考研數(shù)學(xué)二分類模擬題102一、填空題1.

矩陣的非零特征值是______．正確答案：4．[解析]設(shè)

則

由此可知矩陣A的特征值為0(二重)，4．

2.

設(shè)α，β為3維列向量，βT為β的轉(zhuǎn)置．若矩陣αβT相似于，則βTα=______．正確答案：2．[解析]設(shè)α=(x1，x2，x3)T，β=(y1，y2，y3)T，則

所求βTα即為矩陣αβT中主對(duì)角線元素之和，即矩陣的跡tr(αβT)．而tr(αβT)等于矩陣αβT的特征值之和，也等于其相似矩陣特征值之和，故βTα=2．

3.

二次型，則f的正慣性指數(shù)為_(kāi)_____．正確答案：2．[解析]解法1

求二次型矩陣A的特征值．

因?yàn)?/p>

所以

即A的特征值為λ1=0，λ2=1，λ3=4，原二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為，其正慣性指數(shù)p=2．

解法2

配方法．

因此原二次型的正慣性指數(shù)p=2．

4.

設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，則a的取值范圍是______．正確答案：[-2，2]．[解析]解法1

由于

因?yàn)閒的負(fù)慣性指數(shù)為1，所以4-a2≥0，故-2≤a≤2．

解法2

二次型f的負(fù)慣性指數(shù)為1，則λ1＜0，λ2≥0，λ3≥0，于是

故-2≤a≤2．

二、選擇題1.

設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=O若A的秩為3，則A相似于

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]因A是秩為3的實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A必相似于秩為3的對(duì)角矩陣．設(shè)λ為A的特征值，由A2+A=O可得λ2+λ=0，即λ=0或-1．由此可知只有選項(xiàng)D是正確的．

題目中“實(shí)對(duì)稱”這個(gè)條件是可以刪掉的，不影響結(jié)果，但是這樣題目難度就加大了，因?yàn)榇藭r(shí)判斷A～Λ就不那么容易了．讀者可以通過(guò)利用“A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此A～Λ”這一思路去完成．

2.

設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，則Q-1AQ=

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]解法1

由題設(shè)知，矩陣A是可相似對(duì)角化的矩陣，因而其相似變換矩陣P的列向量α1，α2，α3是A的分別屬于特征值λ1=1，λ2=1，λ3=2的特征向量．由于λ1=λ2=1是A的2重特征值，所以α1+α2仍是A的屬于特征值l的特征向量，即A(α1+α2)=1·(α1+α2)，從而有

應(yīng)選B．

解法2

因?yàn)榫仃嘠是對(duì)矩陣P作一次初等列變換——將P的第2列加到第1列上而得到的，所以有

從而有

即選項(xiàng)B是正確的．

3.

矩陣相似的充分必要條件為A.a=0，b=2．B.a=0，b為任意常數(shù)．C.a=2，b=0．D.a=2，b為任意常數(shù)．正確答案：B[解析]題中所給矩陣分別記為A，B，因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)a=0時(shí)，矩陣A的特征值為2，b，0，且b可為任意常數(shù)，矩陣A與B相似，充分性成立．

若A，B相似，則2為矩陣A的特征值，所以有

|2E-A|=2[(2-2)(2-b)-2a2]=0，a=0，

必要性成立．因此選B．

4.

設(shè)二次型f(x1，x2，x3)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中P=(e1，e2，e3)．若Q=(e1，-e3，e2)，則f(x1，x2，x3)在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為

A．

B．

C．

D．正確答案：A[解析]解法1

設(shè)二次型矩陣為A，則

可見(jiàn)e1，e2，e3都是A的特征向量，特征值依次為2，1，-1，于是-e3也是A特征向量，特征值是-1．因此

從而在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)二次型為

解法2

則

故選A．

5.

設(shè)二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為1，2，則A.a＞1．B.a＜-2．C.-2＜a＜1．D.a=1或a=-2．正確答案：C[解析]二次型矩陣

由特征多項(xiàng)式

得矩陣A的特征值：a+2，a-1，a-1．

由于正、負(fù)慣性指數(shù)分別為1，2，可知所以-2＜a＜1．

6.

設(shè)矩陣則A與BA.合同且相似．B.合同，但不相似．C.不合同，但相似．D.既不合同，也不相似．正確答案：B[解析]因?yàn)?/p>

所以矩陣A的特征值為3，3，0．由此可知矩陣A與B不相似，從而選項(xiàng)A和C錯(cuò)誤．

又因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣A相似且合同于對(duì)角矩陣

而矩陣C顯然合同于矩陣B，根據(jù)合同關(guān)系的傳遞性知矩陣A合同于B，即選項(xiàng)B正確．

7.

