高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊(cè)5.1.1任意角含答案5.1任意角和弧度制5.1.1任意角【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解任意角的概念,能區(qū)分正角、負(fù)角和零角.2.理解象限角的概念.3.理解并掌握終邊相同的角的概念,會(huì)表示終邊相同的角.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算一、任意角1.角的定義:一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.2.角的分類:項(xiàng)目分類定義圖示任意角正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角3.相反角:將射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角互為相反角,角α的相反角記為-α.二、角的加減法1.加法:將角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β,終邊對(duì)應(yīng)的角是α+β.2.減法:α-β=α+(-β).版本交融(人BP4嘗試與發(fā)現(xiàn))角的概念推廣之后,利用轉(zhuǎn)角給出60°+90°與90°-30°的幾何意義.提示:①如圖(1)所示,射線OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB所形成的角為60°,OB逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為90°,則OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為60°+90°=150°.②如圖(2)所示,射線OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OB所形成的角為90°,OB順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為-30°,則OA逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到OC所形成的角為90°-30°=60°.三、象限角與終邊相同的角1.象限角(1)條件:角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合;(2)結(jié)論:角的終邊在第幾象限,這個(gè)角就是第幾象限角;(3)注意:若角的終邊在坐標(biāo)軸上,則這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.版本交融(人B必修3P7想一想)如果α是第二象限角,則α2提示:第一或者第三象限角.2.終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.教材挖掘(P169)你能說(shuō)說(shuō)在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處嗎?提示:在同一“參照系”下,可以使角的討論得到簡(jiǎn)化,由此還能有效地表現(xiàn)出角的終邊位置“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,從而利用任意角、直角坐標(biāo)系刻畫(huà)周期性的變化現(xiàn)象.版本交融(北師大版P7思考交流)已知角α為銳角,那么角α的終邊與角α+180°,α-180°,180°-α終邊的幾何關(guān)系分別是什么?如果角α是任意角呢?請(qǐng)畫(huà)圖說(shuō)明.提示:若α是銳角.α與α+180°的終邊互為反向延長(zhǎng)線.α與α-180°的終邊互為反向延長(zhǎng)線.α與180°-α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.α是任意角與α是銳角的規(guī)律一樣.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)終邊相同的角一定相等.(×)提示:0°和360°是終邊相同的角,但兩角不相等,故錯(cuò)誤.(2)-30°是第四象限角.(√)提示:由象限角的定義可以判斷其正確.(3)第二象限角是鈍角.(×)提示:460°是第二象限角,但不是鈍角,故錯(cuò)誤.(4)225°是第三象限角.(√)提示:225°=180°+45°,在第三象限,故正確.類型一終邊相同的角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】將α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,與120°的終邊重合,則與α終邊相同的角β的集合為()A.{β|β=k×180°+90°,k∈Z}B.{β|β=k×360°+90°,k∈Z}C.{β|β=k×180°+150°,k∈Z}D.{β|β=k×360°+150°,k∈Z}【解析】選B.由題設(shè)α+30°=360°k+120°,則α=360°k+90°且k∈Z,所以與α終邊相同的角的集合為{β|β=k×360°+90°,k∈Z}.【總結(jié)升華】終邊相同的角的表示(1)與角α終邊相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式;(2)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍.【即學(xué)即練】如果角α與角x+45°具有相同的終邊,角β與角x-45°具有相同的終邊,那么α與β之間的關(guān)系是()A.α+β=0°B.α-β=90°C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)【解析】選D.利用終邊相同的角的關(guān)系,得α=n·360°+x+45°(n∈Z),β=m·360°+x-45°(m∈Z).則α+β=(m+n)·360°+2x(n∈Z,m∈Z)與x有關(guān),故A,C錯(cuò)誤;又α-β=(n-m)360°+90°(n∈Z,m∈Z).