考研數(shù)學(xué)二分類模擬題34一、填空題1.

設(shè)，則x2項(xiàng)的系數(shù)為______．正確答案：23[解析]按行列式的定義，f(x)的3次項(xiàng)和2次項(xiàng)都產(chǎn)生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且該項(xiàng)帶正號(hào)，所以x2項(xiàng)的系數(shù)為23．

2.

設(shè)A為三階矩陣，A的第一行元素為1，2，3，|A|的第二行元素的代數(shù)余子式分別為a+1，a-2，a-1，則a=______．正確答案：1[解析]由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．

3.

設(shè)A是m階矩陣，B是n階矩陣，且|A|=a，|B|=b，則正確答案：(-1)mnab[解析]將B的第一行元素分別與A的行對(duì)調(diào)m次，然后將B的第二行分別與A的行對(duì)調(diào)m次，如此下去直到B的最后一行與A的行對(duì)調(diào)m次，則

4.

設(shè)A=(α1，α2，α3)為三階矩陣，且|A|=3，則|α1+2α2，α2-3α3，α3+2α1=______．正確答案：-33[解析]|α1+2α2，α2-3α3，α3+2α1|

=|α1，α2-3α3，α3+2α1|+|2α2，α2-3α3，α3+2α1|

=|α1，α2-3α3，α3|+2|α2，-3α3，α3+2α1|

=|α1，α2，α3|-6|α2，α3，α3+2α1|=|α1，α2，α3|-6|α2，α3，2α1|

=|α1，α2，α3|-12|α2，α3，α1|=|α1，α2，α3|-12|α1，α2，α3|=-33．

5.

設(shè)三階矩陣A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三維列向量，且|A|=3，|B|=4，則|5A-2B|=______．正確答案：-63[解析]由5A-2B=(5α，γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得

|5A-2B|=|5α-2β，3γ1，3γ2|=9|5α-2β，γ1，γ2|

=9(5|α，γ1，γ2|-2|β，γ1，γ2|)=63．

6.

設(shè)A為n階可逆矩陣(n≥2)，則[(A*)*]-1=______(用A*表示)．正確答案：[解析]由A*=|A|A-1得

(A*)*=|A*|·(A*)-1=|A|n-1·(|A|A-1)-1=|A|n-2A，

故

7.

設(shè)α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，則A*=______．正確答案：[解析]βTα=3，A2=αβT·αβT=3αβT=3A，則

8.

，且n≥2，則An-2An-1=______．正確答案：O[解析]由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An-2An-1=O．

9.

設(shè)，則(A+3E)-1(A2-9E)=______．正確答案：[解析]

10.

A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要條件是______．正確答案：AB=BA[解析]A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要條件是AB=BA．

11.

設(shè)A是三階矩陣，且|A|=4，則正確答案：2[解析]

12.

設(shè)A為三階矩陣，且|A|=4，則正確答案：[解析]由A*=|A|A-1=4A-1得

13.

設(shè)A為四階矩陣，|A*|=8，則正確答案：8[解析]因?yàn)锳為四階矩陣，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．

又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故

14.

設(shè)A為三階矩陣，且|A|=3，則|(-2A)*|=______．正確答案：576[解析]因?yàn)?-2A)*=(-2)2A*=4A*，所以|(-2A)*|=|4A*|=43|A|2=64×9=576．

15.

設(shè)，則A-1=______．正確答案：[解析]

則

16.

設(shè)，則A-1=______．正確答案：[解析]設(shè)，則，于是

而，故

17.

設(shè)，則(A*)-1=______．正確答案：[解析]|A|=10，因?yàn)锳*=|A|A-1，所以A*=10A-1，故

18.

設(shè)，則(A-2E)-1=______．正確答案：[解析]

而

則

19.

設(shè)n階矩陣A滿足A2+A=3E，則(A-3E)-1=______．正確答案：[解析]由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，，則

20.

設(shè)，則正確答案：[解析]令A(yù)=(α1，α2，α3)，因?yàn)閨A|=2，所以A*A=|A|E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以于是

21.

設(shè)n維列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，，且B為A的逆矩陣，則a=______．正確答案：-1[解析]由且ααT≠O，得，解得a=-1．

22.

設(shè)三階矩陣A，B滿足關(guān)系A(chǔ)-1BA=6A+BA，且，則B=______．正確答案：[解析]由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，

23.

設(shè)A是4×3階矩陣且r(A)=2，，則r(AB)=______．正確答案：2[解析]因?yàn)閨B|=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．

24.

