【一輪復習講義】2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結(新高考通用)

素養(yǎng)拓展20累加、累乘、構造法求數列通項公式(精講+精練)

、知識點梳理

一、累加法

a“-??-i

an-\~an-2=/(?-2)

形如an+l=an+/(?)型的遞推數列(其中/(n)是關于，i的函數)可構造：

將上述，巧個式子兩邊分別相加，可得：an=f(n-l)+f(n-2)+...f(2)+f(l)+a1,(n>2)

①若/(〃)是關于〃的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；

②若/'(〃)是關于，，的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；

③若/(")是關于"的二次函數，累加后可分組求和；

④若/(〃)是關于"的分式函數，累加后可裂項求和.

二、累乘法

形如an+l=%?/(")/(")型的遞推數列(其中/(〃)是關于〃的函數)可構造：

將上述，巧個式子兩邊分別相乘，可得：an=f(n-1)-f(n-2)??/(2)/(l)^,(n>2)

三、構造法

1.第一種形式：形如。向=pan+q(其中均為常數且p*0)型的遞推式

(1)若p=l時，數列｛。,｝為等差數列；

(2)若q=0時，數列｛4｝為等比數列；

(3)若『XI且q/0時，數列｛氏｝為線性遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等比數列來求.方法有

如下兩種：

法一：設％+幾=0(。,+2),展開移項整理得%+i=°%+("-1)4,與題設a“+i=0%+q比較系數(待定

系數法)得X=—^=p(a〃+—^)=>q+—=,即(〃“+—構成

p-1p-1p-1p-1p-1[p-lj

以4+」一為首項，以p為公比的等比數列.再利用等比數列的通項公式求出1%+上一]的通項整理可得

pT[PTJ

法二：由an+l=pan+q得4=pan1+9(?>2)兩式相減并整理得=p,即｛。角-4｝構成以?2-q為首

項，以p為公比的等比數列.求出｛an+i-an｝的通項再轉化為累加法便可求出an.

2.第二種形式：形如o?+1=pan+Up21)型的遞推式

(1)當/(")為一次函數類型(即等差數列)時：

法一：設凡+A"+3=p[a,T+4(〃-1)+用，通過待定系數法確定A、8的值，轉化成以q+A+8為首項，

?

以父=—21—為公比的等比數列｛%+An+B｝,再利用等比數列的通項公式求出｛a“+An+B｝的通項整理

yn—my.

可得。

法二：當/(〃)的公差為d時，由遞推式得：an+i=pan+f(ri),=pa〃_i+/(〃-1)兩式相減得：

--4=p&-+d，令優(yōu)二為刊-?！ǖ茫?=。2+d轉化為第一種形式，求出bn,再用累加法便可

求出c1n.

(2)當/(〃)為指數函數類型(即等比數列)時：

法一：設4+X/(〃)=+4/(〃-1)],通過待定系數法確定幾的值，轉化成以4+丸/⑴為首項，以

父二廠3%為公比的等比數列也+4/5)｝,再利用等比數列的通項公式求出｛%+4/5)｝的通項整理可

IAZAZZI?

得?！?

法二：當/(〃)的公比為(7時，由遞推式得：an+i=pan+f(n)----①，an=pan_x+f(n-l),兩邊同時乘以q

得anq=pqan_]+qf(幾一1)---②，由①②兩式相減得見討-4夕=p(a〃-gr),即%——=p,在轉化為

an—qa〃一1

第一種形式便可求出％.

法三：遞推公式為〃用=〃%+/(其中p,9均為常數)或〃用=%〃+應〃(其中p,必廠均為常數)時，

要先在原遞推公式兩邊同時除以得：幅上與+1,引入輔助數列抄“｝(其中2=之)，得：

qqqqq

bn+1=4.再應用類型第一種形式的方法解決.

qq

(3)當/(〃)為任意數列時，可用通法：

在%兩邊同時除以P'+I可得到%=3+42,令&=如則g=2+坐，在轉化為累

ppppP

加法，求出b“之后得an=p"b”.

二、題型精講精練

【典例1】在數列｛%｝中，?1=0,?！?4T=2"-1(〃N2).求｛%｝的通項公式.

【分析】利用累加法以及等差數列的求和公式可求出結果.

【詳解】因為=-1(九22),

所以當“22時，.“=(%—4)+(。3—。2)+(。4一%)"1---~an-l)+?1

(〃一1)(3+2〃-1)、

=3+5+7+…+21+0——-------_],

2

又q=0適合上式，所以%="—1.

【典例2】已知數列｛a九｝,ar=1,(n+l)an+1=nan/求通項公式an.