設(shè)，則在實(shí)數(shù)域上與A合同的矩陣為

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]直接觀察可知各矩陣的秩均為2，亦即各選項(xiàng)的矩陣的秩都等于矩陣A的秩．求矩陣A的特征值加下：

矩陣的特征值為-3，-1，正慣性指數(shù)為0；

矩陣的特征值為1，3，正慣性指數(shù)為2；

矩陣的特征值為1，3，正慣性指數(shù)為2；

矩陣的特征值為3，-1，正慣性指數(shù)為1．

由此可知與矩陣A合同的是(事實(shí)上，它們還是相似的)，即選項(xiàng)D正確．

8.

設(shè)A，B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結(jié)淪錯(cuò)誤的是A.AT與BT相似．B.A-1與B-1相似．C.A+AT與B+BT相似．D.A+A-1與B+B-1相似．正確答案：C[解析]依題意可知，存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B．

則BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=PTAT(PT)-1=P1-1ATP1，其中P1=(PT)-1可逆．故AT～BT，

B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P，故A-1～B-1，

且P-1(A+A-1)P=P-1AP+P-1A-1P=B+B-1，故A+A-1～B+B-1．

故選C．

三、解答題1.

若矩陣相似于對(duì)角矩陣Λ，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使P-1AP=Λ．正確答案：解

矩陣A的特征多項(xiàng)式為

故A的特征值為λ1=λ2=6，λ3=-2．

由于A相似于對(duì)角矩陣Λ，故對(duì)應(yīng)于λ1=λ2=6有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此矩陣6E-A的秩應(yīng)為1．從而由

知a=0．

對(duì)應(yīng)于λ1=λ2=6的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量可取為

當(dāng)λ3=-2時(shí)，

解方程組得對(duì)應(yīng)于λ3=-2的特征向量

令則P可逆，并有P-1AP=Λ．

2.

設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)二重根，求a的值，并討論A是否可相似對(duì)角化．正確答案：解

矩陣A的特征多項(xiàng)式為

若λ=2是特征方程的二重根，則有22-16+18+3a=0，解得a=-2．

當(dāng)a=-2時(shí)，A的特征值為2，2，6，矩陣

的秩為1，故λ=2對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而A可相似對(duì)角化．

若λ=2不是特征方程的二重根，則λ2-8λ+18+3a為完全平方，從而18+3a=16，解得．

當(dāng)時(shí)，A的特征值為2，4，4，矩陣

的秩為2，故λ=4對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量只有一個(gè)，從而A不可相似對(duì)角化．

3.

證明n階矩陣相似．正確答案：證

設(shè)因?yàn)?/p>

所以A與B有相同的特征值λ1=n，λ2=0(n-1重)．

由于A為實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A相似于對(duì)角矩陣

因?yàn)閞(λ2E-B)=r(B)=1，所以B對(duì)應(yīng)于特征值λ2=0有n-1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，于是B也相似于Λ．

故A與B相似．[解析](1)由于在考試大綱的范圍內(nèi)僅有矩陣相似于對(duì)角矩陣的判定，而沒(méi)有任意兩個(gè)矩陣相似判定的一般性結(jié)論，因此，部分考生沒(méi)有意識(shí)到本題應(yīng)該通過(guò)對(duì)矩陣A和B是否都相似于同一個(gè)對(duì)角矩陣的判定來(lái)解題．這也就成為本題所呈現(xiàn)的最主要錯(cuò)誤．

(2)推演過(guò)程反映出部分考生對(duì)于矩陣的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系無(wú)法區(qū)分，尤其是矩陣的相似及合同等價(jià)關(guān)系．有考生通過(guò)說(shuō)明r(A)=r(B)=1來(lái)說(shuō)明矩陣A和B是相似的，更有不少考生利用合同關(guān)系來(lái)處理本題，即試圖尋找可逆矩陣P建立如下關(guān)系式：PTAP=B．

設(shè)矩陣相似于矩陣4.

求a，b的值；正確答案：解

由于矩陣A與矩陣B相似，所以

trA=trB，|A|=|B|，

于是3+a=2+b，2a-3=b，

解得a=4，b=5．

5.

求可逆矩陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣．正確答案：解

由上一小題知

由于矩陣A與矩陣B相似，所以

|λE-A|=|λE-B|=(λ-1)2(λ-5)，

故A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=5．

當(dāng)λ1=λ2=1時(shí)，解方程組(E-A)x=0，得線性無(wú)關(guān)的特征向量

當(dāng)λ3=5時(shí)，解方程組(5E-A)x=0，得特征向量

令則

故P為所求可逆矩陣．

設(shè)三階矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=2，λ3=3，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為又向量6.

