第05講函數(shù)的圖象

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

IV考情探究?

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)的基本性

質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分

【備考策略】1.掌握基本初等函數(shù)的圖象特征，能熟練運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象解決問題

2.能熟練運(yùn)用函數(shù)的基本性質(zhì)判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象

3.能運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常考查給定函數(shù)解析式來判斷所對(duì)應(yīng)的圖象，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容

I'.考點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)1圖蕓問題解題思路

考點(diǎn)3函數(shù)圖象的應(yīng)用

知識(shí)講解

1.圖象問題解題思路（判斷奇偶性、特值、極限思想）

①收=1,414,V3=1.732,V5=2.236,76=2.45,77=2.646

②e=2.71828,e2=7.39,〃=八=1.65

（3）In1=0,ln2=0.69,ln3=1.1,Ine=1,InTe=

④sin1=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42

特別地：當(dāng)x-0時(shí)sinx=x

1

例如：sinO,l=0.099?0.1,sin0.2=0.199?0.2,sin0.3=0.296?0.3

當(dāng)xf0時(shí)cosx=1

cos0.1=0.995c1,cos(-0.2)=0.980?1

2.函數(shù)的圖象

將自變量的一個(gè)值”作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值/(%)作為縱坐標(biāo)，就得到了坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，

當(dāng)自變量取遍定義域N內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)用符號(hào)表述

為{(x,y)|y=/(x),x^A],所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)的圖象.

3.描點(diǎn)法作圖

方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)即奇偶性、周期性、單調(diào)性、

最值(甚至變化趨勢(shì))；(4)描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象.

4.圖象變換

(1)平移變換

y=/(x)+)

上k(k＞0)

移個(gè)單位

右移

y=f(x+h)?y=fM——切

__0個(gè)單位——-r--用個(gè)單位y=g

(">°)下碗>0)(h＞0)

S個(gè)單位

(2)對(duì)稱變換

①尸人)旺皿嗎

②尸為)"皿監(jiān)

③y=/(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)口v=T(—尤)；

④尸爐(a＞0且aW1)關(guān)-稱v=/ogax(a〉0且aWl).

(3)伸縮變換

①把函數(shù)＞=/(X)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的工倍得歹=f{(DX)(0＜?＜1)

②把函數(shù)歹=/(X)圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的!倍得＞=f{(ox)(。＞1)

W

③把函數(shù)'=/(X)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的W倍得＞=o/(x)(。＞1)

④把函數(shù)y=/(x)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到原來的w倍得＞=o/(x)

(4)翻折變換

保留x軸上方圖象

①尸/㈤將入軸卜方圖象翻折上去了=1￡31.

2

保留y軸右邊圖象，并作其

②尸/（X）關(guān)十y軸對(duì)稱的圖象y=f（.\x\）.

考點(diǎn)一、由函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象

典例引領(lǐng)

1.（2024?全國?高考真題）函數(shù)/口）=-苫2+.-/卜山在區(qū)間［-2.8,2.8］的圖象大致為（）

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入x=l可得/■⑴>0,可排除D.

【詳解】/(-x)=-x2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(eA-e-x)sinx=/(x),

又函數(shù)定義域?yàn)椋?2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又〃1)=T+

22e42e

故可排除D.

故選：B.

2.（2022?全國?高考真題）函數(shù)y=（3，-3f）cosx在區(qū)間-會(huì)；的圖象大致為（）

3

【答案】A

【分析】由函數(shù)的奇偶性結(jié)合指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】令"x)=(3=3f)cosx,xe-二71兀

2,2

所以為奇函數(shù)，排除BD；

又當(dāng)xe0,同時(shí)，3，-3T>0,cosx>0,所以f(x)>0,排除C.

故選：A.

1.(2024?河北保定?二模)函數(shù)/(x)二^cos2x的部分圖象大致為()

1+e*

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷即可.

