2024年沈陽市高三數(shù)學(xué)第三次模擬聯(lián)考試卷試卷滿分150分，考試時間120分鐘2024.05第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．3．已知，則的值是（

）A． B． C． D．4．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則5．已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知二項式的展開式中的系數(shù)是280，則實數(shù)的值等于（

）A．1 B．2 C． D．7．甲?乙兩人獨立地對同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為和，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲?乙同時擊中目標(biāo)的概率為（

）A． B． C． D．8．已知是定義在上的函數(shù)，且為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則等于（

）A． B． C． D．1二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9．設(shè)橢圓的左?右焦點分別為是上的動點，則下列說法正確的是（

）A．的最大值為8B．橢圓的離心率C．面積的最大值等于12D．以線段為直徑的圓與圓相切10．下列說法正確的是（

）A．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，直至出現(xiàn)正面向上，則停止拋擲.設(shè)隨機變量表示停止時拋擲的次數(shù)，則B．從6名男同學(xué)和3名女同學(xué)組成的學(xué)習(xí)小組中，隨機選取2人參加某項活動，設(shè)隨機變量表示所選取的學(xué)生中男同學(xué)的人數(shù)，則C．若隨機變量，則D．若隨機變量，則當(dāng)減小，增大時，保持不變11．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則在上的最小值為0B．若，則點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足條件的值有3個D．若對任意實數(shù)，方程在區(qū)間內(nèi)的解的個數(shù)恒大于4且小于10，則滿足條件的值有7個第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量滿足，，則.13．在中，已知內(nèi)角的對邊分別為的面積為，點是線段上靠近點的一個三等分點，，若，則.14．已知，且，若，且，則正整數(shù)的值為.四?解答題：本題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項為，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知數(shù)列為正項數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.16．某類型的多項選擇題設(shè)置了4個選項，一道題中的正確答案或是其中2個選項或是其中3個選項.該類型題目評分標(biāo)準(zhǔn)如下：每題滿分6分，若未作答或選出錯誤選項，則該題得0分；若正確答案是2個選項，則每選對1個正確選項得3分；若正確答案是3個選項，則每選對1個正確選項得2分.甲?乙?丙三位同學(xué)各自作答一道此類題目，設(shè)該題正確答案是2個選項的概率為.(1)已知甲同學(xué)隨機（等可能）選擇了2個選項作答，若，求他既選出正確選項也選出了錯誤選項的概率；(2)已知乙同學(xué)隨機（等可能）選出1個選項作答，丙同學(xué)隨機（等可能）選出2個選項作答，若，試比較乙?丙兩同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望的大小.17．已知函數(shù)（其中），.(1)當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.18．已知四棱柱中，平面，在底面四邊形中，，點是的中點.

