第二節(jié)等差數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.探索并掌握等差數(shù)列的前

n

項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與

前

n

項和公式的關系.3.體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關系.目錄CONTENTS123知識逐點夯實課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識逐點夯實必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實課前自修1.等差數(shù)列的有關概念（1）定義：如果一個數(shù)列從

起，每一項與它的前一項

的

都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)

列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的

，公差通常用字母

d

表

示，符號表示為

（

n

∈N*，

d

為常數(shù)）.提醒

在公差為

d

的等差數(shù)列{

an

}中：①

d

＞0?{

an

}為遞增

數(shù)列；②

d

＝0?{

an

}為常數(shù)列；③

d

＜0?{

an

}為遞減數(shù)列.第2項差公差an

＋1－

an

＝

d

（2）等差中項：數(shù)列

a

，

A

，

b

成等差數(shù)列的充要條件是

A

＝

，其中

A

叫做

a

與

b

的等差中項.

2.等差數(shù)列的有關公式（1）通項公式：

an

＝

a

1＋（

n

－1）

d

＝

nd

＋（

a

1－

d

）?當

d

≠0時，

an

是關于

n

的一次函數(shù)模型，即

an

＝

pn

＋

q

，

其中

p

為公差；

3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項公式的推廣：

an

＝

am

＋（

n

－

m

）

d

（

n

，

m

∈N*）；（2）若{

an

}為等差數(shù)列，且

k

＋

l

＝

m

＋

n

（

k

，

l

，

m

，

n

∈N*），則

ak

＋

al

＝

am

＋

an

；（3）若{

an

}是等差數(shù)列，公差為

d

，則

ak

，

ak

＋

m

，

ak

＋2

m

，…

（

k

，

m

∈N*）是公差為

md

的等差數(shù)列；（4）數(shù)列

Sm

，

S

2

m

－

Sm

，

S

3

m

－

S

2

m

，…也是等差數(shù)列，公差

為

?.m

2

d

1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則

這個數(shù)列是等差數(shù)列.

（

×

）（2）等差數(shù)列{

an

}的單調(diào)性是由公差

d

決定的.

（

√

）（3）數(shù)列{

an

}為等差數(shù)列的充要條件是對任意

n

∈N*，都有2

an

＋1

＝

an

＋

an

＋2.

（

√

）（4）等差數(shù)列的前

n

項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).

（

×

）×√√×2.在數(shù)列{

an

}中，

a

1＝－2，

an

＋1－

an

＝2，則

a

5＝（

）A.－6B.6C.－10D.10解析：

∵

an

＋1－

an

＝2，∴數(shù)列{

an

}是公差為2的等差數(shù)列，又

a

1＝－2，∴

a

5＝

a

1＋4

d

＝－2＋2×4＝6.故選B.3.已知等差數(shù)列{

an

}，若

a

1＝12，

a

2＋

a

5＝36，則

a

6＝（

）A.20B.24C.28D.32解析：

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，

a

1＋

a

6＝

a

2＋

a

5＝36，所以

a

6

＝36－

a

1＝24.故選B.4.已知

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和，

a

2＝2，

S

4＝14，則

an

＝

?

?.

3

n

－4

5.（2024·金華模擬）在首項為28的等差數(shù)列{

an

}中，從第8項開始為

負數(shù)，則公差

d

的取值范圍是

?.

A.0B.1

C.2023D.20242.在項數(shù)為2

n

的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為

90，末項與首項之差為27，則

n

＝

?.

3.已知等差數(shù)列{

an

}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319，所

有偶數(shù)項之和為290，則該數(shù)列的中間項為

?.解析：設項數(shù)為奇數(shù)2

n

－1，由結(jié)論4可得：

S

奇－

S

偶＝

an

＝319－

290＝29.5

29

2

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練【例1】

（1）（2023·全國甲卷5題）記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項

和.若

a

2＋

a

6＝10，

a

4

a

8＝45，則

S

5＝（

）A.25B.22等差數(shù)列基本量的運算

C.20D.15

（2）（多選）記

Sn

為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和，已知

S

4＝0，

a

5＝

5，則下列選項正確的是（

）A.

a

2＋

a

3＝0B.

an

＝2

n

－5C.

