兩條直線的平行與垂直

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

掌握兩條直線平行與垂直的條件，會運(yùn)用條件判斷兩直線是否平行或垂直，能運(yùn)用條

件確定兩平行或垂直直線的方程系數(shù).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過研究兩直線平行或垂直的條件的討論，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有知識解決新問題的能力

以及學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對兩直線平行與垂直的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生的成功意識，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的

興趣.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：兩條直線平行和垂直的條件是解析兒何中的一個(gè)重點(diǎn)，要求學(xué)生

能熟練掌握，靈活運(yùn)用.

2.難點(diǎn)：啟發(fā)學(xué)生把研究兩直線的平行與垂直問題轉(zhuǎn)化為考查兩直線的斜

率的關(guān)系問題.

3.疑點(diǎn)：對于兩直線中有一條直線斜率不存在的情況課本上沒有考慮，上

課時(shí)要注意解決好這個(gè)問題.

三、活動設(shè)計(jì)

提問、討論、解答.

四、教學(xué)過程

（一）特殊情況下的兩直線平行與垂直

這一節(jié)課，我們研究怎樣通過兩直線的方程來判斷兩直線的平行與垂直.

當(dāng)兩條直線中有一條直線沒有斜率時(shí)：（1）當(dāng)另一條直線的斜率也不存在時(shí)，兩

直線的傾斜角為90°,互相平行；（2）當(dāng)另一條直線的斜率為0時(shí)，一條直線的

傾斜角為90°,另一條直線的傾斜角為0°,兩直線互相垂直.

（二）斜率存在時(shí)兩直線的平行與垂直

設(shè)直線11和12的斜率為kl和k2,它們的方程分別是

11：y=klx+bl；12：y=k2x+b2.

兩直線的平行與垂直是由兩直線的方向來決定的，兩直線的方向又是由直線的傾斜角

與斜率決定的，所以我們下面要解決的問題是兩平行與垂直的直線它們的斜率有什么特征.

我們首先研究兩條直線平行（不重合）的情形.如果11〃12（圖1-29）,那么它們

的傾斜角相等：ai=a2.

Atgal=tga2.

即kl=k2.

圖1.29

反過來，如果兩條直線的斜率相等，kl=k2,那么tgai=tga2.

由于0°a1<180°,0°a<180°,

a1=a2.

???兩直線不重合,

...11〃12.

兩條直線有斜率且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的

斜率相等，則它們平行，即

eq\x(

要注意，上面的等價(jià)是在兩直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提,

結(jié)論并不存立.

現(xiàn)在研究兩條直線垂直的情形.

如果這時(shí)alWa2,否則兩直線平行.

設(shè)a2<a1（圖卜30）,甲圖的特征是11與12的交點(diǎn)在x軸上方；乙圖的特

征是11與12的交點(diǎn)在x軸下方；丙圖的特征是11與12的交點(diǎn)在x軸上，無論

哪種情況下都有

a1=90°+a2.

因.為191、1=2的3斜率…是kl…、k2含,即.alW90°,所以a2W0°.

V匕=-廠或如匕=-1.

反過來，如果』=言即不失TH4.*<0,

1>0,那么

2=-醞5”力

可以推出a1=90°+a2.

11±12.

兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們

的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直，即

hIO=-7^-Okjk）=-1

eq\x（叼）

（三）例題

例1已知兩條直線

11：2x-4y+7=0,L2：x-2y+5=0.

求證：11//12.

證明兩直線平行，需說明兩個(gè)要點(diǎn)：（1）兩直線斜率相等；（2）兩直線不重合.

證明：把11、12的方程寫成斜截式:

???兩直線不相交.

75

,?飛1=彳，

?.?兩直線不重合，

...11〃12.

例2求過點(diǎn)A(l,-4),且與直線2x+3y+5=0平等的直線方程.

喊I已知直叫陣是因?yàn)樗笾本€與已知宜髀行，

因此它的斛也是q.樹g朗期5折求直線的方程是

7+4=-：(*」)?

即2x+3y+10=0.

解法2因所求直線與2x+3y+5=0平行，可設(shè)所求直線方程為2x+3y+m=0,

將A(l,-4)代入有m=10,故所求直線方程為

2x+3y+10=0.

例3已知兩條直線

11：2x-4y+7=0,12：2x+y-5=0.

求證：11±12.

證明IlafiWW^=-2.

由Tlq?一=1<-2)=-l.

.".11±12.

例4求過點(diǎn)A(2,l),且與直線2x+yT0=0垂直的直線方程.

解法1已知直線的斜率kl=-2.

???所求直線與己知直線垂直，

，所求直駢城叫=熱

根據(jù)點(diǎn)斜式得所求直線的方程是

y-l=-(?-2).

4a

就是x-2y=0.

解法2因所求直線與已知直線垂直，所以可設(shè)所求直線方程是x-2y+m=0,

將點(diǎn)A（2,1）代入方程得m=0,所求直線的方程是

x-2y=0.

（四）課后小結(jié)

⑴斜率存在的不重合的兩直線平行的等價(jià)條件；

⑵兩斜率存在的直線垂直的等價(jià)條件；

⑶與已知直線平行的直線的設(shè)法；

⑷與已知直線垂直的直線的設(shè)法.

五、布置作業(yè)

1.（1.7練習(xí)第1題）判斷下列各對直線是否平行或垂直：

⑴y=3x+4和2x-6y+l=0；

⑵y=x與3x十3y-10=0；

（3）3x+4y=5與6x-8y=7；

（今拘《-jr-l=O與■仔3y+6=0.

解：（1）平行；（2）垂直；（3）不平行也不垂直；（4）垂直.

2.（1.7練習(xí)第2題）求過點(diǎn)A（2,3）,且分別適合下列條件的直線方程：

（1）平行于直線2x+5-5=0；

⑵垂直于直線x-y-2=0；

解：（l）2x+y-7=0；（2）x+y-5=0.

3.（1.7練習(xí)第3題）已知兩條直線11、12,其中一條沒有斜率，這兩條直

線什么時(shí)候：（1）平行；（2）垂直.分別寫出逆命題并判斷逆命題是否成立.

解：（D另一條也沒有斜率.逆命題：兩條直線，其中一條沒有斜率，如果

這兩條直線平行，那么另一條直線也沒有斜率；逆命題成立.

⑵另一條斜率為零.逆命題：兩條直線，其中一條沒有斜率，如果另一條直

線和這一條直線垂直，那么另一條直線的斜率為零；逆命題成立.

4.(習(xí)題三第3題)已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)是A(4,0)、B(6,7)、C(0,3),

求這個(gè)三角形的三條高所在的直線方程.

蠅口的制率為q,杳所在直線方程為

也就是2x+7y-21=0.

同理可得BC邊上的高所在直線方程為

3x+