計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教案

應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)教研室

2006年5月

目錄

第1章緒論....................................................................1

1.1計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)...............................................................1

1.2計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論........................................................2

第2章一元線性回歸模型.......................................................7

2.1回歸分析概述............................................................7

2.2一元線性回歸模型.......................................................12

第3章多元線性回歸模型.......................................................30

3.1多元線性回歸模型.......................................................30

3.2多元線性回歸模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn).............................................39

3.3多元線性回歸模型的置信區(qū)間............................................43

第4章異方差性................................................................49

4.1異方差的概念...........................................................49

4.2異方差的后果...........................................................51

4.3異方差的檢驗(yàn)...........................................................52

4.4異方差的修正...........................................................54

4.5案例一居民儲(chǔ)蓄模型估計(jì).................................................56

第5章序列相關(guān)性.............................................................59

5.1序列相關(guān)性.............................................................59

5.2序列相關(guān)性的后果.......................................................61

5.3序列相關(guān)性的檢驗(yàn).......................................................62

5.4序列相關(guān)性的修正.......................................................64

5.5案例一地區(qū)商品出口模型估計(jì)............................................67

第6章多重共線性..............................................................70

6.1多重共線性.............................................................70

6.2多重共線性的后果.......................................................71

6.3多重共線性的檢驗(yàn).......................................................73

6.4多重共線性的方法.......................................................74

6.5案例一服裝市場(chǎng)需求函數(shù).................................................75

第7章隨機(jī)解釋變量和虛擬變量.................................................78

7.1隨機(jī)解釋變量問題.......................................................78

7.2虛擬變量模型...........................................................83

第8章單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用模型...............................................89

8.1生產(chǎn)函數(shù)模型...........................................................89

8.2需求函數(shù)模型...........................................................96

第9章滯后變量模型..........................................................102

9.1滯后變量模型的基本概念................................................102

9.2分布滯后模型的參數(shù)估計(jì)...............................................103

9.3滯后變量模型的構(gòu)造....................................................107

9.4自回歸模型的估計(jì)......................................................109

9.5案例一我國(guó)長(zhǎng)期貨幣流通量需求模型.....................................111

第10章聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型理論與方法....................................113

10.1聯(lián)立方程模型的基本概念..............................................113

10.2聯(lián)立方程模型的結(jié)構(gòu)式和簡(jiǎn)化式........................................115

10.3計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法中的聯(lián)立方程問題......................................118

第11章聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的識(shí)別........................................121

11.1模型的識(shí)別的概念.....................................................121

11.2模型的識(shí)別的階條件和秩條件..........................................125

第12章聯(lián)立方程模型的估計(jì)..................................................130

12.1聯(lián)立方程模型的單方程估計(jì)方法.........................................130

12.2聯(lián)立方程模型的系統(tǒng)估計(jì)方法..........................................138

第一章緒論

【教學(xué)目的與要求】通過本章學(xué)習(xí)，要求了解計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本概念、計(jì)量

經(jīng)濟(jì)學(xué)的內(nèi)容體系以及本課程涉及的內(nèi)容、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的主要應(yīng)用、建立與應(yīng)用

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的工作步驟、學(xué)習(xí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要性。要求掌握計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的

經(jīng)濟(jì)學(xué)科性質(zhì)以及在經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的地位，在建立與應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的每一步

驟中應(yīng)注意的關(guān)鍵問題。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】本章重點(diǎn)是對(duì)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)科性質(zhì)的理解和在建

立與應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的每一步驟中應(yīng)注意的關(guān)鍵問題。難點(diǎn)是如何將本章的

知識(shí)用于指導(dǎo)全課程的學(xué)習(xí)。

【教學(xué)方法】課堂講授、實(shí)證分析與學(xué)生自學(xué)相結(jié)合。

§1.1計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

一、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，是對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的作用存在有某種期待的結(jié)果，它把數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)數(shù)

據(jù)，以使數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)構(gòu)造出來的模型得到經(jīng)驗(yàn)上的支持，并獲得數(shù)值結(jié)果。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)可定義為實(shí)際經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的數(shù)量分析。這種分析基于理論與觀測(cè)的并行發(fā)展，

而理論與觀測(cè)又通過適當(dāng)?shù)姆椒ǘ靡月?lián)系。

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究經(jīng)濟(jì)定律的經(jīng)驗(yàn)判斷。

本質(zhì)上，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究方法是，利用統(tǒng)計(jì)推斷的理論和技術(shù)作為橋頭堡，以達(dá)到經(jīng)

濟(jì)理論和實(shí)際測(cè)算相銜接的目的。

對(duì)經(jīng)濟(jì)的數(shù)量研究有幾個(gè)方面,其中任何一個(gè)就其本身來說都不應(yīng)該與經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)混為

一談。因此，經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)與經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)絕不是一樣的。它也不等于我們所說的一般經(jīng)濟(jì)理論,

