微專題對角互補模型

[2024.22(3)]

一階方法訓(xùn)練

方法解讀

1.模型特點：

有一組對角互補

2.模型實質(zhì)：

對角互補模型的實質(zhì)是構(gòu)造手拉手全等或相似模型，與手拉手模型不同的地方在

于需要利用對角互補倒角相等

3.構(gòu)圖方法及結(jié)論：

方法一：作垂線

如圖①，過點。作。于點E,。尸，A4交的延長線于點尸

結(jié)論：(l)AADFsACDE；

(2)當(dāng)。4=。。時，4ADF會MDE

方法二：作等角

如圖②，過點。作NCDE=NAO5,。石交的延長線于點E

結(jié)論：⑴八ABDsMED；

(2)當(dāng)。時，XABDQ叢CED,ABQE為等腰三角形

【知識關(guān)聯(lián)】出現(xiàn)對角互補要想到四點共圓

例1如圖，NMAN=90°,點3是NMAN內(nèi)一點，且到AM,AN的距離相等.

過點5作射線交4V于點C,將射線繞點5逆時針旋轉(zhuǎn)90°,交4N于

點D求證：BC=BD.

例1題圖

例2如圖，在四邊形A5CZ）中，AC平分NBA。，ZB+ZD=180°，過點。

作CEL4Z）于點石，求證：BC=DC.

例2題圖

例3如圖，在R3A5C中，ZABC=90°,ZC=60°,50,4。于點Z）,以

。為頂點作NE。尸=90°,分別交AbBC于點E,F,求重的值.

RF€

例3題圖

二階綜合應(yīng)用

1.如圖，正方形A5CD的邊長為6,點。是對角線AC的中點，正方形0E尸G

的邊OE,0G分別交5C,于點V,N,CO,MN交于點、P,若NCMN=15°,

求0P的長.

第1題圖

2.在四邊形AOCZ)中，5為直線0。上一動點，連接5。，0D,已知NA0C+

ZADB=180°,DCLBC,且0。平分NAOC

(1)如圖①，若AO〃CD,當(dāng)點5在線段CO的延長線上時，證明：AD=BD；

(2)如圖②，當(dāng)點5在線段CO上時，已知A0=6,BC=2,求0。的長.

第2題圖

一階方法訓(xùn)練

例1證明：如解圖，過點8分別作于點E,BnLAN于點/，則8E=

BF.

,：/MAN=/CBD=90°,

ZACB+ZADB=180°,

VZACB+ZBCE=180°,

：.ZBCE=ZADB,

,：BE1AM,BF±AN,

：.ZBEC=ZBFD=90°,

?.△BECm4BFD(AAS),

：.BC=BD.

例1題解圖

例2證明：如解圖，過點。作CFLAB交AB的延長線于點F,

?「AC平分NBA。，

二.ZFAC=NEAC,

VCE1AD,CF±AB,

：.ZAFC=ZAEC=90°,

在△AR?和中，

0XFC=WLEC

^\CAF=^\CAE,

(AC=AC

△AFC^AAEC(AAS),

：.CF=CE,

VZABC+ZD=180°,ZABC+ZFSC=180°,

ZFBC=ZD,

在^FBC和^EDC中,

回產(chǎn)BCFEDC

回BFCFDEC,

(FC=EC

.*.△FBC^AEDC(AAS),

：.BC=DC.

例2題解圖

例3解：如解圖，過點。分別作OGLA5于點G,DHLBC于點H,

在△BC。中，ZC=60°,BD±AC,

：.ZDBC=30°,

A—=tanZDBC=—,

BH3

VZABC=90°,

J四邊形為矩形，

：.GD=BH,

.DH

''DG3，

VZEDF=ZABC=90°,

ZBED+ZBFD=180°,

VZBFD+ZDFH=180°,

ZDEG=ZDFH,

:.bDEGS^DFH,

.?.三=竺=遮.

DFDH

例3題解圖

一題多解法

解：?.?在R3A5C中，ZC=60°,

ZA=30°,

\'BD±AC,

：.ZDBC=30°,

VZEDF=90°,

ZBDF+ZEDB=/EDB+ZADE,

：.ZBDF=ZADE,

MAEDsABFD,

?DEAD

??,

DFBD

在RSAB。中，tanA=tan30。,

AD3

走=些=①

DFBD

二階綜合應(yīng)用

1.解：如解圖，連接05,

?.?四邊形A5C。，OEFG均為正方形，

ZABC=90°,ZEOG=90°,

?「O為AC的中點，

：.OB=OA=OC,OBLAC,

：.ZBOC=90°,

ZBOM+ZCOM=ZCON+ZCOM=90°,

ZBOM=ZCON,

在450河和^CON中,

甌。MFCON

OB=0C，

（團OBM=0OCN

，△BOM^ACON（ASA）,

：.OM=ON,

：.ZOMN=ZONM=45°,

：.ZCMO=ZOMN+ZCMN=45°+15°=60°,

過點。作于點。，

?.?正方形A5CZ）的邊長為6,

：.AC=642,02=3,

OC=-2AC=3V2,

由sinNCMO=sin60°=2=3=獨得，OM=2^,

OMOM2

：.ON=OM=2四,

ZONP=ZOCN=45°,

旦/NOP=/CON,

Z.AONPs^ocN,

：

OCON.O^=OCOP,

即（2遮）2=3魚OP,

：.OP=2a.

第1題解圖

2.(1)證明：如解圖①，過點。作。ELAO于點E

?.?點。在N49C的平分線上，MDCXOC,

：.DC=DE.

'JAO//CD,

：.DE±CD,即NCDE=90°,A010C,即NAOC=90°.

VZAOC+ZADB=180°,

ZADB=90°,

：.ZADB=ZCDE,即ZADE+ZBDE=ZBDC+ZBDE,：.ZADEZBDC.

DE=DC,

^\DEA=0C

△ADE咨ABDC(ASA),

：.AD=BD；

A

Rnc

第2題解圖①

(2)解：如解圖②，過點。作。EL49于點E

VZAOC+ZADB=180°,

ZA+ZOBD=360°-180°=180°,

VZOBD+ZDBC=180°,

NA=NDBC,

DELAO,DCLBC,

：.ZAED=ZC,

'：OD^-^ZAOC,

：.DE=DC.

在△ADE