2024～2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)重難創(chuàng)新題二次函數(shù)性質(zhì)綜合題

注意事項：

創(chuàng)新角度：新定義、判斷線段數(shù)量關(guān)系、結(jié)論開放、選擇合適條件一、選擇題1．定義：我們將頂點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”.如圖，在正方形OABC中，點A(0，2)，點C(2，0)，則互異二次函數(shù)y=(x?m)2?m與正方形OABCA．4，-1 B．5?172，-1 C．4，0 D．2．已知y1，y2均為關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)x=a時，函數(shù)值分別為A1，A2，若對于實數(shù)a，當(dāng)0<a<1時，都有?1<A1?A2A．y1=x2+1，yC．y1=x2?1，y3．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為和諧點．例如點（1，1），（﹣13，﹣13），（﹣2，﹣2），…，都是和諧點．若二次函數(shù)y＝ax2+4x+c（a≠0）的圖象上有且只有一個和諧點（32，32），當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝axA．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜44．定義：min{a，b}=a(a≤b)b(a>b)A．0 B．2 C．3 D．45．新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點P(m，n)和點P'(m，n')，若滿足m≥0時，n'=n?4；m<0時，n'=?n，則稱點P'(m，n')是點P(m，n)的限變點．例如：點P1A．?2≤n'≤2 B．1≤n'≤3 C．6．定義：若點P(a，b)在函數(shù)y＝1x的圖象上，將以a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)構(gòu)造的二次函數(shù)y＝ax2＋bx稱為函數(shù)y＝的一個“派生函數(shù)”．例如：點(2，12)在函數(shù)y＝1x的圖象上，則函數(shù)y＝2x2＋x稱為函數(shù)y＝1x的一個“派生函數(shù)”．現(xiàn)給出以下兩個命題：(1)存在函數(shù)y＝A．命題（1）與命題（2）都是真命題B．命題（1）與命題（2）都是假命題C．命題（1）是假命題，命題（2）是真命題D．命題(1)是真命題，命題(2)是假命題7．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的一個交點為A(?3，0)，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸為直線x=?1，其部分圖象如圖所示，則以下4個結(jié)論：①abc>0；②E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)是拋物線y=ax2+bx(a≠0)上的兩個點，若x1<x2，且x1A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題8．定義：若x，y滿足x2=4y+t，y2（1）若P(3，m（2）若雙曲線y=kx(9．定義[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[2m，1－m，－1－m]的函數(shù)的一些結(jié)論：①當(dāng)m≠0時，點(1，0)一定在函數(shù)的圖象上；②當(dāng)m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于32；③當(dāng)m＜0時，函數(shù)在x>14時，y隨x的增大而減小；④當(dāng)m＞0，若拋物線的頂點與拋物線與x軸兩交點組成的三角形為等腰直角三角形，則m=10．拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c①b<0；②4ac?b③當(dāng)n=3時，若點(2，t④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=x其中正確的是（填寫序號）．三、解答題11．定義：如圖1，拋物線y=ax2+bc+c(a≠0)與x軸交于A，B兩點，點P在拋物線上（點P與A，B兩點不重合），如果△ABP的三邊滿足A（1）直接寫出拋物線y=?x（2）如圖2，已知拋物線C：y=ax2+bx(a≠0)與x（3）在（2）的條件下，點Q在拋物線C上，求滿足條件SΔABQ四、實踐探究題12．定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）理解應(yīng)用：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形OABC是垂等四邊形，點A的坐標(biāo)為（4，0），點C的坐標(biāo)為（0，3），則點B的坐標(biāo)為．（2）綜合探究：如圖，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，點A在點B的左側(cè)，C，D兩點在該拋物線上．若以A，B，C，D為頂點的四邊形是垂等四邊形．設(shè)點C的橫坐標(biāo)為m，點D的橫坐標(biāo)為n，且m＞n，求m的值．13．綜合與實踐中國旅游研究院2024年1月5日發(fā)布的“2024年冰雪旅游十佳城市”中，哈爾濱位列榜首，火爆出圈，其中帽兒山的滑雪運動深受歡迎．滑雪愛好者小李為了得出滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）之間的關(guān)系，以便更好地享受此項運動所帶來的樂趣，他在滑道A上設(shè)置了若干個觀測點，收集一些數(shù)據(jù)，如下表所示：

