點到點的距離最值問題【題目6-1】如圖6-1,△ABD是等邊三角形,在△ABC中,BC=a,AC=b,當∠ACB為何值時,C，D兩點間的距離最大?求出該最大值.解法1如圖6-2①,將△ABC繞點B逆時針旋轉60°至△DBH處,連接CH.易知△BCH為等邊三角形,CH=BC=a.∵CH=a,DH=AC=b,∴當C,H,D三點共線時CD最大,∴當CD最大時,CD=CH+DH=a+b,∠ACB=∠BHD=180°?∠BHC=120°解法2如圖6-2②,將△ABC繞點A順時針旋轉60°至△ADH處,后面同解法1.解法3如圖6-2③,將△DBC繞點B順時針旋轉60°至△ABH處,后面同解法1.解法4如圖6-2④,將△ADC繞點A逆時針旋轉60°至△ABH處,后面同解法1.解法5如圖6-2⑤,將△ADC繞點D順時針旋轉60°至△BDH處,后面同解法1.解法6如圖6-2⑥,將△DBC繞點D逆時針旋轉60°至△DAH處,后面同解法1.如圖6-3,將△DBC繞點B順時針旋轉60°至△ABH處，可知點B，H在以C為圓心、BC為半徑的圓上；點A在以C為圓心、AC為半徑的圓上.當A，C，H三點共線時，CD最大.此圖主要是從圓的角度來說明CD的最大值，對于其他的題目，可以作為參考.點撥：此題給出了CA，CB的長度，求CD的最值，三條線段呈現(xiàn)“雞爪”型分布，加上此處有等邊△ABD，一般的處理策略為旋轉.因為旋轉前后的圖形必須要重合，而等邊三角形任意兩邊都可重合，所以要圍繞等邊△ABD來旋轉.有三個頂點A，B，D，順時針可旋轉，逆時針也可旋轉，故總共有六種旋轉方法.若換成正方形，則理論上有八種旋轉方法.賞析遇等邊三角形和“雞爪”型分布，則想旋轉，通過旋轉之后的全等或相似解決問題.【題目6-2】如圖6-4,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,對角線交于點O,AP=2

解法1如圖6-5,將△ABP繞點B順時針旋轉60°并縮小至原來的一半，形成△OBH.(也可以理解為以PB為斜邊構造內角分別為30°,60°,90°的Rt△PBH與Rt△ABO,形成“手拉手”模型,則△ABP∽△OBH,以下解法中均類似.)∵△ABP∽△OBH,且AB∴OH=又∵∠PBH=60°,∴△PBH是含有60°角的直角三角形，∴PH=∴當O，H，P三點共線時，OP有最大值和最小值，OO點撥：三條線段呈現(xiàn)“雞爪”型分布，一般的處理策略為旋轉.因為旋轉前后的圖形必須要重合，而此處是個直角三角形，故需要旋轉+相似，在旋轉的同時，通過放縮使旋轉前后的圖形重合，再結合三點共線取最值.因為有三個頂點，還有順時針和逆時針兩種旋轉方向，故共有六種方法.解法2如圖6-6,將△APB繞點A逆時針旋轉30°并縮小為原來的32同解法1，有AO則OH=故當O，H，P三點共線時，OP有最大值和最小值，OPmax點撥：同解法1，只是旋轉時選擇的三角形不同，旋轉的方式不同.解法3如圖6-7,將△AOP繞點A順時針旋轉30°并放大為原來的23同解法1，有AOAB=AP故B，P，H三點共線時，BH有最大值和最小值，BB∵OP=∴O點撥：同解法1，只是旋轉時選擇的三角形不同，旋轉的方式不同.解法4如圖6-8,將△AOP繞點O逆時針旋轉90°并縮小為原來的33同解法1，有AOBO=OP當P，B，H三點共線時，PH有最大值和最小值，PP∵OP=∴O點撥：同解法1，只是旋轉時選擇的三角形不同，旋轉的方式不同.解法5如圖6-9,將△OPB繞點O順時針旋轉90°并放大為原來的3倍,至△OHA.(也可理解為構建Rt△AOB∽Rt△HOP.)同解法1，有OH則AH=當P，A，H三點共線時，PH有最大值和最小值，PP∵OP=∴O點撥：同解法1，只是旋轉時選擇的三角形不同，旋轉的方式不同.解法6如圖6-10,將△OPB繞點B逆時針旋轉60°并放大為原來的2倍，至△AHB.(也可理解為構建Rt△AOB∽Rt△HPB.)同解法1，有AB則PH=當P，A，H三點共線時，AH有最大值和最小值，AA∵OP=∴O點撥：同解法1，只是旋轉時選擇的三角形不同，旋轉的方式不同.賞析此題在題目6-1的基礎上進一步增加了難度，將等邊三角形改成直角三角形，其實質是一樣的，只不過此題因為不是等邊三角形，故在旋轉的時候需要放縮，用“手拉手”模型理解會更簡單一點.通過旋轉放縮，將PA，PB，PO這三條線段匯聚到一個三角形中，再利用三點共線求最值.【題目6-3】如圖6-11,⊙O的半徑為4,A,B為圓上兩個動點，以AB為邊向圓內側作正方形ABCD,求OD的最小值.

