第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年河南省新鄉(xiāng)市原陽第一高級中學(xué)高二（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.到x軸距離與到y(tǒng)軸距離之比等于12的點(diǎn)的軌跡方程為(

)A.y=2x(x≠0) B.y=±2x(x≠0) C.x=2y(x≠0) D.x=±2y(x≠0)2.若兩條平行直線x?2y+m=0(m>0)與x+ny?3=0之間的距離是25，則m+n=(

)A.5 B.?15 C.0 D.13.如圖，二面角的度數(shù)為60°，其棱上有兩點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若AB=5，AC=BD=4，則線段CD的長為(

)A.73 B.41 C.73 D.4.已知平面α的一個法向量為n=(3,1,3),M(1,0,0),N(1,32,0)，其中M∈α，N?α，則點(diǎn)N到平面αA.1938 B.51938 5.有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

)A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立 C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立6.已知圓C的方程為x2+y2=9，直線l：x+2y?10=0，點(diǎn)P是直線l上的一動點(diǎn)，過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)四邊形PACB的面積最小時，直線A.2x+4y+9=0 B.4x+2y+9=0 C.4x+2y?9=0 D.2x+4y?9=07.在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，EF是正方體ABCD?A1A.[?92,0] B.[?52,0]8.已知函數(shù)為f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)>f(x?1)+f(x?2)，且當(dāng)x<3時，f(x)=x，則下列結(jié)論中一定正確的是(

)A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.已知直線l過點(diǎn)P(2,3)，且在x、y軸上截距相等，則直線l的方程為x+y?5=0

B.直線3x+y+1=0的傾斜角為120°

C.a∈R，b∈R，“直線ax+2y?1=0與直線(a+1)x?2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分條件

D.若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移2個單位長度后，回到原來的位置，則該直線l10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是(

)A.已知兩個向量a=(m,1,3),b=(?1,5,n)，且a//b，則mn=?3

B.已知a=(0,1,1),b=(0,0,?1)，則b在a上的投影向量為(0,?12,?12)

C.設(shè){a,b,11.下列說法正確的是(

)A.圓x2+y2?10x?10y=0與圓x2+y2?6x+2y?40=0的公共弦長為410

B.過點(diǎn)P(2,1)作圓O：x2+y2=1的切線l，則切線l的方程為4x?3y?5=0三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.假如P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A與B相互獨(dú)立，則P(A∪B)=______．13.直線l經(jīng)過點(diǎn)(3,1)，且直線l的一個方向向量為(?2,?23)，若直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0)14.寫出與圓x2+y2=1和(x?3四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，在空間四邊形OABC中，2BD=DC，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，設(shè)OA=a,OB=b,OC=c．

(1)試用向量a,b16.(本小題15分)

已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0)，B(0,4)，且重心G的坐標(biāo)為(?23,43)．

(1)求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線17.(本小題15分)

在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2bsinA=3a,b2=c(2a+c)．

(1)求sinAsinC的值；

(2)若D是△ABC的外接圓上一點(diǎn)(B與D位于直線AC異側(cè))18.(本小題17分)

如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=4．

(1)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(2)若二面角E?BD?F的余弦值為13，求線段CF的長．19.(本小題17分)

中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍是茅草屋頂.”現(xiàn)有一個芻甍如圖所示，四邊形ABCD為正方形，四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，AB=4，EF/?/AB，AB=2EF，EA=ED=FB=FC=3．

(1)當(dāng)點(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)時，求證：直線AD⊥平面EFN；

(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(包含端點(diǎn))，求平面BFN和平面ADE的夾角的余弦值的取值范圍．

參考答案1.D

2.A

3.D

4.C

5.B

6.D

7.A

8.B

9.BCD

10.ABC

11.AC

12.0.94

13.214.x+1=0或7x?24y?25=0或3x+4y?5=0(填一條即可)

15.解：(1)因?yàn)?BD=DC，OA=a,OB=b,OC=c，

所以BD=13BC=13(OC?OB)，

所以O(shè)D=OB+BD=OB+13(OC?OB)=23OB16.解：(1)設(shè)C(x,y)，則由重心G的坐標(biāo)為(?23,43)，

則13(2+0+x)=?2313(0+4+y)=43，

解得x=?4，y=0，即C(?4,0)，

所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(?4,0)．

(2)設(shè)△ABC的外心P(x,y)，則由外心性質(zhì)可得P在AC的中垂線x=?1上，即P(?1,y)，

由|PC|=(?1+4)2+y2，|PB|=(?1)2+(y?4)17.解：(1)在銳角△ABC中，

因?yàn)?bsinA=3a，由正弦定理可得：2sinBsinA=3sinA，

而sinA>0，故sinB=32，

因?yàn)锽是銳角，所以B=π3，

由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB=a2+c2?ac，

又因?yàn)閎2=c(2a+c)，所以c(2a+c)=a2+c2?ac，

整理的ac=3，

故18.解：(1)因?yàn)锳E⊥平面ABCD，AD，AB在平面ABCD內(nèi)，則AE⊥AD，AE⊥AB，又AD⊥AB，

故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，E(0,0,4)，

故BD=(?2,2,0)，BE=(?2,0,4)，CE=(?2,?4,4)，

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量，

則n?BD=?2x+2y=0n?BE=?2x+4z=0，令z=1，得n=(2,2,1)，

設(shè)直線CE與平面BDE所成角為θ，

則有sinθ=|cos<CE,n>|=|CE?n|CE||n||=|?4?8+436×9|=49，

∴直線CE與平面BDE所成角的正弦值為49；

19.解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)N為線段AD的中點(diǎn)，且EA=ED，

所以AD⊥EN，

因?yàn)镋F/?/AB，且四邊形ABCD為正方形，故AD⊥AB，

所以AD⊥EF，而EN∩EF=E，EN，EF?平面EFN，

故AD⊥平面EFN；

(2)設(shè)正方形ABCD的中心為O，分別取AB，BC，EF的中點(diǎn)為P，Q，S，

設(shè)點(diǎn)H為線段AD的中點(diǎn)，由(1)知E，F(xiàn)，H，Q四點(diǎn)共面，且AD⊥平面EFH，

連接OS，OS?平面EFH，故AD⊥OS，

又AD?平面ABCD，故平面ABCD⊥平面EFHQ，

且平面ABCD∩平面EFHQ=HQ，

由題意可知四邊形EFQH為等腰梯形，故OS⊥HQ，

OS?平面EFHQ，故OS⊥平面ABCD，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP?．OO?．OS?為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳B=4，則A(2,?2,0)，B(2,2,0)，C(?2,2,0)，D(?2,?2,0)，

又AB=2EF，故EF=2，

設(shè)EF到底面ABCD的距離為?，

四邊形ABFE，CDEF為兩個全等的等腰梯形，且EF/?/AB，

故E(0,?1,?)，F(xiàn)(0,1,?)，又EA=ED=FB=FC=3，

故22+12+?2=3，∴?=2，則E(0,?1,2)，F(xiàn)(0,1,2)，

AE=(?2,1,2),A