【詳解】=貝Ug(-=1)，

所以g(x)為奇函數(shù),

設(shè)〃(x)=cos2x,可知為偶函數(shù),

1-e*

所以/(x)=517cos2x為奇函數(shù)，則B,C錯(cuò)誤,

易知〃0)=0,所以A正確，D錯(cuò)誤.

4

故選：A.

【答案】A

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除B,C；再由x趨近0+,/(%)>0,排除D,即可得出答案.

【詳解】/(尤卜e'c;：(2ex)的定義域?yàn)閧小.o},

e—1

ecosexcos2ex

l-e2x=-/w，

所以/(無)為奇函數(shù)，故排除B,C；

當(dāng)x趨近o+,e2x>1>所以e2「l>0,eA>l,cos(2ex)>0,

所以/(x)>0,故排除D.

故選：A.

3.(2023?福建福州?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及奇偶性即可求得答案.

r2+3

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤的定義域?yàn)镽,排除CD,

Vx2+1

又/(-x)=/(x),即為偶函數(shù)，圖象關(guān)于二軸對(duì)稱,排除B.

5

故選：A.

-X

4.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/卜）=

【分析】求出函數(shù)/&）的定義域及奇偶性，再由奇偶性在（0,1）內(nèi)函數(shù)值的正負(fù)判斷即可.

【詳解】依題意，函數(shù)/（》）=《二4的定義域?yàn)閧xeR|x#±l},

|i-x|

/…發(fā)力-Ur八―是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B不滿足;

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，ev-e^>0,|l-x21>0,則/(x)>0,AD不滿足，C滿足.

故選：C

5.（2024?四川德陽?二模）函數(shù)的圖象大致是（

小)=)

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)/（x）,再利用函數(shù)奇偶性的定義判斷了（尤）的奇偶性，從而得解.

【詳解】因?yàn)椤?、_（2"+Dsi"；+3x[2*+i,定義域?yàn)椋?8,0）U（0,+s）,

/IAI——,COS

」'）2X-12-1

11

又/(r)=TT7-T-cos(-3x)=-——cos3x=-f

z—1z—1

6

所以/（X）是奇函數(shù)，從而ACD錯(cuò)誤，B正確.

故選：B.

考點(diǎn)二、由函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式

典例引領(lǐng)

1.（2023?天津?高考真題）已知函數(shù)［（X）的部分圖象如下圖所示，則/（力的解析式可能為（）

C5eT+5e~xD5cos無

x2+2x2+1

【答案】D

【分析】由圖知函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)用排除，先判斷B中函數(shù)的奇偶性，再判斷A、C中函數(shù)在（0,+功上的函

數(shù)符號(hào)排除選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且/（-2）=/（2）<0,

由:si,?=_5*：且定義域?yàn)镽,即B中函數(shù)為奇函數(shù)，排除；

當(dāng)x>0時(shí)棗二21>0、5￡+/）>0,即A、C中（0,+⑹上函數(shù)值為正，排除；

x-+2x-+2

故選：D

2.（2022?全國?高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

7

.—/+3xx3-x_2xcosx2sinx

B.C.y—5D.y=

A.尸F(xiàn)Tx2+lx2+1

【答案】A

【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.

【詳解】設(shè)〃x)=二，則/⑴=0,故排除B;

設(shè)〃(x)=2x：：;x,當(dāng)時(shí)，0<cosx<l,

所以故排除C;

設(shè)8卜)=當(dāng)當(dāng)，貝故排除D.

X+110

故選：A.

3.(2021?浙江?高考真題)已知函數(shù)/(工)=/+±若(尤)=5皿》，則圖象為如圖的函數(shù)可能是()

c.y=f(x)g(x)D.y=——

f(x)

【答案】D

【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,即可得解.

【詳解】對(duì)于A,y=f(x)+g(x)-^=x2+sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；

對(duì)于B,y=f(x)-g(x)-^=x2-sinx,該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；

對(duì)于C,y=f(x)g(x)=k+；卜nx,則>'=2xsinx+^x2+；)cosx,

當(dāng)時(shí)，,與圖象不符，排除C.

