三角形三角形【思維導(dǎo)圖+典型例題+知識精講+高頻真題+答案解析】編者的話：編者的話：同學(xué)們，恭喜你已經(jīng)開啟了本單元的求知之旅，相信你已經(jīng)正確規(guī)劃了自己的學(xué)習(xí)任務(wù)，本套資料為課前預(yù)習(xí)，課中鞏固，課后提升而設(shè)計，對單元知識點進行全面精講，易錯點逐個分解，強化練習(xí)?？家族e真題，答案解析非常通俗易懂，可助你輕松掌握、理解、運用單元知識點解決問題！第一部分第一部分思維導(dǎo)圖第二部分第二部分典型例題例題1：（2024春?南沙區(qū)期末）2024濰坊國際風(fēng)箏嘉年華開幕，本屆嘉年華創(chuàng)新扎制了眾多特色鮮明的主題風(fēng)箏。例如，以慶祝新中國成立75周年為主題的“祖國萬歲”風(fēng)箏、港珠澳大橋風(fēng)箏和“蛟龍”號風(fēng)箏等。小紅買了一個形狀是等腰三角形的風(fēng)箏，已知該風(fēng)箏的一個角是50°，另外兩個角可能是多少度？【考點】三角形的內(nèi)角和．【專題】幾何直觀．【答案】65°、65°或50°、80°。【分析】等腰三角形的兩個底角相等，所以50°的角可作底角，也可作頂角，故分兩種情況進行計算即可?！窘獯稹拷猓孩佼?dāng)50°的角是頂角，則兩個底角是：（180°﹣50°）÷2＝130°÷2＝65°②當(dāng)50°的角是底角，則頂角是：180﹣50°×2＝180°﹣100°＝80°答：另外兩個角可能是65°、65°或50°、80°?！军c評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意分情況進行討論。例題2：（2024春?閻良區(qū)期末）在一個三角形中，其中一個內(nèi)角是36°，比另一個內(nèi)角少20°，第三個內(nèi)角是多少度？這個三角形是什么三角形？【考點】三角形的分類；三角形的內(nèi)角和．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算；幾何直觀．【答案】88度，銳角三角形?！痉治觥咳切蔚膬?nèi)角和是180度，先利用36°加上20°求出第二個角，再利用180度減去已知的兩個內(nèi)角求出第三個內(nèi)角，再根據(jù)三角形按角分類的方法解答判斷?！窘獯稹拷猓?80°﹣（36°+20°）﹣36°＝180°﹣56°﹣36°＝88°答：第三個內(nèi)角是88度，這個三角形是銳角三角形。【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和的應(yīng)用及三角形按角分類的方法。例題3：（2024春?潛江期末）李老師準(zhǔn)備了一根20厘米長的鐵絲，用來做一個三角形框架，樂樂說：“如果用這根鐵絲圍成一個三角形，那么這個三角形的任何一條邊長一定小于10厘米，”樂樂說得對嗎？請你寫出樂樂的思考過程。【考點】三角形邊的關(guān)系．【專題】推理能力．【答案】對；因為三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以任何一邊一定小于10厘米。【分析】任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊，據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓簶窐氛f得對。20÷2＝10（厘米）因為三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以任何一邊一定小于10厘米。【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用。例題4：（2024春?樂東縣期末）紅領(lǐng)巾是少先隊員的標(biāo)志，象征著革命的勝利和無數(shù)英雄的心血。少先隊員佩戴的紅領(lǐng)巾的一個底角是30°，它的頂角是多少度？【考點】三角形的內(nèi)角和．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算；應(yīng)用意識．【答案】120°?！痉治觥扛鶕?jù)紅領(lǐng)巾是等腰三角形，所以兩個底角相等，再根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，即可解答?！窘獯稹拷猓?80°﹣30°﹣30°＝150°﹣30°＝120°答：它的頂角是120°?！军c評】本題考查的是三角形內(nèi)角和的有關(guān)計算，掌握三角形內(nèi)角和是180°是解答關(guān)鍵。例題5：（2024春?南海區(qū)期末）明明做了一個等腰三角形的風(fēng)箏，如果這個風(fēng)箏的一個內(nèi)角是50°，那么它的另外兩個內(nèi)角分別是多少度？【考點】三角形的內(nèi)角和．