因?yàn)閙,n是整數(shù),所以n-m也是整數(shù),用k(k∈Z)表示,所以α-β=k·360°+90°(k∈Z).【補(bǔ)償訓(xùn)練】在與角10030°終邊相同的角中,求滿足下列條件的角:(1)最大的負(fù)角;【解析】(1)因?yàn)?0030°=27×360°+310°,所以與10030°終邊相同的角為β=k·360°+310°,k∈Z,當(dāng)k=-1時(shí),β=-360°+310°=-50°,即最大的負(fù)角為-50°.(2)最小的正角;【解析】(2)當(dāng)k=0時(shí),β=310°,即最小的正角為310°.(3)360°~720°的角.【解析】(3)當(dāng)k=1時(shí),β=360°+310°=670°,即在360°~720°的角為670°.類型二終邊在已知直線上的角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例2】寫(xiě)出終邊在如圖所示直線上的角的集合.【解析】(1)由題圖易知,在0°~360°內(nèi),終邊在直線y=-x上的角有兩個(gè),即135°和315°,因此,終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z},={β|β=-45°+(2k+1)·180°,k∈Z}∪{β|β=-45°+2(k+1)·180°,k∈Z}={β|β=-45°+n·180°,n∈Z};【解析】(2)同理可得終邊在直線y=x上的角的集合為{β|β=45°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z},終邊在直線y=-x上的角的集合為S={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}={β|β=-45°+2k·90°,k∈Z}={β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z},所以終邊在直線y=x上和在直線y=-x上的角的集合為S1={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z}={β|β=45°+n·90°,n∈Z}.【總結(jié)升華】終邊在已知直線上角的表示方法(1)終邊在一條直線上的角的集合是終邊分別在以原點(diǎn)為端點(diǎn),構(gòu)成直線的兩條射線上的角的并集;(2)終邊在一條直線上的角的差為k·180°,k∈Z.【即學(xué)即練】終邊落在直線y=3x上的角α的集合為()A.{α|α=k·180°+30°,k∈Z}B.{α|α=k·180°+60°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}D.{α|α=k·360°+60°,k∈Z}【解析】選B.易得y=3x與x軸正半軸夾角為60°,當(dāng)終邊在第一象限時(shí),α=60°+k·360°,k∈Z;當(dāng)終邊在第三象限時(shí),α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合為{α|α=k·180°+60°,k∈Z}.類型三象限角與區(qū)域角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1確定角所在象限【典例3】(多選)(2024·吉安高一檢測(cè))已知下列各角:①-120°;②180°;③-240°;④495°.其中是第二象限角的是()A.① B.② C.③ D.④【解析】選CD.對(duì)于①,-120°=-360°+240°,而240°是第三象限角,①不是;對(duì)于②,180°角的終邊為x軸非正半軸,②不是;對(duì)于③,-240°=-360°+120°,120°是第二象限角,③是;對(duì)于④,495°=360°+135°,135°是第二象限角,④是.【總結(jié)升華】確定角所在象限的方法(1)給定角所在象限的判斷:利用終邊相同角的表示方法,將角轉(zhuǎn)化到0°~360°內(nèi)進(jìn)行判斷;(2)倍角與分角所在象限的判斷:先表示出倍角或分角,再給k取不同的值,分別判斷所在的象限,即為倍角或分角所在的象限.【即學(xué)即練】若角α是第二象限角,試確定角2α,α3是第幾象限角【解析】因?yàn)棣潦堑诙笙藿?所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),可得180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°,k∈Z,所以2α可能是第三象限角、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角.又由k·120°+30°<α3<k·120°+60°,k∈當(dāng)k=3n,n∈Z時(shí),n·360°+30°<α3<n·360°+60°,n∈Z,此時(shí)α當(dāng)k=3n+1,n∈Z時(shí),n·360°+150°<α3<n·360°+180°,n∈Z,此時(shí)α當(dāng)k=3n+2,n∈Z時(shí),n·360°+270°<α3<n·360°+300°,n∈Z,此時(shí)α3綜上所述,α3可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選)(2024·撫州高一檢測(cè))已知角α的終邊在第一象限,那么角α2的終邊可能在(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選AC.