即使這種理論中有很大部分具有確定的數(shù)量特征。也不應(yīng)把計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的意義與經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)

用經(jīng)濟(jì)學(xué)看成是一樣的。經(jīng)驗(yàn)表明，統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)理論和數(shù)學(xué)的三個(gè)方面的觀點(diǎn)之一是實(shí)際

理解現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)生活中數(shù)量關(guān)系的必要條件，但任何一種觀點(diǎn)都不是充分條件。這三者的統(tǒng)一

才是強(qiáng)有力的工具；正是由于這三者的統(tǒng)一才構(gòu)成了經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)。(R.Frish,

Economitrica,1933)

Comparison：MathematicalEconomics--themathematicaldevelopmentoftheeconomictheory

EconomicStatistics----concernedwithdescriptivestatistics:developingandrefining

Economicdata(nationalincomeaccounts,indexnumbers)

Econometrics——utilizesthedatatoestimatequantitativeeconomicrelationshipsand

Totesthypothesesaboutthem..

(MichaelD.Intriligator,ProfessorofEconomics,UniversityofCalifornia,LosAngeles)

二、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

模型(models),是對(duì)現(xiàn)實(shí)的描述和模擬。對(duì)現(xiàn)實(shí)的各種不同的描述和模擬方法，就構(gòu)

成了各種不同的模型：

語義模型(也稱邏輯模型)、物理模型、幾何模型、數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模型等。

經(jīng)濟(jì)理論語義模型

例1:對(duì)供給不足下的生產(chǎn)活動(dòng)，我們可以用“產(chǎn)出量是由資本、勞動(dòng)、技術(shù)等投入要

素決定的，在一般情況下，隨著各種投入要素的增加，產(chǎn)出量也隨之增加，但要素的邊際產(chǎn)

出是遞減的”來描述。

數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型——（經(jīng)濟(jì)）數(shù)學(xué)模型

計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型——（經(jīng)濟(jì)）數(shù)學(xué)模型

比較：

數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型：揭示經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中各個(gè)因素之間的理論關(guān)系，用確定性的數(shù)學(xué)方程加以描

述。如可將例1中的語義模型寫成數(shù)理經(jīng)濟(jì)模型：

Q=或Q=Ae”K”

計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型：揭示經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中各個(gè)因素之間的定量關(guān)系，用隨機(jī)性的數(shù)學(xué)方程加以描

述：如可將例1中的語義模型寫成計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型：Q=

三、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的內(nèi)容體系

1.廣義計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和狹義計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)作為經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)分支學(xué)科，有其廣泛的內(nèi)容。一般將它分為廣義計(jì)量經(jīng)濟(jì)

學(xué)和狹義計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)。

廣義計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，是利用經(jīng)濟(jì)理論、數(shù)學(xué)以及統(tǒng)計(jì)學(xué)定量研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的經(jīng)濟(jì)計(jì)算方法

的統(tǒng)稱，包括回歸分析方法、投入產(chǎn)出分析方法、時(shí)間序列分析方法等。

狹義計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，也就是我們通常所說的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)，以揭示經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的因果關(guān)系為

目的，在數(shù)學(xué)上主要應(yīng)用回歸分析方法。

2、理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

理論計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)：以介紹、研究計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論與方法為主要內(nèi)容，側(cè)重于理論與方

法的數(shù)學(xué)證明與推導(dǎo)，與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系極為密切。

應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)：以建立與應(yīng)用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型為主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用模型的經(jīng)濟(jì)學(xué)和

經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)，側(cè)重于建立與應(yīng)用模型過程中實(shí)際問題的處理。

3、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模理論與方法的發(fā)展

傳統(tǒng)方法（“結(jié)構(gòu)模型方法”（50、60年代））：以先驗(yàn)給定的經(jīng)濟(jì)理論為建立模型的出

發(fā)點(diǎn)，以模型的參數(shù)估計(jì)為重心，以參數(shù)估計(jì)值與其理論預(yù)期值相??致為判斷標(biāo)準(zhǔn)。

試驗(yàn)方法（70年代以后）：從只有少數(shù)方程和變量入手，進(jìn)行試驗(yàn)，包括在各種變量的

組合中增刪變量、或增刪方程、或改變函數(shù)形式等，以求取得最佳模型。

§1.2計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論

一、傳統(tǒng)或經(jīng)典方法論（建立模型）

（-）理論模型的設(shè)計(jì)

1、理論或假說的陳述；

2、理論的數(shù)學(xué)模型的設(shè)定；

3、理論的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的設(shè)定；

（二）獲取數(shù)據(jù)

（三）模型的參數(shù)估計(jì)

（四）模型的檢驗(yàn)

1、經(jīng)濟(jì)意義的檢驗(yàn)

2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

2

3、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)

4、預(yù)測(cè)檢驗(yàn)