Sn

＝

n

（

n

－4）D.

d

＝－2

解題技法等差數(shù)列基本量運算的常見類型及解題策略（1）求公差

d

或項數(shù)

n

：在求解時，一般要運用方程思想；（2）求通項：

a

1和

d

是等差數(shù)列的兩個基本元素；（3）求特定項：利用等差數(shù)列的通項公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解；（4）求前

n

項和：利用等差數(shù)列的前

n

項和公式直接求解或利用等差

中項間接求解.

1.已知{

an

}為等差數(shù)列，其前

n

項和為

Sn

，若

a

1＝1，

a

3＝5，

Sn

＝

64，則

n

＝（

）A.6B.7C.8D.9

2.在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建

筑中包含許多與9相關的設計.例如，北京天壇圜丘壇的地面由扇環(huán)

形的石板鋪成，如圖，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第

一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共9圈，

則第7圈的石板數(shù)為

，前9圈的石板總數(shù)為

?.63

405

所以2

Sn

＋1＋（

n

＋1）2＝2

an

＋1（

n

＋1）＋（

n

＋1），

②②－①，得2

an

＋1＋2

n

＋1＝2

an

＋1（

n

＋1）－2

ann

＋1，化簡得

an

＋1－

an

＝1，所以數(shù)列{

an

}是公差為1的等差數(shù)列.等差數(shù)列的判定與證明

解題技法判斷數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列的常用方法（1）定義法：對任意

n

∈N*，

an

＋1－

an

是同一常數(shù)；（2）等差中項法：對任意

n

≥2，

n

∈N*，滿足2

an

＝

an

＋1＋

an

－1；（3）通項公式法：對任意

n

∈N*，都滿足

an

＝

pn

＋

q

（

p

，

q

為常

數(shù)）；（4）前

n

項和公式法：對任意

n

∈N*，都滿足

Sn

＝

An

2＋

Bn

（

A

，

B

為常數(shù)）.提醒

（3）（4）只適用于客觀題的求解與判斷.

1.已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和

Sn

＝

an

2＋

bn

（

a

，

b

∈R）且

a

2＝3，

a

6

＝11，則

S

7＝（

）A.13B.49C.35D.63

等差數(shù)列的性質(zhì)及應用考向1

等差數(shù)列項的性質(zhì)【例3】

（1）在等差數(shù)列{

an

}中，已知

a

2＝5，

am

＝7，

am

＋3＝

10，則數(shù)列{

an

}的前

m

項和為（

）A.12B.22C.23D.25

（2）已知數(shù)列{

an

}，{

bn

}都是等差數(shù)列，

a

1＝1，

b

1＝5，且

a

21－

b

21＝34，則

a

11－

b

11＝（

）A.－17B.

－15C.17D.15

解題技法

考向2

等差數(shù)列前

n

項和的性質(zhì)【例4】

（1）已知等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若

S

10＝10，

S

20

＝60，則

S

40＝（

D

）A.110B.150C.210D.280解析：因為等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，所以

S

10，

S

20

－

S

10，

S

30－

S

20，

S

40－

S

30也成等差數(shù)列.故（

S

30－

S

20）＋

S

10

＝2（

S

20－

S

10），所以

S

30＝150.又因為（

S

20－

S

10）＋（

S

40－

S

30）＝2（

S

30－

S

20），所以

S

40＝280.

解題技法

在等差數(shù)列{

an

}中，

Sn

為其前

n

項和，則：（1）

S

2

n

＝

n

（

a

1＋

a

2

n

）＝…＝

n

（

an

＋

an

＋1），

S

2

n

－1＝（2

n

－

1）

an

；（2）

Sk

，

S

2

k

－

Sk

，

S

3

k

－

S

2

k

，…成等差數(shù)列.考向3

等差數(shù)列前

n

項和的最值問題【例5】

（多選）設等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若

S

15＞0，

S

16

＜0，則（

）A.

a

8＞0B.

a

9＜0

解題技法求等差數(shù)列前

n

項和

Sn

最值的兩種方法

A.14B.15C.16D.17

2.一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之

比為32∶27，則公差

d

＝

?.