【答案】a=-

nn

【分析】由題得也=一,再利用累乘法求解.

a?n+\

a

［詳解］V(n+l)a=na>Ax1

n+1n>an

.%_1"3_2"4_3n—1

**q2，%3'%4'，"〃_］n(n>2).

以上各式相乘，得5」....an=a=J

(n>2)

%幾nn

又ai=l滿足上式，.,.an=L(nGN*).

n

【典例3］已知數列｛%｝中，卬=2,且對任意“wN*,都有。用=2a“-l.求數列｛4｝的通項公式;

【分析】(1)構造等比數列求通項；

【詳解】(1)由%=24-1得--1=2&-1)

又％-1=1,所以數列｛a,-1｝是以1為首項,2為公比的等比數列，所以?！?1=卜2"7=2"7,所以4=2"一+1.

【題型訓練1-刷真題】

一、單選題

1.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知數列｛4｝滿足％則（）

5577

〃℃〃℃〃℃

A.2<1001[uu<—2B.—2<1001[uu<3C.3<100t2]1nunu<—2D.—2<100[1UU<4

2.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知數列｛q｝滿足q=1，%=eN*）.記數列｛??）的前n項和為S”,

則（）

399

A.—<S100<3B.3<S]0G<4C.4<S100<—D.—<S100<5

二、解答題

3.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）記5”為數列｛%｝的前〃項和，已知%是公差為;的等差數列.

(1)求｛4｝的通項公式；

111c

(2)證明：—+—+—<2.

?1?2a?

【題型訓練2-刷模擬】

1.累加法

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）數列｛%｝滿足％=1,且?！?+1（〃eN*）,則數列｛a“｝的通項公式為（）

j"+l）R〃=包

2.（2023?全國?高三專題練習）己知數列｛q｝滿足4=l,a“=a“T+3〃-2（〃N2）,則｛4｝的通項公式為（）

A.a?=3n2B.%=3/+〃C.。“=①:1D.

22

3.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足?！?1-%=2",%=1,則。5=（）

A.30B.31C.22D.23

4.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛風｝滿足4==，%+|=%+一一，則｛%｝的通項為（）

2n+n

131

A.——,n>1,nGN*B.—+—,n>l,neN*

n2n

3131

C.---------,H>1,HGN*D.-------,H>1,HGN*

2n2n

5.（2023?全國?高三專題練習）若數列&｝滿足。向-氏=坨11+￡|且％=1,則數列｛%｝的第100項為（）

A.2B.3C.l+lg99D.2+lg99

,、11cc

6.（2023?全國?高三專題練習）已知S,是數列｛g｝的前〃項和，且對任意的正整數小都滿足：-----=2幾+2,

an+\an

若％=；，貝1JS2023二（）

2023「2022—20211010

A.------B.------C.------D.------

2024202320242023

7.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足〃?q+i=（幾+1）。〃+2,（〃cN*）,且q=l,則%022=（）

A.6065B.6064C.4044D.4043

8.（2023?全國?高三專題練習）在數列｛%｝中，％=2,.=%+皿1+。，則為=

A.2+lnnB.2+（n-l）lnnC.2+〃ln〃D.1+n+lnn

9.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝滿足q=33,。用-?！?2〃，則字的最小值為（）

A.10.5B.10.6C.10.4D.10.7

二、填空題

10.（2023?全國?高三專題練習）在數列｛〃“｝中，4=1,a?+1-a?=7-2n,則數列也｝中最大項的數值為

11.（2023?全國?高三專題練習）設數列｛q｝滿足4=2,0用-4=3-221,則%,=.

12.（2023?全國?高三專題練習）數列｛%｝滿足4=1,且對任意的“eN*都有%+|=。,+〃+1,則數列］《1的

前100項的和為.

13.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝的各項均不為零，且滿足4=1,%="22,N*）,

1十幾

則｛??）的通項公式.

14.（2023?全國?高三專題練習）數列｛4｝中，％=0,%+1-4=1+J+］且""=9'則"="

三、解答題

15.(2023?全國?高三專題練習)已知等差數列也｝(〃eN*)的首項為一1,公差為2.數列｛叫滿足q用-為=優(yōu)

⑴求知取得最小值時?的值；

31114

(2)右。1=:，證明：一+—+…+—

4%出an3

16.(2023?陜西西安?西安市大明宮中學?？寄M預測)在數列｛%｝中，％=3,氏+1=%+2〃+1.

⑴證明：數列｛凡-科是等比數列；

⑵求數列停)的前〃項和5“.

1

17.(2023?河南關B州?模擬預測)已知數列｛g｝滿足：勾=3,a?=a,!_1+2--(?>2,neN*).

⑴求數列｛%｝的通項公式；

⑵令-1+(-1)"log,(a?-l),求數列也｝的前八項和.

18.(2023?全國?高三專題練習)某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖①、②、③、④為她們刺繡最簡

單的四個圖案，這些圖案都由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮，現按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形

的擺放規(guī)律相同)，設第〃個圖形包含人”>個小正方形.