因?yàn)榻铅恋慕K邊在第一象限,所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,所以k·180°<α2<k·180°+45°,k∈Z當(dāng)k=0時(shí),0°<α2當(dāng)k=1時(shí),180°<α2<225°,則終邊在第三象限所以角α2的終邊可能在第一象限或第三象限角度2區(qū)域角的表示【典例4】已知角α的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi),則角α2的取值范圍是【解析】終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z},終邊在180°-75°=105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z},因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角α的取值范圍是{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z},所以角α2的取值范圍是{α2|15°+k·90°≤α2<52.5°+k·90°,k答案:{α2|15°+k·90°≤α2<52.5°+k·90°,k【總結(jié)升華】區(qū)域角的表示方法(1)按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-360°~360°內(nèi)的角α和β;(3)起始、終止邊界分別對(duì)應(yīng)角α,β,再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)域角的范圍,要注意邊界值是否能取到.【即學(xué)即練】(2024·揚(yáng)州高一檢測(cè))如圖所示,終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合是.

【解析】因?yàn)榻K邊落在y軸上的角為90°+k·180°,k∈Z,終邊落在圖中直線上的角為120°+k·360°=120°+2k·180°,k∈Z;300°+k·360°=120°+180°+2k·180°=120°+(2k+1)·180°,k∈Z,即終邊在直線上的角為120°+k·180°,k∈Z,所以終邊落在陰影部分的角為90°+k·180°≤α≤120°+k·180°,k∈Z.答案:{α|90°+k·180°≤α≤120°+k·180°,k∈Z}課時(shí)鞏固訓(xùn)練,請(qǐng)使用“課時(shí)過(guò)程性評(píng)價(jià)四十一”5.1.2弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解弧度制的概念.2.會(huì)進(jìn)行角度與弧度的轉(zhuǎn)化.3.理解弧度制下弧長(zhǎng)與面積公式并能應(yīng)用.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算一、角度制與弧度制1.度量角的兩種單位制(1)角度制①定義:用度作為單位來(lái)度量角的單位制;②1度的角等于周角的1360(2)弧度制①定義:以弧度作為單位來(lái)度量角的單位制;②1弧度的角:長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角.教材挖掘(P172探究)如圖,在射線OA上任取一點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)O),OQ=r1.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)Q所形成的圓弧QQ1的長(zhǎng)為l1.l1與r提示:比值是α,可以發(fā)現(xiàn),圓心角α所對(duì)弧長(zhǎng)與半徑的比值,只與α的大小有關(guān).版本交融(人BP9想一想)弧度制與角度制的區(qū)別是什么?思考引入弧度制的意義是什么.提示:角度制與弧度制是角的兩種度量方式,引入弧度制可以使角的集合與實(shí)數(shù)集R存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,為三角函數(shù)的引入做鋪墊.2.弧度數(shù)正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0.3.弧度與角度的換算(1)180°=πrad,1°=π180rad≈0.(2)πrad=180°,1rad=(180π)°≈57.30°=57°18二、扇形的弧長(zhǎng)與面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長(zhǎng)為l,α(0<α<2π)為其圓心角,則(1)弧長(zhǎng)公式:l=αR.(2)扇形面積公式:S=12lR=12αR版本交融(人BP11想一想)把扇形的面積公式與三角形的面積公式進(jìn)行對(duì)比,你能得到什么啟發(fā)?提示:扇形可以看成一個(gè)曲邊三角形,弧長(zhǎng)l可以看作三角形的底,半徑R可以看作三角形的高.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位.(√)提示:“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位,故正確.(2)1°的角是周角的1360,1rad的角是周角的12π提示:周角是360°的角,所以1°的角是周角的1360;同時(shí)周角是2πrad的角,因此1rad的角是周角的12π(3)1°的角比1rad的角大.(×)提示:1°=π180rad<1rad類型一角度與弧度的互化(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(2024·武威高一檢測(cè))將下列角度與弧度進(jìn)行互化:(1)5116【解析】(1)5116πrad=511(2)-7π12【解析】(2)-7π12rad=-7(3)10°;【解析】(3)10°=10×π180=π(4)-855°.【解析】(4)-855°×π180=-19π4【總結(jié)升華】角度與弧度的互化方法(1)關(guān)鍵:利用互化公式πrad=180°;(2)方法:角度數(shù)×π180=弧度數(shù);弧度數(shù)×(180π【即學(xué)即練】把下列角度與弧度進(jìn)行互化:(1)72°;【解析】(1)72°=72×π180rad=2π(2)-300°;【解析】(2)-300°=-300×π180rad=-5π(3)2;【解析】(3)2rad=2×(180π)°=(360(4)-2π9【解析】(4)-2π9rad=-29類型二用弧度制表示角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1用弧度制表示終邊相同的角【典例2】(2024·吉安高一檢測(cè))與30°角終邊相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°+π4,k∈ZB.