第三章空間向量與立體幾何

DISANZHANG3.1空間向量及其運(yùn)算

3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算

［課前自主預(yù)習(xí)

H基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)

1.空間向量

⑴定義

回在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量.

(2)長(zhǎng)度

皿向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度或理模.

(3)表示方法

幾何表

空間向量用網(wǎng)有向線段表示

不法

用一個(gè)字母表示，如圖.此向量的起點(diǎn)是A,

終點(diǎn)是B.可記作a.也可記作跟亞，其模記

字母表為于|a|或畫|不g|

示法

(4)幾類特殊的空間向量

①零向量：/規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記為幽0.

②單位向量：四模為1的向量稱為單位向量.

③相反向量：回與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量稱為a的相反向量,

記為園~a.

④相等向量：回方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等

長(zhǎng)的有向線段表示因同一向量或回相等向量.

2.空間向量的加減法

⑴定義

類似平面向量，定義空間向量的加、減法運(yùn)算(如圖):

OB=OA+AB=^a+b,

CA=OA-OC=^la-b.

(2)加法運(yùn)算律

①交換律：a-\-b—[1^Z>+a；

②結(jié)合律：(a+〃)+c=E^a+S+c).

H自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打"X")

(1)有向線段可用來(lái)表示空間向量，有向線段長(zhǎng)度越長(zhǎng)，其所表示的向量的模

就越大.()

(2)空間兩非零向量相加時(shí)，一定可用平行四邊形法則運(yùn)算.()

(3)0向量是長(zhǎng)度為0,沒有方向的向量.()

(4)若|a|=|例，則。=方或a=一5.()

答案(1)V(2)X(3)X(4)X

2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)

(1)把所有單位向量的起點(diǎn)移到一點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)組成的圖形是

(2)在正方體ABCD-AiBGOi中，應(yīng)一刖反化簡(jiǎn)后的結(jié)果是

(3)如圖所示，已知長(zhǎng)方體山iCOi,化簡(jiǎn)下列向量的表達(dá)式：

①筋|一乃=.

②葩+而+9.

^+；宓_2^=-

（4）（教材改編P86T3）如圖，在正方體A8CO—4BGO|中，M,N分別為A3,

的中點(diǎn).用拔，AD,筋?表示向量而；則訪，=.

答案⑴球面⑵曲⑶①而②葩③^蕉（4）顯+3位出荔

解析（4）礪―MB+BC+CN=}jAB+元葉g0+曲）=曰荔+應(yīng)舊（一位葉荔）=

；宓+；^+；荔.

卜課堂互動(dòng)探究

探究1空間向量的概念

例1給出下列命題：

①兩個(gè)相等的向量，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同;

②在正方體ABC。-481Goi中，必有正痣；

③若空間向量機(jī)，〃，p滿足/n=〃，〃=p,則,〃=p；

④空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；

⑤只有零向量的模為0.

其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

［解析］①真命題.根據(jù)向量相等的定義，兩個(gè)相等的向量若起點(diǎn)相同，終

點(diǎn)必相同，只有這樣才能保證它們的方向和大小都相同.

②真命題.根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體ABC。一AiBCiOi中，向量AC與4G

的方向相同，模長(zhǎng)也相等，應(yīng)有宓=布.

③真命題.向量的相等滿足傳遞規(guī)律.

④假命題.空間中任意兩個(gè)單位向量模長(zhǎng)均為1,但方向不一定相同，故不

一定相等.

⑤真命題.根據(jù)零向量的定義可知.

［答案］A

拓展提升

處理向量概念問題要關(guān)注的兩個(gè)要素和兩個(gè)關(guān)系

(1)兩個(gè)要素

判斷與向量有關(guān)的命題時(shí)，要抓住向量的兩個(gè)主要要素，即大小與方向，兩

者缺一不可.

(2)兩個(gè)關(guān)系

①模相等與向量相等的關(guān)系：兩個(gè)向量的模相等，則它們的長(zhǎng)度相等，但方

向不確定，即兩個(gè)向量(非零向量)的模相等是兩個(gè)向量相等的必要不充分條件.

②向量的模與向量大小的關(guān)系：由于方向不能比較大小，因此‘‘大于"''小

于”對(duì)向量來(lái)說(shuō)是沒有意義的.但向量的模是可以比較大小的.

【跟蹤訓(xùn)練1］(1)給出下列四個(gè)命題：

①方向相反的兩個(gè)向量是相反向量；②若方滿足|。|>向且a,8同向，則

a>b；③不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；④向量屬!與向量誦的長(zhǎng)度相等.

其中正確命題的序號(hào)為.

答案④

解析①錯(cuò)誤，方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量是相反向量；②錯(cuò)誤，向量

不能比較大??；③錯(cuò)誤，如畫W宓但必|=|葡，④正確.