①②③④

⑴求出八5)；

(2)歸納出/(〃+1)與人”，的關系式，并根據你得到的關系式求人“1的表達式；

11113

'7/(I)"2)-1"3)-1/(?)-12,

112

19.(2023?內蒙古赤峰?校聯考三模)設各項都為正數的數列｛4｝的前n項和為S“，且％=1,---------==

anan+\"〃1

(1)求數列｛%｝的通項公式；

⑵設函數〃X）=X.2，T,且〃=/4）,求數列也｝的前w項和T,.

20.（2023?全國?學軍中學校聯考二模）設數列｛叫滿足%=3%-2%（論2）嗎=1，4=2.

⑴求數列｛叫的通項公式；

（2）在數列｛%｝的任意如與4M項之間，都插入個相同的數（-1）黑，組成數列也,｝,記數列也｝的

前〃項的和為4，求弓的值.

2.累乘法

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝滿足4“+1=（-1）"4，且4=1,貝1|%8+%9=（）

A.-2B.0C.1D.2

2.（2023?全國?高三專題練習）已知4=1,%=〃（%+]—aj（〃eN+）,則數列｛4｝的通項公式是見=（）

，、a、、n

3.（2023?全國?高三專題練習）數列｛%｝中，q=1,比叱二菖7（九為正整數），則％。22的值為（）

.112021c2022

A.------B.------C.------D.------

2022202120222021

4.（2023?全國?高三專題練習）4知數列｛%｝的前〃項和S“=（",且4=1,則S,=（）

A.14B.28C.56D.112

5.（2023?四川綿陽?綿陽南山中學實驗學校?？寄M預測）若數列｛%｝滿足5-1）%=（〃+1）%（〃22）且

4=2,則滿足不等式凡＜462的最大正整數〃為（）

A.20B.19C.21D.22

二、填空題

6.（2023?全國?高三專題練習）己知數列｛%｝滿足4=2,%=2（”+2）%,則｛叫的通項公式為

n+1

7.（2023?全國?高三專題練習）在數列｛%｝中，若q=2,%+1=21+￡|%，則｛4｝的通項公式為.

8.(2023?全國?高三專題練習)數列｛qj滿足：4=1,an=a｝+2tz2+3a3+---+(n-l)a?_1(n>2,MeN*),則

通項%=.

三、解答題

9.(2023?浙江金華?校考三模)已知等差數列｛%｝的各項均為正數，4=1,出+%+6=的5.

⑴求｛4“｝的前〃項和S"；

(2)若數列也｝滿足4=1,a：=a也,求他,｝的通項公式.

「、4”2

10.(2023春?山東臨沂?高三?？茧A段練習)已知數列｛%｝的首項為1,前”項和為S“，且滿足？=Q.

⑴求｛%｝的通項公式;

(2)求數列生的前"項和5.

2"

11.(2023春?山西呂梁?高二統(tǒng)考階段練習)已知數列｛。“｝,｛2｝滿足弓=4=1，。也=。計2%1.

(1)若｛%｝是等比數列，且9,3%,生成等差數列，求｛2｝的通項公式；

(2)若｛%｝是公差為2的等差數列，證明：bl+b2+b3+...+bn<^.

12.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測)已知工是數列｛a“｝的前”項和，2Sn=na?,%=3.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)若bn=|16-??|,求數列也｝的前n項和Tn.

13.(2023?全國?高三專題練習)已知數列｛g｝的前〃項和為S“，gs,=%-2"T.

(1)證明：［券>是等差數列；

⑵求數列［午］的前”項積.

工構造法

一、單選題

1.（2023?江蘇淮安?江蘇省吁胎中學校考模擬預測）在數列｛4｝中，且。用=24+1,則｛見｝的通項

為（）

A.an=T-\B.?！?2"

C.凡=2"+1D.%=2向

2.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝中，%=4,。用=4。,一6，則?！暗扔冢ǎ?/p>

A.22"+1+2B.22,,+1-2

C.22"-|+2D.22H-1-2

3.（2023?全國?高三專題練習）在數列｛?！埃?4=14,^（）

A.橙+31是等比數列B.［果-3,是等比數列

c.，祟+『是等比數列D.1墨-升是等比數列

，則數列1含1的前10項和

4.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛風｝中，q-2,?！?|=°；2（〃eN）

Sio=()

161820

A.nC.D.2

TT11TT

5.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛凡｝的前幾項和為5“，若5〃+為二〃（幾￡曰），則1082（1—%）23）=（）

A.-2023D.2023

20232023

6.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛4｝的前幾項和為S”，若3S〃=2%-3孔，貝lj%（）2i=（）

（1V0217

A.1B.32021-6C.-22021-lD.22021-l

二、填空題

7.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛a“｝中，％=1,%.=3。“+4,則數列｛《,｝的通項公式為.

8.（2023?全國?高三對口高考）數列｛%｝中，區(qū)，+1=*丁，4=2,則%=.

9.（2023?全國?高三專題練習）數列｛即｝滿足%+i=5%+3x5".,弓=6,則數列｛即｝的通項公式為.

〃若冊=則正整數加

10.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛。"｝中，ax=\,an-a,e=%y（eN*）,81,

的