PAGE1-其次講概率與統(tǒng)計(jì)1．(2024·甘肅張掖模擬)共享單車是指企業(yè)在校內(nèi)、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等供應(yīng)自行車單車共享服務(wù)，是一種分時(shí)租賃模式，某共享單車企業(yè)為更好地服務(wù)社會(huì)，隨機(jī)調(diào)查了100人，統(tǒng)計(jì)了這100人每日平均騎行共享單車的時(shí)間(單位：分鐘)，由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖，已知騎行時(shí)間在[60,80)，[20,40)，[40,60)三組對(duì)應(yīng)的人數(shù)依次成等差數(shù)列．(1)求頻率分布直方圖中a，b的值；(2)若將日平均騎行時(shí)間不少于80分鐘的用戶定義為“忠好用戶”，將日平均騎行時(shí)間少于40分鐘的用戶定義為“潛力用戶”，現(xiàn)從上述“忠好用戶”與“潛力用戶”的人中按分層抽樣選出5人，再從這5人中任取3人，求恰好1人為“忠好用戶”的概率．解析：(1)由題意，得2a＝b＋0.0165，所以(0.0025×2＋0.0075＋3a)×20＝1，解得a＝0.0125，所以b＝2a－0.0165＝0.0085.(2)“忠好用戶”與“潛力用戶”的人數(shù)之比為(0.0075＋0.0025)∶(0.0125＋0.0025)＝2∶3，所以“忠好用戶”抽取5×eq\f(2,5)＝2(人)，“潛力用戶”抽取5×eq\f(3,5)＝3(人)．記事務(wù)A：從5人中任取3人恰好1人為“忠好用戶”．記兩名“忠好用戶”為B1，B2，三名“潛力用戶”為b1，b2，b3，則這5人中任選3人有(B1，B2，b1)，(B1，B2，b2)，(B1，B2，b3)，(B1，b1，b2)，(B1，b1，b3)，(B1，b2，b3)，(B2，b1，b2)，(B2，b1，b3)，(B2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，共10種狀況．符合題設(shè)條件的有(B1，b1，b2)，(B1，b1，b3)，(B1，b2，b3)，(B2，b1，b2)，(B2，b1，b3)，(B2，b2，b3)，共6種狀況，因此恰好1人為“忠好用戶”的概率為P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).2．(2024·貴州黔東南州模擬)據(jù)統(tǒng)計(jì)，2024年國慶中秋假日期間，黔東南州共接待游客590.23萬人次，實(shí)現(xiàn)旅游收入48.67億元，同比分別增長44.57%，55.22%.旅游公司規(guī)定：若公司導(dǎo)游接待旅客，旅游年總收入不低于40(單位：萬元)，則稱為優(yōu)秀導(dǎo)游．閱歷表明，假如公司的優(yōu)秀導(dǎo)游率越高，則該公司的影響度越高．已知甲、乙兩家旅游公司各有導(dǎo)游100名，統(tǒng)計(jì)他們一年內(nèi)旅游總收入，分別得到甲公司的頻率分布直方圖和乙公司的頻數(shù)分布表如下：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)頻數(shù)b1849245(1)求a，b的值，并比較甲、乙兩家旅游公司哪家的影響度高；(2)若導(dǎo)游的獎(jiǎng)金y(單位：萬元)與其一年內(nèi)旅游總收入x(單位：萬元)之間的關(guān)系為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x<20，,2，20≤x<40，,3，x≥40，))求甲公司導(dǎo)游的年平均獎(jiǎng)金；(3)從甲、乙兩家公司旅游收入在[50,60)的總?cè)藬?shù)中，用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行表彰，其中有兩名導(dǎo)游代表旅游行業(yè)去參與座談，求參與座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游的概率．解析：(1)由直方圖知(0.01＋0.025＋0.035＋a＋0.01)×10＝1，解得a＝0.02.由頻數(shù)分布表知b＋18＋49＋24＋5＝100，解得b＝4.所以甲公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為(0.02＋0.01)×10×100%＝30%；乙公司的導(dǎo)游優(yōu)秀率為eq\f(24＋5,100)×100%＝29%.由于30%>29%，所以甲公司的影響度高．(2)甲公司年旅游總收入在[10,20)的人數(shù)為0.01×10×100＝10(人)；年旅游總收入在[20,40)的人數(shù)為(0.025＋0.035)×10×100＝60(人)；年旅游總收入在[40,60)的人數(shù)為(0.02＋0.01)×10×100＝30(人)．故甲公司導(dǎo)游的年平均獎(jiǎng)金eq\x\to(y)＝eq\f(1×10＋60×2＋30×3,100)＝2.2(萬元)．(3)由已知得，年旅游總收入在[50,60)的人數(shù)為15人，其中甲公司10人，乙公司5人．按分層抽樣的方法，從甲公司抽取6×eq\f(10,15)＝4(人)，記為a，b，c，d；從乙公司抽取6×eq\f(5,15)＝2(人)，記為1,2.6人中隨機(jī)抽取2人的基本領(lǐng)件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a,1)，(a,2)，(b，c)，(b，d)，(b,1)，(b,2)，(c，d)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)，共15個(gè)．參與座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游的基本領(lǐng)件有(a,1)，(a,2)，(b,1)，(b,2)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2)，共9個(gè)．