點位1點位2點位3點位4點位5點位6點位7

滑行時間x00.511.522.53…滑行距離y01.6254.58.6251420.62528.5（1）請你在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)所對應(yīng)的7個點，并用平滑的曲線連接它們；（2）觀察由（1）所得的圖象，請你依圖象選用一個函數(shù)近似地表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出這個近似函數(shù)的關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）若另一名滑雪愛好者小張在小李出發(fā)5秒后沿著滑道B滑行（兩條滑道互相平行，且起點在同一直線上），他的滑行距離y（單位：m）與滑行時間x（單位：s）可近似地看成二次函數(shù)y=3x2+dx，當(dāng)小李滑行距離為384m時，他比小張多滑行的距離不超過160m，求d14．規(guī)定：若函數(shù)y1的圖像與函數(shù)y（1）下列三個函數(shù)①y=x+1；②y=?3x；③y=?x2+1（2）若函數(shù)y1=ax2?5x+2(a≠0)①求實數(shù)a的值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標(biāo)是▲、▲；（3）若函數(shù)y1=|x?m|（m為常數(shù)）與y2=?2x互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標(biāo)分別為x1、x15．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：（1）【問題】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣43經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為A，則a=（2）【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式．（3）【探究】在圖②中，過點B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點從左至右依次為點C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時x的取值范圍．（4）【應(yīng)用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．五、綜合題16．定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”.例如，點(1，1)是函數(shù)y=1（1）分別判斷函數(shù)y=x+2，y=x（2）設(shè)函數(shù)y=3x(x>0)，y=?x+b的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作BC⊥x（3）若函數(shù)y=x2?2(x≥m)的圖象記為W1，將其沿直線x=m翻折后的圖象記為17．我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)y1=a1x2+b1（1）若關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x（2）對于任意非零實數(shù)r，s，點P(r，t)與點Q(s，t)(r≠s)始終在關(guān)于x的函數(shù)y1=x2+2rx+s①求函數(shù)y2②函數(shù)y2（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)y1=ax2+bx+c與它的“美美與共”函數(shù)y2的圖像頂點分別為點A，點B，函數(shù)18．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于點A(?2，0)，B(4（1）求拋物線的解析式；（2）已知E為拋物線上一點，F(xiàn)為拋物線對稱軸l上一點，以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，求出點F的坐標(biāo)；（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點，連接AP交y軸于點M，連接BP并延長交y軸于點N，在點P運動過程中，OM+119．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+cx…?10123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）PQ是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如圖2，點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點E.試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由.20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點A，B在x軸上，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點B，D(?4，5)兩點，且與直線DC（1）求拋物線的解析式；（2）F為拋物線對稱軸上一點，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點，是否存在以點Q，F(xiàn)，E，B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形.若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）P為y軸上一點，過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，連接ME，BP.探究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，請求出這個最小值及點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21．已知拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于A（1）直接寫出結(jié)果；b=，c=，點A的坐標(biāo)為，tan∠ABC=（2）如圖1，當(dāng)∠PCB=2∠OCA時，求點P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點D在y軸負(fù)半軸上，OD=OB，點Q為拋物線上一點，∠QBD=90°，點E，F(xiàn)分別為△BDQ的邊DQ，DB上的動點，QE=DF，記①求m的值；②設(shè)△PCB的面積為S，若S=122．在平面直角坐標(biāo)系中，如果點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為和諧點，例如：點(1，1)，(12，（1）判斷函數(shù)y=2x+1的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標(biāo)；（2）若二次函數(shù)y=ax2+6x+c(a≠0)①求a，c的值；②若1≤x≤m時，函數(shù)y=ax2+6x+c+23．定義：由兩條與x軸有著相同的交點，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”，如圖①，拋物線C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線C2：y＝ax2+2ax+c組成一個開口向上的“月牙線”，拋物線C1和拋物線C2與x軸有著相同的交點A（﹣3，0）、B（點B在點A右側(cè)），與y軸的交點分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線C2的解析式和點G的坐標(biāo)．（2）點M是x軸下方拋物線C1上的點，過點M作MN⊥x軸于點N，交拋物線C2于點D，求線段MN與線段DM的長度的比值．（3）如圖②，點E是點H關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG，在x軸上是否存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．24．【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點O為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上．（1）【分析問題】小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗，以圓心O為原點，過點O的橫線所在直線為x軸，過點O且垂直于橫線的直線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標(biāo)為．（2）【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立．（3）【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點P(0，m)，m為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫⊙M，是否存在所描的點在⊙M上．若存在，求25．新定義：我們把拋物線y=ax2+bx+c（其中ab≠0）與拋物線y=bx2+ax+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”.例如：拋物線y=2x（1）寫出C2（2）若a>0，過x軸上一點P，作x軸的垂線分別交拋物線C1，C①當(dāng)MN=6a時，求點a的坐標(biāo)；②當(dāng)a?4≤x≤a?2時，C2的最大值與最小值的差為2a26．【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學(xué)校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m，寬AB=1m的長方形水池ABCD進(jìn)行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為12m的矩形水池EFGH（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設(shè)水池ABCD的邊AD加長長度DM為x(m)(x>0)，加長后水池1的總面積為y1(m2)，則y1關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y1=x+4(x>0)；設(shè)水池2的邊EF的長為x(m)(0<x<6)，面積為y2【問題解決】（1）若水池2的面積隨EF長度的增加而減小，則EF長度的取值范圍是（可省略單位），水池2面積的最大值是m2（2）在圖③字母標(biāo)注的點中，表示兩個水池面積相等的點是，此時的x(m)值是；（3）當(dāng)水池1的面積大于水池2的面積時，x(m)的取值范圍是；（4）在1<x<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值；（5）假設(shè)水池ABCD的邊AD的長度為b(m)，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積y3(m2)關(guān)于x(m)(x>0)的函數(shù)解析式為：y27．定義：點P（m，m）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，將函數(shù)l的圖象位于直線x＝m左側(cè)部分，以直線y＝m為對稱軸翻折，得到新的函數(shù)l′的圖象，我們稱函數(shù)l′的函數(shù)是函數(shù)l的相關(guān)函數(shù)，函數(shù)l′的圖象記作F1，函數(shù)l的圖象未翻折的部分記作F2，圖象F1和F2合起來記作圖象F．例如：函數(shù)l的解析式為y＝x2﹣1，當(dāng)m＝1時，它的相關(guān)函數(shù)l′的解析式為y＝﹣x2+3（x＜1）．（1）如圖，函數(shù)l的解析式為y＝﹣12x+2，當(dāng)m＝﹣1時，它的相關(guān)函數(shù)l′的解析式為y＝（2）函數(shù)l的解析式為y＝﹣3x（3）已知函數(shù)l的解析式為y＝x2﹣4x+3，①已知點A、B的坐標(biāo)分別為（0，2）、（6，2），圖象F與線段AB只有一個公共點時，結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍；②若點C（x，n）是圖象F上任意一點，當(dāng)m﹣2≤x≤5時，n的最小值始終保持不變，求m的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．28．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的k((k>0)倍，則稱這樣的方程為“k系方程”.如方程(x?1)(x?2)=0的兩根分別為：x（1）下列方程是“3系方程”的是（填序號即可）；①(3x+1)(x+1)=0；②x2?2x?3=0；③（2）若關(guān)于x的一元二次方程ax①求證：b2②若c=2，且關(guān)于x的函數(shù)y=ax2?