(2)給出下列命題:①若|a|=0,則a=0；②若a=0,則一a=0；③a|=|a|,

其中正確命題的序號(hào)是.

答案②③

解析①錯(cuò)誤，若同=0,則a=0；②正確.③正確.

探究2空間向量的加減運(yùn)算

例2如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A用GA中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量題的

是（）

①（檢一病一施②國(guó)+麗〉一覺③（而-而一湯；④（曲一物+通.

A.①②B.②③C.③④D.①④

［解析］①（檢一訪1）一定=誦+病+威=麗；

②（反'+曲）一蔗=比+曲+筋=反；+石=的；

③（血一旃一詼=防+或=而—麗=礪—麗=劭#麗；

④（勵(lì)—勘）+龍=苑+荔+應(yīng)=勵(lì)+或+應(yīng)=通+應(yīng)W詼.

因此，①②兩式的運(yùn)算結(jié)果為向量助，而③④兩式的運(yùn)算結(jié)果不為向量助.

故選A.

［答案］A

［結(jié)論探究］例2條件下，判斷下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量花的有哪些？

①（拔+B+藁；②（荔+初）+威；③（拔+房）+就；④（荔一說(shuō)J+瑟.

解①（崩+反）+花;=花+花;=花；

②（荔+砌+前=葩+求=元；

③（拔+函）+m=葩+就;=蕉；

@（AAi—54）+5G=（44+45）+3G=/3I+3IG=/G.

故①②③④式運(yùn)算結(jié)果都是向量死.

拓展提升

1.空間向量加法'減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧

（1）巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算

的關(guān)鍵，靈活應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接.

（2）巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加法運(yùn)算時(shí)，務(wù)

必要注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得更準(zhǔn)確

的結(jié)果.

2.化簡(jiǎn)空間向量的常用思路

（1）分組：合理分組，以便靈活利用三角形法則、平行四邊形法則進(jìn)行化簡(jiǎn).

（2）多邊形法則：在空間向量的加法運(yùn)算中，若是多個(gè)向量求和，還可利用多

邊形法則.若干個(gè)向量的和可以將其轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量求和.

（3）走邊路：靈活運(yùn)用空間向量的加法、減法法則，盡量走邊路（即沿幾何體的

邊選擇途徑）.

【跟蹤訓(xùn)練2】在平行六面體ABCD—AiBCQi中，E,F,G,H,P,Q

分別是4A,AB,BC,CC\,C\D\,的中點(diǎn)，則（）

\^F+GH+PQ=OB.旗一萍囪=0

C^EF+GH-PQ=^D^EF-GH+PQ=Q

答案A

解析EF+GH+PQ=AF-AE+CH-CG+D^Q-D^P=0.

探究3空間向量證明題

例3在如圖所示的平行六面體中.

求證：AC+AB1+AD1=2/不,

［證明］.??平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，

：.AC=AB+AD,寇=宓+疝，前=功+疝.

S.AC+A^=（花+而+（宓+/不）+（泡+/F）=2（宓+矗+??？）,

又=亮,AD=BC,

^AB+AD+AA1=葩+配+的=而+的=ACr,

J.AC+AB1+施=2/.

拓展提升

空間向量證明題的注意點(diǎn)

利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行證明，一定要注意和（差）向量的方

向.必要時(shí)利用空間向量可自由平移，使作圖容易.

【跟蹤訓(xùn)練3】借助平行六面體，證明：（a+A）+c=a+S+c）.

證明作平行六面體ABCO-A'B'CD'使而=a,AD=b,AA1=c,如

圖,則:

（a+A）+c=（焉+而+4/=赤+衛(wèi)=力滑，

”+（6+<0=麗（加疝）=麗（反+華）=宓+初=足，

所以（a+Z>）+c=a+S+c）.

f--------------------------1那般f?-----------------------------

1.在空間，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，兩向量

相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條

件是大小相等，方向相反.

2.向量可以平移，任意兩個(gè)向量都是共面向量.因此空間兩個(gè)向量的加、減

法運(yùn)算和平面向量完全相同，可以利用平行四邊形法則和三角形法則來(lái)進(jìn)行.

3.空間向量進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí)，一定要抓住向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)，否則容易導(dǎo)致

結(jié)果計(jì)算錯(cuò)誤.如森一森，誤寫成彷，應(yīng)為我

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.向量。，b互為相反向量，已知制=3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a=bB.a+）為實(shí)數(shù)0

C.a與》方向相同D.|a|=3

答案D

解析因?yàn)閍,萬(wàn)互為相反向量，所以。=一），a+b=O,a與5方向相反，

|a|=|Z>|=3.

