專項(xiàng)16巧用旋轉(zhuǎn)進(jìn)行計(jì)算將一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的連線所組成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)法是在圖形具有公共端點(diǎn)的相等的線段特征時，可以把圖形的某部分繞相等的線段的公共端點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)另一位置的引輔助線的方法，主要用途是把分散的元素通過旋轉(zhuǎn)集中起來，從而為證題創(chuàng)造必要的條件。旋轉(zhuǎn)方法常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形等圖形中?！究键c(diǎn)1利用旋轉(zhuǎn)結(jié)合等腰(邊)三角形、垂直、平行的性質(zhì)求角度】【典例1】（2021九上·番禺期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB′C′（點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C′），連接CC′．若∠CC′B′＝20°，則∠B的大小是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【變式11】（2021九上·上高月考）如圖，將△AOB繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)70°，得到△COD，若∠COD=40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°【變式12】（2021九上·南充期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC，則∠AED的度數(shù)為（）A．105° B．120° C．135° D．150°【變式13】（2021九上·澄海期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC．若點(diǎn)B剛好落在BC邊上，且AB=CBA．60° B．80° C．100° D．120°【變式14】（2021九上·廬江期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，則n的值為（）A．65 B．75 C．85 D．130【典例2】（2021九上·道里期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝3，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB'C'，連接BB'，則BB'的長度是（）A．1 B．3 C．3 D．23【變式21】（2021九上·香坊期末）如圖，將RtΔABC繞點(diǎn)A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到RtΔADE，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)D恰好落在邊BC上，若AC=23，∠ABC=60°A．3 B．2 C．3 D．1【變式22】（2021秋?韶關(guān)期末）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AED，若AB＝3cm，則BE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【變式23】（2021秋?鄧州市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，將△ABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，此時點(diǎn)A'恰好在AB邊上，連結(jié)BB'，則△A'BB'的周長為（）A． B．1+ C．2+ D．3+【典例3】（2021秋?岳池縣期末）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BOC＝150°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△ADC，連接OD，OA．（1）求∠ODC的度數(shù)；（2）試判斷AD與OD的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的長（直接寫出結(jié)果）．【變式31】（2021九上·中山期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△FBE，點(diǎn)C，A的對應(yīng)點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．點(diǎn)E落在BA上，連接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度數(shù)；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的長．【變式32】（2021九上·谷城期中）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，求點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離及∠APB的度數(shù)．【考點(diǎn)2利用旋轉(zhuǎn)計(jì)算面積】【典例4】（2021九上·鄞州月考）如圖，在△ABC中，AB＝4，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分的面積為.【變式41】（2022?瑞金市模擬）如圖，將邊長為的正方形繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為（）A．3 B． C． D．【變式42】（2021秋?豐澤區(qū)校級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．將△ABC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D落在AB邊上，此時得到△EDC，斜邊DE交AC邊于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為（）A．3 B．1 C． D．【變式43】（2021秋?南丹縣期末）如圖，邊長相等的兩個正方形ABCD和OEFG，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120°，兩個正方形的重疊部分四邊形OMCN的面積（）A．不變B．先增大再減小C．先減小再增大 D．不斷增大【考點(diǎn)3坐標(biāo)系中圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律】【典例5】（2021秋?陽東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），那么點(diǎn)B2020的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【變式51】（2021九上·惠來月考）如圖，在正方形ABCD中，頂點(diǎn)A，B，C，D在坐標(biāo)軸上，且B(2，0)，以AB為邊構(gòu)造菱形ABEF．將菱形ABEF與正方形A．(?2，22)B．(?2，?2【變式52】（2021?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【變式53】（2021秋?鄖陽區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)A（3，0），B（0，4），則點(diǎn)B2021的橫坐標(biāo)為（）A．12120 B．12128 C．12123 D．121251．（2021九上·海曙期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=75°，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為D、E，連接CE，若CE//AB，則A．25° B．30° C．35°2．（2021九上·虎林期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△ABC，使點(diǎn)C落在ABA．1cm B．2cm C．3cm D．3．（2022春?泗縣期中）如圖所示，△ABC為直角三角形，BC為斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的長等于（）A． B． C．3 D．44．（2021秋?甘井子區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)得到△A'BC'，若直線A'C'經(jīng)過點(diǎn)A，則CC'的長為（）A．1 B．2 C． D．45（2022·呼和浩特）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點(diǎn)F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+12α B．90°?12α6．（2021九上·富裕期末）如圖，點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝3，BD＝3，CD＝32A．40° B．45° C．105° D．55°7．（2022·益陽）如圖，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，將△ABC繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)50°得到△AB′C′，以下結(jié)論：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正確的有（）A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④8.（2021九上·集賢期末）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．若點(diǎn)B′恰好落在BC邊上，且AB′＝CB′，則旋轉(zhuǎn)角為度．9．（2022春?通道縣期末）已知，正方形ABCD的邊長是4，正方形OMNE（OM＞AC）繞著正方形ABCD的對稱中心O旋轉(zhuǎn)，那么兩正方形重疊部分的面積是．10．（2022?新城區(qū)校級一模）如圖，D是等邊三角形ABC外一點(diǎn)，AD＝6，CD＝4，當(dāng)BD長最大時，△ABC的面積為．11.（2022春?高州市期末）如圖，在△ABC中，AB＝8，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到△A1BC1，則陰影部分面積為．12．（2021九上·龍江期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABOC是正方形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），AA1?是以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓弧；A1A2?是以點(diǎn)O為圓心，OA1為半徑的圓弧，A2A3?是以點(diǎn)C為圓心，CA2為半徑的圓弧，A3A4?是以點(diǎn)A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)B、O、C、A為圓心按上述作法得到的曲線AA1A2A3A4A5…稱為正方形的“漸開線”，那么點(diǎn)A2021的坐標(biāo)是．13.（2021九上·黔西南期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1落在直線y＝33x上，再將△A1BO1繞點(diǎn)A1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1Q2的位置，使點(diǎn)O1的對應(yīng)點(diǎn)O2落在直線y＝33x上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，1），則點(diǎn)A12的橫坐標(biāo)是14．（2021九上·新鄉(xiāng)期末）如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝22，將△ABC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.15.（2021九上·互助期中）如圖將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)C和點(diǎn)E是對應(yīng)點(diǎn)，若∠CAE=90°，AB=1，求BD的長．16．如圖，△BAD是由△BEC在平面內(nèi)繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，連接DE.（1）求證：△BDE≌△BCE；（2）試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由．17.（2016九上·涪陵期中）如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=5，PB=12，PC=13，若將△PAC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′