（五）模型應(yīng)用

I、經(jīng)濟(jì)分析/構(gòu)分析

2、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)

3、政策評(píng)價(jià)

4、檢驗(yàn)與發(fā)展經(jīng)濟(jì)理論

例2：凱恩斯消費(fèi)理論

（-）理論模型的設(shè)計(jì)

1、理論或假說的陳述

“基本的心理定律是……，通?；蚱骄?，人們傾向于隨著他們收入的增加而增加

其消費(fèi)，但比不上收入增加得那么多。"（JohnMaynardKeynes,TheGeneralTheoryof

Employment,InterestandMoney）

即：邊際消費(fèi)傾向（MPC：marginalpropensitytoconsume）大于0而小于1。

?確定模型所包含的變量：消費(fèi)（Y）、（X）

2、理論的數(shù)學(xué)模型的設(shè)定

數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的設(shè)定：

y=/（x）（1.2.D

或：Y=仇+臣（1.2.2）

這里四與A分別表示一條直線的截距和斜率，其中A就是對(duì)MPC的度量。

?擬定理論模型中待估參數(shù)的理論期望值

伐>0;0>%>1

3、理論的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的設(shè)定

Y=+N（1.2,3）

其中：p---誤差項(xiàng)或干擾項(xiàng)（stochasticdisturbanceterm）,是?個(gè)隨機(jī)變量。

該計(jì)量經(jīng)濟(jì)消費(fèi)模型假設(shè)了消費(fèi)對(duì)收入有線性關(guān)系，但兩者的關(guān)系還是不準(zhǔn)確的，它從

一個(gè)家庭變到另一個(gè)家庭（山誤差項(xiàng)表示）。

3

b.凱恩斯消費(fèi)函數(shù)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型

圖1.1凱恩斯消費(fèi)函數(shù)及其計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型

（二）樣本數(shù)據(jù)的收集

為了估計(jì)（123）所示的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，即為了得到4和4,需要有關(guān)于收入與消費(fèi)

支出的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。表1.1給出了一組美國(guó)經(jīng)濟(jì)的數(shù)據(jù)。

表1.1Y（個(gè)人消費(fèi)支出）和X（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）數(shù)據(jù)（10億萬年美元）

年YX年YX

19802447.13776.319862969.14404.5

19812476.93843.119873052.24539.9

19822503.73760.319883162.44718.6

19832619.43906.619893223.34838

19842746.14148.519903260.44877.5

19852865.84279.819913240.84821

（三）模型的參數(shù)估計(jì)

參數(shù)估計(jì)將對(duì)模型賦予經(jīng)驗(yàn)內(nèi)容，是一個(gè)純技術(shù)的過程。包括對(duì)模型進(jìn)行識(shí)別（對(duì)聯(lián)

立方程模型而言）、估計(jì)方法的選擇、軟件的應(yīng)用等內(nèi)容。在一定的假設(shè)下面，通過普通最

小二乘法，利用表1.1中的數(shù)據(jù)所估計(jì)的消費(fèi)函數(shù)是

K=-231.8+0.7194%（1.2.4）

從方程（1.2.4）可知,在1980~1991年期間,邊際消費(fèi)傾向約為0.72,表明在此期間，

實(shí)際收入每增加一美元，平均而言，實(shí)際消費(fèi)支出增加約72美分。之所以說平均而言，是

因?yàn)橄M(fèi)和收入之間沒有準(zhǔn)確的關(guān)系。

（四）模型的檢驗(yàn)

4

1、經(jīng)濟(jì)意義的檢驗(yàn)

主要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)估計(jì)量在經(jīng)濟(jì)意義上的合理性。主要方法是將模型參數(shù)的估計(jì)量與

預(yù)先擬定的理論期望值進(jìn)行比較，包括參數(shù)估計(jì)量的符號(hào)、大小、相互之間的關(guān)系，以判斷

其合理性。

這里，0<0.72vl,經(jīng)濟(jì)意義合理。

2、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)是由統(tǒng)計(jì)理論決定的，目的在于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕y(tǒng)計(jì)學(xué)性質(zhì)。通常最廣泛應(yīng)用的統(tǒng)

計(jì)檢驗(yàn)準(zhǔn)則有擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量和方程的顯著性檢驗(yàn)等。

這里需要檢驗(yàn)：0.72是否在統(tǒng)計(jì)意義上（statistical）小于1?