【專題】應(yīng)用題；應(yīng)用意識．【答案】50°、80°；65°、65°。【分析】由題意可知：可以假設(shè)這個內(nèi)角分別為底角和頂角，再依據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度和等腰三角形的底角相等的特點，即可分別計算出兩種情況下其他內(nèi)角的度數(shù)?！窘獯稹拷猓海?）假設(shè)這個內(nèi)角是底角，則另一個底角也是50°。頂角為：180°﹣50°×2＝180°﹣100°＝80°（2）假設(shè)這個內(nèi)角是頂角。每個底角的度數(shù)為：（180°﹣50°）÷2＝130°÷2＝65°故答案為：50°、80°；65°、65°?！军c評】解答此題的主要依據(jù)是：三角形的內(nèi)角和是180度和等腰三角形的底角相等的特點，利用假設(shè)法，分兩種情況求解。第三部分第三部分知識精講知識清單+方法技巧知識清單+方法技巧一、三角形的特性三角形具有穩(wěn)定性．三內(nèi)角之和等于180度，根據(jù)角可以分為銳角三角形（每個角小于90°），直角三角形（有一個角等于90°），鈍角三角形（有一個角大于90°）．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．二、三角形的分類1．按角分判定法一：銳角三角形：三個角都小于90°．直角三角形：可記作Rt△．其中一個角必須等于90°．鈍角三角形：有一個角大于90°．判定法二：銳角三角形：最大角小于90°．直角三角形：最大角等于90°．鈍角三角形：最大角大于90°．其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形．2．按邊分不等邊三角形；等腰三角形；等邊三角形．三、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和為180°．直角三角形的兩個銳角互余．四、三角形邊的關(guān)系1、兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點間的距離。2、三角形任意兩邊的和大于第三邊。第四部分第四部分高頻真題一．選擇題（共5小題）1．（2024?高新區(qū)）新新想用一根10厘米長小棒和兩根5厘米長小棒圍三角形，結(jié)果（）A．圍成一個直角三角形 B．圍成一個等腰三角形 C．沒有圍成三角形2．（2024?黃驊市）如圖所示用木條釘成的框架，最不容易變形的是（）A． B． C． D．3．（2024秋?龍湖區(qū)期中）一個三角形中有兩個內(nèi)角的和等于90°，這個三角形（）是直角三角形。A．一定 B．可能 C．不一定 D．不可能4．（2024?惠州）下列小棒可以拼成三角形是（）A． B． C． D．5．（2024?播州區(qū)）如圖，已知∠2的度數(shù)比∠1小57，AB＝ACA．115° B．70° C．110° D．無法計算二．填空題（共5小題）6．（2024?宿豫區(qū)開學(xué)）在一個三角形中，∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠3＝。按角分，這是一個三角形。7．（2024?重慶）三角形ABC的內(nèi)角滿足∠A﹣8∠B＝8∠C，則∠A的度數(shù)為度。8．（2024?塔河縣）一個等腰三角形的頂角和一個底角的度數(shù)之比是2：5，則這個三角形的頂角度數(shù)是。9．（2024春?寧津縣期末）三角形紙片被撕去了一個角（如圖），原來的三角形紙片按角分是三角形，按邊分是三角形。10．（2024?東昌府區(qū)開學(xué)）一個三角形中的兩個角分別是45°、72°，第三個角是°，這是一個三角形。三．判斷題（共7小題）11．（2024?東昌府區(qū)開學(xué)）用長度分別是9厘米、4厘米和3厘米的三根小棒，頭尾相連，一定能擺出一個三角形。12．（2024春?臨泉縣期末）自行車的車架設(shè)計成三角形是為了節(jié)省材料。13．（2024春?防城港期末）等邊三角形也叫正三角形．14．（2024春?巨野縣期末）直角三角形的內(nèi)角和小于鈍角三角形的內(nèi)角和．15．（2024?蘭考縣）兩根木條，一長一短，把任意一根截成兩段，都可以拼成三角形。16．（2024春?鎮(zhèn)平縣期末）已知三角形中兩個內(nèi)角的平均度數(shù)是45°，它一定是個直角三角形。17．（2024春?阿榮旗期末）直角三角形中，如果有一個角是40°，那么另一個角是50°。四．計算題（共1小題）18．（2023春?安溪縣期末）（1）請你結(jié)合小剛的操作填一填。在直角三角形中，∠1+∠3＝°，∠1+∠2+∠3＝°，所以直角三角形的內(nèi)角和是。（2）你能運用上面“直角三角形內(nèi)角和”的結(jié)論，進一步說明任意三角形內(nèi)角和是180°嗎？