答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】（1）-7（2）3<k<49．【答案】①②④10．【答案】②③④11．【答案】（1）解：勾股點的坐標(biāo)為（0，1）（2）解：拋物線y=ax2+bx（a≠0）過原點（0，0），即A（0，0），如圖作PG⊥x軸于點G，連接PA，PB，∵點P（1，3），∴AG=1，PG=3，∴PA=2，tan∠PAB=3，∴∠PAB=60°，

∴在Rt△PAB中，AB=PAcos∴點B（4，0），設(shè)y=ax（x-4），當(dāng)x=1時，y=3，解得a=-33∴y=-33x（x-4）=-33x2+（3）解：①當(dāng)點Q在x軸上方，由S△ABQ=S△ABP，易知點Q的縱坐標(biāo)為3，∴-33x2+433x=3，解得x1∴Q（3，3），②當(dāng)點Q在x軸下方，由S△ABQ=S△ABP，易知點Q的縱坐標(biāo)為-3，∴-33x2+433x=-3，解得x1=2+7，x2∴Q（2+7，-3）Q（2-7，-3），綜上，滿足條件的點Q有三個：Q（3，3）Q（2+7，-3）Q（2-7，-3）.12．【答案】（1）（3，4）（2）解：把y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0），若點C，D在x軸上方，設(shè)AC與BD交于點E，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，