2.已知空間向量拔，BC,CD,AD,則下列結(jié)論正確的是（）

\^B=BC+CD

^AB-DC+BC=AD

CJlb=AB+BC+DC

D.BC=BD-DC

答案B

解析AB-DC+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.

3.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn)，且就+海=質(zhì)+沅，則四邊形

ABCD是（）

A.空間四邊形B.平行四邊形

C.等腰梯形D.矩形

答案B

解析,JA0+0B=AB,D0+0C=DC,

：.AB=DC,

...線段AB,0c平行且相等，

?.四邊形ABCD是平行四邊形.

4.已知正方體ABCD-AiBGOi的中心為0,則在下列各結(jié)論中正確結(jié)論的

序號(hào)為.

①澇+應(yīng)與曲+而是一對(duì)相反向量；

②龍一應(yīng)與前一宓是一對(duì)相反向量；

③灑+南+花中旗前+旗+通+南是一對(duì)相反向量；

④褊一游與龍'一優(yōu)是一對(duì)相反向量.

答案①③④

解析下圖，在正方體中，E,F分別為AO,囪。的中點(diǎn),

則由向量運(yùn)算的平行四邊形法則，知應(yīng)十應(yīng)H2施滴+濡=2流，又應(yīng)=一辦,

所以命題①正確.

由于加一祀=強(qiáng),OA-db,=DJ?

所以仍一0。與物1?—如是兩個(gè)相等的向量，所以命題②是不正確的.

同理可得命題③④是正確的.

5.下圖所示，在長(zhǎng)方體ABC￡>—AiBiCQi中，AB=3,AD=2,A4i=l,以

該長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，

(1)單位向量共有多少個(gè)？

(2)試寫出模為小的所有向量；

(3)試寫出與宓相等的所有向量；

(4)試寫出荔的相反向量.

解(1)由于AAi=l,所以篇”AJ,嬴麗，QC,而,而這8個(gè)向

量都是單位向量，而其他向量的模均不為1,故單位向量共8個(gè).

(2)由于這個(gè)長(zhǎng)方體的左、右兩側(cè)的對(duì)角線長(zhǎng)均為小，所以模為小的向量為

機(jī)"疝扇，廉，QB,KC,CBX.

(3)與向量懣相等的所有向量(除它自身之外)為誦，DC,藍(lán).

(4)向量筋?的相反向量為了7,KB,亦KD.

［課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.下列命題正確的有()

①空間向量就是空間中一條有向線段；②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，

則宓=虎是四邊形ABC。是平行四邊形的充要條件；③若aWb,則。與方的方向

不同；④森=之）的充要條件是A與C重合，8與。重合.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案A

解析①錯(cuò)誤，有向線段是表示向量的一種圖形工具；②正確，由宓=沆知

AB〃OC或A,B,C,。四點(diǎn)共線，|葩=|應(yīng)因此在A,B,C,。四點(diǎn)不共線

的前提下，花=茯#48co是平行四邊形；③錯(cuò)誤，不相等的向量，方向可以相

同；④錯(cuò)誤.

2.空間任意四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,則瓦1+第一漏于（）

A.厲B.9C.DAD.衣

答案C

解析BA+CB-Cb=CB+BA-CD=CA-Cb=DA.

3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-43C。中，\AB-CB+CB]=（）

A.1B.A/2C.\[3D.2

答案B

解析因?yàn)闈?jì)踮+法=能+應(yīng)+場(chǎng)=油，|葩|=也，故選B.

4.已知空間四邊形A8CD,連接AC,BD,設(shè)G是CO的中點(diǎn)，則:葩+；（應(yīng)

+應(yīng)）等于（）

A.花'B.CGC.反'D$擊

答案A

解析如圖所示.

是CO的中點(diǎn),

：.^（Bb+BC）=BG,

：.AB+^（Bb+BC）=AG.

5.如圖直三棱柱ABC—。中，若德=a,CB=b,CC,=c,則^^于（）

A.a-\~b-cB.a-b+c

C.—Q+6+CD.-a-\-b-c

答案D

解析A\B=A\C\'\~C\C~\~CB=AC-CC\+CB=—CA—CC\+CB=—ci~Vb—c.

6.空間四邊形ABC。中，M,G分別是BC,CO的中點(diǎn)，則就?一科辦=（）

A.2DBB.3MG

C.3GMD.2MG

答案B

解析MG-AB+AD=MG+BD=MG+2MG=3MG.

二'填空題

7.下圖所示，在三棱柱ABC—A'B'C中，AC^A'^C'是向量,

能與8'：'是向量.（用相等、相反填空）

cc

A'

答案相等相反

解析根據(jù)相等向量、相反向量的定義知，

能與，是相等向量.施與9是相反向量.

8.已知向量a,