第3講整式的乘、除法

［模塊一：募的運(yùn)算1

形如心（°大0,加為正整數(shù)）的整式就叫做幕，表示，"個a相乘，其中a叫做幕的底數(shù)，機(jī)叫做幕

的指數(shù).

a-a=a,{a）=a,（a。）=ab,a—a=a,a=La=——=（一）

tana

其中,”。，m,〃為正整數(shù).

*.1經(jīng)典例題I

【例1】速算比賽:

4組：⑴。隊。2。.（2）（o1?）2；（3）（a,0b20）2；（4）a100^a2,其中awO,b^O.

⑵(-d)2.(—片)3；

8組：⑴(-x)3.(-幻2;

0)(-2a2)2.Ma4);⑷9Hmy■y.(一3.2)

，，-2?=2

。組：⑴(4fy)2+8y2；⑵9a"f喈3a分.

(3)1(jaV)34-(3^a&2)2；⑷(OBfyy+dEy

[例2]⑴計算：卜|x2%]x1|x3%]x1-gx4%]x)|x5%}1()2。=.

⑵計算：2-22-23-24-25-26-27-28-29+210=.

[例3]已知有理數(shù)無，y,z滿足|x-z-2|+(3x-6y-7)?+|3y+3z-4|=O，求三勺加之,"的值.

【例4]⑴計算(一2)2°°7+(—2)2°°8的結(jié)果為：

【例5】Digitsoftheproductof2516x238is

A.32B.34C.36D.38

［例6］⑴已知d"=2,a1'=3,求產(chǎn)+2”的值.

⑵若2x+5y-3=0,求4'R.

［例7］比較255、3”、53\6"四個數(shù)的大小.

【例8］你能比較兩個數(shù)20082°09和20092皎的大小嗎？

為了解決這個問題，我們先寫出它的一般形式，即比較〃向與（〃+1）"的大?。?是自然數(shù)），然后，

我們分析w=2,n=2,n=3，…中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)歸納，猜想得出結(jié)論.

⑴通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大?。ㄔ诳崭裰刑顚憽?gt;7"='：“<”號）

012_21;023_32;?34_43;?45_54;?56_65...

⑵從第⑴題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想出“用和（“+D"的大小關(guān)系是.

⑶根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小ZOO"。092OO92008.

濟(jì).［模塊二：整式的乘法

1、單項式與單項式相乘：系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘作為積的因式，只有一個單項式里含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為積的一個因式。以下舉例說明單項式與單項式相乘的規(guī)則如下：必3/。3c2=，兩

個單項式的系數(shù)分別為1和3,乘積的系數(shù)是3,兩個單項式中關(guān)于字母a的幕分別是。和片，乘積中a的

幕是/,同理，乘積中》的幕是/,另外，單項式向中不含c的幕，而3a%3c2中含片,故乘積中含c".

2、單項式與多項式相乘：單項式分別與多項式中的每一項相乘，然后把所得的積相加，公式為：

m(a+b+c)=ma+mb+me,其中加為單項式,a+b+c為多項式.

3、多項式與多項式相乘：將一個多項式中的每一個單項式分別與另一個多項式中的每一個單項式相乘,

然后把積相加，公式為:O+〃)(〃+0)=ma+mb+na+nb

林,一［經(jīng)典例題I

［例9］計算：⑴—y(d—。―c);⑵⑶(％+y)(%_2y)

(4)(x2/-x3/)-(x2-/)；⑸(a-2)(a+2)(2a+1)

【例10]⑴計算：(X2-2X+3)(X-1)(X+1);

【例11］若不論X取何值，多項式尤3—2/_4%-1與(x+l)(%2+如+〃)都相等，求,幾?

【例12】已知(％+2)0(冗+町)二爐+2取一6y2,求(m+幾)相〃的值.

［15013］使，+〃X+8)(犬2-34+9)的積中不含丁和丁，求〃,夕的值.