422I164)2

故選：D.

即四拗L

8

1.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列函數(shù)中符合此圖象的為(

A-y=B.y=xcosx

e+e

C.y=x(ex-e'xD.y=cosxIe+e

【答案】A

【分析】利用排除法，根據(jù)選項(xiàng)代特值檢驗(yàn)即可.

【詳解】設(shè)題設(shè)函數(shù)為/(無)，由選項(xiàng)可知：ABCD中的函數(shù)定義域均為R,

對(duì)于選項(xiàng)D：若/(xhcosxW+eT),但此時(shí)/(O)=2,矛盾，故可排除D；

對(duì)于選項(xiàng)C：若〃x)=x(e-e-，)，但此時(shí)/(-l)=e-eT>0,矛盾，故可排除C；

對(duì)于選項(xiàng)B：若/(x)=xcosx,但此時(shí)/]]]=(),矛盾，故可排除B.

故選：A.

2.(2024?湖南?二模)已知函數(shù)〃司的部分圖象如圖所示，則函數(shù)/⑺的解析式可能為()

A」(+<21r2B-(x)=一2而x2

C.小)=一名D."一臺(tái)

【答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和定義域，利用排除法即可得解.

【詳解】由圖可知，函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，排除C；

由圖可知，函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集.故排除B；

由圖可知，當(dāng)時(shí)，>>

而對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)X->+co時(shí)，y—>0,故排除D.

故選：A.

9

3.(2024?廣東廣州?一模)已知函數(shù)"X)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能是()

A./(x)=sin(tanx)B.f(x)=tan(sinx)

C./(x)=cos(tanx)D./(%)=tan(cosx)

【答案】D

【分析】利用函數(shù)的奇偶性、定義域結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.

【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，

對(duì)于A,/(-%)=sin(tan(-x))=sin(-tanx)=-sin^anx)=~f^),為奇函數(shù)，排除；

對(duì)于B,/(-x)=tan(sin(-x))=tan(-sinx)=-tan^inx)=-/卜)，為奇函數(shù)，排除；

同理，C、D選項(xiàng)為偶函數(shù)，而對(duì)于C項(xiàng)，其定義域?yàn)槎?桁］,不是R,舍去，故D正確.

故選：D

4.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為()

以

2I-

1I-

-2-1O12x

.7

”、xsinx+x、xsinx”、xsinx+尤

A./(x)=B.=——C./(x)^

—1+1m+iH+l

、xsinx

D.

x+1

【答案】A

【分析】由圖象分析出函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由圖象可得函數(shù)"X)為偶函數(shù)，且xeR,ZW>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，/(x)=0,

-xsin(-%)+(-^)2_xsinx+x2

對(duì)于A,因?yàn)椤?無)==/6)，xeR,所以函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，又

—X+1M+i

y=sinx+x,x>0,

貝ljV=cosx+120,所以函數(shù)》=sinx+%在(0,)上單調(diào)遞增,

所以y=sinx+x>0,故解析式可能為A,故A正確;

3兀.3兀37i

(%\—sin--------

對(duì)于B,由/—_Z=^^<0,不合題意，故B錯(cuò)誤;

[2)里+[里+]

22

對(duì)于C,因?yàn)?(-x)=xs：(x)=X,所以(x)且/(-X)片一/(x),

—X+1LY+1

10

所以函數(shù)/(%)是非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由/(時(shí)=等?=0,不合題意，故D錯(cuò)誤.

71+1

故選：A.

5.(2024?陜西漢中?二模)已知函數(shù)了=/(無)的圖象如圖所示，則/(X)的解析式可能是()

c//、x-cosx

B-

、x+sinx”、X+COSX

—X

【答案】C

【分析】依題意可得了(x)為奇函數(shù)，即可排除B、D,由函數(shù)在0<x<］上的函數(shù)值的特征排除A.