由二次函數(shù)的對稱性，且AC＝BD，AC⊥BD，得∠EAB＝∠EBA＝45°，∵∠AEB＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝4，EF⊥AB，∴EF＝AF＝BE＝12∵OA＝1，∴OF＝1，∴點E的坐標(biāo)為（1，2），設(shè)直線AC的解析式為y＝k1x+b1，代入A（﹣1，0），E（1，2），得?k解得k1∴直線AC的解析式為y＝x+1，聯(lián)立y=x+1y=?解得x=2y=3，x=?1∴m的值為2；若點C，D在x軸下方，

同理易證直線AC的解析式為y＝﹣x﹣1，聯(lián)立y=?x?1y=?解得x=4y=?5，x=?1∴m的值為4；綜上所述，m的值為2或4．13．【答案】（1）解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，描點，連線如圖：（2）解：由圖象可知，圖象近似為二次函數(shù)的圖象，∴設(shè)解析式為y=axc=0a+b+c=4.54a+2b+c=14，∴y=5（3）解：∵y=5∴當(dāng)y=384時，52x2∴小張的滑行時間為12?5=7s，∵y=3x∴當(dāng)x=7時，y=3×7由題意，得：384?7d?147≤160，解得：d≥11，∴d的最小值為：11．14．【答案】（1）②（2）解：①∵函數(shù)y1=ax2?5x+2(a≠0)∴y1=a?3，y2=?1，則a?3=?1，解得a=2（3）解：在平面直角坐標(biāo)系中作出y1=|x?m|（m為常數(shù)）與聯(lián)立y1=|x?m|y①當(dāng)x?m≥0時，x?m=?2x，即x2?mx+2=0，當(dāng)②當(dāng)x?m<0時，?(x?m)=?2x，即x2?mx?2=0，由①中m2由圖可知，兩個函數(shù)的交點只能在第二象限，從而x<0，再根據(jù)三個“兄弟點”的橫坐標(biāo)分別為x1、x2、x3∴x1=m?m∴===m由m2?8>0得到m215．【答案】（1）1（2）解：如圖①，拋物線：y=13（x﹣2）2﹣4對稱軸是：直線x=2，由對稱性得：A（4，0），沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣13（x﹣2）2+如圖②，圖象G對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=13（3）解：如圖③，由題意得：當(dāng)y=1時，13（x﹣2）2﹣4解得：x1=2+7，x2=2﹣7，∴C（2﹣7，1），F(xiàn)（2+7，1），當(dāng)y=1時，﹣13（x﹣2）2+4解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+7時，函數(shù)y隨x增大而增大；（4）解：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=12DE?h≥1，∴①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時，設(shè)P[m，13∴h=13（m﹣2）2﹣43﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥10或m﹣2≤﹣10，m≥2+10或m≤2﹣10，②如圖③，作對稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，∵H（2，43），∴HM=43﹣1=13＜1，∴點P不可能在DE的上方；③∵M(jìn)N=1，且O（0，0），A（4，0），∴P不可能在CO（除O點）、OD、EA（除A點）、AF上，∴P與O或A重合時，符合條件，∴m=0或m=4；綜上所述，△PDE的面積不小于1時，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣16．【答案】（1）解：∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無解，∴函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；∵函數(shù)y=x2?x，令y=x，則x解得：x1∴函數(shù)y=x（2）解：∵函數(shù)y=3x，令y=x，則解得：x=3∴函數(shù)y=3x的“等值點”為A(3，∵函數(shù)y=?x+b，令y=x，則x=?x+b，解得：x=b∴函數(shù)y=?x+b的“等值點”為B(b2，b△ABC的面積為12即b2解得：b=43或?2（3）解：將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2.∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于x=m對稱，∴函數(shù)W的解析式為y=x令y=x，則x2?2=x，即解得：x1∴函數(shù)y=x令y=x，則(2m?x)2?2=x，即當(dāng)m≥2時，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個“等值點”的情況；當(dāng)?1<m<2時，觀察圖象，恰有2個“等值點”；當(dāng)m<?1時，∵W1的圖象上恰有2個“等值點”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒有“等值點”，∴△=[?(4m+1)]整理得：8m+9<0，解得：m<?9綜上，m的取值范圍為m<?9817．【答案】（1）解：由題意可知：a2∴m=3，n=2，k=?1．答：k的值為?1，m的值為3，n的值為2．（2）解：①∵點P(r，t)與點Q(s，t)(r≠s)始終在關(guān)于x的函數(shù)y1∴對稱軸為x=r+s∴s=?3r，∴y2∴對稱軸為x=??2r答：函數(shù)y2的圖像的對稱軸為x=?②y2=?3rx2?2rx+1=?