模塊三：整式的除法

1、單項式除以單項式：系數(shù)、同底數(shù)的幕分別相除作為商的因式，對于只在被除式中含有的字母，則連

同它的指數(shù)作為商的一個因式.如：3603c2+"=3加02,被除式為3/日2，除式為4，系數(shù)分別為3

和1，故商中的系數(shù)為3,a的幕分別為"和a,故商中.的幕為a2T=。，同理，/,的幕為/,另外，

被除式中含0?,而除式中不含關(guān)于c的嘉，故商中c的幕為C?.

2、多項式除以單項式：多項式中的每一項分別除以單項式，然后把所得的商相加，

公式為：（a+b+c）+/n=a+小+〃+m+。+根,其中m為單項式,a+6+c為多項式.

3、多項式除以多項式：豎式除法（長除法），綜合除法（使用于除以一次因式x-a較多＞

一個一元多項式除以另一個一元多項式，并不是總能整除。當(dāng)被除式八尤）除以除式8（龍），M（幻二°）得

商式。⑶及余式“X）時，就有下列等式：

f（x）=g（x）-q（x）+r（x）

o

其中"%）的次數(shù)小于g（x）的次數(shù)，或者"x）二°。當(dāng)"尤）=°時，就是能被g（*）整除。

4、余數(shù)定理又稱裴蜀定理。它是法國數(shù)學(xué)家裴蜀（1730-1783）發(fā)現(xiàn)的。余數(shù)定理在研究多項式、討論

方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項式八元）除以龍一。所得的余數(shù)等于/（”）。

證:設(shè)/（X）=Q（x）?（%-。）+R將x=a代入得久距Ro

賽.經(jīng)典例題

【例14】計算：⑴一融）32.（2）（|_L8a^3）Q6ab2

【例15］計算(3孫)2(爐_y2)-(4x2y2)24-8/+9x2y4

【彳列16}"vj"(2x+1)+(3x—2)x(6x—4)+(4x+2).

【例17】計算：(l)(x3-l)^(x-l);(2)(3x4-5x3+x2+2)^(x2+3).

4

【例18】求(3x+7/—11犬+1。％_Q.(%2+3%_2)的商Q和余式Ro

2

/.Q=3x-2x+5,R=3x-2o

【例19】求2/+14X+4-7尤3除以x-2所得的商和余式。

2-70+14+42

解：4-6-12+4

2-3-6+2-^

商的各項的系數(shù),、

(2/+14x+4-7d)+(x-2)的商是2--3x2-6x+2,余式是8。

【例20】求(3/+10/一23%+16)+(3%—2)的商式Q和余式R。

解：把除式縮小3倍，那么商就擴(kuò)大3倍，但余式不變。因此先用x-2去除被除式，再

3

把所得的商縮小3倍即可。

33+10-23+162

3

+2+8-10

3+3+12+15|+6

1+4-5

/.Q=x2+4x-5,R=6o

【例21］確定m的值使多項式/(x)=/-3x4+8f+lh+”能夠被x-1整除。

解：依題意/(元)含有因式xT,故")=0。

1—3+8+ll+m=0o可得m=-170

求一個關(guān)于x的二次多項式，它的二次項系數(shù)為1,它被x-3除余1,且它被x-l除和被

x-2除所得的余數(shù)相同。

解：設(shè)/(x)=x2-ax+b

：/(x)被x-3除余1,/./(3)=9+3?+^=1①

：/(元)被x-1除和x-2除所得的余數(shù)相同，/■⑴=/(2)即1+。+6=4+2。+6②

由②得a=-3,代入①得6=1

/(x)=x2-3x+1o

注：本例也可用待定系數(shù)法來解。同學(xué)們不妨試一試。

即：x2+ax+b=(x-l)(x+m)+R=(x-2)(x+n)+R=(x-3)(x+/7)+1

由(x-l)(x+m~)+R=(x-2)(x+n)+R,可得=-2,n=-\

再由(x-2)(x—1)+R三(x—3)(x+p)+l,解得p=0。

??/(X)=%之—3x+1o

次［精品練習(xí)

