PAGE10-帶電粒子在磁場中運動1．本學問點是高考的重點，近幾年主要是結(jié)合幾何學問考查帶電粒子在有界勻強磁場及復合場、組合場中的運動。2．留意“運動語言”與“幾何語言”間的翻譯，如：速度對應圓周半徑，時間對應圓心角或弧長或弦長等。例1．(2024·全國I卷·18)一勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面對外，其邊界如圖中虛線所示，弧AB為半圓，ac、bd與直徑ab共線，ac間的距離等于半圓的半徑。一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q>0)的粒子，在紙面內(nèi)從c點垂直于ac射入磁場，這些粒子具有各種速率。不計粒子之間的相互作用。在磁場中運動時間最長的粒子，其運動時間為()A．B．C．D．【答案】C【解析】粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期T＝eq\f(2πm,qB)，粒子在磁場中運動的時間，則粒子在磁場中運動的時間與速度無關(guān)，軌跡對應的圓心角越大，運動時間越長。粒子垂直ac射入磁場，則軌跡圓心必在ac直線上，將粒子的軌跡半徑由零漸漸放大。當半徑r≤0.5R和r≥1.5R時，粒子分別從ac、bd區(qū)域射出，磁場中的軌跡為半圓，運動時間等于半個周期；當0.5R<r<1.5R時，粒子從半圓邊界射出，漸漸將軌跡半徑從0.5R漸漸放大，粒子射出位置從半圓頂端向下移動，軌跡圓心角從π漸漸增大，當軌跡半徑為R時，軌跡圓心角最大，然后再增大軌跡半徑，軌跡圓心角減小，因此當軌跡半徑等于R時軌跡圓心角最大，即軌跡對應的最大圓心角θ＝eq\f(4,3)π，粒子運動最長時間，故選C。例2．(2024·全國Ⅱ卷·18)CT掃描是計算機X射線斷層掃描技術(shù)的簡稱，CT掃描機可用于對多種病情的探測。圖(a)是某種CT機主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖(b)所示。圖(b)中M、N之間有一電子束的加速電場，虛線框內(nèi)有勻強偏轉(zhuǎn)磁場；經(jīng)調(diào)整后電子束從靜止起先沿帶箭頭的實線所示的方向前進，打到靶上，產(chǎn)生X射線（如圖中帶箭頭的虛線所示）；將電子束打到靶上的點記為P點。則()A．M處的電勢高于N處的電勢B．增大M、N之間的加速電壓可使P點左移C．偏轉(zhuǎn)磁場的方向垂直于紙面對外D．增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應強度的大小可使P點左移【答案】D【解析】由于電子帶負電，要在M、N間加速則M、N間電場方向由N指向M，依據(jù)沿著電場線方向電勢漸漸降低可知M的電勢低于N的電勢，故A錯誤；增大加速電壓則依據(jù)qU＝eq\f(1,2)mv2，可知會增大到達偏轉(zhuǎn)磁場的速度；又依據(jù)在偏轉(zhuǎn)磁場中洛倫茲力供應向心力有qvB＝meq\f(v2,R)，可得R＝eq\f(mv,qB)，可知會增大在偏轉(zhuǎn)磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑，由于磁場寬度相同，故依據(jù)幾何關(guān)系可知會減小偏轉(zhuǎn)的角度，故P點會右移，故B錯誤；電子在偏轉(zhuǎn)電場中做圓周運動，向下偏轉(zhuǎn)，依據(jù)左手定則可知磁場方向垂直紙面對里，故C錯誤；由B選項的分析可知，當其它條件不變時，增大偏轉(zhuǎn)磁場磁感應強度會減小半徑，從而增大偏轉(zhuǎn)角度，使P點左移，故D正確。提分訓練提分訓練1．在同一勻強磁場中，α粒子(eq\o\al(4,2)He)和質(zhì)子(eq\o\al(1,1)H)做勻速圓周運動，若它們的動量大小相等，則α粒子和質(zhì)子()A．