解法1如圖6-12，令點A固定，點B運動，將△OAB繞點A順時針旋轉90°至△PAD處,連接OP,OD.易知△OAP為等腰直角三角形,PD=OB=4,則OP=∵P,O為定點,PD,PO為定長,∴當P,D,O三點共線時,O點撥：題中有兩個動點，不容易入手.根據(jù)物理中相對運動的知識，可以令點A固定，點B運動，OA，OB都為4，OD是要求的線段，這三條線段呈現(xiàn)“雞爪”型分布，很容易想到旋轉，根據(jù)旋轉后構造出的等腰直角三角形，再利用三點共線求得OD的最小值.解法2如圖6-13，令點A固定，點B運動，將△OAD繞點A逆時針旋轉90°至△PAB處,連接OP,OB.易知△OAP為等腰直角三角形,PB=OD,則OP=∵P,O為定點,OB,OP為定長,∴當P,B,O三點共線時,P∴O點撥：同解法1，只是這里旋轉了△OAD.解法3如圖6-14，令點A固定，點B運動，將△BDO繞點B順時針旋轉45°并且縮小為原來的22,至△BAP,連接OA,OP,則△BDO∽△BAP,目∵∴△OBP為等腰直角三角形，∴OP=BP=∵A,O為定點,P為動點,OA,OP為定長,∴當O,A,P三點共線時,AP最小,A∴O點撥：同解法1，只是這里旋轉了△OBD.賞析見“雞爪”型分布，想旋轉.因為旋轉前后三條線段均要用上，故旋轉方向有一定的限制.三種方法在最后求最值時均用到了三點共線時距離最短，當然也可以用點到圓的最短距離來解釋.以解法1為例，如圖6-15，令點A固定，點B運動,將△OAB繞點A順時針旋轉90°至△PAD處,連接OP,OD.易知△OAP為等腰直角三角形,PD=OB=4,則OP=∵P為定點,PD為定長,∴點D在以P為圓心、PD為半徑的圓上運動，∴當O,D,P三點共線時OD最小,OD【題目6-4】如圖6-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,cosB=12解法1如圖6-17,過點C作CF⊥AB于點F,過點Q作QG⊥AB于點G.∴∴∠B=60°,∠A=30°.又∵∠ACB=90°,AB=8,∴BC=∵CF⊥AB,∠B=60°,∴∠BCF=30°,∴BF=∵CF⊥AB,QG⊥AB,∠CPQ=90°,∴∠FCP+∠CPF=90°,∠CPF+∠GPQ=90°,∴∠FCP=∠GPQ,∴∠PFC=QGP=90°,∴△PFC∽△QGP,∴設PF=y,QG=x,則AQ=2QG=2x,AG=PG=8?2?y?AC=∵QGPF=整理得y由=解得x≤233或∴CQ=4即CQ長度的最小值為8點撥：將幾何問題代數(shù)化，利用一線三等角構造相似，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，最終利用二次函數(shù)解決問題.解法2如圖6-18,點P在以CQ為直徑的圓上，當圓與AB相切于點P時，CQ最小，設圓的半徑為R,則此時CO=OP=R,AO=2R,由AC=3R=82?42=43,得點撥：本解法計算量極小，利用圓與直線的位置關系，先判定最值的存在情況，再計算最值，是解決幾何最值問題常見的手段之一.解法3如圖6-19,作CQ的中點O,連接OP,過點O作ON⊥AB于點N.∵∠CPQ=90°,∴OP=OC=OQ=x,CQ=2x.∵BC?AC,∴∠A=30°.設ON=h,則OA=2ON=2h.由勾股定理得AC=x+2?=∵x≥h,∴3x≥x+2?