2024-2025學(xué)年年浙江省“啟航杯”高三（上）聯(lián)考

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數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={%|2因<4,xeZ],則力的元素?cái)?shù)量是（）

A.2B.3C.4D.5

2.已知z=---,則,2-1]=()

A.1B.<3C.2D號(hào)

2

3.橢圓E：?+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為6,p2,G為E上一點(diǎn)，則當(dāng)AG&F2的面積最大時(shí)，N&G6的取

值為（）

A.yB弓C.^*

4.已知邊長(zhǎng)為6的正方體與一個(gè)球相交，球在正方體的每個(gè)面上的交線都為一個(gè)面積為167r的圓，則該球的

表面積為（）

A.967rB.IOOTTC.1257rD.2047r

5.已知（；+0）"的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則?+□）”的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）

A.1B.6C.15D.20

6.已知>Inx+（對(duì)V久>0恒成立，則a的最大值為（）

1

A.0B.—C.eD.1

e

7.已知斯=J廝+廣,C1rl€[—1,1]且的=cos',則與￡12a3的值為（）

1ii

A-2B4C-8D*

8.克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為p（0<p<l）,她擲了k次硬幣，最終有10

次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)

以使P（X=10）最大的N值估計(jì)N的取值并計(jì)算E（X）.（若有多個(gè)N使P（X=10）最大，則取其中的最小N值）.

下列說法正確的是（）

A.E（X）>10B.E（X）<10

C.E（X）=10D.E（X）與10的大小無(wú)法確定

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M為的中點(diǎn)，G為劣當(dāng)靠近當(dāng)?shù)乃牡确贮c(diǎn)，H為線段MG上一動(dòng)

A.三棱錐H-A4C的體積為定值

B.AAMC=皿MC

C.的最小值為半

D.若帚=4西+〃西（尢〃eR）,則4一〃=g

10.設(shè)定義域?yàn)?0,+8)的單調(diào)遞增函數(shù)/(尤)滿足/(x)=f(x-1)+x[x>2),且/'(1)=1,則下列說法正

確的是()

A.當(dāng)XCN+時(shí)，/(%)=爭(zhēng)

C.不等式/(口)W/(久)的解集為[1,+8)

D.若三”>0使得久>1時(shí)，絳WM恒成立，貝必的最小值為2

11.數(shù)學(xué)有時(shí)候也能很可愛，如題圖所示是小D同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小

恐龍，因此命名為小恐龍曲線.對(duì)于小恐龍曲線G；/+y3_axy=20,下列/'

說法正確的是()/。~1"

A.該曲線與x=8最多存在3個(gè)交點(diǎn)|

B.如果曲線如題圖所示(久軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則a>0

C.存在一個(gè)a,使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像

D.a=3時(shí)，該曲線中x>8的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.隨著某抽卡游戲在班級(jí)內(nèi)流行，李華統(tǒng)計(jì)了6位同學(xué)獲得某角色的抽取次數(shù)，結(jié)果如下：10,60,90,

80,20,180,則以上數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為.

13.已知正四面體。一ABC棱長(zhǎng)為4,棱。4上有一點(diǎn)4,棱OB上有一點(diǎn)名,棱OC上有一點(diǎn)若=

IB1GI=1,則的最大值為.

14.設(shè)函數(shù)/'(X)=ex-ax-alnx(a>0)的極小值點(diǎn)為若y=/(%)的圖象上不存在關(guān)于直線x=均對(duì)稱

的兩點(diǎn)，則%。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知AABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知c=3,SMBC=

(1)求a的取值范圍；

(2)求NB最大時(shí)，ATIBC的面積.

16.(本小題12分)

已知雙曲線C：x2-y2=8,圓4：(x-2)2+(y-2)2=r2,其中r>0,圓4與雙曲線C有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

D,E,線段DE的中點(diǎn)為G.

(1)記直線4G的斜率為自，直線。G的斜率為B，求品.

(2)當(dāng)直線DE的斜率為3時(shí)，求G點(diǎn)坐標(biāo).