{α|α=2kπ+30°,k∈Z}C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z}D.{α|α=2kπ+π6,k∈Z【解析】選D.對(duì)于A,B,弧度和角度屬于不同度量單位,不能混用,A錯(cuò)誤,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,D,因?yàn)?0°換算成弧度制為π6,所以與30°角終邊相同的角的集合為{α|α=k·360°+30°,k∈Z}或{α|α=2kπ+π6,k∈Z}【總結(jié)升華】用弧度制表示終邊相同的角的方法(1)形式:與α終邊相同的角的集合為{β|β=α+2kπ,k∈Z};(2)注意:角度與弧度不能混用.【即學(xué)即練】若角α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則有()A.α=π2-B.α=(2k+12)π-β(k∈C.α=2π-βD.α=(2k+1)π-β(k∈Z)【解析】選D.由題意,角α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,可得α+β=π+2kπ,k∈Z,即α=(2k+1)π-β(k∈Z).角度2用弧度制表示區(qū)域角的范圍【典例3】用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊重合于x軸非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(包括邊界,如圖所示).圖(1)圖(2)【解析】對(duì)題圖(1),可看作[-π6,5π可表示為{α|2kπ-π6≤α≤2kπ+5π12,k∈Z對(duì)題圖(2),可看作[-3π4,3π可表示為{α|2kπ-3π4≤α≤2kπ+3π4,k∈Z對(duì)題圖(3),可看作由[π6,π故可表示為{α|kπ+π6≤α≤kπ+π2,k∈Z【總結(jié)升華】用弧度制表示區(qū)域角的方法(1)按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界;(2)按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的-2π~2π內(nèi)的角α和β;(3)起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α,β,再加上2π的整數(shù)倍,即得區(qū)域角的范圍,要注意邊界值能否取到.【即學(xué)即練】如圖,用弧度表示頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊重合于x軸非負(fù)半軸,終邊落在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界).【解析】如題圖①,以O(shè)A為終邊的角為π6+2kπ(k∈Z),以O(shè)B為終邊的角為-2π3+2kπ(k∈Z),所以陰影部分內(nèi)的角的集合為{α|-2π3+2kπ<α<π6+2kπ,k如題圖②,以O(shè)A為終邊的角為π3+2kπ(k∈Z);以O(shè)B為終邊的角為2π3+2kπ(k∈不妨設(shè)右邊陰影部分所表示的集合為M1,左邊陰影部分所表示的集合為M2,則M1={α|2kπ<α<π3+2kπ,k∈Z},M2={α|2π3+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z所以陰影部分內(nèi)的角的集合為M1∪M2={α|2kπ<α<π3+2kπ或2π3+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z類型三扇形弧長(zhǎng)與面積公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求弧長(zhǎng)【典例4】(2024·溫州高一檢測(cè))在半徑為9的圓中,100°的圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為()A.900 B.5π C.52π D.【解析】選B.100°=π180×100=5π9,則所對(duì)弧長(zhǎng)為5π【總結(jié)升華】扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算(1)公式:l=αR(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng),R是扇形的半徑,α是扇形圓心角的弧度數(shù));(2)注意:如果條件已知的是弦長(zhǎng),需要先求出圓心角,再計(jì)算弧長(zhǎng).【即學(xué)即練】(2024·太原高一檢測(cè))古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫(huà),題字題畫(huà)的扇紙多為扇環(huán).已知某紙扇的扇環(huán)如圖所示,其中外弧線長(zhǎng)與內(nèi)弧線長(zhǎng)之和為95cm,連接外弧與內(nèi)弧兩端的線段長(zhǎng)均為503cm,且該扇形的中心角的弧度數(shù)為2.7,則該扇環(huán)的外弧線長(zhǎng)為cm【解析】如圖,設(shè)弧AB的長(zhǎng)為acm,弧CD的長(zhǎng)為bcm.因?yàn)樵撋刃蔚闹行慕堑幕《葦?shù)為2.7,所以a=2.7OA,b=2.7OC,即OA=a2.7,OC因?yàn)锳C=OA-OC=a-b2.7=50又因?yàn)閍+b=95,解得a=70,所以該扇環(huán)的外弧線長(zhǎng)為70cm.答案:70角度2求面積【典例5】(2024·宜春高一檢測(cè))已知扇形弧長(zhǎng)為π3,圓心角為π6,則該扇形面積為(A.π6 B.π4 C.π3 【解析】選C.設(shè)扇形的半徑為r,則π3=π6·r,解得r=2,所以扇形的面積為S=12×π6×2【總結(jié)升華】扇形面積的計(jì)算(1)公式:S=12lR=12αR2(其中S是扇形的面積,l是扇形的弧長(zhǎng),R是扇形的半徑,(2)關(guān)鍵:分析題中的已知量與待求量,然后靈活選擇面積公式直接求解或列方程(組)求解.【即學(xué)即練】如果弓形的弧所對(duì)的圓心角為