3、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)是由計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論決定的，目的在于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠?jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)性質(zhì)。

即運(yùn)用所選定的估計(jì)方法（如上面所說的普通最小二乘法）時(shí)的前提假設(shè)是否存在。通常最

主要的檢驗(yàn)準(zhǔn)則有隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)檢驗(yàn)和異方差性檢驗(yàn)，解釋變量的多重共線性檢驗(yàn)

等。

4、預(yù)測(cè)檢驗(yàn)

預(yù)測(cè)檢驗(yàn)主要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)估計(jì)量的穩(wěn)定性以及相對(duì)樣本容量變化時(shí)的靈敏度，確定

所建立的模型是否可以用于樣本觀測(cè)值以外的范圍，即模型的所謂超樣本特性。

（五）模型應(yīng)用

1、經(jīng)濟(jì)分析/結(jié)構(gòu)分析嗔

2、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)當(dāng)一個(gè)變量或幾個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)會(huì)對(duì)其他變量以至

3、政策評(píng)價(jià)一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)產(chǎn)生什么樣的影響

純預(yù)測(cè)：假定1994年GDP為60萬億美元，問1994年的消費(fèi)將是多少？

f=-231.8+0.7196x60=40.85

經(jīng)濟(jì)分析/政策評(píng)價(jià)：1993年克林頓總統(tǒng)上任后宣布其經(jīng)濟(jì)計(jì)劃，其中包括對(duì)年收入超

過14萬美元的人增稅，假若政策改變的結(jié)果導(dǎo)致投資的下降，問這一收入政策對(duì)消費(fèi)支出

以至最后對(duì)就業(yè)的影響將如何？

根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)理論：投資支出每改變1元，收入的改變由收入乘數(shù)（M）給出：

因此，由模型中已得到的MPC=0.7196,可得到M=3.57。即投資減少1元，將最終導(dǎo)

致收入減少3.6美元。

于是，假定這一政策導(dǎo)致1994年投資支出下降1%,則可預(yù)算出收入下降1.014%,相

應(yīng)的消費(fèi)支出下降1.019%。

表1.21994年加稅政策的影響

預(yù)測(cè)值加稅后預(yù)測(cè)值政策影響絕對(duì)量政策影響相對(duì)量

（10億美元）（10億美元）（10億美元）（%）

收入6000059392-608-1.014

消費(fèi)支出4296842530-438-1.019

投資支出1703216861-170-1

又問：政府認(rèn)為4萬億美元的消費(fèi)支出水平可維持當(dāng)前約60.5%的失業(yè)率水平，問什么

收入水平將保證消費(fèi)支出的這一目標(biāo)？

4000=—231.8+0.7194X

5

X=5882

4、檢驗(yàn)與發(fā)展經(jīng)濟(jì)理論

一方面，按照某種經(jīng)濟(jì)理論去建立模型，通過實(shí)際經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)去擬合，根據(jù)擬合的好壞來

檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)理論：另一方面，根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)來擬合各種模型，并通過分析總結(jié)擬合最好的模型

所表現(xiàn)出來的變量間的關(guān)系，來探尋經(jīng)濟(jì)變化規(guī)律，即發(fā)現(xiàn)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)理論。

二、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型成功的三要素

從上述建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的步驟中，不難看出，任何項(xiàng)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)研究、任何個(gè)

計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型賴以成功的要素應(yīng)該有三個(gè)：理論、方法、數(shù)據(jù)

EconomicTheory——econometricmodel

StatisticTheory---econometrictechniques

Facts—relevantdata

理論、方法、數(shù)據(jù)

圖1.2,TheEconometricApproac

6

第二章一元線性回歸模型的理論與方法

【教學(xué)目的與要求】

了解（最低要求）：一元線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的基本理論與方法；推

導(dǎo)和證明與普通最小二乘法有關(guān)的參數(shù)估計(jì)過程和結(jié)論；應(yīng)用計(jì)算器進(jìn)行線性單

方程模型的普通最小二乘估計(jì)；獨(dú)立完成建立一元線性單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的

全過程工作。

掌握（較高要求）：關(guān)于線性單方程積極性模型的基本假設(shè)，最小二乘法的

基本原理；主要的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法及應(yīng)用。

應(yīng)用（對(duì)應(yīng)用能力的要求）：學(xué)習(xí)該部分，要求建立一個(gè)實(shí)際的一元線性回

歸模型，用計(jì)算器完成參數(shù)估計(jì)量的計(jì)算與檢驗(yàn)，最后提交一篇報(bào)告。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】本章重點(diǎn)是關(guān)于線性單方程積極性模型的基本假設(shè)，最

小二乘法的基本原理；主要的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法及應(yīng)用。難點(diǎn)是推導(dǎo)和證明與普通最

小二乘法有關(guān)的參數(shù)估計(jì)過程和結(jié)論。

【教學(xué)方法】課堂講授、實(shí)證分析與學(xué)生自學(xué)相結(jié)合。

§2.1回歸分析概述

一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：

確定性變量關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機(jī)變量間的關(guān)系。

統(tǒng)計(jì)依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機(jī)變量間的關(guān)系。

例2.1：圓面積=F（兀,圓半徑）=兀*圓半徑*圓半徑，函數(shù)關(guān)系;

農(nóng)作物產(chǎn)量=F（氣溫、降雨量、陽光、施肥量），統(tǒng)計(jì)依賴（相關(guān)）關(guān)系。

正相關(guān)

