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文檔簡介
年春季學(xué)期高二年級期中考試試卷數(shù)學(xué)科(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分:150分)注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回第Ⅰ卷(選擇題)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8題,每小題5分,共計(jì)40分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的)1.已知集合,,則()A.B.C.D.2.復(fù)數(shù)A.B.C.D.3.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A.15B.14C.13D.124.“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如圖所示的是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣,圖中虛線上的數(shù)1,3,6,10,…構(gòu)成數(shù)列,記為該數(shù)列的第n項(xiàng),則()A.1008B.2016C.4032D.40405.如圖,點(diǎn)P在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng),設(shè)M是CD的中點(diǎn),則當(dāng)P沿A-B-C-M運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積y之間的函數(shù)的圖像大致是()A.B.C.D.6.為了紀(jì)念我國成功舉辦北京冬奧會,中國郵政發(fā)行《北京舉辦2022年冬奧會成功紀(jì)念》郵票,圖案分別為冬奧會會徽“冬夢”、冬殘奧會會徽“飛躍”、冬奧會吉祥物“冰墩墩”、冬殘奧會吉祥物“雪容融”及“志愿者標(biāo)志”,現(xiàn)將一套5枚郵票任取3枚,要求取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票,則不同的取法種數(shù)為()A.4B.8C.16D.187.展開式中的系數(shù)為()A.42B.48C.84D.968.已知函數(shù)有兩條與直線平行的切線,且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,則的取值范圍是()A.B.(0,4)C.D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4題,每小題5分,共計(jì)20分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的,漏選得2分,多選或錯(cuò)選不得分)9.20件產(chǎn)品中有18件合格品,2件次品,從這20件產(chǎn)品中任意抽取3件,則抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法表述正確的是()A.B.C.D.10.若,,則()A.B.C.D.11.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,且,則下列說法中正確的是()A.為遞減數(shù)列B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值C.不等式的解集為D.不等式的解集為無限集12.對于三次函數(shù),給出定義:設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)解,則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.若函數(shù),則()A.一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B.函數(shù)在R上單調(diào)遞增C.過點(diǎn)(0,b)可以作曲線的2條切線D.當(dāng)時(shí),第Ⅱ卷(非選擇題)三、填空題(每小題5分,共計(jì)20分)13.函數(shù),則________.14.若是R上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,則函數(shù)的解析式可以為________.(寫出符合條件的一個(gè)即可)15.在2022年北京冬奧會志愿者選拔期間,來自北京某大學(xué)的4名男生和2名女生通過了志愿者的選拔.從這6名志愿者中挑選3名負(fù)責(zé)滑雪項(xiàng)目的服務(wù)工作,要求至少有一名女生,則不同的選法共有________種.(請用數(shù)字作答)16.過曲線上一點(diǎn)P作該曲線的切線l,l分別與直線,,y軸相交于點(diǎn)A,B,C.設(shè),的面積分別為,,則________,的取值范圍是________.三、解答題(解答題需寫出必要的解題過程或文字說明,17題10分,其余各題每題各12分)17.(本題10分)已知等比數(shù)列中,,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,分別是等差數(shù)列的第8項(xiàng)和第20項(xiàng),試求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和.18.(本題12分)班級迎接元旦晚會有3個(gè)唱歌節(jié)目、2個(gè)相聲節(jié)目和1個(gè)魔術(shù)節(jié)目,要求排出一個(gè)節(jié)目單.(Ⅰ)2個(gè)相聲節(jié)目要排在一起,有多少種排法?(Ⅱ)相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目,有多少種排法?19.(本題12分)已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列中,,,構(gòu)成等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和;(Ⅱ)若________,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問中,并求解.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.20.(本題12分)二項(xiàng)式展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22;(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(Ⅲ)求展開式中的常數(shù)項(xiàng).21.(本題12分)某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩個(gè)橋墩相距mm,余下的工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)算,一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元;距離為xm的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元/m.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素.記余下的工程費(fèi)用為y萬元.(Ⅰ)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),需要建多少個(gè)橋墩才能使y最?。?2.