杭州“六縣九?！甭?lián)盟2023學年第一學期高二期中模擬試題考試范圍：必修第一冊、必修第二冊、空間向量與立體幾何、直線與圓、橢圓考試時間：120分鐘；總分：150分；命題人：朱勝泉班級姓名學號成績一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的并集運算即可.【詳解】因為，，所以.故選：B.2．在平面直角坐標系中，直線的傾斜角是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角的定義即可求解.【詳解】直線即的傾斜角為，故選：C.3．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】計算出，利用復數(shù)模長公式求出答案.【詳解】，故.故選：C4．若向量，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件應用空間向量數(shù)量積及模長公式逐項計算檢驗即可．【詳解】若，，則，，故D正確；，所以B錯誤；，故A錯誤；顯然與不平行，故C錯誤；故選：D．5．函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，可判斷C,D的正誤；利用在之間的函數(shù)零點的個數(shù)即可判斷A,B的正誤.【詳解】設，則，故為奇函數(shù)，故C,D錯誤；而令時，在之間的函數(shù)零點有兩個，故B錯誤，故選：A6．四位爸爸、、、相約各帶一名自己的小孩進行交際能力訓練，其中每位爸爸都與一個別人家的小孩進行交談，則的小孩與交談的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，列舉出所有的基本情況，并列舉出“的小孩與交談”所包含的基本情況，結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】解：設、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，則交談組合有種情況，分別為：，，，，，，，，，的小孩與交談包含的不同組合有種，分別為：，，，的小孩與交談的概率是．故選：A.7．如圖，在三棱柱中，分別是，的中點，，則（

）

A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義結合已知條件，可把分解成基底向量的線性組合即可得解.【詳解】如下圖所示：

首先有，一方面：由，所以，又是的中點，所以，所以；另一方面：，且注意到分別是，的中點，所以.因此.故選：D．8．已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項錯誤的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．過點作曲線的切線，則切線方程為【答案】C【分析】選項A轉(zhuǎn)化為兩點間距離公式的平方即可求解；選項B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解；選項C轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的倍即可求解；選項D設出切線方程，根據(jù)點到直線的距離為半徑即可求解【詳解】的方程可化為，它表示圓心，半徑為的圓.對選項A：表示圓上的點到定點的距離的平方，故它的最大值為，A正確；對選項B：表示圓上的點與點的連線的斜率，由圓心到直線的距離，可得，B正確；對選項C：表示圓上任意一點到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為，故C錯誤；對選項D：設過點作曲線的切線，則其斜率存在，故可設切線方程為，由，解得，故切線方程為，故D正確.故選：C.二、多選題9．下列說法錯誤的是（

）A．若空間向量，則存在唯一的實數(shù)，使得B．A，B，C三點不共線，空間中任意點O，若，則P，A，B，C四點共面C．，，與夾角為鈍角，則x的取值范圍是D．若是空間的一個基底，則O，A，B，C四點共面，但不共線【答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量平行、空間點共面、空間向量夾角、基底等知識確定正確選項.【詳解】A選項，若是零向量，是非零向量，則，但不存在實數(shù)，使得，A選項錯誤.B選項，，，所以P，A，B，C四點共面，B選項正確.C選項，當時，，與夾角為，C選項錯誤.D選項，如下圖所示三棱錐，是空間的一個基底，但不共面，D選項錯誤.故選：ACD10．下列說法正確的是（

）A．點到直線的距離為B．任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.C．直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是8.D．經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為.【答案】AB【分析】對于A，根據(jù)點到直線的距離公式計算可判斷；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，將直線令和令求得，再根據(jù)三角形的面積公式計算可判斷；對于D，分直線過原點和直線不過原點時，分別設直線的方程，代入已知點求解即可.【詳解】解：對于A，點到直線的距離為，故A正確；對于B，任意一條直線都有傾斜角，但垂直于x軸的直線無斜率，故B正確；對于C，直線，令得，令得，所以直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積是，故C不正確；對于D，經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線，當直線過原點時，設直線的方程為，代入點得，此時直線的方程為，當直線不過原點時，設直線的方程為，代入點得，此時方程為，故D不正確；故選：AB.11．已知甲罐中有四個相同的小球，標號為1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標號為1，2，3，5，6，現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A=“抽取的兩個小球標號之和大于5”，事件B=“抽取的兩個小球標號之積大于8”，則（

）A．事件A與事件B的樣本點數(shù)分別為12，8 B．事件A，B間的關系為C．事件發(fā)生的概率為 D．事件發(fā)生的概率為【答案】CD【分析】計算出所有結果數(shù)，分別列舉出事件A、B的結果情況，即可判斷選項A、B；根據(jù)古典概型的概率計算公式即可判斷選項C、D.【詳解】解：由題用表示甲罐、乙罐中取小球標號的情況，則所有的情況有：，，，，共20種，其中滿足事件A的結果有：，，，，共11種，其中滿足事件B的結果有：，，，共8種，故選項A錯誤；因為事件B的結果均在事件A中包含，故，故選項B錯誤；因為，所以的結果數(shù)有11種，所以，故選項C正確；因為，所以的結果數(shù)有8種，故，故選項D正確.故選：CD12．如圖，在矩形中，，，為中點，現(xiàn)分別沿將、翻折，使點、重合，記為點，翻折后得到三棱錐，則（