,線性相關(guān)不相關(guān)相關(guān)系數(shù):、

而因果關(guān)系河歸分析

統(tǒng)計(jì)依賴（相關(guān)）關(guān)系〈L負(fù)相關(guān)-1WPW1

「正相關(guān)宏因果關(guān)系5目關(guān)分析

I非線性相3不相關(guān)

L負(fù)相關(guān)

▲注意：①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)；

②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系；

③回歸分析/相關(guān)分析研究一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)（些）變量的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，但它們

并不意味著一定有因果關(guān)系。

④回歸分析對(duì)變量的處理方法存在不對(duì)稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自

變量（解釋變量）：前者是隨機(jī)變量，后者不是；相關(guān)分析則對(duì)稱地對(duì)待任何（兩

個(gè)）變量，兩個(gè)變量都被看作是隨機(jī)的。

回歸分析是研究一個(gè)變量關(guān)于另一個(gè)（些）變量的依賴關(guān)系的計(jì)算方法和理論。其用

意在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計(jì)和（或）預(yù)測(cè)前者的（總體）均值。前一個(gè)變量

7

被稱為被解釋變量(ExplainedVariable)或應(yīng)變量(DependentVariable)后一個(gè)變量被稱

為解釋變量(ExplanatoryVariable)或自變量(IndependentVariable)?

回歸分析構(gòu)成計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：

1、根據(jù)樣本觀察值對(duì)經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求得回歸方程；

2、對(duì)回歸方程、參數(shù)估計(jì)值進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；

3、利用回歸方程進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)。

二、總體回歸函數(shù)(方程)：PRF

由于統(tǒng)計(jì)相關(guān)的隨機(jī)性，回歸方程關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的己知或給定值，考察被解釋

變量的總體均值，即當(dāng)解釋變量取某個(gè)確定值時(shí)，與之統(tǒng)計(jì)相關(guān)的被解釋變量所可能出現(xiàn)的

對(duì)應(yīng)值的平均值。

例2.1：一個(gè)假想的社區(qū)人口總體有60戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費(fèi)支出

Y與每月可支配家庭X的關(guān)系，即知道了家庭的每月收入，預(yù)測(cè)每月消費(fèi)支出的(總體)

平均水平。為達(dá)到此目的，將該60戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的1。組，以分析每一收

入組的家庭消費(fèi)支出(表2.1)

表2.1某社區(qū)每月家庭收入與消費(fèi)支出查統(tǒng)計(jì)表

每月家庭收入X(元)

800100012001400160018002000220024002600

550650790800102011001200135013701500

每月600700840930107011501360137014501520

家庭650740900950110012001400140015501750

消費(fèi)7008009401030116013001440152016501780

支出7508509801080118013501450157017501800

Y(元)088001130125014000160018901850

0001150000162001910

共計(jì)325046204450707067807500685010430966012110

條件概率1/51/61/51/71/61/61/51/71/61/7

條件均值6507708901010113012501370149016101730

由于不確定因素的影響，對(duì)同一收入水平X,不同家庭的消費(fèi)支出不完全相同，但由于

調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費(fèi)支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的

Y的條件分布(Conditionaldistribution)是已知的，如P(Y=550IX=800)=1/5。

對(duì)Y的每一個(gè)條件概率分布，可得其條件均值(conditionalmean)或條件期望(值)

(conditionalexpectation)：E(YIX=X,.),圳E(YlX=800)=650

散點(diǎn)圖表示，隨著收入的增加，消費(fèi)“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在

一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。

在給定解釋變量X,條件下被解釋變量匕的期望軌跡稱為總體回歸線(population

regressionline).或更一般地稱為總體回歸曲線(populationregressioncurve)。相應(yīng)的函數(shù)

(方程)：

￡(yIX,.)=/(%,.)(2.1.1)

8

3500

稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（方程）（PRF）（populationregressionfunction）。

?含義：回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量％的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X

變化的規(guī)律。

?函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。

例中：E（yiX,）=&+4Xj為一線性函數(shù)。其中，為與才為未知然而固定的參數(shù)，

稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）

總體回歸函數(shù)（方程）的隨機(jī)設(shè)定

個(gè)體家庭的消費(fèi)支出與給定收入水平間的關(guān)系：聚集在該收入水平平均消費(fèi)支出周圍。

對(duì)每一個(gè)個(gè)別家庭，記

4=Y「E（YIXJ

=Y「（為+￡區(qū)）（2.1.2）

稱從為觀察值匕圍繞它的期望值E（YIX。的離差（deviation）,是一個(gè)不可觀測(cè)的隨機(jī)變

量，又稱為隨機(jī)干擾項(xiàng)（stochasticdisturbance）或隨機(jī)誤差項(xiàng)（stochasticerror）?