將β用ξ1，ξ2，ξ3線性表出；正確答案：解

設(shè)

對(duì)此方程組的增廣矩陣作初等行變換

得唯一解(2，-2，1)T，故有

β=2ξ1-2ξ2+ξ3．

7.

求Anβ(n為自然數(shù))．正確答案：解

由于Aξi=λiξi，故，i=1，2，3．因此

[解析]求Anβ一般是如本題這樣先處理β(用A的特征向量線性表示出來(lái))，再利用Anα=λnα．如果先用相似求出An，然后再去計(jì)算乘積Anβ，這樣計(jì)算量比較大．

某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊．新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工．設(shè)第n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為xn和yn，記成向量8.

求的關(guān)系式并寫成矩陣形式：正確答案：解

于是

9.

驗(yàn)證是A的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；正確答案：解

令則由|P|=5≠0知，η1，η2線性無(wú)關(guān)．

因故η1為A的特征向量，且相應(yīng)的特征值λ1=1．

因，故η2為A的特征向量，且相應(yīng)的特征值．

10.

當(dāng)正確答案：解

由有

于是

又

故

因此[解析]容易求得于是

已知矩陣11.

求A99；正確答案：解

因?yàn)?/p>

所以A的特征值為λ1=-1，λ2=-2，λ3=0．

當(dāng)λ1=-1時(shí)，解方程組(-E-A)x=0，得特征向量ξ1=(1，1，0)T；

當(dāng)λ2=-2時(shí)，解方程組(-2E-A)x=0，得特征向量ξ2=(1，2，0)T；

當(dāng)λ3=0時(shí)，解方程組Ax=0，得特征向量ξ3=(3，2，2)T．

令則

所以

12.

設(shè)3階矩陣B=(α1，α2，α3)滿足B2=BA．記B100=(β1，β2，β3)，將β1，β2，β3分別表示為α1，α2，α3的線性組合．正確答案：解

因?yàn)锽2=BA，所以

B100=B98B2=B99A=B97B2A=B98A2=…=BA99，

即．

所以

設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是線性方程組Ax=0的兩個(gè)解．13.

求A的特征值與特征向量；正確答案：解

由于A的各行元素之和均為3，所以有

這表明3是A的一個(gè)特征值，向量α3=(1，1，1)T是A的對(duì)應(yīng)于3的一個(gè)特征向量．又因Aα1=0，Aα2=0，可寫成Aα1=0·α1，4α2=0·α2，故0也是A的一個(gè)特征值，α1，α2是對(duì)應(yīng)于0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，即0是A的二重特征值．

綜上，A的特征值為0，0，3；對(duì)應(yīng)于特征值0的全體特征向量為k1α1+k2α2(k1，k2為不全為零的任意常數(shù))，對(duì)應(yīng)于特征值3的全體特征向量為k3α3(k3≠0)．

14.

求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A，使得QTAQ=A．正確答案：解

為求正交矩陣Q，將α1，α2正交化：

令

ξ1=α1=(-1，2，-1)T，

再分別將ξ1，ξ2，α3單位化，得

以β1，β2，β3為列向量組即可構(gòu)成正交矩陣Q，以對(duì)應(yīng)的特征值0，0，3構(gòu)成對(duì)角陣A，即

滿足QTAQ=A．

設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A的屬于λ1的一個(gè)特征向量．記B=A5-4A3+E，其中E為3階單位矩陣．15.

驗(yàn)證α1是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；正確答案：解

由Aα1=λ1α1，知

因而向量α1是B的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量．

因?yàn)锳的所有特征值分別為λ1，λ2，λ3，故B=A5-4A3+E的所有特征值分別為，代入數(shù)值后知B的特征值為-2，1，1．

由前面的討論知α1是矩陣B的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量，故B的屬于特征值-2的全部特征向量為k1α1(k1為任意非零常數(shù))．

又因矩陣A是實(shí)對(duì)稱矩陣，故B也是實(shí)對(duì)稱矩陣，從而屬于B的不同特征值的特征向量相互正交．設(shè)(x1，x2，x3)T是B的屬于特征值1的特征向量，則(x1，x2，x3)α1=0，即

x1-x2+x3=0．

解此方程組得其基礎(chǔ)解系α2=(1，1，0)T，α3=(-1，0，1)T，故矩陣B的屬于特征值1的全部特征向量為k2α2+k3α3，其中k2，k3為不全為零的任意常數(shù)．

16.