【練習(xí)1】（-1x2y）3-（2xy）2^4

【練習(xí)2】（1/yS+gx5y4一'》4,3）十|_/,3

【練習(xí)3］5xy2一卜必丫一［3xy2-（xy2一2/丫）］+（一；移）｝

【練習(xí)4］若A和B都是整式，且A+x=B,其中A是關(guān)于x的四次三項式，則B是關(guān)于x的

幾次幾項式？

【練習(xí)5］如果5龍2一日+7被5x-2除后余6,求々的值及商式

【練習(xí)6］若〃為不等式"。。＞6。。的解，求〃的最小正整數(shù)值

【練習(xí)7】若d+3x2—3%+左有一個因式是x+1,則左=

答案：-5

【練習(xí)8】如果。涉是整數(shù)，且/_%_1是依3+笈2+1的因式，那么匕的值為()

A.-2B.-lC.0D.2

答案：A

【練習(xí)9］分別求下面各式的商式和余式。

(1)(3x4-4x3-5x2+6x-7)+(x-2)；

(2)(x5+6/+9x3-14x+8)H-(x+4)；

(4)(2%4-7x3+16x2-15X+15)4-(X2-2X+3)；

6532

(5)(x+x-12x—7X)+(%3+3X+5X-2)

(6)(x3+5x2+3X-9)4-(X+3)=

%3+5%2+3x—9

=(x-l)(x2+6%+9)

二(1)(%+3產(chǎn)

(7)Q。,—4—6a2—tz+2)4-{cr+2a+1)=

2a4—4—6a——a+2

=(a+1)(2<73—3a~—3a+2)

=(a+l)(tz+l)(2a~—5a+2)

=(a+1)2(2a-1)("2)

(8)(2x4-15X3+38%2—39x+14)+(x—2)=

2X4-15^3+38X2-39X+14

=2(x-l)x3-13X2(X-1)+25X(X-1)-14(X-1)

=(x-1)(2X3-13X2+25X-14)

=(x-1)(2/(x-1)-Hx(x-1)+14(x-1))

=(x—l)(x—1)(2/—Ux+14)

=(^-l)(^-l)(2x-7)(x-2)

2、一個關(guān)于x的二次多項式/"(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整

除,求了(尤)。

‘例題答案、

【例1】A組：(1)儲。-4。=/。；⑵(〃。。)2=/00；(3)("72。)2=a20b40；⑷/。。+/="98；

325255

5組：⑴解法一：(一彳)3.(-XT=-%.X=-X；解法二：(一幻3.(-X)=(-X)=-X；

(2)(-a3)2-(-a2)3=a6-(-?6)=-a12;(3)(-2a2)2-(~4a4)=4a4-(-4a4)=-16a8；

232622m+75n+2

⑷(-2x'"y"了.(-%/).(-3xy)=40"/".(-xy^).(-3xy)=12xy；

4

C組：⑴原式=16/y2+8y2=2x；⑵原式=3產(chǎn)t/一“一3c37,“.

⑶原式二工/加士2儲/二也/k；⑷原式=里/儼'+16尤4y2"=/_尤2

2716243125125

【例2】⑴建立巧算概念！巧用“乘法分配律”，重點考察學(xué)生暴的運(yùn)算的基本功!

原式=1_gx2)xf--1x3jxf-^x4jxf--1x5j=1536

(2)^^=210-29-28-27-26-25-24-23-22+2

-29(2-l)-28-27-26-25-24-23-22+2

=22(2-l)+2=6

x=3

x—z—2=0

【例3】由題意得3x-6y-7=0,解方程組得，1

y=一

3

3y+3z—4=0

z=1

3n-l

.之一3=3.13xgj-l-3=3-3=0

代入所求代數(shù)式得—>3〃TZ4〃-3?

X=3I

[伊J4](1)(-2)2007+(-2)2008=-22007+22008=2x22007-22007=22007

⑵從乘方的概念入手講解，可得答案為-1.

【例5】251Sx238=2516x232x2s=251Sx416x26=64x10016,故有數(shù)位34位.

【例6】⑴/+2"=產(chǎn).=gm)3?“f=23.3?=8x9=72.

(2)4V-32y=(22)x-(25)y=22X-25y=22x+5v,2x+5y-3=0,2x+5y=3,4r-32y=22T+5?=23=8

【例7】根據(jù)幕的性質(zhì)可知，255=(25)11,344=(34)1\533=(53)"、622=(62)H

根據(jù)標(biāo)的定義可知，表示11個a相乘，故只要比較出2‘、3\5\6。的大小即可.