由（2.1.2）式，個(gè)別家庭的消費(fèi)支出為：

X=E（YIXJ+〃，

=￡o+4X,+〃i（2.1.3）

即，給定收入水平X,，個(gè)別家庭的支出可以表示為兩部分之和：（1）該收入水平下所有家

庭的平均消費(fèi)支出E（YIX,）,稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic）部分（2）

9

其他隨機(jī)或非確定性(nonsystematic)部分“。

(2.1.3)式稱為總體回歸函數(shù)(方程)PRF的隨機(jī)設(shè)定形式。表明被解釋變量Y除了

受解釋變量X系統(tǒng)性影響外，還受其他未包括在模型中來而又集體地影響著Y的全部變量

的隨機(jī)性影響，〃即為這些集體變量的替代物。由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)

學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。

三、隨機(jī)干擾項(xiàng)的含義

隨機(jī)干擾(誤差)項(xiàng)〃是在模型設(shè)定中省略下來而由集體地影響著被解釋變量Y的全

部變量的替代物。

隨機(jī)誤差項(xiàng)主要包括下列因素的影響：

(1)在解釋變量中被忽略的因素的影響；

(2)變量觀測(cè)值的觀測(cè)誤差的影響；

(3)模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；

(4)其他隨機(jī)因素的影響。

產(chǎn)生并設(shè)計(jì)隨機(jī)誤差項(xiàng)的主要原因：

(1)理論的含糊性；

(2)數(shù)據(jù)的欠缺；

(3)節(jié)省原則.

四、樣本回歸函數(shù)(SRF)

由于總體的信息往往無法掌握，實(shí)現(xiàn)的情況只能是在一次觀測(cè)中得到總體的一個(gè)樣本。

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的

近似信息？

例2.2在例2.1的總體中有如下一個(gè)樣本，問：能否從該樣本中預(yù)測(cè)整個(gè)總體中對(duì)應(yīng)于

選定X的平均余，月消費(fèi)支出，即能否從該樣本估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF?

Y700650900950110011501200140015501500

X800100012001400160018002000220024002600

回答：能

訪XSA-X-甘心JR1”.

3000

每2500

月

2000

消

費(fèi)

1500

支

出1000

Y

元500

0

800110014001700200023002600290032003500

每月可能西隊(duì)X：元)

樣本散點(diǎn)圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地?cái)M合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體,

可以該線近似地代表總體回歸線。該成為樣本回歸線(sampleregressionlines),其函數(shù)形

式為：

10

X=〃X,)=A+6區(qū)(2.1.4)

稱為樣本回歸函數(shù)(sampleregressionfunction)SRF。

將(2.1.4)看成(2.1.1)的近似替代，則

g就為E(Y/XJ的估計(jì)量：

6.為月的估計(jì)量，i=i=(0,l)

樣本回歸函數(shù)的隨機(jī)形式

匕=y.+認(rèn)=Bo+B\Xj+et(2.1.5)

式中，,稱為(樣本)殘差(或剩余)項(xiàng)(residual),代表了其他影響工的隨機(jī)因素

的集合體，可看成為從的估計(jì)量。由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，因此也

稱為樣本回歸模型。

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF,估計(jì)總體回歸函數(shù)PRF。即根據(jù)

匕=￡+生=樂+2區(qū)+分

估計(jì)匕=E(yix,)+〃,=&+四x,.+〃，

即：設(shè)計(jì)一“方法”構(gòu)造SRF,以使SRF盡可能“接近"PRF,或者說使￡(i=0,1)盡

可能接近川(『=0,1)。(注：這里真實(shí)的PRF可能無法無從知道)

y,

樣本與總體回歸線

11

§2.2一元線性回歸模型

一、線性回歸模型的特征

形如

Y=R(2.2.1)

的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型稱為一元線性回歸模型(雙變量線性模型)。其中，Y為被解釋變量，X

為解釋變量，4與4是待估參數(shù)，〃為隨機(jī)干擾項(xiàng)。

例：凱恩斯的絕對(duì)收入假設(shè)消費(fèi)理論，認(rèn)為消費(fèi)是由收入唯?決定的，是收入的線性函

數(shù)。其模型為：

C^a+/3Y+/J(2.2.2)

線性回歸模型的特征：

1.通過引入隨機(jī)誤差項(xiàng)，將變量之間的關(guān)系用一個(gè)線性隨機(jī)方程來描述，并用隨機(jī)

數(shù)學(xué)的方法來估計(jì)方程中的參數(shù)，這就是線性回歸模型的特征，也就是線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

模型的特征。

2.在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)共同決定。

單方程線性回歸模型的一般形式為：

YHX小外Xg+0XQ+從i=l,2,…n(2.2.3)

其中，Y被稱為解釋變量，X「X2，KX.被稱為解釋變量，〃為隨機(jī)誤差項(xiàng)，i為觀測(cè)