【詳解】由圖可知/(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(X)為奇函數(shù),

〃幻=一：—sinJ定義域?yàn)镽,

對(duì)于A：

e+e

當(dāng)0<%<］時(shí)一x—sinx<0,ex+e-x>0,所以/(x)<0,不符合題意，故A錯(cuò)誤;

.丁”、x—COSX_j,、，,i、

對(duì)于B：/(x)=-........r定乂域?yàn)閰^(qū)，

e+e

//、—X—COS(—X)-X-COSX//、口￡/r(\

/(r)二尸］=八不豐一/卜)且“一%"/(%)，

c十cc十c

所以〃無)="「cos：為非奇非偶函數(shù),不符合題意，故B錯(cuò)誤；

e+e

-r-、％+COSX4、、,,_4x-

對(duì)于D：f(x)=———-定乂域?yàn)镽,

e+e

-X+COS(-X)-X+COSX//\口々r(\

"f)=°一,，二…豐一/仗)且Ar)'/(x)，

CICC?C

所以〃x)=x：cos：為非奇非偶函數(shù),不符合題意，故D錯(cuò)誤；

e+e

對(duì)于c：/(1)=葉當(dāng)定義域?yàn)镽,,

e+ee+ee+e

所以〃x)=x：sm：為奇函數(shù),

e+e

且當(dāng)0<x<］時(shí)x+sin尤>0,e"+e-x>0，所以/(x)>0，符合題意，故C正確；

故選：C

11

考點(diǎn)三、函數(shù)圖象的應(yīng)用

甲典例引領(lǐng)

1.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線/在初始位置與等邊“8C的底邊重合，之后,開始在平面上按逆時(shí)針

方向繞點(diǎn)A勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過60。），它掃過的三角形內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間，的函數(shù).這個(gè)函

數(shù)的圖象大致是（）

C

AB

【答案】C

【分析】取8C的中點(diǎn)E,連接NE,設(shè)等邊“8C的邊長為2,求得邑皿,=[+|tan（c-30。），令

S（x）=￥+|tan（x-30°）,其中0。4x460。，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，即可求解.

【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)E,連接/E,因?yàn)闉榈冗吶切?，可?E43=30。，

設(shè)等邊“8C的邊長為2,且/D4B=a,其中（TVaV60。，

可得口同=\AE\|tan（30°-（z）|=V3|tan（30°-（z）|,

又由的面積為其萩=6,可得5招="，

4ABE2

且S“Z)E=百卜an(30°-tz)|=1tan(30°-a)],

則AABD的面積為S=SAABE-S"=y--|tan(300-a)=y^+|tan(a-30°),

12

令S(x)=￥+gtan(尤一30°),其中0"x460°,

可得s[x)=yx>o，所以s(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

cos2(x_30o)

又由余弦函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)x=30。時(shí)，函數(shù)s(x)取得最小值，

所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快,

結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)c符合題意.

故選：C.

2.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?。，?duì)于函數(shù)〃x)圖象上一點(diǎn)(%,%),集合

卜e琢上卜7。)+%>/(x),VxeD｝只有一個(gè)元素，則稱函數(shù)/(》)具有性質(zhì)4.則下列函數(shù)中具有性質(zhì)耳的

函數(shù)是()

A./(x)=-|x-l|B./(x)=-lgxC./(x)=x3D./(x)=siny

【答案】D

【分析】根據(jù)性質(zhì)耳的定義，結(jié)合各個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.

【詳解】根據(jù)題意，%=1,具有性質(zhì)片的函數(shù)/'(x),

其圖象不能在過點(diǎn)(1,/(1))的直線的上方，且這樣的直線斜率后存在，只有一條；

對(duì)于A,作出函數(shù)/("=-歸7與了=人(》-1)的圖象，知滿足條件的上有無數(shù)多個(gè)；

對(duì)于B,作出函數(shù)/(力=-坨》與了=左(》-1)的圖象，這樣的左不存在;

對(duì)于C,作出函數(shù)/(同=^與>=左。-1)+1的圖象，這樣的人不存在;

13

,這樣的左只有一個(gè)即左=0.