運動半徑之比是2∶1B．運動周期之比是2∶1C．運動速度大小之比是4∶1D．受到的洛倫茲力之比是2∶1【答案】B【解析】α粒子和質(zhì)子質(zhì)量之比為4∶1，電荷量之比為2∶1，由于動量相同，故速度之比為1∶4；同一磁場，B相同。由r＝eq\f(mv,qB)，得兩者半徑之比為1∶2； 由T＝eq\f(2πm,qB)，得周期之比為2∶1；由f洛＝qvB，得洛倫茲力之比為1∶2，故只有B正確。2．為了通過試驗探討PM2.5的相關(guān)性質(zhì)，讓一帶電的PM2.5顆粒(重力不計)，垂直射入正交的勻強電場和勻強磁場區(qū)域，如圖所示，其中M、N為正對的平行帶電金屬板，視察發(fā)覺它恰好做直線運動，則下列推斷正確的是()A．M板肯定帶正電B．PM2.5顆?？隙◣д奀．若僅使PM2.5顆粒的電荷量增大，顆?？隙ㄏ騇板偏移D．若僅使PM2.5顆粒的速度增大，顆粒肯定向N板偏移【答案】A【解析】由于顆粒做直線運動，故無論顆粒帶何種電荷，電場力與洛倫茲力都是方向相反、大小相等的。依據(jù)左手定則，帶正電顆粒受到的洛倫茲力向上，所以它受到的電場力向下，電場力與電場強度同向(帶負電顆粒受到的洛倫茲力向下，所以它受到的電場力向上，電場力與電場強度反向)，所以M板肯定帶正電，PM2.5顆粒的電性不確定。依據(jù)電場力和洛倫茲力平衡，即qvB＝qE，得v＝eq\f(E,B)，與顆粒的電荷量q無關(guān)；若使PM2.5顆粒的速度增大，則洛倫茲力增大，則電場力與洛倫茲力不平衡，出現(xiàn)偏轉(zhuǎn)現(xiàn)象，因洛倫茲力方向不確定，則不肯定向N板偏移。3．(多選)如圖所示，S處有一電子源，可向紙面內(nèi)隨意方向放射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內(nèi)的長度L＝9.1cm，中點O與S間的距離d＝4.55cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側(cè)區(qū)域有方向垂直于紙面對外的勻強磁場，磁感應強度B＝2.0×10－4T。電子質(zhì)量m＝9.1×10－31kg，電量e＝－1.6×10－19C，不計電子重力。電子源放射速度v＝1.6×106m/s的一個電子，該電子打在板上可能位置的區(qū)域的長度為l，則()A．θ＝90°時，l＝9.1cmB．θ＝60°時，l＝9.1cmC．θ＝45°時，l＝4.55cmD．θ＝30°時，l＝4.55cm【答案】AD【解析】電子在勻強磁場運動的軌道半徑為R＝eq\f(mv,qB)＝4.55cm，電子沿逆時針方向做勻速圓周運動，當θ＝90°時，豎直向下放射的粒子恰好打到N點，水平向右放射的粒子恰好打到M點，如圖甲所示，故l＝L＝9.1cm，A正確；當θ＝30°時，豎直向下放射的粒子，恰好打到N點，由幾何關(guān)系知，另一臨界運動軌跡恰好與MN相切于O點，如圖乙所示，故粒子只能打在NO范圍內(nèi)，故l＝4.55cm，D正確；進而可分析知當θ＝45°或θ＝60°時，粒子打到板上的范圍大于ON小于NM，即4.55cm＜l＜9.1cm，故B、C錯誤。4．“人造小太陽”托卡馬克裝置運用強磁場約束高溫等離子體，使其中的帶電粒子被盡可能限制在裝置內(nèi)部，而不與裝置器壁碰撞。已知等離子體中帶電粒子的平均動能與等離子體的溫度T成正比，為約束更高溫度的等離子體，則須要更強的磁場，以使帶電粒子在磁場中的運動半徑不變．由此可推斷所需的磁感應強度B正比于()A．eq\r(T)B．TC．eq\r(T3)D．