請你先畫出三角形的一條高，將它分成兩個直角三角形，再試著運用“直角三角形內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論說明“任意三角形內(nèi)角和是180°”。五．連線題（共1小題）19．（2024春?通道縣期中）連一連。六．操作題（共1小題）20．（2024秋?石泉縣期中）量一量，填一填。（1）∠1＝°、∠2＝°、∠3＝°。（2）∠1＝°、∠2＝°、∠3＝°。（3）∠1＝°、∠2＝°、∠3＝°。計算上面每個三角形中三個角的度數(shù)之和，你發(fā)現(xiàn)：。參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2024?高新區(qū)）新新想用一根10厘米長小棒和兩根5厘米長小棒圍三角形，結(jié)果（）A．圍成一個直角三角形 B．圍成一個等腰三角形 C．沒有圍成三角形【考點】三角形邊的關(guān)系．【專題】幾何直觀．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的特性：三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可?！窘獯稹拷猓阂驗?+5＝10，所以用一根10厘米長的小棒和兩根5厘米長的小棒不能圍成三角形。故選：C。【點評】本題考查了三角形的特性，結(jié)合題意分析解答即可。2．（2024?黃驊市）如圖所示用木條釘成的框架，最不容易變形的是（）A． B． C． D．【考點】三角形的穩(wěn)定性；三角形的特性．【專題】幾何直觀．【答案】C【分析】應(yīng)用三角形的穩(wěn)定性和四邊形容易變形的特點進行解答即可?！窘獯稹拷猓悍治隹芍?，最不容易變形的是。故選：C?！军c評】此題考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形容易變形的應(yīng)用；三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得。3．（2024秋?龍湖區(qū)期中）一個三角形中有兩個內(nèi)角的和等于90°，這個三角形（）是直角三角形。A．一定 B．可能 C．不一定 D．不可能【考點】三角形的分類；三角形的內(nèi)角和．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算；幾何直觀．【答案】A【分析】三角形的3個內(nèi)角的和是180度，利用180度減去兩個內(nèi)角的和等于90°求出第三個角，再根據(jù)銳角三角形：最大角小于90°；直角三角形：最大角等于90°；鈍角三角形：最大角大于90°判斷?！窘獯稹拷猓?80°﹣90°＝90°90°是直角，因此這個三角形一定是直角三角形。故選：A?！军c評】本題考查了三角形按角分類的方法及三角形內(nèi)角和的應(yīng)用。4．（2024?惠州）下列小棒可以拼成三角形是（）A． B． C． D．【考點】三角形邊的關(guān)系．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算；幾何直觀．【答案】A【分析】三角形任意兩邊的和大于第三邊?！窘獯稹拷猓篈.8+5＞10，符合三角形的三邊關(guān)系，可以拼成三角形。B.3+5＝8，不符合三角形的三邊關(guān)系，不可以拼成三角形。C.3+4＜8，不符合三角形的三邊關(guān)系，不可以拼成三角形。D.3+2＜7，不符合三角形的三邊關(guān)系，不可以拼成三角形。故選：A。【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用。5．（2024?播州區(qū)）如圖，已知∠2的度數(shù)比∠1小57，AB＝AC，那么∠3＝（）A．115° B．70° C．110° D．無法計算【考點】三角形的內(nèi)角和．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】把∠1看作單位“1”，用180°除以（1+1?57），求出∠1，再求出∠2，再根據(jù)AB＝AC，那么∠B＝∠C，用180°﹣∠2，再除以2，求出∠B，再用180°減去∠【解答】解：180°÷（1+1?5＝180°÷＝140°140°×（1?5＝140°×＝40°（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°180°﹣70°＝110°答：∠3＝110°故選：C?！军c評】本題考查的是三角形內(nèi)角和的問題，明確三角形內(nèi)角和是180°是解答關(guān)鍵。二．填空題（共5小題）6．（2024?宿豫區(qū)開學(xué)）在一個三角形中，∠1＝36°，∠2＝54°，那么∠3＝90°。按角分，這是一個直角三角形?！