3.（2024?山東日照?三模）（多選）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖放置的邊長為2的正方形沿x軸滾

動(dòng)（無滑動(dòng)滾動(dòng)），點(diǎn)。恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)頂點(diǎn)B（x/）的軌跡方程是7=/（x）,則（）

A.方程/（X）=2在［-3,9］上有三個(gè)根

B.

C./（x）在［6,8］上單調(diào)遞增

D.對(duì)任意xeR,都有「（x+4）=

【答案】AC

【分析】根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)2的軌跡，然后根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】分析正方形頂點(diǎn)3的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可知，

當(dāng)-4WxW-2時(shí)，8的軌跡是以A為圓心，半徑為2的,圓；

4

當(dāng)-24x42時(shí)，B的軌跡是以。為圓心，半徑為2行的;圓;

當(dāng)24x44時(shí)，B的軌跡是以C為圓心，半徑為2的1圓；

當(dāng)4VxW6時(shí)，8的軌跡是以A為圓心，半徑為2的［圓，

4

14

作出函數(shù)的圖象如下圖所示:

-8-6-432024689

由圖知：函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=2在［-3,9］上有三個(gè)交點(diǎn)，

即方程/(x)-2=0在13,9］上有三個(gè)根，A正確；

函數(shù)了=/(尤)的圖象關(guān)于歹軸對(duì)稱，所以函數(shù)了=/(x)是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；

函數(shù)/(》)在［6,8］上單調(diào)遞增，C正確；

由圖象知：/(2)=2,/(-2)=2,/⑵2一指J，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

X2x；

4.(202牛浙江麗水?二模)已知正實(shí)數(shù)%,馬，%滿足町+2西+1=%2*,X1+3X2+}=X23,+4%+1=三4的，

則國,迎戶3的大小關(guān)系是()

A.x3<x2<x1B.x1<x2<x3

C.<x3<x2D.x2<x1<x3

【答案】A

2+,=

【分析】依題意可得再+工=2*-2,尤3*-3,X3+-=4^-4,令〃X)7+L尤e(0,+s),則

再X?七X

問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)與對(duì)應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合即可判斷.

3X3

【詳解】因?yàn)槊?，巧，工為正?shí)數(shù)，且滿足X；+2再+1=玉2國，X；+3l2+1=%3"2,X1+4X3+1=X34,

則x；+1=72"—2xj,%2+1=%3巧—3%2fx；+1=74"_4'3，

所以近±1=2，=2,其±1=3*_3,K±l=4&_4,

x{x2x3

23

貝!］/+工=2$—2,x2+—=r-3,x3+—=4"-4,

X］x2x3

4-f(x)=x+-,xe(O,+<x>),

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得/(x)=x+：在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且/⑴=2,

滿足網(wǎng)+'=23-2的4即為>=/卜)與>=2:2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

x\

滿足3+,=-3的X2即為k/(X)與y=3,-3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

X2

滿足W+-=*-4的當(dāng)即為了=/(無)與>=4'-4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

X3

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=/(x)、/=2，-2、了=3，-3、了=4，-4的圖象如下所示：

15

由圖可知％3<%<項(xiàng).

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的大小

關(guān)系問題，準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象是關(guān)鍵.