T2【答案】A【解析】等離子體在磁場中受到的洛淪茲力供應向心力，有qvB＝eq\f(mv2,R)，得v＝eq\f(BqR,m)，動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)eq\f(B2q2R2,m)，由題意得Ek＝kT，故有kT＝eq\f(B2q2R2,2m)，得B＝eq\r(\f(2km,q2R2)T)，即B∝eq\r(T)，選項A正確。如圖所示，半徑為R的圓是一圓柱形勻強磁場 區(qū)域的橫截面(紙面)，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面對外。一電荷量為q(q＞0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向射入磁場區(qū)域，射入點與ab的距離為eq\f(R,2)。已知粒子射出磁場與射入磁場時運動方向間的夾角為60°，則粒子的速率為(不計重力)()A．eq\f(qBR,2m)B．eq\f(qBR,m)C．eq\f(3qBR,2m)D．eq\f(2qBR,m)【答案】B【解析】粒子運動的情景如圖所示，由于入射點M距離直徑ab為eq\f(R,2)，且入射方向MC平行于ab，所以∠MOC＝60°，粒子射出磁場時，偏轉(zhuǎn)角度為60°，即∠MO′B＝60°，所以由幾何關(guān)系知，粒子的軌跡半徑r＝R，又r＝eq\f(mv,qB).所以v＝eq\f(qBR,m)，B正確。6．運用回旋加速器的試驗須要把離子束從加速器中引出，離子束引出的方法有磁屏蔽通道法和靜電偏轉(zhuǎn)法等。質(zhì)量為m，速度為v的離子在回旋加速器內(nèi)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軌道是半徑為r的圓，圓心在O點，軌道在垂直紙面對外的勻強磁場中，磁感應強度為B。為引出離子束，運用磁屏蔽通道法設計引出器。引出器原理如圖所示，一對圓弧形金屬板組成弧形引出通道，通道的圓心位于O′點(O′點圖中未畫出)。引出離子時，令引出通道內(nèi)磁場的磁感應強度降低，從而使離子從P點進入通道，沿通道中心線從Q點射出。已知OQ長度為L，OQ與OP的夾角為θ。(1)求離子的電荷量q并推斷其正負；(2)離子從P點進入，Q點射出，通道內(nèi)勻強磁場的磁感應強度應降為B′，求B′；(3)換用靜電偏轉(zhuǎn)法引出離子束，維持通道內(nèi)的原有磁感應強度B不變，在內(nèi)外金屬板間加直流電壓，兩板間產(chǎn)生徑向電場，忽視邊緣效應。為使離子仍從P點進入，Q點射出，求通道內(nèi)引出軌跡處電場強度E的方向和大小?！窘馕觥?1)離子做圓周運動Bqv＝eq\f(mv2,r)，得q＝eq\f(mv,Br)依據(jù)左手定則可推斷離子帶正電荷。(2)離子進入通道前、后的軌跡如圖所示O′Q＝R，OQ＝L，O′O＝R－r引出軌跡為圓弧，由B′qv＝eq\f(mv2,R)，得R＝eq\f(mv,qB′)由余弦定理得R2＝L2＋(R－r)2＋2L(R－r)cosθ解得：R＝eq\f(r2＋L2－2rLcosθ,2r－2Lcosθ)故B′＝eq\f(mv,qR)＝eq\f(mv（2r－2Lcosθ）,q（r2＋L2－2rLcosθ）)(3)電場強度方向沿徑向向外，引出軌跡為圓弧Bqv－Eq＝eq\f(mv2,R)解得：E＝Bv－eq\f(mv2（2r－2Lcosθ）,q（r2＋L2－2rLcosθ）)。7．空間存在兩個垂直于Oxy平面的勻強磁場，y軸為兩磁場的邊界，磁感應強度分別為2B0、3B0。甲、乙兩種比荷不同的粒子同時從原點O沿x軸正向射入磁場，速度均為v。甲第1次、第2次經(jīng)過y軸的位置分別為P、Q，其軌跡如圖所示。甲經(jīng)過Q時，乙也恰好同時經(jīng)過該點。已知甲的質(zhì)量為m，電荷量為q。不考慮粒子間的相互作用和重力影響。求：(1)Q到O的距離d；(2)甲兩次經(jīng)過P點的時間間隔Δt；(3)乙的比荷可能的最小值?！