=43,得∴CQ=2x≥833點撥：在直角三角形中，斜邊比直角邊大，通過構造直角三角形，利用這一性質采用不等式的方法解決問題.賞析解法1與解法3都與不等式結合，是數(shù)形結合思想的完美體現(xiàn)，但計算量大；解法2直接利用幾何法求解，體現(xiàn)出幾何法的美妙，計算量小，但思維含量大.【題目6-5】如圖6-20,A(0,6)是定點，點P在x軸負半軸上，點B在y軸負半軸上，以AP為邊，AB為對角線作矩形APBC，求線段OC的最小值.解法1如圖6-21,過點C作CM⊥y軸于點M.∵四邊形APBC是矩形,∴AC=BP,∠CAM=∠PBO,∠AMC=∠BOP=90°,∴△AMC≌△BOP,∴AM=BO.設AM=BO=n,則OM=A從而有6解得MC=故OC2當n=62時，OC°的最小值為故O點撥：本解法的思路主要是通過勾股定理和構造全等，利用線段長度建立數(shù)量關系，轉化為二次函數(shù)解決問題，是初中生比較容易理解與接受的解法.解法2如圖6-22,作矩形MHGN,則△ANC≌△BHP,△AMP∽△CNA.

設.AN=AM=a,CN=b,則PMAN=AMCN,即由勾股定理得OC2假設m=a2,則1當m=3時,OC°的最小值為92故O點撥：本解法的思路主要是通過構造矩形、構造全等和相似，利用線段長度建立數(shù)量關系，轉化為二次函數(shù)解決問題，是初中生比較容易理解與接受的解法.賞析平面直角坐標系中的幾何問題，首先是幾何性質決定數(shù)量關系.解析法是將幾何問題轉化為代數(shù)問題的重要手段，既可以用解析法直接求解，也可以利用圖形本身的幾何性質，使得計算量變小，簡化解題程序.【題目6-6】如圖6-23,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=AC=8,AD=3BD,若∠FDE=60°,∠FDE的兩邊分別與射線BC,AC交于點F,E,則線段EF的最小值是多少?解法1如圖6-24,作FH⊥AC的延長線于點H,延長HF交AB于點I,在AB上取一點G,使得∠EGD=60°.∵AB=∴AD=6∵∠EGD=∠EDF=∠DIF=60°,∴△GDE∽△IFD,∴設GE=y,BI=x,則GD=3x,AE=從而y=AG=AD?GD=6∵CE=AC?AE=8?CF=BC?BF=8?∴CH=∴EF2=EH2+HF2==21=21當x=3時，EF2的最小值為21，故EF的最小值為點撥：利用一線三等角模型構造相似，建立函數(shù)關系，解決最值問題.解法2如圖6-25,作△DEF的外接圓,圓心為O，半徑為R，連接FO并延長交⊙O于點M.∵∠M=∠EDF=60°,∴∴EF=∵當DC是直徑時，圓最小，此時EF最小，∴此時∠DFC=90°.∵AB=8∴此時FD=3∴DC=∴E點撥：構造圓，CD為圓的一條弦且長度固定，∠EDF的角度固定，故要使得EF最小，則圓要最小，當CD為圓的直徑時圓最小，進而求出答案.解法3如圖6-26,過點D作DM⊥BC于點M,作DN⊥AC的延長線于點N.易證△DMF∽△DNE,則DF∵∠EDF=60°是定角,∴要使得EF最小，則DF要最小.∵DF的最小值為DM=3,此時∴此時E點撥：利用相似算出定角，再利用三角形形狀固定，轉換為求DF的最小值，最后求出答案.解法4如圖6-27,過點D作DG⊥BC于點G,作DH⊥AC的延長線于點H,連接GH,過點H作HK⊥DG的延長線于