即時(shí)榭｛

1.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))在棱長為1的正四面體/BCD中，P為棱AB(不包含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸

作平面a,使a與此正四面體的其他棱分別交于￡,尸兩點(diǎn)，設(shè)/尸=x(0<x<1),貝1尸￡尸的面

【答案】C

【分析】取線段43的中點(diǎn)。，連接OC、OD,證明出48工平面OC0,分析可知平面c與平面OCD平行

或重合，分0<x<g、x=g、g<x<l三種情況討論，計(jì)算出AOC。的面積，利用三角形相似可得出/(x)

的表達(dá)式，即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】取線段N5的中點(diǎn)。，連接。C、OD,

因?yàn)椤?C、為等邊三角形，。為的中點(diǎn)，則OCL/8,OD1AB,

,;OCcOD=O,OC、ODu平面OCD,平面OCD,

因?yàn)?81平面e,所以，平面。與平面OCD平行或重合，

且。。=OC=y/AC2-OA2=—

2

16

取CD的中點(diǎn)M,連接。則(WLCD,

旦OM=d()C2_CM2=叵,故Ss==CD-OM=旦.

224

①當(dāng)0<%<5時(shí)，平面a〃平面OC。，平面apl平面/8。=依，

平面OCDA平面ABC=CJC,PEHOC,同理可知，PFHOD,EF//CD,

所以，落祟噂4FPF

—=—,故/\PEFsAOCD,

ADOD

如下圖所示：

A

C

則

mi*則S=/(x)=C?；

②當(dāng)x=g時(shí)，s=/6

平面a〃平面。CZ),平面aPl平面Z5C

平面OCQCI平面力BC=OC,/.PEHOC,同理可知，PFHOD,EFUCD,

b”PEBEEFBFPF

所以，——=——=——=——=-—,故APEFs△OCO,

OCBCCDBD,OD

如下圖所示：

A

c

c/nc、2

4(1—x),則S=/(%)=

3△OCD)

y/2x2,0<X<—

2

綜上所述，S=/(x)=,故函數(shù)/(x)的圖象如C選項(xiàng)中的圖象.

V2(X-1)2,1<X<1

17

故選：c.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵對(duì)X分類討論，求出函數(shù)/(X)的解析式，進(jìn)而辨別出函數(shù)/(X)的圖象.

2.(23-24高二下?四川成都?期中)"肝膽兩相照，然諾安能忘(《承左虞燕京惠詩卻寄卻寄》，明?朱察卿)

若45兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P0,1)成中心對(duì)稱，則稱(4B)為一對(duì)"然諾點(diǎn)”，同時(shí)把(44和(8,/)視為同一對(duì)"然諾

點(diǎn)”.已知aeZ/(x)=，(x-2)："「的圖象上有兩對(duì)"然諾點(diǎn)"，則0等于()

[ax-2,x>l

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】當(dāng)x〉l時(shí)，f(x)=ax-2,其關(guān)于點(diǎn)尸(1,1)對(duì)稱的函數(shù)為>=2a+4(x<l),問題轉(zhuǎn)化為

y=ax-2a+4與了=(工一2)/在上有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立方程得到」—+。=尸，構(gòu)造函數(shù)

x-2

4

〃(x)=—+a,g(x)=e-\利用函數(shù)圖象即可求出結(jié)果.

x—2

【詳解】當(dāng)x>l時(shí)，/(X)=G-2關(guān)于點(diǎn)尸(1,1)對(duì)稱的函數(shù)為y=ax-2“+4(無<1),

由題知>=ax-2a+4與j=(x-2)ef在xe(-e,l)上有兩個(gè)交點(diǎn)，

[y=QX—2Q+4

由《/小一，消V得到辦-24+4=0-2)?一工，

[y=(x-2)e

4

又x<l,得到----+a=Q~x,

x—2

4_

令h(x)=----ba,g(x)=er,

x-2

A

貝！|〃(x)=——-+a和g(無)=-*在上有兩個(gè)交點(diǎn)，

x-2

4

在同一坐標(biāo)系中，作出8(幻=?一"和>=---^的圖象，如圖所示,

X—2

44

因?yàn)?KQn9+a的圖象可由y上下平移得到，

x-2x-2

4,一

-------FQ<e

由圖知2，得到3<q<4+?T<5,

——+Q>1

又aeZ,

所以。=4.

故選：C.