窘馕觥?1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力供應向心力，由qvB＝meq\f(v2,R)得：，且。(2)由(1)可知，完成一周期運動上升的距離為d，粒子再次經(jīng)過P，經(jīng)過N個周期，所以，再次經(jīng)過P點的時間為t＝NT＝3T由勻速圓周運動的規(guī)律得：，繞一周的時間為：解得：所以，再次經(jīng)過P點的時間為兩次經(jīng)過P點的時間間隔為：。(3)由洛倫茲力供應向心力，由qvB＝meq\f(v2,R)得：，d＝2R1′－R2′若乙粒子從第一象限進入其次象限的過程中與甲粒子在Q點相遇，則：2R1′＋nd′＝OQ＝d結(jié)合以上式子，n無解。若乙粒子從其次象限進入第一象限的過程中與甲離子在Q點相遇，則：nd′＝OQ計算可得（n＝1，2，3……）由于甲乙粒子比荷不同，則n＝2時，乙的比荷最小，為。8．如圖所示，在豎直平面xOy內(nèi)，x軸上方，以坐標原點O為圓心、半徑為R的半圓與坐標軸分別交于a、b、c點。abc的同心半圓弧a′b′c′與坐標軸交于a′、b′、c′，圓心O與圓弧a′b′c′之間分布著的輻射狀電場，電場方向沿半徑背離圓心向外，圓心O與圓弧a′b′c′電勢差為U。x軸上方半圓abc外區(qū)域存在著上邊界為y＝2R的垂直紙面對里的足夠大勻強磁場，磁感應強度為B。半圓abc內(nèi)無磁場。正電粒子的粒子源在O點，粒子從坐標原點O被輻射狀的電場由靜止加速后進入磁場。從b點進入磁場的粒子恰好不能從磁場上邊界射出磁場。不計粒子的重力以及粒子之間的相互作用，不考慮粒子從磁場返回圓形區(qū)域邊界abc后的運動。試求：(1)帶電粒子的比荷；(2)上邊界y＝2R上有帶電粒子射出磁場部分的長度；(3)現(xiàn)在只變更磁場高度，磁場上邊界變?yōu)閥＝，試求垂直于磁場上邊界射出磁場的粒子在磁場中運動的時間?！窘馕觥?1)由b點進入磁場的粒子做圓周運動，如圖甲所示，由此可得：qvB＝meq\f(v2,R)(1分)粒子在電場中加速，有qU＝eq\f(1,2)mv2(1分)整理得：。(2分)(2)帶電粒子從磁場邊界射出y軸，右側(cè)的最大距離x1，如圖乙所示，由幾何關(guān)系可得：[(eq\r(2)＋1)R2]2＝x12＋(2R)2(2分)y軸左側(cè)最大距離為x2＝R(1分)帶電離子從磁場上邊界射出的范圍為。(2分)(3)帶電粒子垂直磁場上邊界射出，如圖丙所示，可知∠2＝45°(1分)則(1分)得∠1＝60°，所以∠3＝75°(1分)則帶電粒子在磁場中運動的時間(1分)帶電粒子在磁場中運動的周期T＝eq\f(2πm,qB)(1分)整理得(1分)同理得∠4＝15°(1分)因此。(1分)9．某型號質(zhì)譜儀的工作原理如圖甲所示。M、N為豎直放置的兩金屬板，兩板間電壓為U，Q板為記錄板，分界面P將N、Q間區(qū)域分為寬度均為d的I、Ⅱ兩部分，M、N、P、Q所在平面相互平行，a、b為M、N上兩正對的小孔。以a、b所在直線為z軸，向右為正方向，取z軸與Q板的交點O為坐標原點，以平行于Q板水平向里為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立空間直角坐標系Oxyz。區(qū)域I、Ⅱ內(nèi)分別充溢沿x軸正方向的勻強磁場和勻強電場，磁感應強度大小、電場強度大小分別為B和E。一質(zhì)量為m，電荷量為＋q的粒子，從a孔飄入電場（初速度視為零），經(jīng)b孔進入磁場，過P面上的c點（圖中未畫出）進入電場，最終打到記錄板Q上。不計粒子重力。(1)求粒子在磁場中做圓周運動的半徑R以及c點到z軸的距離L；(2)求粒子打到記錄板上位置的x坐標；(3)求粒子打到記錄板上位置的y坐標（用R、d表示）；(4)如圖乙所示，在記錄板上得到三個點s1、s2、s3，若這三個點是質(zhì)子eq\o\al(1,1)H、氚核eq\o\al(3