設(shè)，B為三階非零矩陣，且AB=O，則r(A)=______．正確答案：2[解析]因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤3，又因?yàn)锽≠O，所以r(B)≥1，從而有r(A)≤2，顯然A有兩行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．

25.

，則．正確答案：[解析]，因?yàn)椋?，于?/p>

二、選擇題1.

設(shè)A是三階矩陣，B是四階矩陣，且|A|=2，|B|=6，則為______．A.24B.-24C.48D.-48正確答案：D[解析]，選D．

2.

設(shè)A為二階矩陣，且A的每行元素之和為4，且|E+A|=0，則|2E+A2|為______．A.0B.54C.-2D.-24正確答案：B[解析]因?yàn)锳的每行元素之和為4，所以A有特征值4，又|E+A|=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值為18，3，于是|2E+A2|=54，選B．

3.

設(shè)n維行向量，A=E-αTα，B=E+2αTα，則AB為______．A.0B.-EC.ED.E+αTα正確答案：C[解析]由，得AB=(E-αTα)(E+2αTα)=E，選C．

4.

設(shè)A，B為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是______．A.若A，B可逆，則A+B可逆B.若A，B可逆，則AB可逆C.若A+B可逆，則A-B可逆D.若A+B可逆，則A，B都可逆正確答案：B[解析]若A，B可逆，則|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，選B．

5.

設(shè)A，B為n階對(duì)稱矩陣，下列結(jié)論不正確的是______．A.AB為對(duì)稱矩陣B.設(shè)A，B可逆，則A-1+B-1為對(duì)稱矩陣C.A+B為對(duì)稱矩陣D.kA為對(duì)稱矩陣正確答案：A[解析]由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B為對(duì)稱矩陣；由(A-1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得A-1+B-1為對(duì)稱矩陣；由(kA)T=kAT=kA，得kA為對(duì)稱矩陣，選A．

6.

設(shè)A，B皆為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是______．A.AB=O的充分必要條件是A=O或B=OB.AB≠O的充分必要條件是A≠O且B≠OC.AB=O且r(A)=n，則B=OD.若AB≠O，則|A|≠0或|B|≠0正確答案：C[解析]取顯然AB=O，故A、B都不對(duì)，取，顯然，但|A|=0且|B|=0，故D不對(duì)；由AB=O得r(A)+r(B)≤n，因?yàn)閞(A)=n，所以r(B)=0，于是B=O，所以選C．

7.

n階矩陣A經(jīng)過若干次初等變換化為矩陣B，則______．A.|A|=|B|B.|A|≠|(zhì)B|C.若|A|=0則|B|=0D.若|A|＞0則|B|＞0正確答案：C[解析]因?yàn)锳經(jīng)過若干次初等變換化為B，所以存在初等矩陣P1，…，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…，Ps，Q1，…，Qt都是可逆矩陣，所以r(A)=r(B)，若|A|=0，即r(A)＜n則r(B)＜n，即|B|=0，選C．

8.

設(shè)A為m×n階矩陣，C為n階矩陣，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，則______．A.r＞r1B.r＜r1C.r≥r1D.r與r1的關(guān)系依矩陣C的情況而定正確答案：C[解析]因?yàn)閞1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以選C．

9.

設(shè)A為m×n階矩陣，B為n×m階矩陣，且m＞n，令r(AB)=r，則______．A.r＞mB.r=mC.r＜mD.r≥m正確答案：C[解析]顯然AB為m階矩陣，r(A)≤n．r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n＜m，所以選C．

10.

設(shè)A為四階非零矩陣，且r(A*)=1，則______．A.r(A)=1B.r(A)=2C.r(A)=3D.r(A)=4正確答案：C[解析]因?yàn)閞(A*)=1，所以r(A)=4-1=3，選C．

11.

設(shè)A，B都是n階矩陣，其中B是非零矩陣，且AB=O，則______．A.r(B)=nB.r(B)＜nC.A2-B2=(A+B)(A-B)D.|A|=0正確答案：D[解析]因?yàn)锳B=O，所以r(A)+r(B)≤n，又因?yàn)锽是非零矩陣，所以r(B)≥1，從而r(A)＜n，于是|A|=0，選D．

12.

設(shè)A，B分別為m階和n階可逆矩陣，則的逆矩陣為______．

A．

B．

C．

D．正確答案：D[解析]A，B都是可逆矩陣，因?yàn)樗?，選D．

13.

設(shè)，，，，則A，B