的2倍（即直徑）；

10.（23-24高一下?河北邢臺(tái)?期中）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面是四邊形，則這個(gè)幾何體可能是（）

A.圓錐B.圓柱C.三棱柱D.三棱錐

【答案】BCD

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析、圓錐的結(jié)構(gòu)特征辨析

【分析】根據(jù)各幾何體的特征及截面的可能情況逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，截面不可能是四邊形，則A不滿(mǎn)足條件，

對(duì)于B,圓柱的軸截面是四邊形，則B滿(mǎn)足條件.

對(duì)于C,用平行于一個(gè)側(cè)面的平面去截三棱柱，截面是四邊形，則C滿(mǎn)足條件.

對(duì)于D,在三棱錐P—ABC中，尸,G分別是棱的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃尸A且DE=g尸4,

EG//PA，且PG=〈PA,所以DE//FG,且DE=FG,所以四邊形。砂G是平行四邊形，所以截面DE/G是四

邊形，則D滿(mǎn)足條件.

故選：BCD.

三、填空題

11.（24-25高二上?上海?階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AACQ中，尸為線(xiàn)段陰的中點(diǎn)，M、

N分別為線(xiàn)段AG和棱4G上任意一點(diǎn)，則2PM+?MN的最小值為.

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題

【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)一線(xiàn)即可求解.

【詳解】

在GR邊上取點(diǎn)M,使得C[N=C]N；由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知M/=

過(guò)M點(diǎn)