究键c】三角形的內(nèi)角和；三角形的分類．【專題】應(yīng)用意識．【答案】90°，直角?！痉治觥坷萌切蝺?nèi)角和定理及三角形按角分配的原理解答。【解答】解：180°﹣36°﹣54°＝90°答：∠3＝90°；按角分，這是一個直角三角形。故答案為：90°，直角?！军c評】本題主要考查三角形按角分類的應(yīng)用及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用。7．（2024?重慶）三角形ABC的內(nèi)角滿足∠A﹣8∠B＝8∠C，則∠A的度數(shù)為160度?！究键c】三角形的內(nèi)角和．【專題】模型思想；應(yīng)用意識．【答案】160?！痉治觥扛鶕?jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可?！窘獯稹拷猓阂驗槿切蜛BC的內(nèi)角滿足∠A﹣8∠B＝8∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A+∠A÷8＝180°∠A＝180°÷∠A＝160°答：∠A的度數(shù)是160°。故答案為：160?！军c評】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用。8．（2024?塔河縣）一個等腰三角形的頂角和一個底角的度數(shù)之比是2：5，則這個三角形的頂角度數(shù)是30°?！究键c】三角形的內(nèi)角和．【專題】幾何直觀．【答案】30°?！痉治觥坑深}意可知：這個等腰三角形的3個內(nèi)角的度數(shù)比為2：5：5，再據(jù)三角形的內(nèi)角和是180度，利用按比例分配的方法，即可分別求出頂角的度數(shù)?！窘獯稹拷猓?+5+5＝12頂角為：180°×2答：這個三角形的頂角是30°。故答案為：30°?！军c評】本題運用三角形的內(nèi)角和定理及和比問題的解答方法進行解答即可。9．（2024春?寧津縣期末）三角形紙片被撕去了一個角（如圖），原來的三角形紙片按角分是銳角三角形，按邊分是等腰三角形。【考點】三角形的內(nèi)角和；三角形的分類．【專題】空間與圖形．【答案】銳角；等腰。【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°，求出第三個角，再進行分類即可?！窘獯稹拷猓?80﹣70﹣40＝110﹣40＝70（度）答：原來的三角形紙片按角分是銳角三角形，按邊分是等腰三角形。故答案為：銳角；等腰?！军c評】熟練掌握三角形的內(nèi)角和知識，是解答此題的關(guān)鍵。10．（2024?東昌府區(qū)開學(xué)）一個三角形中的兩個角分別是45°、72°，第三個角是63°，這是一個銳角三角形。【考點】三角形的分類；三角形的內(nèi)角和．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】因為三角形的內(nèi)角度數(shù)和是180°，已知兩個內(nèi)角，先用減法求出第三個內(nèi)角的度數(shù)，進而根據(jù)三角形的分類判定出這個三角形的類型；由此得解?！窘獯稹拷猓?80°﹣45°﹣72°＝135°﹣72°＝63°因為三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，所以該三角形是銳角三角形。故答案為：63，銳角?！军c評】此題主要考查三角形的內(nèi)角和是180°及判定三角形類別的方法。三．判斷題（共7小題）11．（2024?東昌府區(qū)開學(xué)）用長度分別是9厘米、4厘米和3厘米的三根小棒，頭尾相連，一定能擺出一個三角形?！痢究键c】三角形邊的關(guān)系．【專題】推理能力．【答案】×【分析】三角形的三邊關(guān)系，即三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此判斷即可?！窘獯稹拷猓?+4＝7＜9，所以三根小棒不能組成三角形，故原題說法錯誤。故答案為：×。【點評】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系的靈活運用。12．（2024春?臨泉縣期末）自行車的車架設(shè)計成三角形是為了節(jié)省材料?！痢究键c】三角形的特性．【專題】應(yīng)用意識．【答案】×【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，解答此題即可?！窘獯稹拷猓鹤孕熊嚨能嚰茉O(shè)計成三角形，是利用三角形的穩(wěn)定性特點，故原題錯誤。故答案為：×?！军c評】熟練掌握三角形的特性，是解答此題的關(guān)鍵。13．（2024春?防城港期末）等邊三角形也叫正三角形．√【考點】等腰三角形與等邊三角形．