5

13

PART3課時跟蹤檢測關鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習1.（2024·蕪湖模擬）在等差數(shù)列{

an

}中，若

a

3＋

a

9＝30，

a

4＝11，

則{

an

}的公差為（

）A.－2B.2C.－3D.3

1234567891011121314152.（2024·九省聯(lián)考）記等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

a

3＋

a

7＝6，

a

12＝17，則

S

16＝（

）A.120B.140C.160D.180

1234567891011121314153.（2024·昆明一模）已知數(shù)列{

an

}和{

bn

}均為等差數(shù)列，

a

1＝1，

b

1

＝2，

a

10＋

b

10＝39，則數(shù)列{

an

＋

bn

}的前50項和為（

）A.5000B.5050C.5100D.5150

1234567891011121314154.（2024·撫州模擬）中國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個

問題：“某賈人擅營，月入益功疾（注：從第2個月開始，每月比

前一月多入相同量的銅錢），第3月入25貫，全年（按12個月計）

共入510貫”，則該人第12月營收貫數(shù)為（

）A.64B.66C.68D.70123456789101112131415

1234567891011121314155.（多選）記等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，已知

a

5＝3，

S

3＝－9，

則有（

）A.

a

1＝－5B.

a

4＜0C.

S

6＝0D.

S

3＜

S

4123456789101112131415

1234567891011121314156.（多選）已知

Sn

是等差數(shù)列{

an

}（

n

∈N*）的前

n

項和，且

S

8＞

S

9

＞

S

7，則下列結(jié)論正確的是（

）A.公差

d

＜0B.在所有小于0的

Sn

中，

S

17最大C.

a

8＞

a

9D.滿足

Sn

＞0的

n

的個數(shù)為15123456789101112131415

1234567891011121314157.已知等差數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若

a

1＝1，

S

3＝

a

5，

am

＝2

025，則

m

＝

?.解析：∵

S

3＝3

a

1＋3

d

，∴3

a

1＋3

d

＝

a

1＋4

d

，即

d

＝2，

am

＝

a

1

＋（

m

－1）×2＝2

m

－1＝2025，∴

m

＝1013.1013

1234567891011121314158.若一個等差數(shù)列{

an

}滿足：①每項均為正整數(shù)；②首項與公差的積

大于該數(shù)列的第二項且小于第三項.寫出一個滿足條件的數(shù)列的通項

公式

an

＝

?.解析：設{

an

}的公差為

d

，由題意得，

a

2＜

a

1

d

＜

a

3，所以

a

1＋

d

＜

a

1

d

＜

a

1＋2

d

，又

a

1，

d

為正整數(shù)，所以可取

a

1＝3，

d

＝2，故

an

＝3＋2（

n

－1）＝2

n

＋1.2

n

＋1（答案不唯一）

123456789101112131415

12345678910111213141510.設數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，且

Sn

＝2

n

－1.數(shù)列{

bn

}滿足

b

1＝2，

bn

＋1－2

bn

＝8

an

.（1）求數(shù)列{

an

}的通項公式；解：當

n

＝1時，

a

1＝

S

1＝21－1＝1；當

n

≥2時，

an

＝

Sn

－

Sn

－1＝（2

n

－1）－（2

n

－1－1）

＝2

n

－1.因為

a

1＝1符合上式，所以

an

＝2

n

－1.123456789101112131415

123456789101112131415

A.10B.20C.30D.40123456789101112131415

12345678910111213141512.（2024·襄陽模擬）已知等差數(shù)列{

an

}中，

a

2＝4，

a

6＝16，若在

數(shù)列{

an

}每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差

數(shù)列，則新數(shù)