(本題12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,求證:2023年春季學(xué)期高二年級期中考試試卷參考答案1.A因?yàn)榧?,,所以?.C依題意,故選C.3.D因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列,所以,所以,所以.4.B依題意,,,,…,于是有,則當(dāng)時(shí),,而滿足上式,因此,,所以.5.A根據(jù)題意可得,當(dāng)(如圖1所示),;當(dāng)時(shí)(如圖2所示),當(dāng)時(shí)(如圖3所示),根據(jù)函數(shù)解析式,結(jié)合圖形,可知選項(xiàng)A符合,6.B由題意可知:會徽郵票有2枚,吉祥物郵票有2枚,“志愿者標(biāo)志”有1枚,若任取3枚,取出的郵票既含會徽郵票又含吉祥物郵票,則有:若會徽郵票有2枚,吉祥物郵票有1枚,共有種;若會徽郵票有1枚,吉祥物郵票有2枚,共有種;若會徽郵票有1枚,吉祥物郵票有1枚,“志愿者標(biāo)志”有1枚,共有種;故共有種.7.A,的第項(xiàng)為,(),,的系數(shù)為42.8.D根據(jù)題意可知的定義域?yàn)?,所以,易得,由?dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)為時(shí),切線斜率為,同理可得,Q點(diǎn)處切線斜率為;又因?yàn)閮蓷l切線與直線平行,可得,即所以,是關(guān)于方程的兩根,所以,即,又,可得;所以,由可得即,所以的取值范圍是.9.BCD直接法:抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品有如下可能:抽出的3件產(chǎn)品中恰有1件次品的抽法;抽出的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的抽法;故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為,A錯(cuò)誤,B正確;間接法:法一:這20件產(chǎn)品中任意抽取3件的抽法為,抽出的3件產(chǎn)品中沒有次品(全為合格品)的抽法為,故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為,C正確;法二:先抽取1件次品,再從剩余的19件中任取2件,抽法為,但2個(gè)次品的情況重復(fù)一次,抽出2個(gè)次品的抽法為,故抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的抽法為,D正確;10.AD由題意,所以,所以,故A正確.令,則,即為,令,得,故B錯(cuò)誤;對于,令,得,令,得:,兩式相加再除以2可得,故C錯(cuò)誤.對于,令,得,令,得,故,故D正確,11.AC由得:,所以,即;設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,解得:,對于A,因?yàn)椋詾檫f減數(shù)列,故A正確;對于B,,因?yàn)?,所以?dāng)取時(shí),取得最大值,故B錯(cuò)誤;對于C,由得:,因?yàn)?,所以,故C正確;對于D,因?yàn)?,所以由得:,則不等式的解集為{1,2,3,4,5},為有限集,故D錯(cuò)誤,12.BCD由題意知,,恒成立,所以在R上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn),A錯(cuò)誤,B正確;設(shè)切點(diǎn)為,則,切線方程為,代入點(diǎn)(0,b)得,即,解得或,所以切線方程為或,C正確;易知,令,則.當(dāng)時(shí),,,所以點(diǎn)是的對稱中心,所以有,即.令,又,所以,所以,D正確.13.-1解:依題意得.14.(答案不唯一)若,則,故為偶函數(shù),且易知在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,符合條件.15.16因?yàn)楣灿?名女生,所以至少有一名女生入選的方法有.16.2(0,2)解:由,得,設(shè),則,曲線在P處的切線方程為.分別與與聯(lián)立,可得,,取,可得,又O(0,0),的面積;,點(diǎn)B到直線的距離.的面積.17.(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為q則解得所以由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為(Ⅱ)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,依題意可得,兩式相減可得解得,又,所以所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,由等差數(shù)列的求和公式可得前n項(xiàng)和公式18.(1)將2個(gè)相聲節(jié)目捆綁在一起,看成1個(gè)節(jié)目,與其余4個(gè)節(jié)目一起排,則共有種不同排法.(2)若相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目,則有種不同排法,若魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目,則有種不同排法,若相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目,并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目,則有種不同排法,則相聲節(jié)目不排在第一個(gè)節(jié)目、魔術(shù)節(jié)目不排在最后一個(gè)節(jié)目等價(jià)于用6個(gè)節(jié)目的全排列減去相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目的排列數(shù)和魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù),再加上相聲節(jié)目排在第一個(gè)節(jié)目并且魔術(shù)節(jié)目排在最后一個(gè)節(jié)目的排列數(shù),所以共有種不同排法.19.(1)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,依題意可得,則解得,,所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為.綜上:,;(2)解:選①由(1)可知:選②由(1)可知:選③由(1)可知:,則于是得兩式相減得,所以.20.(1)展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22,,,或(舍)故n的值為6(2)由題可得:展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)為,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng),即(3)設(shè)展開式中常數(shù)項(xiàng)為第項(xiàng),即,令,則,,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為第5項(xiàng),即96021.(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩,則,即,所以.(2)由(1),知,所以.令,得,所以.當(dāng)時(shí),,在區(qū)間(0,64)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,在區(qū)間(64,640)內(nèi)單調(diào)遞增.所以在處取得最小值,此時(shí).故需要建9個(gè)橋墩才能使y最小.22.(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,求?dǎo)得,當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),令,,于是當(dāng)時(shí),,函數(shù)在(0,-a)上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),函數(shù)在(0,-
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