值下標(biāo)，n為樣本容量，四,KA為待估參數(shù)。

二、線性回歸模型的普遍性

線性回歸模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的主要形式，許多實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中經(jīng)濟(jì)變量間的復(fù)

雜關(guān)系都可以通過一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系。

將非線性關(guān)系化為線性關(guān)系的常用的數(shù)學(xué)處理方法：

1.直接置換法

例如，商品的需求曲線是一種雙曲線形式，商品需求量q與商品價(jià)格p之間的關(guān)系

表現(xiàn)為非線性關(guān)系：

1,1

—=a+b—

qp

顯然，可以用y=%和x=%的置換，將方程變成：

y=a+bx

再如，拉弗曲線描述的稅收s和稅率r的關(guān)系是一種拋物線形式：

s=a+br+cr2c<0

12

2

可以用花=r,x2=r進(jìn)行置換，將方程變成：

s=a+bxt+cr2c<0

2、對(duì)數(shù)變化

例如，著名的Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)將產(chǎn)出量Q與投入要素(K,L)之間的關(guān)系描述為

事函數(shù)的形式：

Q=AKW

方程兩邊取對(duì)數(shù)后，即成為--個(gè)線性形式：

LnQ=LnA+aLnK+/3LnL

再如，生產(chǎn)中成本C與產(chǎn)量q的關(guān)系呈現(xiàn)指數(shù)關(guān)系：

C=ahq

方程兩邊取對(duì)數(shù)后，即成為一個(gè)線性形式：

Ln(C)=Ln(a)+qLn(b)

3、級(jí)數(shù)展開

例如，著名的CES生產(chǎn)函數(shù)將產(chǎn)出量Q與投入要素(K,L)之間的關(guān)系描述為如下的

形式：

_?

Q=A(偽KV+&L7)。(4+心=1)

方程兩邊取對(duì)數(shù)后，得到：

pp

LnQ=LnA-—Ln?K-+S2U)

P

將式中r")在夕=。處展開臺(tái)勞級(jí)數(shù)，取關(guān)于夕的線性項(xiàng)，即得道一個(gè)線性近

似式。

結(jié)論：實(shí)際經(jīng)濟(jì)生活中的許多問題，都可以最終化成線性問題，所以，線性回歸模型有

普遍意義。即使對(duì)于無法采取任何變換方法使之變成線性的非線性模型，目前使用得較多的

參數(shù)估計(jì)方法——非線性最小二乘法，其原理仍然是以線性估計(jì)方法為基礎(chǔ)。

三、線性回歸模型的基本假設(shè)

山于回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)(模型)SRF盡可能準(zhǔn)確估計(jì)總體回

歸函數(shù)(模型)PRFo即通過

匕=Z+a=瓦+自X’+e,(2.1.5)

估計(jì)匕=E(yiXJ+M.=￡°+4Xj+4(2.1.6)

1、技術(shù)線路：

山于/是匕的估計(jì)值，要求匕與匕的“總體”誤差盡可能地小一最小二乘法；

山于￡=瓦+6/，是E(Y。,)=尸0+￡陽的近似，要求區(qū)盡可能接近回

13

A盡可能接近幾f對(duì)模型的解釋變量X,與隨機(jī)誤差項(xiàng)《作出合理假定。

2、線性回歸模型在上述意義上的基本假設(shè)：

(1)解釋變量X1,X2,…X*是確定性變量，不是隨機(jī)變量，而且解釋變量之間

互不相關(guān)。

(2)隨機(jī)誤差項(xiàng)具有。均值和同方差。即

E(從)=0i=l,2,—n

Var(4)=<7]i=l,2,-n

其中E表示均值或期望，也可用M表示；Var表示方差，也可以用D表示。

(3)隨機(jī)誤差項(xiàng)在不同樣本點(diǎn)之間是獨(dú)立的，不存在序列相關(guān)。即

Cov(〃j,〃/)=0iWji,j=l,2,--n

其中Cov表示協(xié)方差。

(4)隨機(jī)誤差項(xiàng)與解釋變量之間不相關(guān)。即

Cov(Xj,.,〃j)=0j=l,2,…ki=l,2,…n

(5)隨機(jī)誤差項(xiàng)服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即

內(nèi)~N(0,bj)i=l,2,…n

在實(shí)際建立模型的過程中，除了基本假設(shè)5外，對(duì)模型是否滿足假設(shè)都要進(jìn)行檢驗(yàn)。這

就是“建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型步驟”中“計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)檢驗(yàn)”的任務(wù)。對(duì)于基本假設(shè)5,根據(jù)中

心極限定理，當(dāng)樣本容量趨于無窮大時(shí)，對(duì)于任何實(shí)際模型，都是滿足的。

由于解釋變量X,是確定性變量，隨機(jī)誤差項(xiàng)4是隨機(jī)性變量，因此被解釋變量匕

是隨機(jī)變量，且其分布(特征)與《相同。

四、一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)：普通最小二乘法

1、普通最小二乘法估計(jì)