17.(本小題12分)

浙里啟航團(tuán)隊(duì)舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)游戲，玩家一共抽取n次.每次都有前勺概率抽中，2的概率沒抽中?小明的抽獎(jiǎng)

得分按照如下方式計(jì)算：

(1)將玩家?guī)状纬楠?jiǎng)的結(jié)果按順序排列，抽中記作1,未抽中記作0,形成一個(gè)長(zhǎng)度為n的僅有01的序列.

(2)定義序列的得分為：對(duì)于這個(gè)序列每一段極長(zhǎng)連續(xù)的1,設(shè)它長(zhǎng)度為3那么得分即為嚴(yán).

(3)序列的得分即為每一段連續(xù)的1的得分和.

例如：如果玩家4抽了7次，第1,3,4,5,7次中獎(jiǎng)，那么序列即為1,0,1,1,1,0,1,得分為F+

32+M=11,可能用到的公式：若x,丫為兩個(gè)隨機(jī)變量，則E(X)+E(y)=E(X+Y).

(1)若n=3,清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量X為清照的最終得分，求E(X).

(2)記隨機(jī)變量Z表示長(zhǎng)度為幾的序列中從最后一個(gè)數(shù)從后往前極長(zhǎng)連續(xù)的1的長(zhǎng)度，求E(Z).

(3)若幾=鼠清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量4為清照的最終得分，求EQ4).

18.(本小題12分)

定義：［%］表示x的整數(shù)部分，{%}表示x的小數(shù)部分，例如［1.2］=1,{1.75}=0.75.數(shù)列時(shí)滿足與+1=

防］(口名z)

5}(出1t勾其中的=皿若存在keN+，使得當(dāng)n>k時(shí)，斯=%1+1恒成立，則稱數(shù)爪為木來(lái)數(shù).

On(。neZ)

(1)分別寫出當(dāng)m5時(shí)的.，a2,a3,CI4的值.

(2)證明：7t2+l(teN+)是木來(lái)數(shù).

(3)若ni為大于1的有理數(shù).且m生Z.求證：爪為木來(lái)數(shù).

19.(本小題12分)

稱代數(shù)系統(tǒng)G(x,。)為一個(gè)有限群，如果：

a.X為一個(gè)有限集合，。為定義在X上的運(yùn)算(不必交換)，\/a,beX,a°bEX

b.(a°b)°c=a°(6°c),Va,b,c&X

c.HeGX,VczeX,a°e—e°a=a,e稱為G的單位元

dNa￡X,存在唯一元素a-】eX使。。廠】=a-loa=e,cT】稱為a的逆元有限群H(Y,。)，稱為G(X,。)的子

群.若YUX,定義運(yùn)算a。//=又。川hCH}.

(1)設(shè)H為有限群G的子群，a,6為G中的元素.求證：

(i)a°H=6?！碑?dāng)且僅當(dāng)b-i%GH；

(ii)a。"與H元素個(gè)數(shù)相同.

(2)設(shè)p為任一質(zhì)數(shù)X={1,2，…,p-1}.X上的乘法定義為a。。=弓-⑨p,其中團(tuán)為不大于久的最小整數(shù).

已知G(X,。)構(gòu)成一個(gè)群，求證：VaEX,qPT-1=0.(其中qPT表示p-1個(gè)a作。運(yùn)算)

參考答案

l.D

2.5

3.2

4.B

5.C

6.D

7.C

8.F

9.AC

1Q.ACD

U.ABC

12.20

273

1ia'丁

14.(0,1]

15J?：(1)由“三角形的兩邊之和大于第三邊”，可知a+6>c,b+c>a,c+a>b.

1

根據(jù)SUBC=-absinC=b2sinC,整理得a=2b,結(jié)合c=3,得3b>3,b+3>2b,c+2b>b.

解得l<b<3,所以2<a<6,邊a的取值范圍是(2,6)；

(2)由余弦定理得cosB=子"=孕2*=苧，

當(dāng)且僅當(dāng)3b2=。2,即c=V3b時(shí)，等號(hào)成立，結(jié)合a=2b可知cosB最小時(shí)，b=a=2V3.

因?yàn)?6(0,71),余弦函數(shù)在(0,兀)上是減函數(shù)，

所以NB的最大值為?此時(shí)S“BC="cs譏B=，x20x3xsing=等.