18

JX

n

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題可從以下方面解題

(1)先求函數(shù)/(力="-2關(guān)于點(diǎn)P(l,l)對(duì)稱的函數(shù)>=辦-2a+4(x<l)；

(2)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=辦-20+4(*<1)與〉=(》-2)尸在_￥€(-00,1)上有兩個(gè)交點(diǎn)；

(3)最后利用構(gòu)造函數(shù)〃(x)=T+a,g(x)=eT,通過圖象即可求解.

x—2

2

3.(2。24?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)小)=］x何+2#x>+l。,x<0,若方程”“加、。有四個(gè)根泊，7,且

xx<x2<x3<x4,則下列說法簿送的是()

A.xx+x2=-2B.x3+x4>2

C.xxx2>4D.0<?<l

【答案】C

【分析】分析函數(shù)/(x)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，再逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=f+2x+l的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線》=-1,

當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=x2+2x+l在(-8,-1］上遞減，函數(shù)值集合為［0,+8),在上遞增，函數(shù)值集合為［0,1］,

當(dāng)x〉0時(shí),f(x)=|lnx|在(0,1］上遞減,函數(shù)值集合為［0,口)，在工+的上遞增，函數(shù)值集合為［0,+功,

方程/(x)=a的根是直線>與函數(shù)y=/(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

方程/(x)=。有四個(gè)根%,馬,尤3，匕，即直線>與函數(shù)y=/(x)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線>與函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖，

顯然IIn%1=1出乙I,而退<1<%，則一111工3=111又，即出馬匕=0,&/=1,

X；+尤4>2、尤3X4=2,B正確；

顯然「1<々40,xtx2—(―2—x2)x2=~(x2+1)~+1e[0,1)，C錯(cuò)誤.

19

故選：c

Ml.好題沖關(guān).

?基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〉=cosx與『=3忖的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】函數(shù)>=c0sx與y=lg|x|都是偶函數(shù)，其中cos2n:=cos4兀=1,lg47t>lgio=l>lg27t,

在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)〉=。0除與了=坨忖的圖象，如下圖，

外

尸坨兇產(chǎn)COSXI

-4兀-2兀、2兀77tz4兀1

由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.

故選：D

2.（2024?安徽淮北二模）函數(shù)/（尤）=三）的大致圖像為（）

COSX]

【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除B,D兩項(xiàng)，再根據(jù)圖象取特殊值％=今，排除A項(xiàng)即得.

4

、sinxTT

【詳解】由/X=]_[可知，COSXW0,即xwg+EkeZ,顯然該函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

|cosx|2

r（、sin（-x）sinx、

由/（f）=|cos；-號(hào)廣詢1=—可知’函數(shù)為奇函數(shù)’排除B，D兩項(xiàng)'

20

又/(當(dāng)=-/=1>0,排除A項(xiàng)，故C項(xiàng)正確.

4Icos^l

故選：C.

3.(2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃x)=[：-x)cosx的部分圖象大致是()

【分析】先利用奇函數(shù)定義判斷函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，排除A；再利用y軸右側(cè)有兩個(gè)零點(diǎn)排除B；在根據(jù)

函數(shù)值的符號(hào)排除C,即可判斷.

【詳解】函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)橛脇"0},

因?yàn)?(-x)=[-：+x]cos(-x)=-[：-x]cosx=-/(x),所以/(￡)為奇函數(shù)，排除A;

易知〃1)=/0=0,排除B；

當(dāng)x>0且無限趨近于。時(shí)，--x>0,cosx>0,即排除C.

故選：D

21

yt

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、在（2,+8）上的單調(diào)性、函數(shù)值/■⑴的正負(fù)情況依次判斷和排除ABC,即可得解.