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】因為等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，三條邊都相等，所以又叫正三角形；據(jù)此判斷．【解答】解：等邊三角形的三個內(nèi)角都是60度，三條邊都相等，也叫正三角形；故答案為：√．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)．14．（2024春?巨野縣期末）直角三角形的內(nèi)角和小于鈍角三角形的內(nèi)角和．×【考點】三角形的內(nèi)角和．【專題】綜合判斷題；找“定”法；平面圖形的認(rèn)識與計算．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】任意三角形的內(nèi)角和都是180°，所以銳角三角形的內(nèi)角和、直角三角形的內(nèi)角和以及鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°．【解答】解：不管鈍角三角形內(nèi)角和還是直角三角形的內(nèi)角和都是180°，所以原題說法錯誤；故答案為：×．【點評】考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．15．（2024?蘭考縣）兩根木條，一長一短，把任意一根截成兩段，都可以拼成三角形。×【考點】三角形的特性．【專題】平面圖形的認(rèn)識與計算；幾何直觀．【答案】×【分析】任意三角形的兩邊之和必須大于第三邊，任意兩邊的差必須小于第三邊，據(jù)此解答。【解答】解：若把2厘米的木條分成2段分別是1厘米、1厘米，那么和較長的木條3厘米，就不符合三角形的三邊關(guān)系，不能組成三角形，所以原題說法錯誤。故答案為：×。【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用。16．（2024春?鎮(zhèn)平縣期末）已知三角形中兩個內(nèi)角的平均度數(shù)是45°，它一定是個直角三角形?！獭究键c】三角形的分類；三角形的內(nèi)角和．【專題】空間觀念．【答案】√【分析】已知三角形中兩個內(nèi)角的平均度數(shù)是45°，則這兩個角的和是45°×2＝90°，再用內(nèi)角和180°減去兩個內(nèi)角的和，即可求出三角形的第三個角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的分類即可確定它是不是個直角三角形?！窘獯稹拷猓?80°﹣45°×2＝180°﹣90°＝90°答：已知三角形中兩個內(nèi)角的平均度數(shù)是45°，它一定是個直角三角形。故答案為：√。【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和是180度和三角形的分類。17．（2024春?阿榮旗期末）直角三角形中，如果有一個角是40°，那么另一個角是50°。√【考點】三角形的內(nèi)角和．【專題】運算能力．【答案】√【分析】因為三角形的內(nèi)角和是180°，根據(jù)“180°﹣90°﹣已知角的度數(shù)＝另一個角的度數(shù)”求出另一個角的度數(shù)即可。【解答】解：180°﹣90°﹣40°＝90°﹣40°＝50°答：另一個銳角是50°。所以題干說法正確。故答案為：√?！军c評】此題主要考查三角形的內(nèi)角和，掌握三角形的內(nèi)角和等于180度是解題的關(guān)鍵。四．計算題（共1小題）18．（2023春?安溪縣期末）（1）請你結(jié)合小剛的操作填一填。在直角三角形中，∠1+∠3＝90°，∠1+∠2+∠3＝180°，所以直角三角形的內(nèi)角和是180°。（2）你能運用上面“直角三角形內(nèi)角和”的結(jié)論，進一步說明任意三角形內(nèi)角和是180°嗎？請你先畫出三角形的一條高，將它分成兩個直角三角形，再試著運用“直角三角形內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論說明“任意三角形內(nèi)角和是180°”?！究键c】三角形的內(nèi)角和．【專題】綜合題；應(yīng)用意識．【答案】（1）90，180，180°；（2）因為∠1+∠2＝90°，∠6+∠5＝90°，所以∠1+∠2+∠6+∠5＝90°+90°＝180°，而這四個角的度數(shù)之和是三角形的內(nèi)角和，即任意三角形內(nèi)角和是180°。【分析】（1）根據(jù)小剛的推導(dǎo)直接解答即可；（2）運用（1）的結(jié)論直接推導(dǎo)即可?！窘獯稹拷猓海?）在直角三角形中，∠1+∠3＝90°，∠1+∠2+∠3＝180°，所以直角三角形的內(nèi)角和是180°。（2）如下圖所示：根據(jù)（1）的相關(guān)知識可知：∠1+∠2＝90°，∠