O乙乙。乙

16.解：⑴由題意如圖所示：

因?yàn)閨EG|=|DG|,\AD\=\AE\,線段DE的中點(diǎn)為G,

所以4G1DE,

又設(shè)。(卬乃),E(x2,y2),

因?yàn)楹靡槐?好一%=8,

所以01—久2)(久1+X2)=01-%)(%+為)，

而圓心力(2,2)不在坐標(biāo)軸上，從而X14久2，久1+久24。，

所以g?牛=1,

勺―％2%1+%2

所以,^DE=1，

又%G?^DE=—1，

所以胃=答=答答=F=_1；

k2k0GkOG,kDE1

(2)設(shè)直線DE：y=3x+m,與％2—y2=&聯(lián)立，

化簡(jiǎn)并整理得：8/+6mx+m2+8=0,

其中4=36m2—32(m2+8)=4(m2—64)>0,

設(shè)DQiM，E(%2，y2)，

所以久1+x2=-竽,％+y2=3(%1+X2)+2m=-p

即G點(diǎn)坐標(biāo)為(-*-?

因?yàn)?G-^DE=—1，kpE=3，

所以%G=

而4(2,2),

即3日？=_于解得Hl=一孝.

—+2§

所以G(4,g).

17.解：(1)若序列為：0,0,0,則最終得分為0,

若序列為：1,0,0,或0,1,0,或0,0,1,則最終得分為1,

若序列為：1,0,1,則最終得分為2,

若序列為：1,1,0,或0,1,1,則最終得分為4,

若序列為：1,1,1,則最終得分為9,

P(X=O)=\P(X=1)=/P(X=2)=3P(X=4)=",P(X=9)=i

ooo4-o

所以E(X)=0x-1"lx*Q+2x-1"4x-1；+9x1《1=1*

ooo4o4-

(2)令冊(cè)表示長(zhǎng)度為n的序列，E(Z)的答案，換言之En(Z)=9n，

則有遞推關(guān)系冊(cè)+1=2?(歐+1+0)，表示第n+1位分別為1或0的答案，

顯然%■(0+1)=q，

設(shè)0i+i+入=5(坂+入),

則01+1=01九

所以-=2，

解得a=—L

所以歐一1=(仍一l)G)n-1=

解得01=1—去,

故所求為一或；

(3)設(shè)九表示進(jìn)行幾次游戲后的期望得分，即與(4)=加，

則有遞推關(guān)系加=/n-i+1(l+2x冊(cè)_1),(n>l,neN*),

解釋：因?yàn)镼+1)2=/+2刀+1,考慮第九位為1的時(shí)候?qū)π蛄械念~外貢獻(xiàn)，

即為(呢_1+1)2-9k1=2呢_1+1,如果為0的貢獻(xiàn)即為0,特別的，/o=0,

直接累加得到：4=/+(。0+91H----F5n-i)=]+(n-1)+(?~+^r，

乙乙1-24N

若幾=k,代入上式，于是得點(diǎn)=等f(wàn)+-^，

乙2

故所求即為4+2^1-

18.解：(1)當(dāng)？71=時(shí)，CL]==蘭—=+1，同理的=+2,%=2，"^+2,

55ra]3

叱1

L-同m理22

--------的--

33rU2二

?2ia1

2

(2)證明：當(dāng)m=，"+i,tcN+時(shí),即％=，/+i,則%=，好+----—=t(t+Vt+1)?

Jt2+i-t

由于t<Vt2+1,所以產(chǎn)<tVt2+1<t2+1,

所以[tdt?+1]=t2,貝“0=2t2,所以的=12t——=2t(t+tVt2+1),

tJt2+l-t2

由于2t2<2t72+1<2t2+1,所以[2tVt2+1]=2t2,

2

貝!——r---=2t(t+tVt+1)=a3,

2Ht2+l-2t2

由此知a九=a九+i對(duì)九>3,nGN+恒成立.

可知當(dāng)m=7t2+i時(shí),m為木來(lái)數(shù)；

(3)證明：設(shè)％,=?，qn>Pn>l，Pn、TnCZ且q4p”互質(zhì),

Pfl

勿躲,

際］_歷？

可知廝與廝+1均不為整數(shù)時(shí),有廝+1=9n+l_

Pn+1—??-［??］一某一［料q/Pn?即'

顯然標(biāo)期<lnPn>『Pn