(1)若平面平面，求三棱錐的體積；(2)設(shè)且，若直線與平面所成角等于，求的值.19．設(shè)拋物線，過點的直線與交于兩點，且.若拋物線的焦點為，記的面積分別為.(1)求的最小值.(2)設(shè)點，直線與拋物線的另一交點為，求證：直線過定點.(3)我國古代南北朝數(shù)學(xué)家祖暅所提出的祖暅原理是“冪勢既同，則積不容異”，即：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.當(dāng)為等腰直角三角形時，記線段與拋物線圍成的封閉圖形為繞軸旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面所圍成的幾何體為.試用祖桓原理的數(shù)學(xué)思想求出的體積.1．B【分析】根據(jù)給定條件，利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得或，而，所以.故選：B2．D【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法及乘方運算計算得解.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．D【分析】利用二倍角公式和同角之間的轉(zhuǎn)化，進行求解判斷選項【詳解】當(dāng)，則故選：D4．B【分析】根據(jù)直線和平面平行和垂直的性質(zhì)即可判斷出它們的位置關(guān)系，逐項得出結(jié)論即可.【詳解】對于A，若，則可能平行或相交，可得A錯誤；對于B，若，則，即B正確；對于C，若，則或，可知C錯誤；對于D，若，則或，可知D錯誤；故選：B5．A【分析】若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，參變分離得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】函數(shù)定義域為，則，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，因為，所以“”是“在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A6．C【分析】根據(jù)題意，求得展開式的通項，確定的值，列出方程，即可求解.【詳解】由二項式展開式的通項為，令，解得，所以，解得.故選：C.7．C【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，由相互獨立事件的概率公式，計算可得目標(biāo)被擊中的概率，再由條件概率公式計算可得.【詳解】據(jù)題意，記甲擊中目標(biāo)為事件，乙擊中目標(biāo)為事件，目標(biāo)被擊中為事件，甲?乙同時擊中目標(biāo)為事件，則，，所以，，則在目標(biāo)被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標(biāo)的概率為.故選：C.8．A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得到，再由奇函數(shù)的性質(zhì)得到，從而推導(dǎo)出，再由所給解析式及周期性計算可得.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，又是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，所以是以為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)時，，所以，則，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于抽象函數(shù)的奇偶性，推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，從而利用周期性求出函數(shù)值.9．ACD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長短半軸長及半焦距，再逐項計算判斷得解.【詳解】橢圓的長半軸長，短半軸長，則半焦距，對于A，的最大值為，A正確；對于B，橢圓的離心率，B錯誤；對于C，設(shè)點，則，而，因此面積的最大值等于，C正確；對于D，以線段為直徑的圓為的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，則圓與圓外切，D正確.故選：ACD10．BCD【分析】求出判斷A；利用超幾何分布的期望公式計算判斷B；利用二項分布的方差公式計算判斷C，利用正態(tài)分布的特定區(qū)間的概率判斷D.【詳解】對于A，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面、反面的概率均為，則，A錯誤；對于B，顯然隨機變量服從超幾何分布，則，B正確；對于C，由隨機變量，得，C正確；對于D，由正態(tài)分布的意義知，為定值，D正確.故選：BCD11．AC【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)判斷ABC；把方程等價轉(zhuǎn)化成，作出函數(shù)的圖象和直線，結(jié)合圖象分析判斷D.【詳解】，對于A，當(dāng)時，，A正確；對于B，函數(shù)圖象的對稱中心的縱坐標(biāo)應(yīng)為，B錯誤；對于C，，由，，解得，因此，C正確；對于D，方程等價于，函數(shù)的圖象和直線的交點，如圖，函數(shù)的最小正周期，設(shè)，（其中)，顯然，由下圖可知，因為在區(qū)間內(nèi)的解的個數(shù)，所以區(qū)間長度應(yīng)滿足：，由，則，化簡得，所以，正整數(shù)的值有11個，D錯誤.故選：AC【點睛】思路點睛：涉及求正(余)型函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性問題，先根據(jù)給定的自變量取值區(qū)間求出相位的范圍，再利用正(余)函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即得.12．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再由計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以.故答案為：13．##【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理求解即得.【詳解】依題意，，而，即，解得，在中，由余弦定理得，所以.故答案為：14．109【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)式互化關(guān)系，結(jié)合已知可得，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)在上的圖象、以點點為端點的線段，進行“割線放縮”求出值.【詳解】依題意，，設(shè)，顯然是增函數(shù)，從而是方程的唯一解，由，且當(dāng)時，，得，從而應(yīng)略小于11，需要判斷與10.9的大小關(guān)系，先估算的近似值.考慮函數(shù)圖象上兩個點之間的線段，然后進行“割線放縮”，，，所以.故答案為：109【點睛】關(guān)鍵點點睛：考慮函數(shù)圖象上兩個點之間的線段，然后進行“割線放縮”是解決問題的關(guān)鍵.15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式得到方程，求出，即可求出通項公式；（2）由（1）得，即，從而得到，再利用裂項相消法計算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，成等比數(shù)列，則，即，將代入上式，解得或（舍去）．；（2）由（1）得，又，所以，所以，則．16．(1)(2)乙同學(xué)得分數(shù)學(xué)期望小于丙同學(xué)得分數(shù)學(xué)期望【分析】（1）記事件為該題的正確答案是個選項，則為該題的正確答案是個選項，設(shè)事件為甲同學(xué)既選出正確選項也選出錯誤選項，利用全概率公式計算可得；（2）設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望，從而判斷.【詳解】（1）記事件為該題的正確答案是個選項，則為該題的正確答案是個選項，即，，由得，，，設(shè)事件為甲同學(xué)既選出正確選項也選出錯誤選項，則，，則.（2）由得，，，設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，所以，，，所以，設(shè)表示乙同學(xué)答題得分，則的可能取值為，，，所以，，，所以，即，故乙同學(xué)得分數(shù)學(xué)期望小于丙同學(xué)得分數(shù)學(xué)期望．17．(1)(2)【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程；（2）轉(zhuǎn)化為，令，二次求導(dǎo)得到單調(diào)性和最小值，求出，得到答案.【詳解】（1）時，，，，故，故函數(shù)在點的切線方程為，即（2）時，恒成立，故，令，定義域為，則，令，則在恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，的取值范圍是.18．(1)(2)3【分析】（1）過作于點，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證得，再在底面四邊形中進行相關(guān)計算即可得解.（2）以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法列式求解即得.【詳解】（1）過作于點，由平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，則，

在四棱柱中，平面，即平面，而平面，于是，又平面，則平面，又平面，則，在底面四邊形中，，即，又，則，即，且，又有，則在等腰直角中，，即，又，則，，又，所以.（2）由四棱柱中，平面，以點為原點，分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，在平面中，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，則，即，整理得，而解得，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意公式求出的是線面角的正弦．19．(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求出，再列出面積表達式，利用基本不等式求解即得.（2）設(shè)，求出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合（1）的信息可得，再設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立結(jié)合韋達定理推理即得.（3）根據(jù)給定條件，利用祖暅原理分析計算即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，直線，由消去y整理得，，由，得，解得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以最小值為.（2）設(shè)，則直線的斜率，方程為，由（1）知拋物線，由消去y得，整理得，顯然，于是，又，聯(lián)立消去，得，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，整理得:，