(3∴過定點(0，1)，(?2答：函數(shù)y2的圖像過定點(0，1)，(?2（3）解：由題意可知y1=ax∴A(?b∴CD=b2?4ac∵CD=EF且b2∴|a|＝|c|；①若a=?c，則y1要使以A，B，C，D為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，則△CAD，△CBD為等腰直角三角形，∴CD=2|y∴b2∴2b∴b2∴S正∵b2∴0<a∴S正②若a=c，則A、B關(guān)于y軸對稱，以A，B，C，D為頂點的四邊形不能構(gòu)成正方形，綜上，以A，B，C，D為頂點的四邊形能構(gòu)成正方形，此時S>2．18．【答案】（1）解：將點A(?2，0)，B(4得4a?2b+4=0解得：a=?1∴拋物線解析式為y=?1（2）解：∵點A(?2，0)，∴拋物線的對稱軸為直線l：x=?2+4如圖所示，設(shè)l與x交于點G，過點E作ED⊥l于點D∵以B，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，∴EF=BF，∵∠DFE=90°?∠BFG=∠GBF，∴△DFE≌△GBF，∴GF=DE，設(shè)F(1，m)，則DE=1+m∴E(1+m，∵E點在拋物線y=?1∴3+m=?解得：m=?3（舍去）或m=1，∴F(0，當(dāng)E點與A點重合時，如圖所示，∵AB=6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE=90°，∴GF=此時F(0，綜上所述，F(xiàn)(1，1)或（3）解：設(shè)P(s，t)，直線AP的解析式為y=dx+f，BP的解析式為∵點A(?2，0)，B(4，∴?2d+f=0sd+f=t，解得：d=ts+2∴直線AP的解析式為y=ts+2x+2ts+2對于y=ts+2x+2ts+2，當(dāng)x=0對于y=ts?4x+4t4?s，當(dāng)x=0∵P(s，t)∴OM+=∴OM+12ON19．【答案】（1）解：由表格數(shù)據(jù)可知，頂點坐標(biāo)為（1，4）設(shè)拋物線解析式為：y=a(x?1)將點（0，3）代入解析式得：3=a+4，∴a=?1，∴拋物線解析式為：y=?(x?1)2+4（2）解：由表格可知，拋物線經(jīng)過點A（-1，0），C（0，3），如圖3，將A點向上平移一個單位，得到A'(?1，1)，則AA'//PQ，AA'=PQ，∴四邊形AA'PQ是平行四邊形，∴PA'=QA，作A'關(guān)于MQ的對稱點E，則E(3，1)，∴PA'=PE，∴AQ+QP+PC=PE+1+PC，當(dāng)P、E、C三點共線時，PE+PC最短，設(shè)直線CE的解析式為：y=mx+n，將C、E兩點坐標(biāo)代入解析式可得：n=33m+n=1∴n=3m=?∴直線CE的解析式為：y=?2令x=1，則y=7∴當(dāng)P(1，73)∴AQ+QP+PC的最小值為13+1（3）解：是；理由：設(shè)D（p，q），因為A、B兩點關(guān)于直線x=1對稱，所以圓心位于該直線上，所以可設(shè)△ABD的外接圓的圓心為O'(1，e)，作O'N⊥DF，垂足為點N，則N（p，e），由DF⊥x軸，∴E（p，2e?q），∵O'D=O'B，且由表格數(shù)據(jù)可知B(3，0)∴(3?1)2化簡得：4+e∵點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，且拋物線解析式為y=?(x?1)∴q=?(p?1)∴(p?1)2∴4+e∵q≠0，∴2e?q=?1，∴E（p，?1），∴EF=1，即EF的長不變，為1.20．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，D(?4，5)，∴AD=AB=5，A(?4，0)，∴AO=4，∴OB=1，∴B(1，0)，把點B、D坐標(biāo)代入得：16?4b+c=51+b+c=0解得：b=2c=?3∴拋物線的解析式為y=（2）解：由（1）可得B(1，0)，拋物線解析式為y=x2+2x?3∵點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴E(2，5)，∴由兩點距離公式可得BE設(shè)點F(?1，a)，當(dāng)以點Q，F(xiàn)，E，B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當(dāng)BF=BE時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得BF2=B解得：a=±22∴點F的坐標(biāo)為(?1，22)或②當(dāng)EF=BE時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得EF2=B解得：a=5±17∴點F的坐標(biāo)為(?1，5?17)或綜上所述：當(dāng)以點Q，F(xiàn)，E，B為頂點的四邊形是以BE為邊的菱形，點F的坐標(biāo)為(?1，22)或(?1，?22)（3）解：由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，B(1，0)，∴OB=1，DM=EM，∵過點P作拋物線對稱軸的垂線，垂足為M，∴PM=OB=1，PM//OB，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴EM+MP+PB=DM+MO+1，若使EM+MP+PB的值為最小，即DM+MO+1為最小，∴當(dāng)點D、M、O三點共線時，DM+MO+1的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：∵D(?4，5)，∴OD=4∴DM+MO+1的最小值為41+1，即EM+MP+PB的最小值為41設(shè)線段OD的解析式為y=kx，代入點D的坐標(biāo)得：k=?5∴線段OD的解析式為y=?5∴M(?1，21．【答案】（1）32；2；(?1，（2）解：過點C作CD∥x軸，交BP于點D，過點P作PE∥x軸，交y軸于點E，