25=22-23=4x8=32,34=3x3x3x3=81,53=5x5x5=125,62=36

故<6?<3,<53,255<622<3^<533.

【例8】從簡單情況找規(guī)律.⑴①F<>；②23<32；③3,>43；@45>54;⑤56>6$…

⑵n"+I<(n+D"(H=1,2),n"+1>Cn+Dn(n^3);(3)2OO82009>2OO92008

【例9】⑴原式=-yd+外+勺；(2)原式=%3"+1-x2n+2+；

(3)原式=/-2沖+孫-2y?=爐-孫-2,；(4)^—x2y5—x,y1+x3j4;

(4)原式=(a2+2a-2a-4)(2a+1)=(a2一4)(2。+l)=2a3+a2-8a-4

【例10]⑴原式=(爐一2尤+3)(爐_1)=X4-X2-2X3+2X+3X2-3=x4-2x3+2x2+2%-3.

(2)原式=+y2+32+孫+/[]；/—2,2]=[；了2+2/][；了2_2y2)=；尤4_

【例11】(x+DCx?+mx+〃)=尤-2+x?"a+人"+*2+；放+/=三+(m+l)x2+(m+ri)x+n

因為不論x取何值，兩多項式都相等，所以:“+1=-2,m+n=-4,即相=-3,n=-l

【例12】(x+my)(x+ny)=x2+2xy-6y2,(x+my)(x+ny)=x2+(m+n)xy+mny2,

x2+(m+n)yx+mny2=x2+2xy-6y2,

比較等式兩邊得〃z+〃=2,mn=-6,所以(〃[+")〃2"=2x(-6)=-12.

1

定理：如果+q“_]X'T+…+qx+%=bnx"+b^x^+-"+blx+b0,

那么a“=b“，%=b,i，…，％=白，a0=b0

【例13】將原式展開得(爐+px+8)(%2—3x+q)=犬+(p—3)三+(q—3p+8)

x2+(pq-24)x+8q,因為積中不含x?和所以，'°,解得

[q-3p+8=0〔4=1

711

【例14]⑴原式=(；467一2/66)+"42力6=6/。一[；⑵原式=蘇一2a2/一3"

【例15】原式=[(2x+l)+(4x+2)]?[(6x—4);(3x—2)]=(2x+1)+[2(2x+1)]?[2(3x-2)<(3x-2)]=1.

在乘除混合運(yùn)算中，巧用結(jié)合律，有時可簡化運(yùn)算.

實際上，我們利用除法是乘法的逆運(yùn)算，除以一個整式，相當(dāng)于乘以該整式的倒數(shù)，通過約分，可更容易

地解決問題.其解如下：原式=(2x+l)x—^x(6Dx—(2X+1)-(6I)

3x-24x+2(3x-2)-(4x+2)

【例16]⑴用豎式除法

+X+1

X—，-3+Of+Ox-1

x3-x2

x2+0x

x2-x

x-1

x-1

0

所以，商式為f+%+1,余式為0.

3%2-5X-8

(2)%2+3)3%4-5尤3+尤2+0》+2

3x-+9f

-5x3-8%2+Ox

—5爐—15x

-8x?+15x+2

-8x--24

15x+26

所以，商式為3--5x-8,余式為15x+26.

說明：多項式的除法總可以用豎式除法來計算.計算時注意降賽排列，缺項補(bǔ)0(或空位)，同次

項對齊等等.

對多項式除法，我們有帶余除法，即：被除式=除式x商式+余式，其中余式的最高次數(shù)低于除式的最高

次數(shù).當(dāng)余式為0時，我們也稱除式整除被除式，用''除式|被除式”表示.如(1),我們可記為(X-1)|(3_1)；

當(dāng)余式不為0時，被除式不能整除被除式；當(dāng)余式為常數(shù)時，我們也稱余式為余數(shù).顯然，當(dāng)除式為一次

多項式時，余式必為常數(shù).

【例22】原式=9彳2丫2,-y2)-16x4