已知一組樣本觀測(cè)值(X，Xj),(i=l,2,-n),要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地?cái)M合這組

值，即樣本回歸線上的點(diǎn)g與真實(shí)觀測(cè)點(diǎn)匕的“總體誤差”盡可能地小，或者說被解釋變

量的估計(jì)值與觀測(cè)值應(yīng)該在總體上最為接近，最小二乘法給出的判斷的標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的

平方和

0=￡(匕—￡.)2=￡(匕—(瓦+6/))2(2.2.4)

11

最小。即在給定樣本觀測(cè)值之下，選擇出/o、自能使匕與X之差的平方和最小。

14

為什么用平方和？因?yàn)槎咧羁烧韶?fù)，簡(jiǎn)單求和可能將很大的誤差抵消掉，只有平方和

才能反映二者在總體卜.的接近程度。這就是最小二乘原則。

根據(jù)微積分學(xué)的運(yùn)算，可推得用于估計(jì)6。、亥的下列方程組:

乞（廓+//—工）=0（2.2.5）

W（瓦+ax,T）x,=o

或（2.2.6）

解得

Bo=（2.2.7）

〃￡丫/一z匕zx,

A〃ZX：_（ZXj）2

方程組(2.2.6)稱為正則方程組(normalequations)?

2、參數(shù)估計(jì)的離差形式(deviationform)

記

MgXj,「=”匕

nn

Xi=x「M,x=y,-P

(2.2.7)的參數(shù)估計(jì)量可以寫成：

Y

區(qū)

X.

?注：在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，往往以小寫字母表示對(duì)均值的離差。

至此，完成了模型的基本估計(jì)任務(wù)。

由于20、6的估計(jì)結(jié)果是從最小二乘原理得到的，故稱為最小二乘估計(jì)量。

3、樣本回歸線的性質(zhì)：

(1)樣本回歸線通過丫和X的樣本均值。

證：因?yàn)橛写?廓+6》

(2)估計(jì)的Y的均值￡等于實(shí)測(cè)的丫的均值

證:r;=30+3^;=（y-31x）+31x,.=r+3.（x/-%）

15

由于Z（x,一招）=0,則

￡=1/心￡=1/心手=「

⑶殘差4的均值為零。

證：由正則方程：—Z（匕一片―6d,）=0知=0,故

耳="/=0

n

?樣本回歸模型的離差形式（deviationform）：

%=以a+4(2.2.9)

因?yàn)椤?瓦+竺+，,

0匕一廠=B(X,「M)+e,

y=&+4x

按照離差形式，樣本回歸方程（函數(shù)）SPF可寫為：

z-=a巧(2.2.10)

（4）殘差6和預(yù)測(cè)的匕不相關(guān)。

證：在離差形式下，

Z淞=/①巧（/一￡心）=6工七%一62工工2

因：。=2>,必/2>3故

工皿=厭工4-厭=D

（5）殘差，與X,不相關(guān)。

證：由正則方程：—Z（匕—瓦―?X,）X,=0知=0

五、最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)：高斯馬爾可夫定理

當(dāng)模型參數(shù)估計(jì)出后，需考慮參數(shù)估計(jì)值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或

者說需考察參數(shù)估計(jì)量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

一個(gè)用于考察總體的統(tǒng)計(jì)量，可從三個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：

1、線性性：即是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)；

2、無偏性：即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值；

3、有效性：即它是否在所有線性無偏估計(jì)量中具有最小方差。

高斯一馬爾可夫定理：在給定經(jīng)典線形回歸的假定下，最小二乘估計(jì)量是具有最小方差

的線性無偏估計(jì)量。

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關(guān)于最小二乘估計(jì)量的線性性與無偏性的證明：

1、線性性：估計(jì)量A）、6是匕的線形組合。

證：

A==\＞，（匕一夕）=2天匕

令占=9彳，因=2匹一無）=0，固有

A=ZZ；2Y＞=工"

8。=丫_機(jī)又=①丫「工kiYi又=z（/位比=Z噌

2.無偏性：估計(jì)量自）、A的均值（期望）等于總體回歸參數(shù)真值力。與四。

B、=Z匕匕=Z匕（夕o++〃,'）=+Pi＞，匕x；+＞,匕從

由于、,=妾=。

cy_2七匕_2玉（'，—x+x）_2玉（七+X）_2玉y^xi_]

*因=M=-—=z.F工

所以：B\=四+工先出

山：E（A）=E（0]+工kM）=I+2占&〃,）=回

A=Z叱匕=%嗎（及＞+〃J=￡oZ卬,+4Z嗎X,+z嗎〃,

由于：工叱=z（i/〃一?。?i一區(qū)WX=i

Z嗎Xj=Z（l/”欣）x,=%Z尤廠又EkjXj=又一又=0