∵AO=1，OC=2，OB=4，∴tan∠OCA=由（1）可得，tan∠ABC=12∴∠OCA=∠ABC，∵∠PCB=2∠OCA，∴∠PCB=2∠ABC，∵CD∥x軸，EP∥x軸，∴∠ACB=∠DCB，∠EPC=∠PCD，∴∠EPC=ABC，又∵∠PEC=∠BOC=90°，∴△PEC∽△BOC，∴EPOB設(shè)點P坐標(biāo)為(t，?12t2+∴t4=?12∴點P坐標(biāo)為(2，（3）解：①如圖2，作DH⊥DQ，且使DH=BQ，連接FH．

∵∠BQD+∠BDQ=90°，∠HDF+∠BDQ=90°，∴∠QD=∠HDF，∵QE=DF，DH=BQ，∴△BQE≌△HDF(∴BE=FH，∴BE+QF=FH+QF≥QH，∴Q，F(xiàn)，H共線時，BE+QF的值最?。鱍G⊥AB于點G，∵OB=OD，∠BOD=90°，∴∠OBD=45°，∵∠QBD=90°，∴∠QBG=45°，∴QG=BG．設(shè)G(n，0)∴?12n2+∴Q(∴QG=BG=4?1=3，∴BQ=DH=32，QD=5∴m=QH=(3②如圖3，作PT∥y軸，交BC于點T，待定系數(shù)法可求BC解析式為y=?12x+2設(shè)T(a，?12a+2)則S=1∴0≤S≤4，∴0≤1∴0≤17?k≤4，∴13≤k≤17．22．【答案】（1）解：∵點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為和諧點，∴和諧點都在y=x上，y=xy=2x+1解得x=?1y=?1∴y=2x+1上的和諧點為(?1，?1)（2）解：①∵二次函數(shù)y=ax2+6x+c(a≠0)∴y=ax2+6x+cΔ=25?4ac=0，解得ac=254將(52，52聯(lián)立①②，得a=?1，c=?25②∵a=?1，c=?25∴y=ax其頂點坐標(biāo)為(3，3)，則最大值為3，在x<3時，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=1時，y=?(1?3)根據(jù)對稱軸可知，當(dāng)x=5時，y=?1，∵1≤x≤m時，函數(shù)y=?(x?3)根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)1≤x≤5時，函數(shù)y=?(x?3)∴實數(shù)m的取值范圍為：3≤m≤5．23．【答案】（1）解：將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，

∴9a?6a+c=0c=?1，解得a=13c=?1，

∴y＝13x2+23x﹣1，

在y＝x2（2）解：設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，13t2+23t?1），N（t，0），

∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=（3）解：存在點F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，

理由如下：

由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，

∵E點與H點關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱，

∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），

①當(dāng)EG＝EF時，∵G（0，﹣3），

∴EG＝22，

∴22＝(x+2)2+1，

解得x＝7﹣2或x＝﹣7﹣2，

∴F（7﹣2，0）或（﹣7﹣2，0）；

②當(dāng)EG＝FG時，22＝9+x2，此時x無解；24．【答案】（1）（-3，4）或（3，4）（2）解：小明的猜想成立．解法1：如圖，設(shè)半徑為n的圓與直線y=n?1的交點為P(x，因為OP=n