設(shè)事務(wù)A為“參與座談的導(dǎo)游中有乙公司導(dǎo)游”，則P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).所以所求概率為eq\f(3,5).3．(2024·湖南郴州模擬)某公司想了解對(duì)某產(chǎn)品投入的宣揚(yáng)費(fèi)用對(duì)該產(chǎn)品的營業(yè)額的影響．下面是以往公司對(duì)該產(chǎn)品的宣揚(yáng)費(fèi)用x(單位：萬元)和產(chǎn)品營業(yè)額y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)折線圖．(1)依據(jù)折線圖可以推斷，可用線性回來模型擬合宣揚(yáng)費(fèi)用x與產(chǎn)品營業(yè)額y的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立產(chǎn)品營業(yè)額y關(guān)于宣揚(yáng)費(fèi)用x的回來方程；(3)若某段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)品利潤z與宣揚(yáng)費(fèi)用x和營業(yè)額y的關(guān)系為z＝x(y－1.01x－0.09)＋50，應(yīng)投入宣揚(yáng)費(fèi)用多少萬元才能使利潤最大？并求最大利潤．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝37.28，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝160.68，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝2.2，eq\r(7)≈2.65.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回來方程eq\o(y,\s\up12(^))＝eq\o(a,\s\up12(^))＋eq\o(b,\s\up12(^))x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to()\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up12(^))eq\x\to(x).解析：(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2＝28，r＝eq\f(160.68－4×37.28,\r(28)×2.2)≈0.99，因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回來模型擬合y與x的關(guān)系．(2)因?yàn)閑q\x\to(y)＝eq\f(\i\su(i＝1,7,y)i,7)≈5.33，eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(160.68－4×37.28,28)≈0.41，eq\o(a,\s\up12(^))≈5.33－0.41×4＝3.69，所以y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝0.41x＋3.69.(3)由z＝x(y－1.01x－0.09)＋50＝－0.6x2＋3.6x＋50，可得x＝3時(shí)，zmax＝55.4.所以投入宣揚(yáng)費(fèi)用3萬元時(shí)，可獲得最大利潤55.4萬元．4．(2024·豫南九校聯(lián)考)下表為2014年至2024年某百貨零售企業(yè)的線下銷售額(單位：萬元)，其中年份代碼x＝年份－2013.年份代碼x1234線下銷售額y95165230310(1)已知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回來方程，并預(yù)料2024年該百貨零售企業(yè)的線下銷售額；(2)隨著網(wǎng)絡(luò)購物的飛速發(fā)展，有不少顧客對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長表示懷疑，某調(diào)查平臺(tái)為了解顧客對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長的看法，隨機(jī)調(diào)查了55位男顧客、50位女顧客(每位顧客從“持樂觀看法”和“持不樂觀看法”中任選一種)，其中對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長持樂觀看法的男顧客有10人、女顧客有20人，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為對(duì)該百貨零售企業(yè)的線下銷售額持續(xù)增長所持的看法與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù)：eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up12(^))eq\x\to(x)，K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879解析：(1)由題意得eq\x\to(x)＝2.5，eq\x\to(y)＝200，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝30，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝2355，所以eq\o(b,\s\up12(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(2355－4×2.5×200,30－4×2.52)＝71，所以eq\o(a,\s\up12(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up12(^))eq\x\to(x)＝200－71×2.5＝22.5，所以y關(guān)于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up12(^))＝71x＋22.5.由于2018－2013＝5，所以當(dāng)x＝5時(shí)，eq\o(y,\