求矩陣B．正確答案：解

將B的特征向量α1，α2，α3正交化、單位化后構(gòu)成一正交矩陣Q．

令

則

于是

[解析](1)在第一問(wèn)求B的屬于特征值1的特征向量α2，α3時(shí)，可以直接取成二者正交，這樣就能回避下面的施密特正交化步驟．由x1-x2+x3=0，取α2=(1，1，0)T，此時(shí)再設(shè)α3=(x1，x2，x3)T，且令，得x1+x2=0，聯(lián)立可取α3=(-1，1，2)T．

(2)第二問(wèn)也可以直接利用相似對(duì)角化求B．

17.

設(shè)正交矩陣Q使QTAQ為對(duì)角矩陣，若Q的第1列為求a，Q．正確答案：解

由于是正交矩陣Q的第1列，所以(1，2，1)T是矩陣A的一個(gè)特征向量．設(shè)其對(duì)應(yīng)的特征值為λ1，于是有

即

解得a=-1，λ1=2．由此可知

其特征多項(xiàng)式

|λE-A|=(λ-2)(λ-5)(λ+4)．

A的特征值為λ1=2，λ2=5，λ3=-4．

當(dāng)λ2=5時(shí)，解齊次方程組

得到屬于λ2的一個(gè)特征向量ξ2=(1，-1，1)T；

當(dāng)λ3=-4時(shí)，解齊次方程組

得到屬于λ3的一個(gè)特征向量ξ3=(=1，0，1)T；

將ξ2，ξ3單位化后分別作為Q的第2，3列，可得

并有

所以Q為所求矩陣．

設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的秩為2，且18.

求A的所有特征值與特征向量；正確答案：解

由于3階矩陣A的秩為2，所以0是A的一個(gè)特征值．

由可得

所以-1是A的一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為k1為任意非零常數(shù)；1也是A的一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量為k2為任意非零常數(shù)．

設(shè)A的對(duì)應(yīng)于特征值0的特征向量為(x1，x2，x3)T，由實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的，所以有

即

于是對(duì)應(yīng)于0的特征向量為k3為任意非零常數(shù)．[解析]也可令則

19.

求矩陣A．正確答案：解

令則

故

設(shè)二次型

20.

求二次型f的矩陣的所有特征值；正確答案：解

二次型f的矩陣為

其特征多項(xiàng)式為

所以A的特征值為

λ1=a，λ2=a+1，λ3=a-2．

21.

若二次型f的規(guī)范形為，求a的值．正確答案：解

由f的規(guī)范形為知，其矩陣A的特征值有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為零．又

a-2＜a＜a+1，

所以a-2=0，即a=2．

已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩為2．22.

求實(shí)數(shù)a的值；正確答案：解法1

因?yàn)?=r(ATA)=r(A)，故可對(duì)A作初等行變換：

所以a=-1．

解法2

由已知r(ATA)=2，且ATA有一個(gè)2階子式故

從而得a=-1．

23.

求正交變換x=Qy將f化為標(biāo)準(zhǔn)形．正確答案：解

由上一小題知a=-1，得

故矩陣ATA的特征多項(xiàng)式為

ATA的特征值為λ1=2，λ2=6，λ3=0．

當(dāng)λ1=2時(shí)，解方程組

得相應(yīng)的特征向量為單位化后為

當(dāng)λ2=6時(shí)，解方程組

得相應(yīng)的特征向量為單位化后為

當(dāng)λ3=0時(shí)，解方程組

得相應(yīng)的特征向量為單位化后為

于是得到正交矩陣

在正交變換x=Qy下，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，記

24.

證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT；正確答案：證法1

記列向量由于

類似地，b1x1+b2x2+b3x3也有對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，所以

又(2ααT+ββT)T=2ααT+ββT，即2ααT+ββT是對(duì)稱矩陣，所以二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT．

證法2

將二次型f展開(kāi)并寫成矩陣相乘的形式得

而

所以

即二次型f所對(duì)應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT．

25.

若α，β正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為．正確答案：證法1記矩陣A=2ααT+ββT．由于α，β是相互正交的單位向量，即αTα=βTβ=1，αTβ=0，所以

Aα=(2ααT+ββT)α=2α，

Aβ=(2ααT+ββT)β=β，

即λ1=2，λ2=1是矩陣A的特征值．

又A的秩

r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，

即A不是滿秩矩陣，所以λ3=0也是矩陣A的特征值，故二次型f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為

證法2

同證法1：λ1=2，λ2=1是矩陣A的兩個(gè)特征值，α，β分別是其對(duì)應(yīng)的單位特征向量．

取單位向量γ使得其與向量α，β都正交，即αTγ=0，βTγ=0(如何取得γ，請(qǐng)讀者思考)．

令矩陣Q=(α，β，γ)，則Q為正交矩陣．在正交變換x=Qy(其中y=(y1，y2，y3)T)下，二次型

即f在正交變換X