）

A．B．三棱錐的體積為C．直線與直線所成角的余弦值為D．直線與平面所成角正弦值為【答案】AC【分析】根據(jù)線面垂直的判定可證明平面可判斷A；再根據(jù)即可判斷B；先利用余弦定理求出，將用表示，利用向量法求解即可判斷C；利用等體積法求出點到平面的距離，再根據(jù)直線PA與平面PBC所成角的正弦值為即可判斷D；【詳解】對于A，由題意可得，又平面，所以平面，又平面，故，故A正確；對于B，在中，，邊上的高為，所以，故B錯誤；對于C，在中，，，所以直線PA與直線BC所成角的余弦值為，故C正確；對于D，，設點到平面的距離為，由，得，解得，所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為，故D錯誤；故選：AC三、填空題13．若直線與直線平行，則實數(shù)a的值為．【答案】【分析】由兩條直線平行，建立關于a的方程，解出即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以，即，解得或，當時，：與：重合，當時，：與：平行，合題意.故答案為：.14．點在角的終邊上，則．【答案】2【分析】利用三角函數(shù)定義求出，再結合誘導公式、齊次式法求解作答.【詳解】因為點在角的終邊上，則，所以.故答案為：215．甲、乙兩名優(yōu)秀大學畢業(yè)生準備應聘某世界五百強企業(yè)，甲通過面試的概率是，乙通過面試的概率是，且甲、乙是否通過面試是相互獨立的．那么這兩名大學生至少有一名通過面試的概率為．【答案】【分析】根據(jù)相互獨立事件的概率和對立事件的概率之和等于1即可求解．【詳解】甲乙兩射手的射擊相互獨立，甲乙兩射手同時瞄準一個目標射擊且目標被射中的對立事件是：甲乙二人都沒有射中目標，∴目標被射中的概率為．故答案為：．16．已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)三角形三邊之間的不等關系可得，再結合橢圓定義將化為，結合以及圖形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意知為橢圓上任意一點，為圓：上任意一點，故，

故，當且僅當共線時取等號，所以，當且僅當共線時取等號，而,故的最小值為，故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)．（1）求的值；（2）若角是銳角的一個內(nèi)角，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）先根據(jù)兩角和的三角公式、二倍角公式化簡函數(shù)的解析式，再求的值；（2）先根據(jù)得到，再得到，最后將化成，根據(jù)兩角差的余弦公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意知，．（2），，．【點睛】本題主要考查兩角和與差的三角公式、二倍角公式、特殊角的三角函數(shù)值等知識，考查考生的運算求解能力．在求解本題第（2）問時要注意條件“銳角”的運用，若注意不到這點，則會得到，從而多解．18．已知圓過點，圓心在軸正半軸上，且與直線相切.(1)求圓的標準方程；(2)已知過點的直線交圓于兩點，且，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）設圓心為，利用距離公式求出，即可得到圓心坐標與半徑，從而得解；（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當斜率不存在時直接求出交點坐標，即可得到弦長，斜率存在，設斜率為，利用圓心到直線的距離求出參數(shù)的值，即可得解.【詳解】（1）解：設圓心為，依題意有，解得或（舍去），，則，故圓的標準方程為（2）若斜率不存在，則，代入圓方程得，解得或，，符合題意；若斜率存在，設斜率為，則直線，即，由圓心到直線的距離為，即，所以，，即綜上，所求直線的方程為或.19．某班進行了一次數(shù)學測試，并根據(jù)測試成績繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計這次測試成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)在測試成績位于區(qū)間[80，90）和[90，100]的學生中，采用分層抽樣，確定了5人，若從這5人中隨機抽取2人向全班同學介紹自己的學習經(jīng)驗，設事件A＝“抽取的兩人的測試成績分別位于[80，90）和[90，100]”，求事件A的概率P（A）.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，即可求解；（3）根據(jù)題意確定抽樣比，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，以及所求事件中所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典摡型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.（2）解：根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，這次測試成績的平均數(shù)為（分）.（3）解：測試成績位于的頻率，位于的頻率，因為，所以確定的5人中成績在內(nèi)的有3人，分別記為，成績在內(nèi)的有2人，分別記為，從5人中隨機抽取2人的樣本空間：共有10個樣本點，其中，即，所以概率為.20．如圖1，是平行四邊形，，．如圖2，把平行四邊形沿對角線AC折起，使與成角，

(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用空間向量加法運算知，再利用空間向量模長公式求解即可；（2）利用空間向量的加法運算及空間向量求夾角公式求解即可.【詳解】（1）由已知，，，利用空間向量的加法運算知，所以，所以.（2）由已知，，，所以，所以，所以異面直線與所成的角的余弦值為.21．在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點，射線與底面圓周交于點，當二面角的余弦值為時，求點到平面的距離.【答案】(2)【分析】（1）先證BC⊥DO，BC⊥AO，可得BC⊥面DAO，即由線線垂直得線面垂直得兩面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標系，含參表示相關向量，利用空間向量求二面角得出，再根據(jù)空間向量求點面距離即可.【詳解】（1）因為為圓錐的頂點，為底面的圓心，所以面.又因為面，所以，即.因為為外接圓圓心，且為正三角形，所以.又因為且，面，所以面，因為面，所以面面.（2）作交于，取中點為.因為，，所以.因為面，，面，所以，.如圖，以點為坐標原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系.因為，，所以，，所以，，，，.由，得，，，，.設面的法向量為，則，取，則，，所以.設面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因為，所以，所以到面的距離.

22．已知橢圓的短軸長為，一個焦點為．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設直線與橢圓交于兩點，點在線段上，點關于點的對稱點為．當四邊形的面積最大時，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)求橢圓方程和離心率；（2）首先直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示四邊形的面積，并利用基本不等式求最值.【詳解】（1）由題設