【詳解】由題/（無）定義域?yàn)椋?雙。）3。,+8）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且八'=卜"Tr-4

僅）'

故f（x）是奇函數(shù)，故A錯(cuò)；

當(dāng)x>2時(shí)，==x_4,

XXX

又y=x是增函數(shù)，>=-3在（2,+。）上是增函數(shù),

X

故〃目=尤-：在（2,+“）上是增函數(shù)，故BC錯(cuò)；

故選：D.

2.21

5.（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃司=廠-sm-x+2的部分圖象大致為（

e-e

【答案】A

【分析】由〃x）的定義域排除B；由是奇函數(shù)排除C；由排除D,從而得出答案.

【詳解】由e,-e'0,得XW0,則〃無）的定義域是{xlxwO},排除B；

1.2

x2H---smx

由小）=2

e'—。一"

22

所以函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，排除C；

2

,排除D.

丸兀。

er-l

故選：A.

6.（2024?福建南平?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)=容的部分圖像大致為（）

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性可排除CD,計(jì)算兀）即可排除B.

【詳解】因?yàn)閥（_x）=2（一"：o'6）==所以/（x）為偶函數(shù),

故C,D項(xiàng)錯(cuò)誤；

又/（兀）=2/COSTT=一_0^<0,故B項(xiàng)錯(cuò)誤.

7

'2兀+2一兀2兀+2一兀

故選：A.

2

7.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃x）=F簽的部分圖象大致為（）

23

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再分別判斷0<x<l，x>l時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)，運(yùn)用排除法可得結(jié)論.

22

(-x)+cos(-x)X+COSX

【詳解】因?yàn)椤?x)=-=-/(x)，

3(-x)3-3(-x)

所以函數(shù)為奇函數(shù)，可排除D選項(xiàng);

2

當(dāng)0<x<l時(shí)，x2+cosx>0-3X3-3X<0,可排除B；

3x3-3x

2

當(dāng)X>1時(shí)，X2+COSX>0，3/一3x>0,XtC0SX>0,可排除A；

3x3-3x

故選：C.

8.(2024?安徽馬鞍山?三模)已知函數(shù)V=/(x)的大致圖象如圖所示，則>=/(x)的解析式可能為()

x-3x

B.〃x)=

9A+1

D，")(X?+l)ln(1+2)

【答案】D

【分析】利用排除法，取特值，求/⑴即可判斷結(jié)果.

3

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?⑴=?>0,與圖象不符，故A錯(cuò)誤;

8

3

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?⑴二伍〉。，與圖象不符，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?(1)=浮>0,與圖象不符，故c錯(cuò)誤;

故選：D.

9.(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)函數(shù)/(”的部分圖象大致如圖所示，則/(x)的解析式可能為()

B.〃x)=e"-e-x-sinx

D.f(x)=ex-e-x+sinx

24

【答案】A

【分析】結(jié)合圖象可知/(x)為奇函數(shù)且"0)=0,在(0,+功上先增后減.根據(jù)函數(shù)的奇偶性和〃0)=0,結(jié)合

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】由圖可知，/(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則/(X)為奇函數(shù)，

且〃0)=0,在(0,+8)上先增后減.

A：=函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(-)=二半=-/(。/(0)=0,故A符合題意；

e+ee'+e

B：/(x)=ex-e-x-sinx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

/x(x)=ex+e-x-cosx,由x>0,^ex>1,-1<cosx<l,

則/'(%)=d+b-cos%>2-1>0,f(x)在(0,+°o)上單調(diào)遞增，故B不符合題意；

C：/(x)=e+e,當(dāng)x=0時(shí)，sinx=0,函數(shù)顯然沒有意義，故C不符合題意；

sinx

D：f(x)=ex-+sinx,函數(shù)的定義域?yàn)镽,

/'(x)=ex+e-,+cosx,由x>0,>1,-1<COSX<1,

則/3=片+0-，+0?%>2-1>0,/(x)在(0,+co)上單調(diào)遞增，故D不符合題意.

故選：A

10.(2024?上海奉賢■二模)已知函數(shù)了=/(x),其中了=，+1,好名⑴,其